1.6 全等三角形的应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

1.6 全等三角形的应用 【考点1 全等三角形的判定和性质】 【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】 【考点3利用三角形全等求两端的距离】 【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】 【考点5 全等三角形的其他应用】 知识点1 全等三角形的判定和性质 1. 全等三角形的判定 (1) 边边边定理(SAS)：(2) 边角边定理(SAS)： (3) 角边角定理(ASA)：(4) 角角边定理(AAS)： (5) 斜边、直角边定理(HL)： 2.全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【考点1 全等三角形的判定和性质】 【典例1】（2024•高新区一模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数． 【变式1-1】（2024春•成都期中）如图，点C、E在BF上，BE＝CF，AB∥FD，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）若∠B＝50°，∠BED＝145°，求∠D的度数． 【变式1-2】（2024春•九龙坡区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC到点F，过点F作FE⊥AB于点E，FE与BC交于点D，若DE＝DC． （1）求证：BD＝DF； （2）若AC＝3cm，AB＝5cm，求CF的长度． 【变式1-3】（2023秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12，求AC的长． 知识点2：全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】 【典例2】（2023秋•龙口市期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，根据两个三角形全等，那么量出DE的长就是A，B的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【变式2-1】（2023秋•成武县期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　） A．SAS B．AAA C．ASA D．SSS 【变式2-2】（2022秋•晋安区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D，使得BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A、C在一条直线上，这是测得线段DE的长就是线段AB的长，其原理运用到三角形全等的判定是（　　） A．ASA B．SSS C．HL D．SAS 【变式2-3】（2024•郫都区模拟）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是　20　米． 【考点3利用三角形全等求两端的距离】 【典例3】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 【变式3-1】（2023秋•石狮市期末）如图，小亮要测量池塘A，B两端的距离，他设计了一个测量方案．先在平地上取可以直接到达A点和B点的C，D两点，AC与BD相交于点O，且AC＝BD＝40m，OA＝OD，又测得△COD的周长为70m，则A，B两端的距离为（　　） A．10m B．20m C．30m D．35m 【变式3-2】（2023秋•安康期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC． 【变式3-3】（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度． 【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】 【典例4】（2024春•武侯区校级期中）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，现测得C，D之间的距离为69mm，求小口圆柱形瓶底部的内径AB的长度． 【变式4-1】（2023秋•滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 　　cm． 【变式4-2】（2023秋•红桥区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【考点5 全等三角形的其他应用】 【典例5】（2023秋•南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【变式5-1】（2023秋•雁峰区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【变式5-2】（2023秋•高阳县期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．HL 【变式5-3】（2022秋•红桥区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 一．选择题（共11小题） 1．（2023秋•潮州期末）如图，AB＝AC，BD＝CD．若∠B＝70°，则∠DAC＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 2．（2023秋•湖北期中）如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 3．（2022秋•沈丘县期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．（2022秋•巫溪县期末）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．若∠B＝75°，∠AFB＝40°，则∠D的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 5．（2023秋•兰溪市校级月考）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝26°，∠2＝33°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（　　） A．60° B．59° C．61° D．无法计算 6．（2023秋•青山湖区校级月考）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAC＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠EFB．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023秋•栾城区校级期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF 8．（2023秋•望花区期中）如图，在△ACD和△BCE中，CA＝CB，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝50°，∠BCD＝150°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 9．（2023秋•顺平县期中）如图，已知O为线段PN，MQ的中点，PQ＝25m，则M，N两点间的距离为（　　） A．24m B．25m C．26m D．28m 10．（2023秋•湖北期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度a＝10cm，则DE的长为（　　） A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm 11．（2023秋•连江县期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，可得△ABC≌△DEC，此时测得DE的长度就是A、B两点间的距离，这里判定△ABC≌△DEC的依据是（　　） A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS 二．填空题（共4小题） 12．