第04讲 并集与交集（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第04讲 并集与交集 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 并集概念及其应用 3 题型02 交集概念及其应用 4 题型03 根据并集与交集运算求参数的范围 5 易错归纳 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 12 创新拓展 15 1．并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A________属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的________，记作________(读作“________”) 符号语言 A∪B＝____________ 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 2．交集 文字语言 一般地，由所有属于集合A________属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的________，记作________(读作“________”) 符号语言 A∩B＝____________ 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 题型01并集概念及其应用 【解题策略】 求集合并集的两种基本方法 1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； 2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 【典例分析】 【例1】（23-24高一下·云南红河·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5} ，则A∪B＝________. 【变式2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，则= ． 【变式3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    题型02 交集概念及其应用 【解题策略】 1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为： (1)定义法，(2)数形结合法． 2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【典例分析】 【例2】（23-24高一下·云南昆明·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·广西·阶段练习）设集合，，则 ． 【变式2】设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 【变式3】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若集合， ，则集合的真子集个数为 ． 题型03 根据并集与交集运算求参数的范围 【解题策略】 利用集合间的关系求参数范围的一般步骤为 (1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)的问题求解． (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）设集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值为 ． 【变式3】　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 易错点：利用数轴求参数时忽略端点值能否取到 　已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若A∩B＝B，则实数a取值范围为________． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山西大同·期末）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 4．（23-24高一下·云南怒江·阶段练习）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知集合，若，满足条件的集合B有 个． 6．（23-24高一上·北京·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件：①，；②若，则．满足以上条件的集合A的所有可能个数有 个． 四、解答题 7．（21-22高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 8．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知集合，满足的的值为（    ） A．2 B． C．2和 D．1 3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，若，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南开封·阶段练习）已知集合，则满足条件的实数a可以是（    ） A．0 B． C． D．1 三、填空题 6．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，，则 7．（23-24高一上·新疆·阶段练习）集合，，，则 . 四、解答题 8．（23-24高一下·河南·开学考试）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【创新拓展】 1.（23-24高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·上海·期中）设是非空集合，定义：且．已知，则等于 ． 【下节预览】 一、解答题 1.（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 2.（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)求及； (2)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 并集与交集 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 并集概念及其应用 3 题型02 交集概念及其应用 4 题型03 根据并集与交集运算求参数的范围 5 易错归纳 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 12 创新拓展 15 1．并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 2．交集 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 题型01并集概念及其应用 【解题策略】 求集合并集的两种基本方法 1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； 2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 【典例分析】 【例1】（23-24高一下·云南红河·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集的概念以及区间的表示即可得解. 【详解】集合，，则. 故选：D 【变式演练】 【变式1】已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5} ，则A∪B＝________. 【答案】{0,1,2,3,4,5}　 【详解】A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}． 【变式2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，则= ． 【答案】 【分析】依题意可得，再根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 则. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    【答案】 【分析】易知图中阴影的部分表示为集合，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，图中阴影的部分表示为集合， 又， 所以. 故答案为： 题型02 交集概念及其应用 【解题策略】 1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为： (1)定义法，(2)数形结合法． 2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 【典例分析】 【例2】（23-24高一下·云南昆明·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·广西·阶段练习）设集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意，. 