专题05 乘法公式（专题测试）-2023-2024学年浙教版数学七年级下期末专题突破

专题05 乘法公式 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•博兴县期末）下列各式：①（a﹣4）（a+4），②（﹣x﹣3）（﹣x+3），③（m﹣5）（﹣5﹣m），④（﹣x+y）（﹣y+x），其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023秋•兖州区期末）下列计算正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2 C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 D．（﹣x+y）2＝x2﹣2xy+y2 3．（2023秋•唐山期末）已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 4．（2023秋•宁强县期末）已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 5．（2024春•江阴市期中）若（a+2b）2＝（a﹣2b）2+N，则代数式N是（　　） A．4ab B．8ab C．﹣4ab D．﹣8ab 6．（2023秋•重庆期末）已知m+n＝5，mn＝3，则m2﹣mn+n2的值为（　　） A．16 B．22 C．28 D．36 7．（2023秋•沙市区期末）计算（x+2﹣3y）（x+2+3y）的结果是（　　） A．x2﹣9y2+4x+4 B．x2﹣3y2+2x+4 C．x2﹣9y2+4 D．x2﹣3y2+4x+4 8．（2023秋•陵城区期末）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　） A．3 B．6 C．±3 D．±6 9．（2023秋•隆阳区期末）已知，则的值是（　　） A．1 B．7 C．9 D．11 10．（2024春•蜀山区校级期中）如图，点A、D、E在同一直线上，大正方形DEFG与小正方形ABCD的面积之差是24，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．32 二．填空题 11．（2023秋•太康县期末）计算：（﹣2+3a）2＝　 　． 12．（2023秋•四平期末）计算 （1+3x）（3x﹣1）+9（﹣x）（x+）的结果是 　　． 13．（2024春•溧阳市期中）已知（a+b）2＝26，（a﹣b）2＝6，则ab＝　　． 14．（2024春•鹿城区校级期中）已知x+y＝3，xy＝2，则（x﹣y）2＝　　． 15．（2024春•达川区期中）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）＝　　． 三．解答题 16．（2024•拱墅区二模）化简：2（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3） 圆圆的解答如下： 2（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）＝2x2+2x+1﹣x2﹣9＝x2+2x﹣8． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案． 17．（2023春•大埔县校级期中）计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）． 18．（2023秋•闵行区校级月考）计算：（x﹣2y﹣3）2﹣（x﹣2y）（x+3y）． 19．（2024•涟源市模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2． 20．（2024春•高碑店市月考）下面是小刚同学解答一道题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 先化简，再求值：5a（a+b）﹣（a+2b）（a﹣b）﹣b2，其中2a+b＝﹣2． 解：原式＝5a2+5ab﹣（a2﹣ab+2ab﹣2b2）﹣b2……第一步 ＝5a2+5ab﹣a2+ab﹣2ab+2b2﹣b2……第二步 ＝4a2+4ab+b2．……第三步 当2a+b＝﹣2时， 原式＝（2a+b）2……第四步 ＝（﹣2）2＝4．……第五步 任务： （1）小刚在解答过程中，从第三步到第四步涉及到的乘法公式是 　　．（填“平方差公式”或“完全平方公式”） （2）小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是 　　． A．数形结合思想 B．整体代入思想 C．分类讨论思想 D．转化思想 （3）求式子x（x+6）+（x﹣1）2的值，其中2x2+4x﹣5＝0． 21．（2024春•东台市期中）已知a+b＝1，ab＝﹣12，求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）（a﹣2）（b﹣2）； （3）（a﹣b）2． 22．（2023春•东昌府区期末）计算： （1）（2a+3b）（2a﹣3b）； （2）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）； （3）4（x﹣2）2+3（x+2）2﹣（7x2+30）． 23．（2024春•萧县月考）已知（2x2+mx﹣n）（x﹣1）展开的结果中，不含x2和x项．（m，n为常数） （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，求[（5m﹣n）2﹣（5m+n）（5m﹣n）]÷（2n）的值． 24．（2023秋•舒兰市期末）有一系列等式： 1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2 2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2 3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2 4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2 … （1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果　 　 （2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明． 25．