（2023秋•滑县期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即OF＝OG），如果点O至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm，这时小明离地面的高度是 　 　． 13．（2023秋•正阳县期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度．如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C、D，使点B、C、D共线且河岸平行，AB、DE分别与河岸垂直且A、C、E三点共线，他们已测得BC＝CD、DE＝40m，河宽AB的长为 　 　． 14．（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，∠ACB＝50°，则∠AFB＝　 　°． 15．（2024春•南海区期中）如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为　 　． 三．解答题（共3小题） 16．（2024•南通二模）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE． （1）求证：BC＝EF； （2）若AD＝14，CF＝6，求CD的长． 17．（2024•高新区一模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数． 18．（2023秋•前郭县期末）某建筑测量队为了测量一株居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶墙E的视线EC的夹角为90°，若AB＝CD＝12米，BD＝64米，请计算出该居民楼ED的高度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.6 全等三角形的应用 【考点1 全等三角形的判定和性质】 【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】 【考点3利用三角形全等求两端的距离】 【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】 【考点5 全等三角形的其他应用】 知识点1 全等三角形的判定和性质 1. 全等三角形的判定 (1) 边边边定理(SAS)：(2) 边角边定理(SAS)： (3) 角边角定理(ASA)：(4) 角角边定理(AAS)： (5) 斜边、直角边定理(HL)： 2.全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【考点1 全等三角形的判定和性质】 【典例1】（2024•高新区一模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）∵△AEC≌△BED， ∴EC＝ED，∠C＝∠BDE． 在△EDC中， ∵EC＝ED，∠1＝38°， ∴∠C＝∠EDC＝71°， ∴∠BDE＝∠C＝71°． 【变式1-1】（2024春•成都期中）如图，点C、E在BF上，BE＝CF，AB∥FD，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）若∠B＝50°，∠BED＝145°，求∠D的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠D的度数是95°． 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+CE+CF+CE， ∴BC＝FE， ∵AB∥FD， ∴∠B＝∠F， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（AAS）． （2）解：∵∠B＝50°，∠B＝∠F， ∴∠F＝50°， ∵∠BED＝145°，∠BED＝∠D+∠F， ∴145°＝∠D+50°， ∴∠D＝95°， ∴∠D的度数是95°． 【变式1-2】（2024春•九龙坡区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC到点F，过点F作FE⊥AB于点E，FE与BC交于点D，若DE＝DC． （1）求证：BD＝DF； （2）若AC＝3cm，AB＝5cm，求CF的长度． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）2． 【解答】（1）证明：∵FE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠DEB＝∠DCF＝90°， 在△DEB和△DCF中， ∠DEB＝∠DCF＝90°，DE＝DC，∠BDE＝∠FDC， ∴△DEB≌△DCF（ASA）， ∴BD＝DF； （2）解：∵DE＝DC，由（1）可知：BD＝DF， ∴DE+DF＝DC+BD， 即EF＝CB， ∵FE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝∠ACB＝90°， 在△AEF和△ACB中， ∠AEF＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，EF＝CB， ∴△AEF≌△ACB（AAS）， ∴AF＝AB＝5， ∵AC＝3， ∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2． 【变式1-3】（2023秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12，求AC的长． 【答案】（1）见解析过程； （2）6． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB， ∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∴∠DEB＝∠A， 在△ACB和△EBD中， ， ∴△ACB≌△EBD（AAS）； （2）解：由（1）得：△ACB≌△EBD， ∴BC＝DB，AC＝EB， ∵E是BC的中点， ∴， ∵DB＝12，BC＝DB， ∴BC＝12， ∴AC＝EB＝BC＝6． 知识点2：全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】 【典例2】（2023秋•龙口市期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，根据两个三角形全等，那么量出DE的长就是A，B的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】证明：在△DEC和△ABC中， ， ∴△DEC≌△ABC（SAS）， ∴DE＝AB． 故选：A． 【变式2-1】（2023秋•成武县期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　） A．SAS B．AAA C．ASA D．SSS 【答案】C 【解答】解：∵∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，∠CBM＝65°，∠MCB＝30°， ， ∴△MBC≌△ABC（ASA）， 即MB＝AB， 故选：C． 【变式2-2】（2022秋•晋安区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D，使得BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A、C在一条直线上，这是测得线段DE的长就是线段AB的长，其原理运用到三角形全等的判定是（　　） A．ASA B．SSS C．HL D．SAS 【答案】A 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：A． 【变式2-3】（2024•郫都区模拟）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是　20　米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中，， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED＝20． 故答案为：20． 【考点3利用三角形全等求两端的距离】 【典例3】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1）证明过程见解答部分； （2）两堵木墙之间的距离为50cm． 