期中复习 导学案-2023-2024学年苏科版数学八年级上册

期中复习（1）—全等三角形 【学习目标】 授课日期： 月 日 1、掌握全等三角形的判定、性质。 2、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理，证明简单的全等三角形问题。 【学习重点、难点】全等三角形的性质和条件以及所学知识的综合应用。 【学习过程】 一、知识梳理：全等三角形的定义、判定、性质；直角三角形的判定。（自己复习） 二、基础训练： 1．如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　） A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC （1） （2） （3） （5） （6） 4．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等 5．如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等． 以下给出的条件适合的是（　　） A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD 6．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　） A．40° B．50° C．60° D．75° 7．如图，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC=DB，则下列结论中不正确的是（　　） A．∠A=∠D B．∠ABC=∠DCB C．OB=OD D．OA=OD 8．下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　） A．两组直角边对应相等 B．一组边对应相等C．两组锐角对应相等 D．一组锐角对应相等 9．如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（　　） A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD 10．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 （7） （9） （10） 存 在 问题 三、例题学习 1．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D． （1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 2．在数学实践课上，老师在黑板上画出如图的图形，（其中点B，F，C，E在同一条直线上）．并写出四个条件：①AB=DE，②∠1=∠2．③BF=EC，④∠B=∠E，交流中老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题． ①请你写出所有的真命题； ②选一个给予证明．你选择的题设：　　；结论：　　．（均填写序号） 3.已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：2CD2=AD2+DB2． 4．感知：如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC，且∠DAE=90°，AD=AE，易证△DBA≌△ACE． 探究：如图②，在△DBA和△ACE中，AD=AE，若∠DAE=α（0°＜α＜90°），∠BAC=2α，∠B=∠C=180°﹣α，求证：△DBA≌△ACE． 应用：如图②，在△DBA和△ACE中，AD=AE，若∠DAE=70°，∠BAC=140°，∠B=∠C=110°，则当∠D=　　°时，∠DAC的度数是∠E的3倍． 四、反馈检学 1．如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件是　　． 2．如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，边AC与DB相交于点O，要使△ABC≌△DCB，则需要添加的一个条件是　　．（写出一种情况即可） 3．如图，AB=AC，若要判定△ABD≌△ACD，则需要添加的一个条件是：　　． 4．如图，AB=AC，若利用“边角边”来判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个直接条件是　　． （1） （2） （3） （4） 5．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，证明OD=OE． 6.如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程． 已知：　　． 求证：　　． 证明： 7．如图，点B、E、F、C在同一直线上，点A、D位于BC同侧，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C． （1）求证：OA=OD； （2）连接AE、DF、AD，请直接写出图中的全等三角形． 五、课后作业 1.已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD=BC，BE=AC． （1）求证：CD=CE； （2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明． 2．如图，△ABC、△DEF都是等腰三角形，D、E、F分别在AB、BC、CA上，已知：∠B=∠DEF=90°，AB=BC，DE=EF． （1）写出图中所有与∠BDE相等的角； （2）求证：BD+BE=EC． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF． （1）若AD平分∠BAC，求证：EF=CF． （2）若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明． （3）在（2）的条件下，若∠BAC=45°，AD=6，直接写出C，E两点间的距离． 4．如图所示：∠AFD和∠BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个选项：①AD=CB；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD∥BC，请用上述选项完成填空，使填完的语句成为一个正确的判断，并说明理由． 如果已知　　、　　、　　，那么　　，（从①、②、③、④中选填） 5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F （1）如图1，若∠ACD=60゜，则∠AFB=　　； （2）如图2，若∠ACD=α，则∠AFB=　　（用含α的式子表示）； （3）将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明． 期中复习（2）—轴对称与轴对称图形 【学习目标】 授课日期： 月 日 理解线段、角、等腰三角形的轴对称性，掌握线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质与判定，能运用其解决有关问题。 【学习重点、难点】等腰三角形的轴对称性。 【学习过程】 一、知识梳理： 轴对称与轴对称图形，线段垂直平分线、角平分线、等腰（等边）三角形的性质与判定。 二、基础训练： 1．下列图形中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 2．以下图形中对称轴的数量小于3的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（　　） A． B． C．4 D．5 4．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　） A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD 5．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（　　） A． B． C． D． （3） （4） （5） （6） 6．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　） A．∠A的平分线 B．AC边的中线。C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线 7．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．16或20 8．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65° 9．等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（　　） A．42° B．60° C．36° D．46° 10．已知等腰三角形的一个底角的度数为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　） A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对 三、例题学习 1．求证：等腰三角形的两个底角相等（请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程） 已知： 求证： 证明： 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在BC、AB边的垂直平分线，AD平分∠CAB． （1）写出图中所有相等的线段，并说明相等的理由． （2）试判断∠CAD与∠B的大小关系，并推理说明你的判断结论（可直接引用（1）中所得的结论）． 3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm． （1）求BC的长； （2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE． 26．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长； （2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长． 