（2024春•梅列区校级月考）[探究]（1）如图（1），边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图（1）中的阴影部分拼成一个长方形（如图（2）所示），通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 　 　．（用含a，b的等式表示） [应用]（2）计算：20222﹣2024×2020． [拓展]（3）计算：1002﹣992+982﹣972+•••+42﹣32+22﹣12． 26．（2024春•柴桑区月考）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法． 【方法生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，可得到我们学过的公式：　 　． 【拓展探究】 （2）小圣得到启发，利用上面的方法得到一个新公式（如图2）：（a+b+c）2＝　 　． 【公式应用】根据小圣发现的新公式，解决下面的问题： （3）直接写出结果：（a﹣b﹣c）2＝　 　． （4）已知a+2＝b+c，a2+b2+c2＝85，求10bc﹣10a（b+c）的值． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 乘法公式 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•博兴县期末）下列各式：①（a﹣4）（a+4），②（﹣x﹣3）（﹣x+3），③（m﹣5）（﹣5﹣m），④（﹣x+y）（﹣y+x），其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】根据平方差公式的特点进行判断即可． 【解析】解：（a﹣4）（a+4），（﹣x﹣3）（﹣x+3），（m﹣5）（﹣5﹣m）均符合平方差公式的结构特点，能够利用平方差公式进行运算；而（﹣x+y）（﹣y+x）中，前一多项式的两项与后一多项式中的两项分别互为相反数，故不能用平方差公式进行运算； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，从相乘的两个多项式的项来看，平方差公式的结构特点：从相乘的两个多项式的项来看，有相同的项，有互为相反数的项，乘积的结果是相同的项的平方减去互为相反数的项的平方；从运算来看，是两数的和与两数的差的积，结果是两数的平方差，掌握这一特点是关键． 2．（2023秋•兖州区期末）下列计算正确的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2 C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 D．（﹣x+y）2＝x2﹣2xy+y2 【思路点拨】原式各项利用完全平方公式及平方差公式计算得到结果，即可做出判断． 【解析】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故选项不合题意； B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故选项不合题意； C、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故选项不合题意； D、（﹣x+y）2＝x2﹣2xy+y2，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 3．（2023秋•唐山期末）已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【思路点拨】根据平方差公式进行计算，从而可得：a＝3，b＝﹣2，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答． 【解析】解：∵（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴a+b＝3+（﹣2）＝1， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式的特征是解题的关键． 4．（2023秋•宁强县期末）已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 【思路点拨】根据完全平方公式展开，建立方程组求解即可． 【解析】解：∵（3x+a）2＝9x2+bx+4， ∴9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式，方程组的解法，解题的关键是熟练运用完全平方公式． 5．（2024春•江阴市期中）若（a+2b）2＝（a﹣2b）2+N，则代数式N是（　　） A．4ab B．8ab C．﹣4ab D．﹣8ab 【思路点拨】利用完全平方公式恒等变形，可得结论． 【解析】解：∵（a+2b）2＝（a﹣2b）2+8ab， ∴N＝8ab． 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 6．（2023秋•重庆期末）已知m+n＝5，mn＝3，则m2﹣mn+n2的值为（　　） A．16 B．22 C．28 D．36 【思路点拨】将m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn，然后整体代入计算即可． 【解析】解：∵m+n＝5，mn＝3， ∴m2﹣mn+n2 ＝（m+n）2﹣3mn ＝52﹣3×3 ＝25﹣9 ＝16， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 7．（2023秋•沙市区期末）计算（x+2﹣3y）（x+2+3y）的结果是（　　） A．x2﹣9y2+4x+4 B．x2﹣3y2+2x+4 C．x2﹣9y2+4 D．x2﹣3y2+4x+4 【思路点拨】把x+2看成一个整体，先运用平方差公式，再用完全平方公式进行计算即可． 【解析】解：（x+2﹣3y）（x+2+3y） ＝[（x+2）﹣3y][（x+2）+3y] ＝（x+2）2﹣（3y）2 ＝x2+4x+4﹣9y2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．熟练掌握这两个公式是解题的关键． 8．（2023秋•陵城区期末）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　） A．3 B．6 C．±3 D．±6 【思路点拨】根据平方差公式即可求解． 