1.5 角平分线和垂直平分线的性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

1.5 角平分线和垂直平分线的性质 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 【考点4 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【考点5 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【考点6 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【考点7 线段垂直平分线的性质的综合应用】 知识点1 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 【典例1】（2023秋•南宁期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若BC＝5，BD＝3，则点D到AB的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（2024春•惠来县期中）如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD＝6，则P到AB的距离是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】（2024•天山区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（2024春•新郑市期中）如图，在△ABC中，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，若△ABC的周长为12cm，△ABC的面积为18cm2，则ED的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【考点2 角平分线的性质在求面积中的应用】 【典例2】（2023秋•公安县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．12 B．8 C．24 D．11 【变式2-1】（2023秋•保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．15 C．20 D．27 【变式2-2】（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 【变式2-3】（2023秋•绿园区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．25：16 B．5：4 C．16：25 D．4：5 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 【典例3】（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【变式3-1】（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 【变式3-2】（2020春•章丘区期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 【变式3-3】（2023春•宝鸡期中）如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、BC的距离相等，且S△ABH＝S△ACH，点H是（　　） A．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 C．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 D．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 知识点2 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【考点4 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【典例4】（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式4-1】（2024春•五华县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝3，则BC的长 　　． 【变式4-2】（2024春•新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，作边BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若AD＝3，则DE的长为 　 ． 【变式4-3】（2024•中山区一模）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【考点5 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【典例5】（2023秋•浑江区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数． 【变式5-1】（2024•安徽一模）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【变式5-2】（2023秋•安康期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（　　） A．25° B．45° C．50° D．70° 【变式5-3】（2023秋•成都期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式5-4】（2023春•福田区期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若AB＝5，则△CMN的周长为 　5　； （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 【考点6 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【典例6】（2024春•高碑店市月考）如图，政府计划在A，B，C三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点 【变式6-1】（2023秋•阿荣旗期末）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 【考点7 线段垂直平分线的性质的综合应用】 【典例7】（2023秋•天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6． （1）AD与BD的数量关系为　AD＝BD　． （2）求BC的长． （3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长． 【变式7-1】（2024春•吉安期中）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD． （1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【变式7-2】（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 【变式7-3】（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 一．选择题（共10小题） 1．（2024春•市中区校级月考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋•南宁期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若BC＝5，BD＝3，则点D到AB的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024春•文山市月考）如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 4．（2023秋•海口期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝3，△ABC的周长为19，则△ABD的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 5．（2024春•菏泽月考）如图，∠BAC＝120°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 6．（2023秋•嵩县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点 7．（2023秋•肥东县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 8．（2023秋•哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 9．（2023秋•安康期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，AD＝9cm，DE⊥AB，则DE＝（　　） A．9cm B．7cm C．6cm D．5cm 10．（2024•盐城二模）如图，AD∥BC，AP、BP分别平分∠DAB、∠ABC，CD过点P且与AD垂直．若CD＝8，AB＝10，则△ABP的面积为（　　） A．20 B．16 C．40 D．32 二．填空题（共5小题） 11．（2024•凉州区二模）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于 　 　． 12．