1.1 认识三角形（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

1.1 认识三角形 【考点1三角形的概念】 【考点2 三角形的分类】 【考点3 三角形的判断】 【考点4 三角形的三边关系】 【考点5 三角形的稳定性】 【考点6 三角形的高】 【考点7 利用三角形的中线巧算线段和周长】 【考点8 利用三角形的中线巧算面积】 【考点9三角形的内角和定理】 【考点10 三角形外角性质】 考点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【考点1三角形的概念】 【典例1】△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1-1】根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（　　） A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30° D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30° 【变式1-2】下列图形中，三角形是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示．按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有 　　个三角形． 考点2 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【考点2 三角形的分类】 【典例2】如图是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（　　） A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形 C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形 【变式2-1】三角形按角分类可以分为（　　） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【解答】解：三角形按角分类可以分为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 故选：A． 【变式2-2】用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【考点3 三角形的判断】 【典例3】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式3-1】下列几何图形是钝角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 考点3 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【考点4 三角形的三边关系】 【典例4】若三角形两边长分别为7cm和10cm，则第三边长可能为（　　） A．2cm B．10cm C．17cm D．20cm 【变式4-1】以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6 【变式4-2】如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝20米；OB＝15米，A、B间的距离不可能是（　　） A．36米 B．30米 C．25米 D．15米 【变式4-3】已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 考点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 【考点5 三角形的稳定性】 【典例5】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【变式5-1】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（　　） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【变式5-2】空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【变式5-3】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 考点5 三角形的重要线段 【考点6 三角形的高】 【典例6】如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【考点7 利用三角形的中线巧算线段和周长】 【典例7】如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【变式7-1】如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式7-2】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【变式7-3】如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．14 B．1 C．2 D．7 【考点8 利用三角形的中线巧算面积】 【典例8】如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 【变式8-1】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　　cm2． 【变式8-2】如图，BD是△ABC的中线，G是BD上的一点，且BG＝2GD，连接AG，若△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积是 　　． 【变式8-3】如图，点G为△ABC三边的重心，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　　． 考点6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【考点1三三角形的内角和定理】 【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【变式1-1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（　　） A．60° B．64° C．74° D．80° 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．70° 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　　． 189 考点7三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【考点4 三角形外角性质】 【典例4】如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式4-1】将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 【变式4-2】在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠α的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【变式4-3】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 一．选择题（共9小题） 1．（2024春•道里区校级月考）下列长度（单位：厘米）的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，3，7 B．5，7，12 C．7，8，14 D．4，8，13 2．（2023秋•黄渤海新区期末）如图，线段AD把△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是（　　） A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上都不对 3．（2024•乐山模拟）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A＝60°，∠E＝45°，若AB∥CF，则∠CBD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．（2024春•江宁区校级月考）如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为20，则△ABC的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 5．（2024•苍梧县一模）三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的，请问∠EAB的角度为（　　） A．50° B．60° C．75° D．85° 6．（2024春•朝阳区校级期中）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 7．