故答案为： 【变式2】设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 【答案】D　 【详解】因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a＞－1. 【变式3】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若集合， ，则集合的真子集个数为 ． 【答案】 【分析】首先联立由可得有两解，即有两个元素即可得解. 【详解】由可得， ，所以有两解， 即有两个元素，共有个真子集， 故答案为： 题型03 根据并集与交集运算求参数的范围 【解题策略】 利用集合间的关系求参数范围的一般步骤为 (1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)的问题求解． (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合的并运算,结合集合的元素满足互异性即可求解. 【详解】由于，，，所以或, 故选：B 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）设集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接得到的取值范围. 【详解】因为，且， 所以， 即实数的取值范围是. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出的取值范围，从而得解. 【详解】因为，且， 所以，则，所以的最大值为. 故答案为： 【变式3】　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． [思路点拨]　 [详解]　(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A. (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需解得2≤k≤. 综合(1)(2)可知k≤. 易错点：利用数轴求参数时忽略端点值能否取到 　已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若A∩B＝B，则实数a取值范围为________． 例解析：∵A∩B＝B⇔B⊆A. ∴利用数轴法表示B⊆A. 如右图所示． 由数轴知a＋3<－5或a＋1≥4， 解得a<－8或a≥3. ∴实数a的取值范围为{a|a<－8或a≥3}． 易错原因 纠错心得 在求解过程中易忽略端点值的取舍，误得a＋3≤－5或a＋1≥4，解得a≤－8或a≥3. 正确的做法就是把端点值代入原式，看是否符合题目要求. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集和并集概念及运算即可求解. 【详解】因为，， 所以，. 又因为，，， 所以，，，. 故 故选：C. 2．（23-24高三上·山西大同·期末）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据并集的定义结合集合的互异性可求. 【详解】由，得，解得且且， 故A错； 又， 若2，则，，满足题意.故B对； 若3，则，，不满足题意；故C错 若4，则，，不满足题意；故D错； 故选：B 二、多选题 4．（23-24高一下·云南怒江·阶段练习）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据集合的包含关系对的值分类讨论，利用集合元素的互异性进行排除. 【详解】因为，所以； 若，则，时，，不符合集合元素的互异性，舍去；时，，，满足，故A正确； 若，则，时，，，满足，故B正确；时，，，满足，故C正确； 若，则，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，则或0，时，，，满足； 所以或或， 故选：ABC. 三、填空题 5．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知集合，若，满足条件的集合B有 个． 【答案】4 【分析】利用并集的概念分类讨论即可. 【详解】根据题意可知：若集合B有一个元素，则， 若集合B有两个元素，则或， 若集合B有三个元素，则，综上满足条件的B有4个. 故答案为：4. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件：①，；②若，则．满足以上条件的集合A的所有可能个数有 个． 【答案】7 【分析】利用交集与并集的概念计算讨论即可. 【详解】有题意可知：A中只能有一个或两个元素. 若A中只有一个元素，则， 或者，，； 若A中只有两个元素，则，，； 合计有7个不同情况. 故答案为：7 四、解答题 7．（21-22高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并运算即可求解， （2）根据集合间的关系，分类讨论为空集和非空集两种情况即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）当时，，解得. 当时，或 解得， 综上，或. 所以的取值范围是或. 8．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或1 【分析】（1）根据集合的并集定义求解即可； （2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得. 【详解】（1）当时，，则； （2）因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知集合，满足的的值为（    ） A．2 B． C．2和 D．1 【答案】A 【分析】根据进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】依题意，， 所以或， 解得或或， 当时，，不满足集合元素的互异性. 当时，，不满足集合元素的互异性. 当时，，满足. 所以的值为. 故选：A 3．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入解出，则得到集合. 【详解】由题意得是的解， ，解得， ∴． 故选：C． 二、多选题 4．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用常用数集化简集合，再利用集合的关系与交并补运算即可得解. 【详解】因为， 又，所以，且，故A正确，B错误； ，，故C错误，D正确. 故选：AD. 5．（23-24高一上·河南开封·阶段练习）已知集合，则满足条件的实数a可以是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】分，与两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，此时满足； 当时，，此时，故，若，则或，解得或. 综上，或 故选：ABC 三、填空题 6．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，，则 【答案】 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 7．（23-24高一上·新疆·阶段练习）集合，，，则 . 【答案】 【分析】由并集的定义求解即可. 【详解】因为集合，，， 则. 故答案为：. 四、解答题 8．（23-24高一下·河南·开学考试）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解绝对值不等式，得到，利用并集的概念求出并集； （2）根据交集的结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】（1），故，解得， 由题意可得， 当时，， 则； （2）因为，所以. 当时，，即，符合题意； 当时，解得， 综上，的取值范围是. 【创新拓展】 1.（23-24高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得. 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 2.（23-24高一上·上海·期中）设是非空集合，定义：且．已知，则等于 ． 【答案】 【分析】根据二次根数的定义结合一元二次不等式的解法，可得集合，由题意可得答案. 【详解】集合， 则，. 故答案为：. 【下节预览】 一、解答题 1.（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 2.（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)求及； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】利用交集，并集及补集运算直接求解. 【详解】（1）集合，, 故， （2）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$