专题02 方程（组）与不等式（组）及其应用（九大题型）【好题汇编】-2024年中考数学二模试题分类汇编（北京专用）

专题02 方程（组）与不等式（组）及其应用 由实际问题列方程（组） 1．（2024•朝阳区校级二模）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•西城区二模）某农业合作社在春耕期间采购了A，B两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A型机器的进价比每台B型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B型机器的进价为x万元，根据题意可列出关于x的方程为（　　） A．12.6x＝21（2x﹣0.7） B． C． D． 3．电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 利用方程解决实际问题 5．（2024•昌平区二模）如图，初三年级准备制作一个长8.5m的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距＝3：4：1，试求横幅字距是多少？ 6．京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 7．（2024•顺义区二模）羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛．如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为4cm，场地的长比宽的2倍还多120cm（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12：7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 9．（2024•门头沟区二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽． 10．（2024•海淀区校级三模）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我国五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面霸”餐馆能实现每天1080元的利润？ 解二元一次方程组 11．（2024•朝阳区二模）方程组的解为 　 　． 12．（2024•石景山区二模）方程组的解为 　 　． 13．（2024•西城区二模）方程组的解为 　 　． 一元二次方程根的判别式 14．（2024•大兴区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有两个相等的实数根、则实数a的值为（　　） A．3 B．2 C．0 D．﹣1 15．（2024•北京二模）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞1 D．m≥1 16．（2024•昌平区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么整数k的可能值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 一元二次方程的根与系数的关系 18．（2024•东城区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0的两个实数根的差等于2，则实数m的值是 　 　． 19．（2024•顺义区二模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 20．（2024•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6mx+9m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，且x1＜x2，若x2＝2x1﹣3，求m的值． 21．（2024•北京模拟）已知关于x的一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k| （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若21，求k的值． 22．（2024•朝阳区二模）关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 23．（2024•西城区二模）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若k为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 24．（2024•海淀区校级模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0 （1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，当该方程的两个根都是整数，求正整数m的值． 25．（2024•海淀区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 解分式方程 26．（2024•大兴区二模）方程的解为 　 　． 27．（2024•东城区校级二模）分式方程的解为 　 　． 28．（2024•海淀区校级模拟）分式方程的解x＝　 　． 29．方程的解为 ． 30．（2024•大兴区二模）方程的解为 　 　． 31．（2024•东城区校级二模）分式方程的解为 　 　． 32．（2024•海淀区校级模拟）分式方程的解x＝　 　． 33．方程的解为 ． 34．（2024•海淀区校级二模）分式方程的解为 　 　． 35．（2024•昌平区二模）分式方程的解是　 　． 分式方程的实际应用 36．我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 37．（2024•石景山区二模）列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 38．（2024•朝阳区二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 39．（2024•丰台区二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．请问：A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ 40．（2024•海淀区校级二模）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，甲工程队施工1500m2所需天数与乙工程队施工900m2所需天数相等．具体信息如下： 工程队 每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元） 甲 x+200 3000 乙 x 2000 （1）求x的值； （2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天． 41．（2024•朝阳区校级二模）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元． 解一元一次不等式（组） 42．（2024•朝阳区校级二模）解不等式x﹣1，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 43．（2024•丰台区二模）解不等式组：． 44．（2024•大兴区二模）解不等式组：． 45．（2024•北京二模）解不等式组：． 46．（2024•西城区校级二模）解不等式组：． 47．（2024•北京模拟）解不等式组． 48．（2024•东城区二模）解不等式组：． 求一元一次不等式（组）的整数解 49．（2024•顺义区二模）解不等式：，并求它的正整数解． 50．（2024•朝阳区二模）解不等式3x+4＜5（x+2），并写出它的所有负整数解． 