第04讲 空间向量基本定理（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第04讲 空间向量基本定理 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量基本定理 2 题型02 用基底表示空间向量 4 题型03 空间向量基本定理的应用 8 易错归纳 13 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 23 创新拓展 31 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在________的有序实数组(x，y，z)，使得________________． 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做基向量． 3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量________________，且长度都为________，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 4．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使________________．像这样，把一个空间向量分解为三个______________的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 题型01空间向量基本定理 【解题策略】 　基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【典例分析】 【例1】已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 【变式演练】 【变式1】(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 【变式2】（多选）（21-22高二上·重庆·期末）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A．，，2 B．，， C．，， D．2，， 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？ 题型02 用基底表示空间向量 【解题策略】 用基底表示向量时 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 【典例分析】 【例2】课本例1　如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量，，表示. 【变式演练】 【变式1】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量，，表示和. 【变式2】如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，. 【变式3】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 题型03 空间向量基本定理的应用 【解题策略】 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． (2)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 【典例分析】 【例3】课本例2　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证MN⊥AC1. 【例4】课本例3　如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点． (1)求证：EF∥AC； (2)求CE与AG所成角的余弦值． 【变式演练】 【变式1】在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． 【变式2】　如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值． 【变式3】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 易错点　对基底理解不清致误 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）平行六面体中，所有棱长均为．则的长为（    ） A． B． C． D．5 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 6．（23-24高二下·江苏·单元测试）设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．可以为任意向量 B．对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使 C．若，则 D．可以构成空间的一个基底 三、填空题 7．（23-24高二下·福建·期中）在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则 ． 8．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．    9．（2024高二·全国·专题练习）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 四、解答题 10．（2023高二·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面为矩形，平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点．设，，，试用，，表示，，，.    11．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 4．（23-24高二上·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高二上·河南周口·阶段练习）设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则； B．则，，两两共面，但，，不可能共面； C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使； D．则，，一定能构成空间的一个基底 6．（23-24高二上·广东广州·期中）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 三、填空题 7．（23-24高二上·吉林松原·期中）设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ； 8．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 . 9．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·山西·开学考试）已知是空间的一个基底，且，，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 11．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在平行六面体中，设，，，试用、、表示．    【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，在三棱柱中，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，则 ．    三、解答题 4．（22-23高二上·浙江·期中）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间向量基本定理 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量基本定理 2 题型02 用基底表示空间向量 4 题型03 空间向量基本定理的应用 8 易错归纳 13 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 23 创新拓展 31 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 4．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 题型01空间向量基本定理 【解题策略】 　基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【典例分析】 【例1】已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 【详解】假设，，共面． 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3 ＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一个基底． 【变式演练】 【变式1】(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 【答案】BCD 【详解】如图所示，令a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝， a＋b＋c＝，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面． 【变式2】（多选）（21-22高二上·重庆·期末）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A．