【解答】（1）证明：由题意得：AB＝BD，∠ABD＝90°，AC⊥CE，DE⊥CE， ∴∠BED＝∠ACB＝90°， ∴∠BDE+∠DBE＝90°，∠DBE+∠ABC＝90°， ∴∠BDE＝∠ABC， 在△ACB和△BED中， ， ∴△ACB≌△BED（AAS）； （2）解：由题意得：AC＝5×3＝15（cm），DE＝7×5＝35（cm）， ∵△ACB≌△BED， ∴DE＝BC＝35cm，BE＝AC＝15cm， ∴DE＝DC+CE＝50（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为50cm． 【变式3-1】（2023秋•石狮市期末）如图，小亮要测量池塘A，B两端的距离，他设计了一个测量方案．先在平地上取可以直接到达A点和B点的C，D两点，AC与BD相交于点O，且AC＝BD＝40m，OA＝OD，又测得△COD的周长为70m，则A，B两端的距离为（　　） A．10m B．20m C．30m D．35m 【答案】C 【解答】解：∵AC＝BD，OA＝OD， ∴AC﹣OA＝BD﹣OD， 即OC＝OB， 在△COD和△BOA中， ， ∴△COD≌△BOA（SAS）， ∴CD＝AB， ∵△COD的周长为70m， ∴OC+OD+CD＝70m， 即AC+CD＝70m， ∵AC＝40m， ∴CD＝30m， ∴AB＝30m， 故选：C． 【变式3-2】（2023秋•安康期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC． 【答案】两个排污口之间的水平距离DC为500米． 【解答】解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC， ∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°， ∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC， 在△ADE与△ECB中， ． ∴△ADE≌△ECB（ASA）， ∴AD＝CE，DE＝BC， 又∵AD＝150米，BC＝350米， ∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）． 答：两个排污口之间的水平距离DC为500米． 【变式3-3】（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度． 【答案】（1）见解析； （2）44m． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BF＝EC， ∵BE＝120m，BF＝38m， ∴FC＝BE﹣BF﹣EC＝44m． 答：FC的长是44m． 【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】 【典例4】（2024春•武侯区校级期中）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，现测得C，D之间的距离为69mm，求小口圆柱形瓶底部的内径AB的长度． 【答案】69mm． 【解答】解：∵点O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD＝69mm． 即小口圆柱形瓶底部的内径AB的长度为69mm． 【变式4-1】（2023秋•滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 　10　cm． 【答案】10． 【解答】解：连接A′B′，如图， ∵点O分别是AA′、BB′的中点， ∴OA＝OA′，OB＝OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）． ∴A′B′＝AB， ∵A'B'＝10cm， ∴AB＝10cm， 故答案为：10． 【变式4-2】（2023秋•红桥区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解答】解：由题意，得：OA＝OA′，∠AOB＝∠A′OB′，OB＝OB′， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴AB＝A′B′； ∴理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选：A． 【考点5 全等三角形的其他应用】 【典例5】（2023秋•南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【答案】D 【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 【变式5-1】（2023秋•雁峰区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】D 【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：D． 【变式5-2】（2023秋•高阳县期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．HL 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝AE， 在△ADM和△AEM中， ． ∴△ADM≌△AEM（SSS）， 故选：C． 【变式5-3】（2022秋•红桥区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：∵在△ONC和△OMC中， ∴△MOC≌△NOC（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOC， 故选：A． 一．选择题（共11小题） 1．（2023秋•潮州期末）如图，AB＝AC，BD＝CD．若∠B＝70°，则∠DAC＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：解法一：∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵∠DAB+∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAC＝20°， 解法二：∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°． 故选：B． 2．（2023秋•湖北期中）如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， ∵CE∥AB， ∴∠DCE＝∠DBA， 在△CDE和△BDA中， ， ∴△CDE≌△BDA（ASA）， ∴EC＝AB＝5， ∵7﹣5＜AE＜7+5， ∴2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6， 故选：A． 3．（2022秋•沈丘县期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AE就是∠PRQ的平分线， 故选：A． 4．（2022秋•巫溪县期末）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．若∠B＝75°，∠AFB＝40°，则∠D的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∵∠B＝75°，∠AFB＝40°， ∴∠A＝∠D＝180°﹣∠B﹣∠AFB＝180°﹣75°﹣40°＝65°， ∴∠D的度数为65°， 故选：B． 5．（2023秋•兰溪市校级月考）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝26°，∠2＝33°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（　　） A．60° B．59° C．61° D．无法计算 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， 即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠1＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠2＝33°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝26°+33°＝59°． 故选：B． 6．