51．（2024•西城区二模）解不等式组，并写出它的所有整数解． 52．（2024•东城区校级模拟）解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 1．（2024•顺义区二模）若a＜b＜0，则下列结论正确的是（　　） A．﹣a＜﹣b B．a+1＞b+1 C．﹣a+1＞﹣b+1 D．2a＞a+b 2．（2024•西城区校级二模）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8 3．（2024•海淀区二模）若x＝1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则实数m的值为 　 　． 4．（2024•丰台区二模）方程x2＝3x的解为：　 　． 5．（2024•东城区二模）若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（　　） A．|x|＝x B．0＜x+1≤3 C．﹣2≤2x≤4 D．1＜x2≤4 6．（2024•顺义区二模）已知方程组的解为，写出一个满足条件的方程组：　 ． 7．（2024•朝阳区校级二模）不等式组的解集是 　 　． 8．（2024•门头沟区二模）解分式方程： 9．（2024•海淀区校级二模）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． 10．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为3，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式（组）及其应用 由实际问题列方程（组） 1．（2024•朝阳区校级二模）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设小和尚有x人，大和尚有（100﹣x）人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可． 【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚（100﹣x）人，由题意得： 3x（100﹣x）＝100， 故选：C． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 2．（2024•西城区二模）某农业合作社在春耕期间采购了A，B两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A型机器的进价比每台B型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B型机器的进价为x万元，根据题意可列出关于x的方程为（　　） A．12.6x＝21（2x﹣0.7） B． C． D． 【分析】设每台B型机器的进价为x万元，则设每台B型机器的进价为（2x﹣0.7）万元，根据“采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元”即可列出分式方程． 【解答】解：设每台B型机器的进价为x万元，则设每台B型机器的进价为（2x﹣0.7）万元， 根据题意得． 故选：C． 【点评】本题考查主要了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出题目中的相等关系列出分式方程是解决问题的关键． 3．电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为2亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为5亿元，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：B． 4．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可． 【解答】解：依题意得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键． 利用方程解决实际问题 5．（2024•昌平区二模）如图，初三年级准备制作一个长8.5m的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距＝3：4：1，试求横幅字距是多少？ 【分析】设横幅字距是x m，则字宽是4x m，边空宽是3x m，根据横幅的长度是8.5m，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设横幅字距是x m，则字宽是4x m，边空宽是3x m， 根据题意得：2×3x+16×4x+（16﹣1）x＝8.5， 解得：x＝0.1． 答：横幅字距是0.1m． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米， 由题意得：， 解得：， ， 答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时． 7．（2024•顺义区二模）羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛．如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为4cm，场地的长比宽的2倍还多120cm（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12：7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 【分析】侧的单、双打后发球线间的距离是12x cm，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7x cm，根据场地的长比宽的2倍还多120cm（包含分界线宽），可列出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，再将其代入12x中，即可求出结论． 【解答】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12x cm，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7x cm， 根据题意得：1180+2×12x+4×4＝2（510+2×x+4×4）+120， 解得：x＝6， ∴12x＝12×6＝72（cm）． 答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．（2024•门头沟区二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽． 【分析】设每个小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据各边之间的关系，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设每个小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：． 答：每个小长方形的长为10，宽为6． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（2024•海淀区校级三模）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我国五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面霸”餐馆能实现每天1080元的利润？ 【分析】设当每份臊子面提高x元时，每天的销量为（160﹣10x）元，每份的利润为（12﹣7+x）元，则每份臊子面价格是（12+x）元，根据“面霸”餐馆能实现每天1080元的利润，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设当每份臊子面提高x元时，每天的销量为（160﹣10x）元，每份的利润为（12﹣7+x）元，则每份臊子面价格是（12+x）元， 由题意得：（12﹣7+x）（160﹣10x）＝1080， 整理得：x2﹣11x+28＝0， 解得：x1＝4，x2＝7， 当x＝4时，12+x＝16； 当x＝7时，12+x＝19； 答：每份臊子面价格是16元或19元时，“面霸”餐馆能实现每天1080元的利润． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解二元一次方程组 11．（2024•朝阳区二模）方程组的解为 　 　． 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①×2+②得：5x＝﹣5， 解得：x＝﹣1， 将x＝﹣1代入①得：﹣2+y＝﹣3， 解得：y＝﹣1， 故原方程组的解为， 故答案为：． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 12．（2024•石景山区二模）方程组的解为 　 　． 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①+②得：3x＝9， 解得：x＝3， 将x＝3代入①得：3+y＝2， 解得：y＝﹣1， 故原方程组的解为， 故答案为：． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 13．（2024•西城区二模）方程组的解为 　 　． 【分析】把①乘2得③，再用③减②，消去y，求出x，再把x的值代入①，求出x即可． 【解答】解：， ①×2得：4x+2y＝10③， ③﹣②得：x＝2， 把x＝2代入①得：y＝1， ∴方程组的解为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元和代入消元法解方程组． 一元二次方程根的判别式 14．（2024•大兴区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有两个相等的实数根、则实数a的值为（　　） A．3 B．2 C．0 D．﹣1 【分析】根据方程有两个相等的实数根，根的判别式等于0列式求解即可得到答案； 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有两个相等的实数根， ∴（﹣4）2﹣4×1×2a＝0， 解得：a＝2， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握根与根的判别式的关系是关键． 15．（2024•北京二模）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞1 D．m≥1 【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＞0，然后求出不等式的解集即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＞0， 解得m＞﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式的意义是关键． 16．（2024•昌平区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0， 解得m≤1， 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么整数k的可能值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，时，方程有两个不相等的实数根，再结合一元二次方程的定义即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 解得：且， ∴k的值可能是． 故选：A． 一元二次方程的根与系数的关系 18．（2024•东城区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0的两个实数根的差等于2，则实数m的值是 　 　． 【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝m+1，x1x2＝m，结合x1﹣x2＝2，即可得出2+2x2＝m+1，（2+x2）•x2＝m，进一步得出（1）2＝m+1，解得m＝3或m＝﹣1． 【解答】解：∵方程x2﹣（m+1）x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4m＝（m﹣1）2＞0， 解得：m≠1， 设一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2＝m+1，x1x2＝m． ∵x1﹣x2＝2， ∴x1＝2+x2， ∴2+2x2＝m+1，（2+x2）•x2＝m． ∴x2，（x2+1）2＝m+1， ∴（1）2＝m+1， 解得m＝3或m＝﹣1． 故答案为：3或﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 19．（2024•顺义区二模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝k2+16＞0，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先把x＝1代入一元二次方程得到1+k﹣4＝0，解一次方程得到k＝3，所以原方程为x2+3x﹣4＝0，然后用因式分解法解方程即可． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝k，c＝﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2+4×4＝k2+16， ∵k2≥0， ∴Δ＝k2+16＞0， ∴方程总有两个不相等实数根； （2）解：将x＝1代入方程x2+kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0， 解得k＝3， 原方程为x2+3x﹣4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4 所以方程的另一个根是﹣4． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 20．（2024•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6mx+9m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，且x1＜x2，若x2＝2x1﹣3，求m的值． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用求根公式得到x1＝3m﹣1，x2＝3m+1，再利用x2＝2x1﹣3得到3m+1＝2（3m﹣1）﹣3，然后解关于m的方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣6m）2﹣4（9m2﹣1） ＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：x3m±1， ∵x1＜x2， ∴x1＝3m﹣1，x2＝3m+1， ∵x2＝2x1﹣3， ∴3m+1＝2（3m﹣1）﹣3， 解得m＝2， 即m的值为2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 21．（2024•北京模拟）已知关于x的一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k| （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若21，求k的值． 