第04讲 充分条件与必要条件（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第04讲 充分条件与必要条件 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义； 2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系； 3．培养逻辑思维能力，能够在复杂情况下运用充分条件与必要条件进行推理，解决数学问题. 知识点 1 充分条件与必要条件 1、命题 （1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2、充分条件与必要条件 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件． （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件． （3）充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同． 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系． 3、充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 4、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 5、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 知识点 2 从不同角度理解充分必要性 1、从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点3 充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点一：命题的概念判断 例1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（23-24高一上·广西河池·月考）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣；（2）0是自然数；（3）；（4）；（5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（23-24高一·江苏·专题练习）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二：命题的真假判断 例2. （23-24高一上·甘肃兰州·月考）下列命题中，是真命题的是（    ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【变式2-1】（23-24高一·全国·专题练习）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．两个锐角的和是钝角 D．过直线外一点作直线于点 【变式2-2】（23-24高一·江苏·专题练习）下列语句为真命题的是（    ） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【变式2-3】（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇 B．对角线相等的平行四边形是矩 C．所有实数的绝对值都是正 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 考点三：充分、必要、充要条件的判断 例3. （23-24高一上·河南濮阳·月考）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3-2】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（23-24高一上·广东潮州·期末）“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点四：充分、必要、充要条件的探究 例4. （23-24高一上·江苏宿迁·月考）（多选）使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·福建泉州·月考）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，那么的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高一上·甘肃临夏·月考）“”的一个必要不充分条件是（  ） A． B． C． D． 考点五：由条件关系求参数取值范围 例5. （23-24高一上·广东佛山·月考）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式5-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·广东佛山·月考）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 考点六：充要条件的证明 例6. （23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【变式6-1】（23-24高一上·安徽亳州·月考）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【变式6-2】（22-23高三·全国·对口高考）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 【变式6-3】（23-24高一上·全国·期中）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西延安·月考）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 2．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（23-24高一下·吉林白山·月考）““甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·浙江温州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·全国·月考）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 6．（23-24高一上·天津北辰·月考）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·湖南湘西·月考）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 8．（23-24高一上·陕西西安·期中）使“”成立的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B．或 C． D． 三、填空题 9．（22-23高一上·上海静安·期中）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）. 10．（23-24高一上·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 11．（23-24高一上·广东佛山·月考）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 四、解答题 12．（23-24高一上·江苏南京·月考）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 13．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义； 2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系； 3．培养逻辑思维能力，能够在复杂情况下运用充分条件与必要条件进行推理，解决数学问题. 知识点 1 充分条件与必要条件 1、命题 （1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2、充分条件与必要条件 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件． （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件． （3）充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同． 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系． 3、充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 4、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 5、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 知识点 2 从不同角度理解充分必要性 1、从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点3 充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点一：命题的概念判断 例1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误，故选：B 【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·广西河池·月考）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣；（2）0是自然数；（3）；（4）；（5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题. 其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题.故选：B. 【变式1-3】（23-24高一·江苏·专题练习）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．故选：B 考点二：命题的真假判断 例2. （23-24高一上·甘肃兰州·月考）下列命题中，是真命题的是（    ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【答案】D 【解析】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误； 对于B，，即，即，为有限集，故B错误； 对于C，是无理数，故C错误； 对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确.故选：D 【变式2-1】（23-24高一·全国·专题练习）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．