【解析】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35， ∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35， （a2+b2）2﹣1＝35， （a2+b2）2＝36， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键，运用了整体思想． 9．（2023秋•隆阳区期末）已知，则的值是（　　） A．1 B．7 C．9 D．11 【思路点拨】把a+＝3两边平方，然后根据完全平方公式展开整理即可得解． 【解析】解：∵a+＝3， ∴（a+）2＝9， 即a2+2+＝9， ∴a2+＝9﹣2＝7． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式进行计算，利用好乘积二倍项不含字母是解题的关键． 10．（2024春•蜀山区校级期中）如图，点A、D、E在同一直线上，大正方形DEFG与小正方形ABCD的面积之差是24，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．32 【思路点拨】设两个正方形的边长，得出b2﹣a2＝24，再根据阴影部分面积的计算方法得出S阴影部分＝（b2﹣a2）即可． 【解析】解：正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，则CG＝b﹣a，则b2﹣a2＝24， ∴S阴影部分＝S△ACG+S△CFG ＝CG•BC+CG•FG ＝a（b﹣a）+b（b﹣a） ＝（b+a）（b﹣a） ＝（b2﹣a2） ＝×24 ＝12． 故选：A． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 二．填空题 11．（2023秋•太康县期末）计算：（﹣2+3a）2＝　4﹣12a+9a2　． 【思路点拨】根据完全平方公式计算即可． 【解析】解：原式＝（﹣2）2+2×（﹣2）⋅3a+（3a）2＝4﹣12a+9a2． 故答案为：4﹣12a+9a2． 【点睛】【本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 12．（2023秋•四平期末）计算 （1+3x）（3x﹣1）+9（﹣x）（x+）的结果是 　0　． 【思路点拨】先根据平方差公式进行计算，再算加减即可． 【解析】解：（1+3x）（3x﹣1）+9（﹣x）（x+） ＝9x2﹣1+9（﹣x2） ＝9x2﹣1+1﹣9x2 ＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了平方差公式，能熟记公式是解此题的关键，平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 13．（2024春•溧阳市期中）已知（a+b）2＝26，（a﹣b）2＝6，则ab＝　5　． 【思路点拨】先依据完全平方公式展开，然后再相减可得解． 【解析】解：∵（a+b）2＝26，（a﹣b）2＝6， ∴a2+2ab+b2＝26，a2﹣2ab+b2＝6， ∴4ab＝20，解得ab＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 14．（2024春•鹿城区校级期中）已知x+y＝3，xy＝2，则（x﹣y）2＝　1　． 【思路点拨】根据完全平方公式进行作答． 【解析】解：∵x+y＝3，xy＝2， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy ＝32﹣4×2 ＝9﹣8 ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 15．（2024春•达川区期中）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）＝　216﹣1　． 【思路点拨】将原式配上因式（2﹣1），连续利用平方差公式进行计算即可． 【解析】解：原式＝（2﹣1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1） ＝（22﹣1）×（22+1）×（24+1）×（28+1） ＝（24﹣1）×（24+1）×（28+1） ＝（28﹣1）（28+1） ＝216﹣1． 故答案为：216﹣1． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 三．解答题 16．（2024•拱墅区二模）化简：2（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3） 圆圆的解答如下： 2（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）＝2x2+2x+1﹣x2﹣9＝x2+2x﹣8． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案． 【思路点拨】利用平方差及完全平方公式计算后进行判断即可． 【解析】解：圆圆的解答过程有错误，正确步骤如下： 原式＝2（x2+2x+1）﹣（x2﹣9） ＝2x2+4x+2﹣x2+9 ＝x2+4x+11． 【点睛】本题考查平方差及完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 17．（2023春•大埔县校级期中）计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）． 【思路点拨】利用完全平方公式以及多项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【解析】解：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2） ＝4x2﹣20x+25﹣（6x2﹣4x+9x﹣6） ＝4x2﹣20x+25﹣6x2﹣5x+6 ＝﹣2x2﹣25x+31． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 18．（2023秋•闵行区校级月考）计算：（x﹣2y﹣3）2﹣（x﹣2y）（x+3y）． 【思路点拨】利用完全平方公式及多项式乘多项式的法则进行计算即可． 【解析】解：（x﹣2y﹣3）2﹣（x﹣2y）（x+3y） ＝[（x﹣2y）﹣3]2﹣（x2+3xy﹣2xy﹣6y2） ＝（x﹣2y）2+9﹣6（x﹣2y）﹣（x2+xy﹣6y2） ＝x2+4y2﹣4xy+9﹣6x+12y﹣x2﹣xy+6y2 ＝10y2﹣5xy+9﹣6x+12y． 