【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案； （2）利用根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：x2﹣x﹣6﹣|k|＝0， Δ＝1+4（6+|k|）＝25+4|k|＞0， ∴对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）原方程可化为x2﹣x﹣6﹣|k|＝0， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6﹣|k|， ∵21， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝21， ∴1﹣2（﹣6﹣|k|）＝21， ∴|k|＝4， ∴k＝±4， 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型． 22．（2024•朝阳区二模）关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝9﹣4（1﹣m）＞0，然后解不等式即可； （2）在（1）中m的范围内取一个m的值，然后解方程即可． 【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴．Δ＝32﹣4（1﹣m）＞0， 解得m； （2）当m＝1时，方程变形为x2+3x＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣3． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是当△＞0，方程有两个不相等的实数根，来进行列不等式解答． 23．（2024•西城区二模）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若k为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【分析】（1）根据判别式大于0即可求出答案． （2）先求出k的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知Δ＝32﹣4（k﹣2）＝17﹣4k＞0， ∴k． （2）由（1）可知：k＝4， ∴此时方程为：x2+3x+2＝0， ∴（x+1）（x+2）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 24．（2024•海淀区校级模拟）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0 （1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，当该方程的两个根都是整数，求正整数m的值． 【分析】（1）由关于x的一元二次方程得到m不为0，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围； （2）由Δ＝（m+3）2知x1，x2＝1，根据两个根都是整数即可确定出m的正整数值． 【解答】解：（1）由题意m≠0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）＝（m+3）2＞0， 解得：m≠﹣3， 则m的取值范围为m≠0和m≠﹣3； （2）∵Δ＝（m+3）2， ∴x， ∴x1，x2＝1， 当x1是整数时，可得m＝1或m＝﹣1（舍）或m＝3， ∴m＝1或m＝3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 25．（2024•海淀区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况； （2）将x＝0代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9） ＝36， ∵不论m取何值时，36恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0， 解得：m或． ∴m的值为或． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x＝0代入原方程求出m值． 解分式方程 26．（2024•大兴区二模）方程的解为 　 　． 【分析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 2x＝3x+1， 解得：x＝﹣1， 检验：当x＝﹣1时，x（3x+1）≠0， ∴x＝﹣1是原方程的根， 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验． 27．（2024•东城区校级二模）分式方程的解为 　 　． 【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可． 【解答】解：， 3x＝x﹣3， 2x＝﹣3， ， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 【点评】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 28．（2024•海淀区校级模拟）分式方程的解x＝　 　． 【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可． 【解答】解：去分母得： 2x＝3﹣2×2（x﹣1）， 去括号得： 2x＝3﹣4x+4， 移项，合并同类项得： 6x＝7， ∴x， 经检验，x是原方程的解， ∴x． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤是解题的关键． 29．方程的解为 ． 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【解答】解：， 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为． 故答案为：． 30．（2024•大兴区二模）方程的解为 　 　． 【分析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 2x＝3x+1， 解得：x＝﹣1， 检验：当x＝﹣1时，x（3x+1）≠0， ∴x＝﹣1是原方程的根， 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验． 31．（2024•东城区校级二模）分式方程的解为 　 　． 【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可． 【解答】解：， 3x＝x﹣3， 2x＝﹣3， ， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 【点评】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 32．（2024•海淀区校级模拟）分式方程的解x＝　 　． 【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可． 【解答】解：去分母得： 2x＝3﹣2×2（x﹣1）， 去括号得： 2x＝3﹣4x+4， 移项，合并同类项得： 6x＝7， ∴x， 经检验，x是原方程的解， ∴x． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤是解题的关键． 33．方程的解为 ． 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【解答】解：， 去分母得，， 解得， 检验：将代入， ∴原方程的解为． 故答案为：． 34．（2024•海淀区校级二模）分式方程的解为 　 　． 【分析】按照解分式方程的步骤解方程后进行检验即可． 【解答】解：原方程两边同乘x（x+1），去分母得：2x＝x+1， 移项，合并同类项得：x＝1， 检验：将x＝1代入x（x+1）得：1×2＝2≠0， 则原方程的解为：x＝1， 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验． 35．（2024•昌平区二模）分式方程的解是　 　． 【分析】首先方程两边乘以最简公分母x（x﹣1）去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，最后一定要检验． 