专题1.5 角平分线和垂直平分线的性质（7个考点2个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

专题1.5 角平分线和垂直平分线的性质（7个考点2个易错点） 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 【考点4 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【考点5 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【考点6 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【考点7 线段垂直平分线的性质的综合应用】 【易错点1 角平分线的性质】 【易错点2 垂直平分线的性质】 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 1．（2023秋•青铜峡市期末）如图，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥BC垂足为E，PE＝5，则点P到AB的距离是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2023秋•楚雄州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2023秋•苍梧县期末）如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7cm，AC＝3cm，则BE等于（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 4．（2023秋•建湖县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 5．（2023秋•廉江市期末）如图，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝4，则EF等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2023秋•睢阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 7．（2023秋•衡南县期末）如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2 角平分线的性质在求面积中的应用】 8．（2023秋•玉环市期末）如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　　． 9．（2023秋•重庆期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，交AD于点E，AC＝6，DE＝2，则△ACE的面积等于 　　． 10．（2023秋•丰泽区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝4，DE＝2，则S△ACD＝　　． 11．（2023秋•新兴县期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝4cm，AC＝3cm，DE的长为2cm，则△ABC的面积是 　　cm2． 12．（2023秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，点P是线段AD上的任一点（不与A、D重合），PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F，若点D到PE的距离为3，PF＝6，则S△PDF＝　 　． 13．（2023秋•东莞市校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝8，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为 　　． 14．（2023秋•衡阳期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，24，12，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝　 　． 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 15．（2022秋•沧州期末）为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（　　） A．△ABC三条高线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 16．（2023秋•哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【考点4 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 17．（2022秋•河东区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 18．（2023秋•新城区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 19．（2022秋•新宾县期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（　　） A．7 B．10 C．14 D．16 20. （2022秋•费县期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 21．（2023秋•滨城区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【考点5 线段垂直平分线的性质在求角度的应用】 22．（2022秋•下陆区期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 23．（2023秋•南浔区期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠B＝52°，∠C＝30°，则∠EAG的度数为（　　） A．12° B．14° C．16° D．18° 24．（2023秋•牟平区期中）如图所示，D是线段BC，AB的垂直平分线的交点，若∠CBD＝30°，∠BAD＝28°，则∠ACD的大小是（　　） A．32° B．38° C．40° D．60° 25．（2023秋•富县期中）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 【考点6 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 26．（2022秋•阜康市校级期末）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处 27．（2022秋•凉山州期末）某地兴建的幸福家园的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【考点7 线段垂直平分线的性质的综合应用】 28．（2023秋•凉州区校级期末）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？ 29．（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G． （1）若BC＝9，求△AEG的周长． （2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数． 【易错点1 角平分线的性质】 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE＝2，BC＝6，则△BDE的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 3．如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB＝4，AC＝3，那么△ABD与△ADC的面积比是（　　） A．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积　 ． 5．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，P是∠BAC和∠ABC的平分线的交点，则P到AB边的距离为　　． 6．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AD＝5，AB＝6，若△ACD的面积为10，则△ABC的面积为　　． 7．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D点． （1）求证：∠ADE＝∠AED； （2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积． 【易错点2 垂直平分线的性质】 8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为　 ． 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数． 10．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数． （3）设直线DM、EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 角平分线和垂直平分线的性质（7个考点2个易错点） 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 【考点2 角平分线的性质在求角中的应用】 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 【考点4 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【考点5 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【考点6 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【考点7 线段垂直平分线的性质的综合应用】 【易错点1 角平分线的性质】 【易错点2 垂直平分线的性质】 【考点1 角平分线的性质在线段中的应用】 1．（2023秋•青铜峡市期末）如图，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥BC垂足为E，PE＝5，则点P到AB的距离是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解答】解：过P点作PF⊥BA于F点，如图， ∵BP平分∠ABC，PE⊥BC，PF⊥BA， ∴PF＝PE＝5， 即点P到AB的距离为5． 故选：B． 2．