（2024•惠安县模拟）如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连结AD．若AD＝2，BD＝1，则BC的长为 　 　． 13．（2023秋•浦东新区期末）如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝　 　度． 14．（2024•鹤城区校级一模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 　 　cm． 15．（2024春•郓城县期中）如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于点D，且OD＝2，则△ABC的面积是　 　． 三．解答题（共3小题） 16．（2024春•文山市月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC． （1）求∠A的度数； （2）若CB＝1，求AB的长． 17．（2023秋•公主岭市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．求∠EBC的度数． 18．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）若△APQ的周长为12，求BC的长； （2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 角平分线和垂直平分线的性质 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 【考点4 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【考点5 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【考点6 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【考点7 线段垂直平分线的性质的综合应用】 知识点1 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 【典例1】（2023秋•南宁期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若BC＝5，BD＝3，则点D到AB的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵BC＝5，BD＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2， ∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝2， 即点D到AB的距离是2， 故选：A． 【变式1-1】（2024春•惠来县期中）如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD＝6，则P到AB的距离是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：∵AP是∠BAC的平分线，PD⊥BC于点D， ∴点P到边AB的距离等于PD＝6． 故选：C． 【变式1-2】（2024•天山区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小． 由作图可知：AE平分∠BAC， ∵DC⊥AC，DP⊥AB， ∴DP＝CD＝2， ∴PD的最小值为2， 故选：A． 【变式1-3】（2024春•新郑市期中）如图，在△ABC中，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，若△ABC的周长为12cm，△ABC的面积为18cm2，则ED的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【解答】解：过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G， ∵AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC， ∴EG＝EF＝ED， ∵△ABC的面积＝△EBD的面积+△AEF的面积+△AEB的面积， ∴BC•ED+AC•EF+AB•EG＝18， ∴（BC+AC+AB）•DE＝18， ∵△ABC的周长为12cm， ∴BC+AC+AB＝12， ∴， ∴DE＝3cm． 故选：C． 【考点2 角平分线的性质在求面积中的应用】 【典例2】（2023秋•公安县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．12 B．8 C．24 D．11 【答案】A 【解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图所示： ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC，CD＝3， ∴CD＝DE＝3， ∴ 故选：A． 【变式2-1】（2023秋•保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．15 C．20 D．27 【答案】B 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DH＝DC＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积＝AB•DH×10×3＝15． 故选：B． 【变式2-2】（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC ＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC ＝（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC＝×18＝27（cm2）． 故选：B． 【变式2-3】（2023秋•绿园区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．25：16 B．5：4 C．16：25 D．4：5 【答案】B 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴点D到AB和AC的距离相等， ∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：4， 故选：B． 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 【典例3】（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（　　） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角两两平分线的交点，共三处． 故选：D． 【变式3-1】（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 【答案】B 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 【变式3-2】（2020春•章丘区期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 【答案】C 【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处． 故选：C． 【变式3-3】（2023春•宝鸡期中）如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、BC的距离相等，且S△ABH＝S△ACH，点H是（　　） A．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 C．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 D．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 【答案】B 【解答】解：如图，延长AH，交BC于点E， ∵点H到AB、BC的距离相等， ∴点H在∠ABC的平分线上， ∵S△ABH＝S△ACH，S△BHE＝S△CHE， ∴S△ABE＝S△ACE， ∴AE是BC边上的中线， ∴点H是∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点， 故选：B． 知识点2 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【考点4 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【典例4】（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解答】解：∵△ABC周长为16， ∴AB+BC+AC＝16， ∵AC＝6， ∴AB+BC＝10， ∵EF垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵AB＝AE，AD⊥BC， ∴BD＝DE， ∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5， ∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5， 故选：A． 【变式4-1】（2024春•五华县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝3，则BC的长 　8　． 【答案】8． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴BC＝EB+EC＝EA+EC＝5+3＝8， 故答案为：8． 