（2023秋•青山湖区校级月考）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAC＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠EFB．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC＝AF，∠BAC＝∠EAF，EF＝BC，∠E＝∠B，故①③正确； ∴∠BAC﹣∠BAF＝∠EAF﹣∠BAF， ∴∠FAC＝∠EAB，故②正确； ∵∠E＝∠B，∠AOE＝∠BOF，∠E+∠AOE+∠EAB＝∠B+∠EFB+∠BOF＝180°， ∴∠EAB＝∠EFB，故④正确． 故选：D． 7．（2023秋•栾城区校级期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF 【答案】A 【解答】解：条件是AB＝DC， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故选：A． 8．（2023秋•望花区期中）如图，在△ACD和△BCE中，CA＝CB，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝50°，∠BCD＝150°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【答案】C 【解答】解：在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SSS）， ∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B， ∴∠BCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECD， ∴∠ACB＝∠ECD＝（∠BCD﹣∠ACE）＝×（150°﹣50°）＝50°， ∵∠B+∠ACB＝∠A+∠APB， ∴∠APB＝∠ACB＝50°， ∴∠BPD＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 9．（2023秋•顺平县期中）如图，已知O为线段PN，MQ的中点，PQ＝25m，则M，N两点间的距离为（　　） A．24m B．25m C．26m D．28m 【答案】B 【解答】解：∵O分别是线段MQ和PN的中点， ∴PO＝NO，QO＝MO， 在△PQO和△NMO中， ， ∴△PQO≌△NMO（SAS）， ∴PQ＝NM＝25（m）， 故选：B． 10．（2023秋•湖北期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度a＝10cm，则DE的长为（　　） A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm 【答案】C 【解答】解：由题意得：∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a， ∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a． ∵a＝10cm， ∴7a＝70cm， ∴DE＝70cm． 故选：C． 11．（2023秋•连江县期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，可得△ABC≌△DEC，此时测得DE的长度就是A、B两点间的距离，这里判定△ABC≌△DEC的依据是（　　） A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS 【答案】C 【解答】解：在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE， 故选：C． 二．填空题（共4小题） 12．（2023秋•滑县期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即OF＝OG），如果点O至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm，这时小明离地面的高度是 　90cm　． 【答案】90cm． 【解答】解：由题意可知，OF＝OG，∠FOC＝∠DOG，∠FCO＝∠GDO＝90°， ∴△FCO≌△GDO（AAS）， ∴FC＝DG， ∵小敏从水平位置CD下降40cm，即DG＝40cm， ∴CF＝40cm， 又∵点O至地面的距离是50cm， ∴这时小明离地面的高度是50+40＝90（cm）， 故答案为：90cm． 13．（2023秋•正阳县期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度．如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C、D，使点B、C、D共线且河岸平行，AB、DE分别与河岸垂直且A、C、E三点共线，他们已测得BC＝CD、DE＝40m，河宽AB的长为 　40m　． 【答案】河宽AB的长为40m． 【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， 在△ABC中与△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE， ∵DE＝40m， ∴AB＝40m， 答：河宽AB的长为40m， 故答案为：40m． 14．（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，∠ACB＝50°，则∠AFB＝　100　°． 【答案】100． 【解答】解：在△ABC和△DEB中， ∴△ABC≌△DEB（SSS）， ∴∠ACB＝∠DBE＝50°， ∴∠AFB＝∠ACB+∠DBE＝50°+50°＝100°， 故答案为：100． 15．（2024春•南海区期中）如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为　3＜AC＜17　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD＝5，连接CE． 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE＝AB． 在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE， 即5+5﹣7＜AC＜5+5+7， 3＜AC＜17． 故答案为3＜AC＜17． 三．解答题（共3小题） 16．（2024•南通二模）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE． （1）求证：BC＝EF； （2）若AD＝14，CF＝6，求CD的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）CD的长为4． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵BC∥EF， ∴∠BCA＝∠EFD， ∵AB＝DE， ∴△ABC≌△EDF（AAS）， ∴BC＝EF； （2）解：∵AD＝14，CF＝6， ∴AF+CD＝AD﹣CF＝14﹣6＝8， ∵△ABC≌△EDF， ∴AC＝DF， ∴AC﹣CF＝DF﹣CF， ∴AF＝CD＝4， ∴CD的长为4． 17．（2024•高新区一模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）∵△AEC≌△BED， ∴EC＝ED，∠C＝∠BDE． 在△EDC中， ∵EC＝ED，∠1＝38°， ∴∠C＝∠EDC＝71°， ∴∠BDE＝∠C＝71°． 18．（2023秋•前郭县期末）某建筑测量队为了测量一株居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶墙E的视线EC的夹角为90°，若AB＝CD＝12米，BD＝64米，请计算出该居民楼ED的高度． 【答案】居民楼ED的高度为52米． 【解答】解：∵AB＝CD＝12米，BD＝64米， ∴CD＝BD﹣BC＝52（米）， ∵ABC＝ACE＝CDE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠CAB＝90°， ∴∠CAB＝∠ECD， 在△ACB与△CED中， ， ∴△ACB≌△CED（AAS）， ∴DE＝BC＝52（米）， 答：居民楼ED的高度为52米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$