（2024•石门县模拟）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 8．（2024春•深圳期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 9．（2024春•淮安区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 二．填空题（共4小题） 10．（2024•武威二模）如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝　 　度． 11．（2024春•朝阳区校级期中）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°．为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD＝150°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则图中∠CDF应调整为 　 　度． 12．（2024春•靖江市月考）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝50°，则∠BOC＝　 　． 13．（2024春•靖江市月考）已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝　 　． 三．解答题（共3小题） 14．（2024春•沙坪坝区期中）如图，点D在△ABC的边BA延长线上，点E在BC边上，连结DE交AC于点F，∠C＝∠D． （1）求证：∠CAD＝∠CED； （2）若∠DFC＝117°，∠DFC＝3∠B，求∠BED的度数． 15．（2024春•灞桥区校级月考）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． （1）求证：∠3＝∠C； （2）若DG⊥AB，且∠2＝2∠3，求∠DAC的度数． 16．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 认识三角形 【考点1三角形的概念】 【考点2 三角形的分类】 【考点3 三角形的判断】 【考点4 三角形的三边关系】 【考点5 三角形的稳定性】 【考点6 三角形的高】 【考点7 利用三角形的中线巧算线段和周长】 【考点8 利用三角形的中线巧算面积】 【考点9三角形的内角和定理】 【考点10 三角形外角性质】 考点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【考点1三角形的概念】 【典例1】△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180°， 解得x＝30°， ∴∠C＝3x＝90°， ∴此三角形是直角三角形． 故选：B． 【变式1-1】根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（　　） A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30° D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30° 【答案】B 【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC的大小不能确定，故不符合题意； B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm，则利用“ASA”可判断△ABC是唯一的，故符合题意； C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意； D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】下列图形中，三角形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：选项C是三角形， 故选：C． 【变式1-3】在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示．按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有 　20　个三角形． 【答案】20． 【解答】解：1个三角形需要火柴棍3根， 2个三角形需要火柴棍5根， 3个三角形需要火柴棍7根， …， 发现规律：n个三角形需要火柴棍2n+1根， ∴2n+1＝41， 解得：n＝20． 故答案为：20． 考点2 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【考点2 三角形的分类】 【典例2】如图是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（　　） A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形 C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形 【答案】B 【解答】解：A、应该是Q是等边三角形，P是等腰三角形，原说法不正确； B、等边三角形是一种特殊的等腰三角形，所以P是等腰三角形，Q是等边三角形，原说法正确； C、P、Q应该是根据边的不同进行分类，另外直角三角形与锐角三角形是并列关系，原说法不正确； D、P、Q应该是根据边的不同进行分类，钝角三角形与等腰三角形分类标准不同，原说法不正确； 故选：B． 【变式2-1】三角形按角分类可以分为（　　） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【解答】解：三角形按角分类可以分为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 故选：A． 【变式2-2】用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图表示图形之间的关系正确，不符合题意； B、图表示图形之间的关系正确，不符合题意； C、图表示图形之间的关系正确，不符合题意； D、图表示图形之间的关系错误，长方形包含正方形，符合题意； 故选：D． 【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【答案】C 【解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选：C． 【考点3 三角形的判断】 【典例3】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角． 故选：D． 【变式3-1】下列几何图形是钝角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：观察各选项，根据钝角三角形的定义可知，B为钝角三角形； 故选：B． 【变式3-2】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【变式3-3】如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【解答】解：已知一内角为36°的三角形，由于36°＜90°，所以该三角形的另一内角可以为大于等于90°的角，也可以是小于90°的角，则该三角形既可以为钝角三角形、直角三角形也可以为锐角三角形． 故选：D． 考点3 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【考点4 三角形的三边关系】 【典例4】若三角形两边长分别为7cm和10cm，则第三边长可能为（　　） A．2cm B．10cm C．17cm D．20cm 【答案】B 【解答】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系， 得10﹣7＜x＜10+7， 即3＜x＜17， 10cm适合， 故选：B． 【变式4-1】以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6 【答案】D 【解答】解：A、4+2＝6＜7，不能组成三角形； B、3+3＝6，不能组成三角形； C、5+2＝7＜8，不能组成三角形； D、4+5＝9＞6，能组成三角形． 故选：D． 【变式4-2】如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝20米；OB＝15米，A、B间的距离不可能是（　　） A．36米 B．30米 C．25米 D．15米 【答案】A 【解答】解：∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB， ∴20﹣15＜AB＜20+15， 即5米＜AB＜35米， ∴AB不可能等于36米， 故选：A． 【变式4-3】已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【答案】D 【解答】解：设第三边长x， ∴5﹣2＜x＜5+2， ∴3＜x＜7， ∵△ABC的第三边长是偶数， ∴x＝4或6， ∴此三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 故选：D． 