，，2 B．，， C．，， D．2，， 【答案】ABD 【分析】直接利用向量的基底和向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论． 【详解】解：对于A：由于向量{，，}构成空间的一个基底，且满足，故A正确； 对于B：由于，故B正确； 对于C：由于，故C错误； 对于D：由于，故D正确． 故选：ABD． 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？ 【答案】，理由见解析. 【分析】利用共面向量的基本定理可判断出、、共面，、、共面，然后利用反证法与共面向量的基本定理可证得、、不共面，即可得出结论. 【详解】解：因为，， 故、、共面，、、共面， 假设、、共面，则存在实数、，使得， 所以，，则、、共面，与题设条件矛盾， 故假设不成立，即、、可构成空间向量的一组基底. 题型02 用基底表示空间向量 【解题策略】 用基底表示向量时 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 【典例分析】 【例2】课本例1　如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，用向量，，表示. 【详解】＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋－ ＝＋ ＝＋＋. 【变式演练】 【变式1】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量，，表示和. 【详解】＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝＋×(＋) ＝＋＋. ＝＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋. 【变式2】如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，. [思路探究]　→ → [解]　连接BO(图略)，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.＝＝＝a. 【变式3】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 【详解】　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1， ＝＋ ＝－＋－ ＝a－b－c. ＝＋＝＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－＝a－c. (2)＝(＋) ＝(－＋) ＝(－c＋a－b－c) ＝a－b－c， 又＝xa＋yb＋zc， ∴x＝，y＝－，z＝－1. 题型03 空间向量基本定理的应用 【解题策略】 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． (2)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 【典例分析】 【例3】课本例2　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证MN⊥AC1. 【详解】证明　设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则 ＝＋＝a－b， ＝＋＋＝a＋b＋c， 所以·＝·(a＋b＋c) ＝a·a＋a·b＋a·c－b·a－b·b－b·c ＝×42＋×42×cos 60°＋×4×5×cos 60°－×42×cos 60°－×42－×4×5×cos 60°＝0. 所以MN⊥AC1. 【例4】课本例3　如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点． (1)求证：EF∥AC； (2)求CE与AG所成角的余弦值． 【详解】(1)证明　设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底． 所以＝－＝i－j＝(i－j)， ＝－＝i－j. 所以＝. 所以EF∥AC. (2)解　因为＝＋＝－j＋k， ＝＋＝－i＋k， 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以CE与AG所成角的余弦值为. 【变式演练】 【变式1】在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． 【详解】(1)证明　设＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底． ∴＝＋＝－k＋(＋) ＝i＋j－k，＝＋＝－i－k， ∴·＝·(－i－k) ＝－|i|2＋|k|2＝0，∴⊥， 即EF⊥B1C. (2)解　∵＝i＋j－k，＝＋＝－k－j， ∴||2＝2＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，即||＝， ||2＝2＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，即||＝， ∴cos〈，〉＝ ＝ ＝＝. 即EF与C1G所成角的余弦值为. 【变式2】　如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值． [思路探究]　→ → →→ [详解]　{，，}可以作为空间的一个基底，且||＝a，||＝a，||＝b， 〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，〈，〉＝120°. 又＝＋－，＝＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝a2＋b2＋a2＋2abcos 120°－0－2abcos 120°＝2a2＋b2， ||2＝||2＋2·＋||2＝2a2， ∴||＝，||＝a. ∴·＝(＋－)·(＋)＝·＋||2＋·＋·－||2－·＝0＋a2＋abcos 120°＋abcos 120°－a2－0＝－ab. ∴|cos〈，〉|＝＝＝. ∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为. 【变式3】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 易错点　对基底理解不清致误 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量. 解析：如图，连接A1M，A1C1，则＝－＝＋－(＋)＝＋(＋)－(＋)＝－(＋)＝－a－b＋c. 【易错警示】 易错原因 纠错心得 本题易错的地方是向量分解的不彻底，可能会得到如下错解：＝－＝＋－(＋)＝c＋－a－b 事实上，仍需用基底表示. 基底可以表示空间内任一向量，用基底表示向量时，最后结果应含基向量. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）平行六面体中，所有棱长均为．则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】， 故 ， 即的长为. 故选：B. 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可. 【详解】连接，如图， 因为是的中点，所以 . 故选：B 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由题意可知不共面，由此分别判断各选项中的向量是否共面，即得答案. 【详解】由于构成空间的一个基底，故不共面， 对于A，与共面，不共面，故，，不共面， 否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误； 对于B，假设，，共面，则存在实数，使得， 即，则，方程组无解， 假设不成立，故，，不共面，B错误； 对于C，，与共面，由于不共面， 故，与不共面，C错误； 对于D，，故，，共面， 故选：D 4．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】空间的基向量必定不共面，即不能互相表出，而判断选项中的三个向量是否共面，只需判断能否找到唯一的实数，使其中一个向量能用另外两个向量线性表出即可. 【详解】因构成空间的一个基底，故不共面， 对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误； 对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误； 对于C项，因，故共面，即C项正确； 对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 【答案】BC 【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；   对于B中，因为，则，即， 又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，由是空间的一组基底，且， 令，可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间基底，所以C正确； 对于D中，若为钝角，则，且与不共线， 由，解得，当时与平行时，由，解得， 当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误. 故选：BC 6．（23-24高二下·江苏·单元测试）设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．可以为任意向量 B．对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使 C．