（2023秋•楚雄州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵DE＝3， ∴DC＝3， ∵BC＝7， ∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4， 故选：B． 3．（2023秋•苍梧县期末）如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7cm，AC＝3cm，则BE等于（　　） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【解答】解：∵AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴∠ADC＝∠ADE， ∴AE＝AC＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4（cm）． 故选：A． 4．（2023秋•建湖县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【解答】解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC， ∴PA＝PE＝PD， ∵AD＝10， ∴PE＝5，即点P到BC的距离是5， 故选：D． 5．（2023秋•廉江市期末）如图，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝4，则EF等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：过E点作ED⊥OA于D点，如图， ∵点E在∠AOB的平分线上，ED⊥OA，EC⊥OB， ∴ED＝EC＝4， 在Rt△DEF中， ∵∠DFE＝30°， ∴EF＝2ED＝2×4＝8． 故选：D． 6．（2023秋•睢阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 【答案】D 【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴AD＝DE， 在Rt△ABD和Rt△EBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）， ∴AB＝BE， ∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3， ∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3， ∴AB+BE＝10， ∴AB＝BE＝5． 故选：D． 7．（2023秋•衡南县期末）如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解： 过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R， ∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P， ∴PQ＝PW，PW＝PR， ∴PR＝PQ， ∵点P到AC的距离为3， ∴PQ＝PR＝3， 则点P到AB的距离为3， 故选：C． 【考点2 角平分线的性质在求面积中的应用】 8．（2023秋•玉环市期末）如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　15　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于点D， ∴OD＝OE＝5， ∴△AOB的面积＝， 故答案为：15． 9．（2023秋•重庆期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，交AD于点E，AC＝6，DE＝2，则△ACE的面积等于 　6　． 【答案】6． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F， ∵AD是BC边上的高， ∴ED⊥BC． ∵CE平分∠ACB，DE＝2， ∴EF＝ED＝2． ∵AC＝6， ∴S△ACE＝AC•EF＝×6×2＝6． 故答案为：6． 10．（2023秋•丰泽区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝4，DE＝2，则S△ACD＝　4　． 【答案】4． 【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，DE＝2， ∴DF＝DE＝2， ∵AC＝4， ∴S△ACD＝＝＝4， 故答案为：4． 11．（2023秋•新兴县期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝4cm，AC＝3cm，DE的长为2cm，则△ABC的面积是 　10　cm2． 【答案】7． 【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝2cm， ∴DF＝DE＝2cm， ∴△ABC面积＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝×4×2+×3×2＝7（cm2）， 故答案为：7． 12．（2023秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，点P是线段AD上的任一点（不与A、D重合），PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F，若点D到PE的距离为3，PF＝6，则S△PDF＝　9　． 【答案】9． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵PE∥AB，PF∥AC， ∴∠EOD＝∠BAD，∠FPD＝∠CAD， ∴∠EPD＝∠FPD， ∵点D到PE、PF的距离相等， 而点D到PE的距离为3， ∴点D到PF的距离为3， ∴S△PDF＝×6×3＝9． 故答案为：9． 13．（2023秋•东莞市校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝8，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为 　12　． 【答案】12． 【解答】解：过D作DE⊥BC于E， ∵∠A＝90°，对角线BD平分∠ABC， ∴DE＝AD＝3， ∵BC＝8， ∴． 故答案为：12． 14．（2023秋•衡阳期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，24，12，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝　5：6：3　． 【答案】5：6：3． 【解答】解：过点P作PD⊥BC于点D，作PE⊥AC于点E，作PF⊥AB于点F， ∵PA，PB，PC是△ABC的三条角平分线， ∴PD＝PE＝PF， ∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为20，24，12， ∴S△PAB：S△PBC：S△PCA ＝：： ＝AB：BC：AC ＝20：24：12 ＝5：6：3． 故答案是：5：6：3． 【考点3 角平分线的性质在实际中的应用】 15．（2022秋•沧州期末）为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（　　） A．△ABC三条高线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 【答案】C 【解答】解：∵度假村到三条公路的距离相等， ∴这个度假村为△ABC的角平分线的交点． 故选：C． 16．（2023秋•哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C 【考点4 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 17．（2022秋•河东区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 【答案】C 【解答】解：∵△DBC的周长＝BC+BD+CD＝35cm（已知） 又∵DE垂直平分AB ∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质） 故BC+AD+CD＝35cm ∵AC＝AD+DC＝20（已知） ∴BC＝35﹣20＝15cm． 故选：C． 18．（2023秋•新城区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴DE⊥AB，AD＝DB， ∴∠DAB＝∠B， ∵AC⊥CD，DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD＝1，∠CAD＝∠DAB＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠CA＝∠DAB＝∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝2， ∴BC＝BD+DC＝2+1＝3， 故选：B． 19．（2022秋•新宾县期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（　　） A．7 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝10， 故选：B． 20．（2022秋•费县期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：连接AD， ∵点E为边AC的中点，DE⊥AC， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠B＝∠ADB， ∴AB＝AD＝5， ∴CD＝AD＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝8， 故选：D． 21．（2023秋•滨城区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】D 【解答】解：∵DM是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵EN是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长8cm， ∴AD+DE+AE＝8cm， ∴BD+DE+EC＝8cm， ∴BC＝8cm， ∴BC的长为8cm； 故选：D． 【考点5 线段垂直平分线的性质在求角度的应用】 22．（2022秋•下陆区期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 23．（2023秋•南浔区期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠B＝52°，∠C＝30°，则∠EAG的度数为（　　） A．12° B．14° C．16° D．