【解答】解：去分母得：3（x﹣1）＝2x， 去括号得：3x﹣3＝2x， 移项得：3x﹣2x＝3， 合并同类项得：x＝3， 检验：把x＝3代入最简公分母中：x（x﹣1）≠0， ∴原分式方程的解为：x＝3． 故答案为：x＝3． 【点评】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误． 分式方程的实际应用 36．我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为，列式求解即可，掌握分式的运用是解题的关键． 【解答】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原式有意义， ∴中间弦的长度为 ． 37．（2024•石景山区二模）列方程解应用题． 某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？ 【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米．根据某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用22天完成了任务．列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米． 根据题意得：22， 解得 x＝30， 经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意， 答：引进新设备前工程队每天改造道路30米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 38．（2024•朝阳区二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【分析】设人工每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为6x亩，根据使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为6x亩， 由题意得：20， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意， ∴6x＝60， 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为60亩． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 39．（2024•丰台区二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．请问：A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ 【分析】设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可． 【解答】解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元， 根据题意得， 解得x＝0.9， 经检验x＝0.9是原方程的解， x+0.3＝1.2． 答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元． 【点评】本题考查了分式的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 40．（2024•海淀区校级二模）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，甲工程队施工1500m2所需天数与乙工程队施工900m2所需天数相等．具体信息如下： 工程队 每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元） 甲 x+200 3000 乙 x 2000 （1）求x的值； （2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天． 【分析】（1）利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队施工1500m2所需天数与乙工程队施工900m2所需天数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设乙工程队施工y天，则甲工程队施工（20﹣x）天，利用总费用＝甲工程队每天施工费用×甲工程队的施工时间+乙工程队每天施工费用×乙工程队的施工时间，结合总费用不超过45000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意． 答：x的值为300； （2）设乙工程队施工y天，则甲工程队施工（20﹣x）天， 根据题意得：3000（20﹣x）+2000y≤45000， 解得：y≥15， ∴y的最小值为15． 答：乙工程队至少施工15天． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 41．（2024•朝阳区校级二模）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元． 【分析】设第一批购进的“四大名著”每套的价格是x元，则第二批购进的“四大名著”每套的价格是0.8x元，根据用2400元购买的套数只比第一批少4套．列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设第一批购进的“四大名著”每套的价格是x元，则第二批购进的“四大名著”每套的价格是0.8x元， 根据题意得：， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意， 答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 解一元一次不等式（组） 42．（2024•朝阳区校级二模）解不等式x﹣1，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】解不等式求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可． 【解答】解：x﹣1， 去分母得：1+4x＞3（x﹣1）， 去括号得：1+4x＞3x﹣3， 移项，合并同类项得：x＞﹣4， 那么在数轴上表示其解集如图所示： ， 故选：D． 【点评】本题考查在数轴上表示一元一次不等式的解集，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 43．（2024•丰台区二模）解不等式组：． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x得：x＜2， 解不等式4﹣x＜5+x，得：x， ∴不等式组的解集为x＜2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 44．（2024•大兴区二模）解不等式组：． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：， 由①得x＜5， 由②得， 所以原不等式组的解集为． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 45．（2024•北京二模）解不等式组：． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得 x＜1， 解不等式②，得 x＞﹣3， ∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 46．（2024•西城区校级二模）解不等式组：． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：， 由①得，x＞﹣3； 由②得，x≥1， 故不等式组的解集为x≥1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 47．