【变式4-2】（2024春•新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，作边BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若AD＝3，则DE的长为 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠C＝60°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DBC＝∠C＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， ∴BD平分∠ABC， ∵DA⊥AB，DE⊥BC， ∴DA＝DE＝3， 故答案为：3． 【变式4-3】（2024•中山区一模）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解答】解：根据作图过程可知： MN是线段BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12． 故选：D． 【考点5 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【典例5】（2023秋•浑江区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数． 【答案】（1）10； （2）28°． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∵△AEG的周长为10， ∴AE+EG+AG＝10， ∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10； （2）∵∠BAC＝104°， ∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°， ∵EA＝EB，GA＝GC， ∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C， ∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°， ∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°． 【变式5-1】（2024•安徽一模）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【答案】A 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝20°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣20°＝160°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝160°， ∴∠BAD+∠CAE＝80°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝80°+20°＝100°． 故选：A． 【变式5-2】（2023秋•安康期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（　　） A．25° B．45° C．50° D．70° 【答案】B 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝25°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣60°﹣25°×2＝70°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF＝CF， ∴∠FCB＝25°， ∴∠ACF＝70°﹣25°＝45°， 故选：B． 【变式5-3】（2023秋•成都期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 【变式5-4】（2023春•福田区期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若AB＝5，则△CMN的周长为 　5　； （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 【答案】（1）5； （2）40°． 【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC， ∴MA＝MC，NB＝NC， ∴△CMN的周长＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB， ∵AB＝5， ∴△CMN的周长＝5， 故答案为：5； （2）∵∠MFN＝70°， ∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣∠MFN＝110°， ∴∠AMD+∠BNE＝∠FMN+∠FNM＝110°， ∴∠A+∠B＝180°﹣（∠AMD+∠BNE）＝70°， ∵MA＝MC，NB＝NC， ∴∠A＝∠MCA，∠B＝∠NCB， ∴∠MCN＝180°﹣（∠A+∠B+∠MCA+∠NCB）＝40°． 【考点6 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【典例6】（2024春•高碑店市月考）如图，政府计划在A，B，C三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点 【答案】A 【解答】解：∵小学到三个村庄的距离相等， ∴小学应该修建在△ABC的三边的垂直平分线的交点， 故选：A． 【变式6-1】（2023秋•阿荣旗期末）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 【答案】C 【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：C． 【考点7 线段垂直平分线的性质的综合应用】 【典例7】（2023秋•天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6． （1）AD与BD的数量关系为　AD＝BD　． （2）求BC的长． （3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长． 【答案】（1）AD＝BD； （2）6； （3）5． 【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， 故答案为：AD＝BD； （2）∵l2是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长为6， ∴AD+DE+AE＝6， ∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6； （3）∵l1是线段AB的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是线段AC的垂直平分线， OA＝OC， ∴OB＝OC， ∵△OBC的周长为16，BC＝6， ∴OB+OC＝10， ∴OA＝OB＝OC＝5． 【变式7-1】（2024春•吉安期中）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD． （1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50°； （2）∠B+∠ACD＝90°，理由见解答过程． 【解答】解：（1）连接BD并延长，交AC于H， ∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB，DC＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC， ∴∠ADH＝∠DAB+∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB+∠DBC＝2∠DBC， ∴∠ADC＝2∠ABC＝80°， ∵DA＝DB，DC＝DB， ∴DA＝DC， ∴∠ACD＝∠CAD＝（180°﹣80°）＝50°； （2）∠B+∠ACD＝90°， 理由如下：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°， ∴2∠ACD+2∠ABC＝180°， ∴∠ACD+∠ABC＝90°． 【变式7-2】（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝BD， CE＝EB， 又∵EC＝4， ∴BE＝4， 又∵△BDC的周长＝18， ∴BD+DC＝10， ∴BD＝5； （2）∵∠ADM＝60°， ∴∠CDN＝60°， 又∵MN垂直平分BC， ∴∠DNC＝90°， ∴∠C＝30°， 又∵∠C＝∠DBC＝30°， ∠ABD＝20°， ∴∠ABC＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°． 【变式7-3】（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝70°， ∴∠C＝∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长14cm，AC＝6cm， ∴AB+BE+EC＝8cm， 即2DE+2EC＝8cm， ∴DE+EC＝DC＝4cm． 一．选择题（共10小题） 1．（2024春•市中区校级月考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：作PE⊥OM于E， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON， ∴PE＝PA＝3， 又∵Q为OM上动点， ∴PQ≥PE， ∴PQ≥3， 则PQ的最小值为3， 故选：B． 2．