两个锐角的和是钝角 D．过直线外一点作直线于点 【答案】A 【解析】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题； 对选项C，与的和为锐角，所以C选项为假命题． 对选项D，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；故选：A. 【变式2-2】（23-24高一·江苏·专题练习）下列语句为真命题的是（    ） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【答案】C 【解析】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误， 对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误， 对于C，是命题，且是真命题，所以C正确， 对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误，故选：C 【变式2-3】（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇 B．对角线相等的平行四边形是矩 C．所有实数的绝对值都是正 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】ABD 【解析】若，则是奇数，故A是真命题. 对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题. 0的绝对值是0，不是正数，故C是假命题. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D是真命题.故选：ABD. 考点三：充分、必要、充要条件的判断 例3. （23-24高一上·河南濮阳·月考）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形， 所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．故选：B． 【变式3-1】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】因，故由得不出，即p不是q的充分条件； 而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件， 故p是q的必要不充分条件.故选：B. 【变式3-2】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“”等价于“且”， 只知道时无法保证，但且时必然有， 故“”是“”的必要不充分条件.故选：B 【变式3-3】（23-24高一上·广东潮州·期末）“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由名言可知其意为如果不“积小流”，便不能“成江海”， 即“积小流”是“成江海”的必要条件，而非充分条件， 荀子的名言表明“成江海”一定是从“积小流”开始的，而“积小流”未必一定能“成江海”， 故“成江海”是“积小流”的充分不必要条件.故选：A. 考点四：充分、必要、充要条件的探究 例4. （23-24高一上·江苏宿迁·月考）（多选）使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误.故选：AB. 【变式4-1】（23-24高一上·福建泉州·月考）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因此只有B是其必要条件．故选：B． 【变式4-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，那么的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，， 是的一个充分不必要条件，A正确； 对于B，，， 是的一个既不充分也不必要条件，B错误； 对于C，，， 是的一个必要不充分条件，C错误； 对于D，，， 是的一个必要不充分条件，D错误.故选：A. 【变式4-3】（22-23高一上·甘肃临夏·月考）“”的一个必要不充分条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，的一个必要不充分条件即为所求结果的真子集， 根据选项可得是的真子集， 通过，可推出，通过不可推出， 故是的一个必要不充分条件.故选：C. 考点五：由条件关系求参数取值范围 例5. （23-24高一上·广东佛山·月考）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即，解得， 即实数a的取值范围为.故选：B 【变式5-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【解析】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，.故选：ABD. 【变式5-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以，所以.故选：D 【变式5-3】（23-24高一上·广东佛山·月考）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A 考点六：充要条件的证明 例6. （23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【解析】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【变式6-1】（23-24高一上·安徽亳州·月考）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【答案】证明见解析 【解析】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 【变式6-2】（22-23高三·全国·对口高考）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 【答案】答案见解析 【解析】必要性： 设方程与的公共根为， 则，， 两式相加得（舍去）， 将代入， 得，整理得. 所以. 充分性： 当时，， 于是等价于， 所以， 该方程有两根，. 同样等价于， 所以， 该方程亦有两根，. 显然，两方程有公共根. 故方程与有公共根的充要条件是. 【变式6-3】（23-24高一上·全国·期中）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 【答案】证明见解析. 【解析】充分性： 若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立； 必要性： 由于等式对任意实数恒成立， 分别将，，代入可得，解得，必要性成立， 故等式对任意实数恒成立的充要条件是. 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西延安·月考）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【解析】p为假，q为真,故选：B 2．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件.故选：B 3．（23-24高一下·吉林白山·月考）““甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若甲和乙的生肖相同，则甲和乙的生肖不一定都是龙； 若甲和乙的生肖都是龙，则甲和乙的生肖肯定相同， 所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的必要不充分条件.故选：A 4．（23-24高一上·浙江温州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因，故“”是“”的必要不充分条件．故选B． 5．（23-24高一上·全国·月考）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【解析】由题意甲乙丙丁，但乙推不出甲， 因此甲丁，丁推不出甲，甲是丁的充分不必要条件，故选：A． 6．（23-24高一上·天津北辰·月考）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为p是q的充分不必要条件，则，于是， 所以a的取值范围是.故选：C 二、多选题 7．（23-24高一上·湖南湘西·月考）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【解析】对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是命题； 对于B，如果，则，是命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题，故选：ABC. 8．（23-24高一上·陕西西安·期中）使“”成立的一个必要不充分条件可以是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】AC 【解析】因为，， 所以由推得出，由推不出， 即是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件； 同理可得是的必要不充分条件； 所以使“”成立的一个必要不充分条件可以是，.故选：AC 三、填空题 9．（22-23高一上·上海静安·期中）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】真 【解析】由得解得且， 所以命题“如果，那么”是真命题， 10．（23-24高一上·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 【答案】或或或 【解析】一元二次方程有实数根, ，解得， 又，. 11．（23-24高一上·广东佛山·月考）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 四、解答题 12．（23-24高一上·江苏南京·月考）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【解析】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 13．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知集合，或． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）因为，，所以 因为或 所以或或. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以, 所以①若，则，即,满足题意； ②若， 则或， 即或 所以或 综合①②知，实数的取值范围为. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$