考点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 【考点5 三角形的稳定性】 【典例5】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【答案】B 【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故选：B． 【变式5-1】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（　　） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【解答】解：工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性， 故选：D． 【变式5-2】空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故选：A． 【变式5-3】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D 考点5 三角形的重要线段 【考点6 三角形的高】 【典例6】如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 【变式6-1】在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有B符合条件， 故选：B． 【变式6-2】下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 【变式6-3】下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A，C，D中线段BE不能表示△ABC任何边上的高； B中线段BE能表示△ABC的高，且表示AC边上的高． 故选：B． 【考点7 利用三角形的中线巧算线段和周长】 【典例7】如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【答案】B 【解答】解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22， 故选：B． 【变式7-1】如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【解答】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm， ∴AM＝BM， ∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM， ∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm， ∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2， ∴8﹣AC＝2， 解得AC＝6（cm）． 故选：D． 【变式7-2】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【变式7-3】如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．14 B．1 C．2 D．7 【答案】C 【解答】解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD． ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ADC的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD， ∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC＝8﹣6＝2． 故选：C． 【考点8 利用三角形的中线巧算面积】 【典例8】如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 【答案】C 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积是10cm2， ∴△ABD的面积＝△ABC的面积×＝5（cm2）， ∵E是AB的中点， ∴△BDE的面积＝△ABD的面积×＝2.5（cm2）， 故选：C． 【变式8-1】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 【变式8-2】如图，BD是△ABC的中线，G是BD上的一点，且BG＝2GD，连接AG，若△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积是 　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积为6， ∴， ∵BG＝2GD， ∴， ∴， 即图中阴影部分的面积是2． 故答案为：2． 【变式8-3】如图，点G为△ABC三边的重心，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点G为△ABC三边的重心， ∴AD是△ABC的中线，CF是△ABC的中线，AG＝2GD，∴S△ABD＝S△ABC＝6， ∴S△ABG＝2S△CBD＝4， ∴S△BGF＝2， 同理，S△CGE＝2， ∴图中阴影部分的面积是4， 故答案为：4． 考点6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【考点1三三角形的内角和定理】 【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【答案】B 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°， Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°． 故选：B． 【变式1-1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（　　） A．60° B．64° C．74° D．80° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝48°，∠B＝68°， ∴∠C＝180°﹣48°﹣68°＝64°， 故选：B． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（　　） A．30° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABC＝30°， ∵AD⊥BC， ∴△BDF为直角三角形， ∴∠BFD＝90°﹣∠CBE＝60°． 故选：C． 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 故答案为：70°． 376708956；学号：189 考点7三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【考点4 三角形外角性质】 【典例4】如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠CBD＝50°+60°＝110°， ∵BE为△ABC的外角∠CBD的平分线， ∴∠EBD＝， 故选：B． 【变式4-1】将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 【答案】D 【解答】解：如图，由题意可知，∠2＝45°，∠4＝30°， ∵两个三角板中有刻度的边互相垂直， ∴∠3＝90°﹣∠2＝45°， ∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°， 故选：D． 【变式4-2】在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠α的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝30°，∠CBA＝45°， ∴∠α＝∠A+∠CBA＝30°+45°＝75°． 故选：C． 【变式4-3】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【解答】解：由题意可得： ∠ACB＝60°，∠BAC＝45°， ∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC＝60°+45°＝105°， 故选：C． 一．选择题（共9小题） 1．（2024春•道里区校级月考）下列长度（单位：厘米）的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，3，7 B．5，7，12 C．7，8，14 D．4，8，13 【答案】C 【解答】解：A、3+3＝6＜7，不符合题意； B、5+7＝12，不符合题意； C、8﹣7＜14＜8+7，符合题意； D、4+8＝12＜13，不符合题意， 故选：C． 2．（2023秋•黄渤海新区期末）如图，线段AD把△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是（　　） A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：作AE⊥BC， ∴S△ABD＝×BD×AE， S△ACD＝×CD×AE， ∵S△ABD＝S△ACD， 即×BD×AE＝×CD×AE， ∴BD＝CD， 即线段AD是三角形的中线． 