1.5.1 全称量词与存在量词-2024-2025高一数学同步精品课件（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.5.1　全称量词与存在量词 授课教师：某某中学数学教研组 某某 2024年某月某日 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温故知新 教学要求 情景导入 新知探究 教材例题 课堂练习 课堂小结 作业布置 课后培优 备选试题 内容索引 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 温故知新 1 逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 充要条件：如果“若p, 则 q” 和它的逆命题“若 q, 则 p” 均是真命题，即既有p⇒q, 又有q⇒p, 就记作p⇔q.此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件 (sufficient and necessary condition), 显然，如果 p 是 q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 温故知新 1 条件关系判定的常用结论： （1）p⇒q，且q⇏p，p是q的充分不必要条件. （2）q⇒p，且p⇏q,p是q的必要不充分条件. （3）p⇒q，且q⇒p，即p⇔q,p是q的充要条件. （4）p⇏q，且q⇏p,p是q的既不充分也不必要条件. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 【课标要求】 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义. 【素养要求】 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，提升数学抽象素养；通过含量词命题的真假判断及应用，提升逻辑推理素养. 教学要求 2 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 情景导入 3 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题.但是，如果在原 语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词.本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 新知探究 4 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数. 语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 新知探究 4 探究一：全称量词与全称量词命题 探究二：存在量词与存在量词命题 一 二 探究问题 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 1 探究一：全称量词与全称量词命题 提出问题 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 (universal quantifier), 并用符号 “∀” 表示. 全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 (universal proposition). 全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 常见的全称量词还有“一切” “每一个” "任给”等. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 2 突破问题 例如，命题“对任意的n ∈Z, 2n+1 是奇数”，“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题.都为真命题. 例如，命题“凸多边形的外角和等于360°”，“对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin ∠A＝cos ∠B.”都是全称量词命题.都为真命题. 你能否例举几个全称量词命题的例子？ 探究一：全称量词与全称量词命题 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 3 升华问题 从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题. 有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来. 探究一：全称量词与全称量词命题 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 4 及时训练 探究一：全称量词与全称量词命题 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 1 探究二：存在量词与存在量词命题 提出问题 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 提示：容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 1 探究二：存在量词与存在量词命题 提出问题 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantificr), 并用符号“∃”表示. 存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题(existential proposition). “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 2 突破问题 例如，命题“有的平行四边形是菱形”，“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题.都为真命题. 例如，命题“有的速度方向不定”，“有的一次函数图象经过原点”都是存在量词命题.都为真命题. 你能否例举几个存在量词命题的例子？ 探究二：存在量词与存在量词命题 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 3 升华问题 要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假. 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 探究二：存在量词与存在量词命题 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 4 及时训练 探究二：存在量词与存在量词命题 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册人教A版2019） 教材例题 5 如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 教材例题 5 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 教材例题 5 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂练习 6 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂小结 7 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 (universal quantifier), 并用符号 “∀” 表示. 全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 (universal proposition). 全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 常见的全称量词还有“一切” “每一个” "任给”等. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课堂小结 7 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantificr), 并用符号“∃”表示. 存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题(existential proposition). “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 作业布置 8 1.教材第26页1、2. 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课后培优 9 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课后培优 9 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课后培优 9 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 课后培优 9 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 备选试题 10 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 祝你好运！ 2024 Goodluck！ Goodluck！ Goodluck！ 2024-2025高一数学同步精品课件（必修第一册2019人教A版） 例1：（多选）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．负数的绝对值大于0 B．所有的菱形都是平行四边形 C．负数的平方是正数 D． 