【点睛】本题考查的是完全平方公式及多项式乘多项式，熟记完全平方公式是解题的关键． 19．（2024•涟源市模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2． 【思路点拨】先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可． 【解析】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y） 原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy ＝4x2+3y2， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝4×（﹣1）2+3×22 ＝4+12 ＝16． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 20．（2024春•高碑店市月考）下面是小刚同学解答一道题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 先化简，再求值：5a（a+b）﹣（a+2b）（a﹣b）﹣b2，其中2a+b＝﹣2． 解：原式＝5a2+5ab﹣（a2﹣ab+2ab﹣2b2）﹣b2……第一步 ＝5a2+5ab﹣a2+ab﹣2ab+2b2﹣b2……第二步 ＝4a2+4ab+b2．……第三步 当2a+b＝﹣2时， 原式＝（2a+b）2……第四步 ＝（﹣2）2＝4．……第五步 任务： （1）小刚在解答过程中，从第三步到第四步涉及到的乘法公式是 　完全平方公式　．（填“平方差公式”或“完全平方公式”） （2）小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是 　B　． A．数形结合思想 B．整体代入思想 C．分类讨论思想 D．转化思想 （3）求式子x（x+6）+（x﹣1）2的值，其中2x2+4x﹣5＝0． 【思路点拨】（1）由计算过程可得利用了完全平方公式分解因式； （2）由整体代入计算可得体现的是整体思想； （3）先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后整体代入求值即可． 【解析】解：（1）从第三步到第四步涉及到的乘法公式是：完全平方公式， 故填：完全平方公式； （2）小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是：整体代入思想， 故填：B； （3）x（x+6）+（x﹣1）2 ＝x2+6x+x2﹣2x+1 ＝2x2+4x+1， ∵2x2+4x﹣5＝0， ∴2x2+4x＝5， ∴原式＝5+1＝6． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，因式分解，化简求值，掌握完全平方公式与整体思想是解本题的关键． 21．（2024春•东台市期中）已知a+b＝1，ab＝﹣12，求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）（a﹣2）（b﹣2）； （3）（a﹣b）2． 【思路点拨】（1）利用完全平方公式得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后整体代入即可； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式进行计算，代入即可； （3）利用完全平方公式得到（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后整体代入即可． 【解析】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝12﹣2×（﹣12） ＝1+24 ＝25； （2）（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4 ＝﹣12﹣2×1+4 ＝﹣10； （3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝12﹣4×（﹣12） ＝49． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，熟练掌握完全平方公式以及相关变形，结合整体代入的思想解题是解本题得关键． 22．（2023春•东昌府区期末）计算： （1）（2a+3b）（2a﹣3b）； （2）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）； （3）4（x﹣2）2+3（x+2）2﹣（7x2+30）． 【思路点拨】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）连续利用平方差公式即可得出答案； （3）根据完全平方公式将原式化为4x2﹣16x+16+3x2+12x+12﹣7x2﹣30，再合并同类项即可． 【解析】解：（1）原式＝（2a）2﹣（3b）2 ＝4a2﹣9b2； （2）原式＝（x2﹣y2）（x2+y2） ＝x4﹣y4； （3）原式＝4x2﹣16x+16+3x2+12x+12﹣7x2﹣30 ＝﹣4x﹣2． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 23．（2024春•萧县月考）已知（2x2+mx﹣n）（x﹣1）展开的结果中，不含x2和x项．（m，n为常数） （1）求m，n的值； （2）在（1）的条件下，求[（5m﹣n）2﹣（5m+n）（5m﹣n）]÷（2n）的值． 【思路点拨】（1）由题意知，（2x2+mx﹣n）（x﹣1）＝2x3+（m﹣2）x2﹣（m+n）x+n，由展开的结果中，不含x2和x项，可得m﹣2＝0，m+n＝0，计算求解即可； （2）由题意知，[（5m﹣n）2﹣（5m+n）（5m﹣n）]÷（2n）＝﹣5m+n，然后将m＝2，n＝﹣2代入计算求解即可． 【解析】解：（1）由题意知，（2x2+mx﹣n）（x﹣1）＝2x3﹣2x2+mx2﹣mx﹣nx+n ＝2x3+（m﹣2）x2﹣（m+n）x+n， ∵展开的结果中，不含x2和x项， ∴m﹣2＝0，m+n＝0， 解得m＝2，n＝﹣2； （2）[（5m﹣n）2﹣（5m+n）（5m﹣n）]÷（2n） ＝[25m2﹣10mn+n2﹣（25m2﹣n2）]÷（2n） ＝[﹣10mn+2n2]÷（2n） ＝﹣5m+n， 将m＝2，n＝﹣2代入得，原式＝﹣5×2﹣2＝﹣12． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，代数式求值等知识．熟练掌握多项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 24．（2023秋•舒兰市期末）有一系列等式： 1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2 2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2 3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2 4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2 … （1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果　892　 （2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明． 【思路点拨】（1）根据规律列式进行计算即可得解； （2）观察规律不难发现，四个连续自然数的乘积与1的和等于第一个数的平方，加上前第一个数的3倍再加上1然后平方． 【解析】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892； 故答案为：892； （2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2， 理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1， 等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1， 左边＝右边． 【点睛】此题考查了完全平方公式，仔细观察题目信息，得到变化规律是解题的关键，利用多项式的乘法运算法则进行计算时较为复杂，要仔细运算． 25．（2024春•梅列区校级月考）[探究]（1）如图（1），边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图（1）中的阴影部分拼成一个长方形（如图（2）所示），通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．（用含a，b的等式表示） [应用]（2）计算：20222﹣2024×2020． [拓展]（3）计算：1002﹣992+982﹣972+•••+42﹣32+22﹣12． 【思路点拨】（1）根据阴影部分的面积相等，得到（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【解析】解：（1）由题意可知，图（1）中的阴影部分面积为a2﹣b2， 图（2）中的阴影部分面积为a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）， 通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积相等， ∴可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）20222﹣2024×2020 ＝20222﹣（2022+2）×（2022﹣2） ＝20222﹣（20222﹣4） ＝20222﹣20222+4 ＝4； （3）1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12 ＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1） ＝100+99+98+97+…+4+3+2+1 ＝5050． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 26．（2024春•柴桑区月考）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法． 【方法生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，可得到我们学过的公式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　． 【拓展探究】 （2）小圣得到启发，利用上面的方法得到一个新公式（如图2）：（a+b+c）2＝　a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　． 【公式应用】根据小圣发现的新公式，解决下面的问题： （3）直接写出结果：（a﹣b﹣c）2＝　a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc　． （4）已知a+2＝b+c，a2+b2+c2＝85，求10bc﹣10a（b+c）的值． 【思路点拨】（1）根据计算图中正方形面积公式的两种方法即可求解； （2）根据计算图中正方形面积公式的两种方法即可求解； （3）仿照（2）即可求解； （4）利用（3）的等式即可求解． 【解析】解：（1）图中正方形面积（a+b）2，a2+2ab+b2， 则（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （3）由（2）得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a﹣b﹣c）2＝[a+（﹣b）+（﹣c）]2， ＝a2+（﹣b）2+（﹣c）2+2a（﹣b）+2a（﹣c）+2（﹣b）（﹣c）， ＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc， 故答案为：a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc； （4）∵a+2＝b+c， ∴a﹣b﹣c＝﹣2， ∴（a﹣b﹣c）2＝4， ∴a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc＝4， ∵a2+b2+c2＝85， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了几何面积与多项式的关系，正确掌握多项式变化与几何面积的关系是解题的关键． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$