18° 【答案】C 【解答】解：∵∠B＝52°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣52°﹣30°＝98°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B＝52°， 同理∠GAC＝∠C＝30°， ∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝82°， ∴∠EAG＝98°﹣82°＝16°，故C正确． 故选：C． 24．（2023秋•牟平区期中）如图所示，D是线段BC，AB的垂直平分线的交点，若∠CBD＝30°，∠BAD＝28°，则∠ACD的大小是（　　） A．32° B．38° C．40° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵D是线段BC，AB的垂直平分线的交点， ∴DA＝DB＝DC， ∴∠BCD＝∠CBD＝30°，∠BAD＝∠ABD＝28°， ∴∠BDC＝120°，∠ADB＝124°， ∴∠ADC＝116°， ∴∠ACD＝（180°﹣116°）＝32°， 故选：A． 25．（2023秋•富县期中）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接OA， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝100°， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝20°， ∴∠OCB＝∠OBC＝10°， 故选：C． 【考点6 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 26．（2022秋•阜康市校级期末）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处 【答案】C 【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 27．（2022秋•凉山州期末）某地兴建的幸福家园的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等， ∴充电桩应该安装在△ABC三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 【考点7 线段垂直平分线的性质的综合应用】 28．（2023秋•凉州区校级期末）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？ 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为20cm， ∴AB+BC+AC＝20cm， ∵AC＝7cm， ∴AB+BC＝13cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴AB+BD＝DE+EC＝DC， ∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm ∴． 29．（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G． （1）若BC＝9，求△AEG的周长． （2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数． 【答案】（1）9； （2）80°． 【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9； （2）∵∠BAC＝130°， ∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°， ∵EA＝EB，GA＝GC， ∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C， ∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°， ∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°． 【易错点1 角平分线的性质】 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE＝2，BC＝6，则△BDE的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝8， 故选：B． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【解答】解：如图，作DH⊥AB于H． ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴CD＝DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵CD＝4， ∴DH＝4，即点D到AB的距离是4． 故选：A． 3．如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB＝4，AC＝3，那么△ABD与△ADC的面积比是（　　） A．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD是它的角平分线， ∴DE＝DF， 而S△ABD：S△ADC＝AB•DE：AC•DF ＝AB：AC ＝4：3． 故选：C． 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积　11　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DF＝DH， 在Rt△FDE和Rt△HDG中， ， ∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL）， 同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL）， 设△EDF的面积为x，由题意得， 48﹣x＝26+x， 解得x＝11， 即△EDF的面积为11， 故答案为：11． 5．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，P是∠BAC和∠ABC的平分线的交点，则P到AB边的距离为　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接PC，作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F， ∵点P是∠BAC，∠APC的角平分线的交点， ∴PD＝PE＝PF． 设PD＝PE＝PF＝r， ∵AB＝5，BC＝3，AC＝4， ∴AC•BC＝AC•r+BC•r+AB•r＝r（AC+BC+AB）， 即×4×3＝r×（4+3+5）， 解得r＝1， ∴点P到AB边的距离为1． 故答案为：1． 6．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AD＝5，AB＝6，若△ACD的面积为10，则△ABC的面积为　12　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， 由题意得，×AD×CF＝10， 解得CF＝4， ∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF＝4， ∴△ABC的面积＝×AB×CE＝12， 故答案为：12． 7．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D点． （1）求证：∠ADE＝∠AED； （2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）△ABE的面积为6． 【解答】（1）证明：∵AD⊥AB， ∴∠DAB＝90°， ∴∠D+∠ABD＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠CEB+∠CBE＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABD， ∴∠D＝∠CEB， ∵∠CEB＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F， ∵BD平分∠ABC，EF⊥AB，EC⊥BC， ∴EC＝EF＝2， ∵AB＝6， ∴△ABE的面积＝AB•EF＝×6×2＝6， ∴△ABE的面积为6． 【易错点2 垂直平分线的性质】 8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为　14　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC，BC＝2BE＝8， ∵△ABC的周长为22， ∴AB+BC+AC＝22， ∴AB+AC＝14， ∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14， 故答案为：14． 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线， ∴∠A＝∠ABD， 又∵∠ABD＝2∠CBD， ∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD， 设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α， 又∵∠C＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， 即α+α+α＝90°， 解得α＝36°， ∴∠A＝36°． 10．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数． （3）设直线DM、EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）△ADE的周长为10； （2）∠DAE的度数为50°； （3）点O在BC的垂直平分线上，理由见解答． 【解答】解：（1）∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∵BC＝10， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE ＝BD+DE+EC ＝BC ＝10， ∴△ADE的周长为10； （2）∵∠BAC＝115°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝65°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝65°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝50°， ∴∠DAE的度数为50°； （3）点O在BC的垂直平分线上， 理由：如图：连接OA，OB，OC， ∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$