故选：B． 3．（2024•乐山模拟）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A＝60°，∠E＝45°，若AB∥CF，则∠CBD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【解答】解：∵AB∥CF， ∴∠BCD＝∠ABC＝30°． ∵∠BDF是△BCD的外角， ∴∠CBD＝∠EDF﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°． 故选：A． 4．（2024春•江宁区校级月考）如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为20，则△ABC的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【解答】解：∵AF是△ADE的中线， ∴S△ADE＝2S△ADF， 同理可得S△ADC＝2S△ADE， 同理可得， ∴， ∵四边形ABDF的面积为20， ∴S△ABD+S△ADF＝20， ∴， ∴S△ABC＝32， 故选：B． 5．（2024•苍梧县一模）三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的，请问∠EAB的角度为（　　） A．50° B．60° C．75° D．85° 【答案】C 【解答】解：由题意得，∠B＝45°，∠AEB＝60°， 在△ABE中，∠B+∠EAB+∠AEB＝180°， ∴∠EAB＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故选：C． 6．（2024春•朝阳区校级期中）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【解答】解：∵点E是AD的中点， ∴S△BDE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC， ∴S△BDE+S△ACE＝S△ABC＝×12＝6， 故选：C． 7．（2024•石门县模拟）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【答案】A 【解答】解：由题意可得：∠2＝60°，∠5＝45°， ∵∠2＝60°， ∴∠3＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠4＝30°， ∴∠1＝∠4+∠5＝30°+45°＝75°． 故选：A． 8．（2024春•深圳期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， 在△DBC中，∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°； 故选：C． 9．（2024春•淮安区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P， ∴∠PBC＝∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝∠ACD， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠PBC＝∠ACB，∠DCP＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∵∠DCP是△BCP的外角，∠BPC＝25°， ∴∠BPC+∠PBC＝∠DCP， 25°+∠ACB＝90°﹣∠ACB， 解得：∠ACB＝65°． 故选：C． 二．填空题（共4小题） 10．（2024•武威二模）如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　180　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，∵∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D， ∴∠1+∠2＝∠A+∠C+∠B+∠D， ∵∠1+∠2+∠E＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 故答案为：180． 11．（2024春•朝阳区校级期中）如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°．为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD＝150°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不变，则图中∠CDF应调整为 　50　度． 【答案】50． 【解答】解：延长DF交CE于M， ∵∠CAB＝50°，∠CBA＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠DCE＝∠ACB＝70°， ∵∠EFD＝∠E+∠EMF，∠EMF＝∠D+∠DCE， ∴∠EFD＝∠E+∠D+∠DCE， ∵∠CEF＝30°．∠EFD＝150°， ∴∠CDF＝50°， ∴∠CDF应调整为50°． 故答案为：50． 12．（2024春•靖江市月考）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝50°，则∠BOC＝　115°　． 【答案】115°． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°； 故答案为：115°． 13．（2024春•靖江市月考）已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝　0　． 【答案】0． 【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长， ∴a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0， ∴|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b| ＝﹣（a﹣c﹣b）﹣（c﹣a+b） ＝﹣a+c+b﹣c+a﹣b ＝0． 故答案为：0． 三．解答题（共3小题） 14．（2024春•沙坪坝区期中）如图，点D在△ABC的边BA延长线上，点E在BC边上，连结DE交AC于点F，∠C＝∠D． （1）求证：∠CAD＝∠CED； （2）若∠DFC＝117°，∠DFC＝3∠B，求∠BED的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）∠BED＝102°． 【解答】（1）证明：∵∠CAD是△ABC的外角， ∴∠CAD＝∠B+∠C； ∵∠CED是△BDE的外角， ∴∠CED＝∠B+∠D． 又∵∠C＝∠D， ∴∠CAD＝∠CED； （2）解：∵∠DFC＝117°，∠DFC＝3∠B， ∴∠AFD＝180°﹣∠DFC＝180°﹣117°＝63°，∠B＝∠DFC＝×117°＝39°． 在△ADF中，∠CAD+∠D+∠AFD＝180°， ∵∠CAD＝∠B+∠C，∠C＝∠D， ∴∠B+∠C+∠C+∠AFD＝180°， 即39°+∠C+∠C+63°＝180°， ∴∠C＝×（180°﹣39°﹣63°）＝39°， ∴∠D＝39°． 在△BED中，∠B＝39°，∠D＝39°， ∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣39°﹣39°＝102°． 15．（2024春•灞桥区校级月考）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2． （1）求证：∠3＝∠C； （2）若DG⊥AB，且∠2＝2∠3，求∠DAC的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）60°． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴AD∥EF， ∴∠2＝∠DAC， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠DAC， ∴AC∥GD， ∴∠3＝∠C． （2）解：∵∠2＝2∠3，∠1＝∠2， ∴∠1＝2∠3， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠1+∠3＝3∠3＝90°， ∴∠3＝30°，∠1＝60°， ∴∠1＝∠DAC＝60°． 16．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数． 【答案】110°． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°， 又∵CF是∠ACB的平分线， ∴， 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AEC＝90°+∠ECD＝90°+20°＝110°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$