（2023秋•南宁期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若BC＝5，BD＝3，则点D到AB的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵BC＝5，BD＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2， ∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝2， 即点D到AB的距离是2， 故选：A． 3．（2024春•文山市月考）如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【解答】解：∵ED是AB是垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴△BCE的周长为BC+BE+CE＝BC+AE+EC＝BC+AC＝8+12＝20， 故选：C． 4．（2023秋•海口期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝3，△ABC的周长为19，则△ABD的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE＝3，AD＝DC， ∴AC＝6， ∵△ABC的周长为19， ∴AB+AC+BC＝19， ∴AB+BC＝13， ∴△ABD的周长为AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13， 故选：A． 5．（2024春•菏泽月考）如图，∠BAC＝120°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵DM、EN是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AD＝BD，AE＝EC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， ∵∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝120°， ∴∠BAC＝∠B+∠C+∠DAE＝120°， ∴60°+∠DAE＝120°， ∴∠DAE＝60°． 故选：A． 6．（2023秋•嵩县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点 【答案】C 【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点． 故选：C． 7．（2023秋•肥东县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【解答】解：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝AB•DE+AC•DF＝×4×2+AC×2＝7， 解得AC＝3． 故选：A． 8．（2023秋•哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 9．（2023秋•安康期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，AD＝9cm，DE⊥AB，则DE＝（　　） A．9cm B．7cm C．6cm D．5cm 【答案】C 【解答】解：∵AC＝15cm，AD＝9cm， ∴CD＝AC﹣AD＝6cm， ∵BD平分∠ABC，且∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝6cm． 故选：C． 10．（2024•盐城二模）如图，AD∥BC，AP、BP分别平分∠DAB、∠ABC，CD过点P且与AD垂直．若CD＝8，AB＝10，则△ABP的面积为（　　） A．20 B．16 C．40 D．32 【答案】A 【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，如图所示． ∵AD∥BC，CD⊥AD， ∴CD⊥BC． ∵AP、BP分别平分∠DAB、∠ABC， ∴PE＝PD＝PC． ∵CD＝8， ∴PE＝PD＝CD＝×8＝4， ∴S△ABP＝AB•PE＝×10×4＝20． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．（2024•凉州区二模）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于 　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作PE⊥OA于E， ∵CP∥OB， ∴∠OPC＝∠POD， ∵P是∠AOB平分线上一点， ∴∠POA＝∠POD＝15°， ∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°， ∴PE＝PC＝2， ∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PD＝PE＝2， 故答案为：2． 12．（2024•惠安县模拟）如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连结AD．若AD＝2，BD＝1，则BC的长为 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵DE垂直平分边AC，AD＝2， ∴AD＝CD＝2， ∵BD＝1， ∴BC＝BD+CD＝3． 故答案为：3． 13．（2023秋•浦东新区期末）如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝　40　度． 【答案】40． 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， 同理可得：∠PAC＝∠C， ∴∠DAB+∠PAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAF＝110°﹣70°＝40°， 故答案为：40． 14．（2024•鹤城区校级一模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 　26　cm． 【答案】26． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴BD＝DA，AB＝2AE＝10（cm） ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝AB+（AD+AC+CD）＝10+16＝26（cm）， 故答案为：26． 15．（2024春•郓城县期中）如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于点D，且OD＝2，则△ABC的面积是　12　． 【答案】12． 【解答】解：作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，连接AO，如图所示， ∵点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D，且OD＝2， ∴OD＝OE＝2，OD＝OF＝2， ∵AB+BC+AC＝12，S△AOB+S△BOC+S△AOC＝， ∴S△AOB+S△BOC+S△AOC＝＝＝AB+BC+AC＝12， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴S△ABC＝12， 故答案为：12． 三．解答题（共3小题） 16．（2024春•文山市月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC． （1）求∠A的度数； （2）若CB＝1，求AB的长． 【答案】（1）30°； （2）2． 【解答】解：（1）∵DE的垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠EBA＝∠A． 又∵BE平分∠ABC， ∴∠EBA＝∠CBE， ∵∠C＝90°， 又∵∠CBE+∠EBA+∠A＝90°， ∴∠A＝30°． （2）∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC， ∴BC＝1， ∴AB＝2． 17．（2023秋•公主岭市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．求∠EBC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝36°， ∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝36°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝54°﹣36°＝18°． 18．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）若△APQ的周长为12，求BC的长； （2）∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ， ∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC， ∵△APQ的周长为12， ∴BC＝12； （2）∵AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ， ∵∠BAC＝105°， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣105°＝75°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝105°﹣75°＝30°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$