解析：对于A，负数的绝对值大于0即所有负数的绝对值大于0，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；对于B，所有的菱形都是平行四边形，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；对于C，负数的平方是正数即所有负数的平方是正数，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；对于D，，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题. 故选：ABCD 例2：（多选）下列既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．， B．至少有个，使能同时被和整除 C．， D．每个平行四边形都是中心对称图形 解析：中，当时，满足，所以A是真命题 B中，能同时被和整除，所以B是真命题 C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题 D是全称量词命题，所以不符合题意. 故选：AB． 例1：判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x∈R,|x|+1≥1; (3)对任意一个无理数x,x² 也是无理数. 解析：(1)2是素数，2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. (2)∀x∈R, 总有 |x|≥0, 因而 |x|+1≥1. 所以，全称量词命题 “∀x∈R, |x |+1≥1” 是真命题. (3) 是无理数，但()²=2是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x,x² 也是无理数”是假命题. 例2：判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x, 使 x²+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形， 解析：(1)由于△=2² -4×3=-8<0,因此 一元二次方程x²+2x+3=0 无实根.所以，存在量词命题“有一个实数 x, 使 x²+2x+3=0”是假命题. (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形， (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条 相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱 形”是真命题. 例1（单选）：下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 解析：对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，例如2是素数，但2是偶数，所以A错误；对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确；对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意；对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意；故选：B 解析：“，”即存在实数x，满足其平方大于3，显然并不是任意实数，存在即可. 故选:C 例2（单选）：下列命题与“，”表述意义不一致的是（    ） A．有一个实数x令成立 B．有些实数x令成立 C．任何一个实数x都令成立 D．至少有一个实数x令成立 解析：因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中， 而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误． 故选：B 例3（单选）：设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 例4（多选）：下列命题中错误的有（   ） A．存在整数，使得 B．，一元二次方程无实数根 C． D．能被2整除 解析：对于A，由，得为偶数，而是奇数，显然等式 不成立，A错误； 对于B，对于一切实数，方程中，此方程必有实数根，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，，是正奇数， 当为正偶数时，是正偶数，此时能被2整除，D正确. 故选：ABC 例5（多选）：若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 解析：“”为真命题，则，“”为假命题， 则“，”为真命题.由上可知，集合的元素均为负数， 集合可以是A、B. 故选：AB. 例6（填空）：若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 ． 解析：因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，又当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以，所以， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 例1（单选）：命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 解析：因为命题“”为真命题，则对恒成立， 所以，所以，所以命题“”为真命题的充分必要条件为，所以选项B不符合题意； 对于A选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，所以选项A符合题意； 对于C选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，所以选项C不符合题意； 对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，所以选项D不符合题意. 故选：A. 例2（多选）：使得命题 “”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 解析：由命题“”为真命题等价于在上恒成立，即，因，故有：在上恒成立，设，因，故得：，则，即得：， 依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项. 故选：ACD. 例3（填空）：已知命题p：“不等式有解”为真命题，则的取值范围是 . 解析：由题意得：，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 例1（单选）：下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 解析：A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题； B中，该命题是存在量词命题且是真命题； C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题； D中，该命题是存在量词命题且是假命题. 故选：C. 例2（单选）：命题p：∃m0∈R，使方程x2+m0x+1=0有实数根，则非p形式的命题是（    ） A．∃m0∈R，使得方程x2+m0x+1=0无实根 B．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根 C．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0有实根 D．至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根 解析：由存在量词命题的否定可知，命题的否定为“对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根”. 故选：B. 例3（单选）：下列正确命题的个数为（    ） ①，；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：，，①正确；当时，，②错误； 当时，，③正确；由于，而都是无理数，④错误， 所以正确命题的个数为2. 故选：B 例4（多选）：命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 解析：若命题“，”为真命题，则， 且的真子集，是的真子集，所以，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是或， 故选：CD. 例5（多选）：下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 解析：对于A，命题是全称量词命题，故A错误；对于B，由方程， ，方程无解，所以B是假命题，故B错误；对于C，命题是存在量词命题， 且，使得是有理数，所以C是真命题，故C正确； 对于D，有理数0没有倒数 ，所以D是真命题，故D正确． 故选：CD． 例6（多选）：下列四个命题中是假命题的为（    ） A．使 B．使 C． D． 解析：对于A. 由可得，故不存在，使，A错误， 对于B，由得，故不存在，使，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D,由于，故，D正确， 故选：ABC 例7（填空）：若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 . 解析：命题“”是真命题，则，解得. 故答案为：. 例8（填空）：下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，；④，，使． 解析：①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 例9（填空）：若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是　　． 解析：命题“，使得”是假命题， 则“，使得”是真命题，则，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. $$