四、反馈检学 1．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　　． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为　　． 3．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为　　． 4．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是　　． 5．如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为　　． 6．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为　　． 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为　　时，△ACP是等腰三角形． （4） （5） （6） （7） 8．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB=OC； （2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数． 9．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线． 10．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数． 五、课后作业 1．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　） A．115°； B．120°； C．130° ；D．140° 2．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（　　） 3．如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点 4．如图，△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100°，则∠C=　　度． 5．如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AB=3，BC=5，P是折线BAC上动点（不与B，C重合），过P作BC的垂线l交BC于D，连接AD．当△ACD是等腰三角形时，BP的长是　　． 6．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A、B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有　　个． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 7．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE=DC． 8．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处． （1）求证：B′E=BF； （2）若AE=3，AB=4，求BF的长． 9．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）若EF=5，求线段OE的长． 10．在正方形ABCD的外侧作直线AP，过点B作BO⊥AP，垂足为O． （1）在图中画出△ABO关于直线AP对称的△AEO； （2）在（1）的条件下，连结DE． ①当∠PAB=20°时，求∠ADE的度数； ②当∠PAB=α，且0°＜α＜90°（α≠45°）时，直接写出△ADE中 ∠ADE的度数（结果可用含α的代数式表示）． 期中复习（3）—勾股定理 【学习目标】 授课日期： 月 日 掌握勾股定理及其逆定理，利用勾股定理解决生活中的实际问题。 【学习重点、难点】 熟练的运用勾股定理及其逆定理解决有关问题。 【学习过程】 一、知识梳理：勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质。 二、基础训练： 1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 2．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 4．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 5．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（　　） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6 7．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（　　） A．5 B． C．5或 D．不确定 9．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（　　） A．5m B．12m C．13m D．18m 10．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里 （1） （2） （3） （4） （7） （9） （10） 三、例题学习 1．a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状． 2.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长． 3．在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度． 4．作图题：如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长 都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即 小正方形的顶点）上，且长度为5； （2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上， 请画出所有满足条件的点C． 5．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 四、反馈检学 姓名 1．已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为　　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 2．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　． 3．边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为　　． 4．一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是　　． 5．下面的三角形中： ①△ABC中，∠C=∠A﹣∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3 ③△ABC中，a：b：c=13：5：12；④△ABC中，三边长分别为8，15，17 其中是直角三角形的个数有　　个． 6．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P 从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向 点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为　 　cm2． 7．分别在以下网格中画出图形． （1）在网格中画出一个腰长为，面积为3的等腰三角形． （2）在网格中画出一个腰长为的等腰直角三角形． 8．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积． 9．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2， ①求证：∠A=90°． ②若DE=3，BD=4，求AE的长． 10．我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数． （1）请你再写出两组勾股数：（　　、　　、　　），（　　、　　、　　）； （2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明． 五、课后作业 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（　　） A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．不是直角三角形 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25 C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5 3．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 5．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是　　． 6．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是　　． 7．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为　　． 8.如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是　　cm． （4） （7） （8） 9.如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数． 10.如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1． （1）求△ABC的面积；（2）判断△ABC的形状？并说明理由． 11．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．（彩旗完全展平时的尺寸是如图②所示的长方形．单位：cm） 15 学科网（北京）股份有限公司 $$