（2024•北京模拟）解不等式组． 【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解①得：x≥﹣2， 解②得：x＜3， ∴﹣2≤x＜3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握确定不等式组的解集是关键． 48．（2024•东城区二模）解不等式组：． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＞2， 解不等式②，得：x， ∴原不等式组的解集是x＞2． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 求一元一次不等式（组）的整数解 49．（2024•顺义区二模）解不等式：，并求它的正整数解． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：去分母，得：3x≥2（2x﹣1）， 去括号，得：3x≥4x﹣2， 移项，得：3x﹣4x≥﹣2， 合并同类项，得：﹣x≥﹣2， 系数化为1，得：x≤2， 故它的正整数解是1，2． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 50．（2024•朝阳区二模）解不等式3x+4＜5（x+2），并写出它的所有负整数解． 【分析】先去括号，再移项、合并同类项，化系数为1即可求出x的取值范围，在此取值范围内找出符合条件的x的值即可． 【解答】解：去括号得，3x+4＜5x+10， 移项、合并同类项得，﹣2x＜6， 化系数为1得x＞﹣3． 故其所有负整数解为﹣2，﹣1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式及一元一次不等式的整数解，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 51．（2024•西城区二模）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x＜3， 解不等式②，得x≥﹣1， 所以不等式组的解集是﹣1≤x＜3， 所以不等式组的整数解是﹣1，0，1，2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 52．（2024•东城区校级模拟）解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出所有非负整数解． 【解答】解：， 由①得：x≥﹣2； 由②得：x， ∴不等式组的解集为﹣2≤x， 则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 1．（2024•顺义区二模）若a＜b＜0，则下列结论正确的是（　　） A．﹣a＜﹣b B．a+1＞b+1 C．﹣a+1＞﹣b+1 D．2a＞a+b 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：若a＜b，两边同时乘﹣1得﹣a＞﹣b，则A不符合题意； 若a＜b，两边同时加上1得a+1＜b+1，则B不符合题意； 若a＜b，两边同时乘﹣1再同时加上1得﹣a+1＞﹣b+1，则C符合题意； 若a＜b，两边同时加上a得2a＜a+b，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2024•西城区校级二模）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0， ∴x2﹣6x＝﹣1， 则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（2024•海淀区二模）若x＝1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则实数m的值为 　 　． 【分析】把x＝1代入一元二次方程得到1﹣3+m＝0，然后解一次方程． 【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0， 解得m＝2， 即m的值为2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．（2024•丰台区二模）方程x2＝3x的解为：　 　． 【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解． 【解答】解：移项得：x2﹣3x＝0， 即x（x﹣3）＝0， 于是得：x＝0或x﹣3＝0． 则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3． 故答案为：x1＝0，x2＝3． 【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键． 5．（2024•东城区二模）若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（　　） A．|x|＝x B．0＜x+1≤3 C．﹣2≤2x≤4 D．1＜x2≤4 【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可． 【解答】解：由题意可知，﹣1＜x≤2， 故0＜x+1≤3． 故选：B． 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 6．（2024•顺义区二模）已知方程组的解为，写出一个满足条件的方程组：　 ． 【分析】根据方程组的解，x、y的和差可以组成一个方程组． 【解答】解：∵方程组的解为， ∴方程组可以是． 故答案为：．（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，答案不唯一的解需要表明． 7．（2024•朝阳区校级二模）不等式组的解集是 　 　． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【解答】解：， 由①得：x， 由②得：x， 则不等式组的解集为x． 故答案为：x． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 8．（2024•门头沟区二模）解分式方程： 【分析】由于x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故本题的最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解． 【解答】解：分母因式分解，得， 方程两边同乘（x+1）（x﹣1）， 得x（x﹣1）﹣6＝（x+1）（x﹣1）， 解得x＝﹣5． 检验：当x＝﹣5时，（x+1）（x﹣1）≠0． ∴x＝﹣5是原分式方程的解． 【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根． （3）当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母． 9．（2024•海淀区校级二模）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解： 解不等式①，移项，合并同类项得，﹣7x≥﹣14 系数化为1得，x≤2； 解不等式②，去分母得，3（3x+1）＞2（1+2x） 去括号得，9x+3＞2+4x 移项，合并同类项得，5x＞﹣1 系数化为1得， 故不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为3，求的值． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）先解方程得出，根据该方程的两个实数根的差为3，得出，求出m的值即可． 【解答】（1）证明： ， ， ， 该方程总有两个实数根． （2）解：原方程可化为， ，（也可用求根公式求出两根） ， ， 该方程的两个实数根的差为3， ． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$