若，则 D．可以构成空间的一个基底 【答案】BD 【分析】根据是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，结合空间向量的定义、基底的定义以及垂直的定义即可判断. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，所以为不共面的非零向量，A不正确； 对于B，由空间向量基本定理知，对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使，B正确； 对于C，，但不一定垂直，C不正确； 对于D，假设共面，则存在唯一实数对，使得， 所以，无解，所以不共面， 所以可以构成空间的一个基底，D正确. 故选：BD. 三、填空题 7．（23-24高二下·福建·期中）在四面体OABC中，是棱OA上靠近的三等分点，分别是的中点，设，若，则 ． 【答案】 【分析】借助空间向量的线性运算及基本定理计算即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 8．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则 ．    【答案】2 【分析】根据数量积的定义求出，再由空间向量线性运算得到，最后根据数量积的运算律及计算即可. 【详解】底面为菱形，，， ， 为棱的中点, ， ，解得. 故答案为：. 9．（2024高二·全国·专题练习）平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题设，，，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值． 【详解】设，，，    设，则，， 则， 由，，， 可得，， ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 10．（2023高二·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面为矩形，平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点．设，，，试用，，表示，，，.    【答案】答案见详解 【分析】结合已知通过图形寻找待求向量与，，的关系，然后利用向量运算求解即可. 【详解】如图，    连接BO，则， ， ， . 11．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据正三棱锥的性质，结合求解即可. 【详解】（1）. （2）因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是正三角形， 则，，， ， 所以， 又因为，所以 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】为的中点， ，， 故选:A. 2．（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底. 【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.    故选：A 3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得. 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故选：A 4．（23-24高二上·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出共面，故不能构成空间的一个基底，D正确，ABC选项向量均不共面，可构成空间的一个基底. 【详解】是空间的一个基底，故不共面， A选项， 设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； C选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； D选项，设， 则，得 ， 故共面， 故不可构成空间的一个基底. 故选：D 二、多选题 5．（22-23高二上·河南周口·阶段练习）设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则； B．则，，两两共面，但，，不可能共面； C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使； D．则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用空间向量基底的定义可判断AB，，根据空间向量基本定理可判断CD. 【详解】由空间向量基底的定义可知，当，时，所成角不一定为，故A错误； 显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故B正确； 根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 在D中，假设向量共面，则，， 化简得， 因为不共面，所以，无解， 所以不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：BCD. 6．（23-24高二上·广东广州·期中）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解. 【详解】由题意得：如下图所示：    对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确； 对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误； 对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确； 对于D项：， 所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（23-24高二上·吉林松原·期中）设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ； 【答案】 【分析】根据空间向量的正交基底直接得解. 【详解】由是空间向量的一个单位正交基底， 则，， 故答案为：，. 8．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得解. 【详解】向量在基底下的坐标是， ， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 9．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据同一基底下的向量表示唯一，即可求解. 【详解】因为在基底下的坐标是，所以， 设在基底下的坐标为， 则， 因此，所以， 即， 即向量在基底下的坐标为． 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·山西·开学考试）已知是空间的一个基底，且，，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)能否作为空间的一个基底?若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不能作为基底，理由见解析 【分析】（1）根据向量的线性(加减)关系判断是否成立，即可证结论； （2）判断是否成立即可. 【详解】（1）由，， 而，则， 所以，，，四点共面； （2）若共面，则，即， 所以，则，可得， 所以，故不能作为基底. 11．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在平行六面体中，设，，，试用、、表示．    【答案】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】设，，， 因为，，， 即， ， ， 所以， 又， 即 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，其中、，利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可得解. 【详解】因为、、为三个不共面的空间向量， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，，解得. 故选：C. 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，在三棱柱中，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可. 【详解】由题意知： ， 又， 所以则. 故选：B. 二、填空题 3．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，则 ．    【答案】2 【分析】据空间向量基本定理把用，，作为基底表示，利用向量数量积运算即可求解. 【详解】在平行六面体中,， 所以， 因为，所以， 又， 所以，， 所以 所以. 故答案为：2. 三、解答题 4．（22-23高二上·浙江·期中）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质，由展开计算即可. 【详解】（1）， ．    （2）， 所以， 所以 ， 所以 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可； （2）由向量垂直的坐标表示求出参数即可； （3）由点在平面上，设，解方程组求出即可. 【详解】（1），设， 因为，而，所以； 故或 （2），，， 由与互相垂直得：， 解得. （3）点在平面上，， ， ， 解得：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$