精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

2023-2024学年第二学期高一年级5月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知α是第二象限角，则点P（sinα，tanα）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 6 4. 下列说法错误的是（ ） A. 棱台侧棱的延长线必相交于一点 B. 正四棱锥的侧面可以是等边三角形 C. 棱柱的侧面都是平行四边形 D. 矩形旋转一周一定能形成一个圆柱 5. 函数的图象的最小正周期是（    ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且，若的周长为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 若函数在区间上单调递增，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，有两个正确选项的，每选对一个得3分，有三个正确选项的，每选对一个得2分，有选错的得0分） 9. 对于非零向量，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知,则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 11. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则符合条件的有两个 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则直角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ________ 13. 如图所示，由斜二测画法得到一个水平放置的三角形的直观图是直角三角形OAB，，AB=2，那么它的原图形面积为________ 14. 已知E，F是直角外接圆上的两个动点，且，P为的边上的动点，若的最大值为48，则的面积的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，其中，． （1）求，； （2）求与夹角的余弦值． 16. . （1），求的解析式； （2），求的单调区间及最值. 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若， ①求的值： ②求的值. 18. 如图，在中，已知分别为上的点，且. （1）求； （2）求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期高一年级5月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知α是第二象限角，则点P（sinα，tanα）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 由α是第二象限角，可得sinα＞0，tanα＜0，从而可得答案 【详解】解：∵α是第二象限角， ∴sinα＞0，cosα＜0， ∴tanα＜0． ∴点P（sinα，tanα）在第四象限． 故选：D． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据切弦互化法计算即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：B． 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求得答案. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 故选：A. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 棱台侧棱的延长线必相交于一点 B. 正四棱锥的侧面可以是等边三角形 C. 棱柱的侧面都是平行四边形 D. 矩形旋转一周一定能形成一个圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的定义及特征，逐一对各选项检验判断即可． 【详解】对于A，根据棱台的定义，其侧棱的延长线必交于一点，故A说法正确； 对于B，根据棱锥的定义，当正四棱锥的高为底面正方形对角线的一半时，正四棱锥的侧面可以是等边三角形，故B说法正确； 对于C，根据棱柱的定义，棱柱的侧面都是平行四边形，故C说法正确； 对于D，矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误. 故选：D. 5. 函数的图象的最小正周期是（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦型函数的周期公式求答案即可. 【详解】， 所以最小正周期为， 故选：A. 6. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知中函数的部分图象，求出满足条件的值，可得答案． 【详解】由图可得：函数的最大值为2，最小值为，故， ，故，解得， 故. 将代入可得：， 则，解得. ∵，∴， ​​​​​​​∴. ​故选:B. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且，若的周长为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件用正弦定理角化边，再使用周长条件，即可解出. 【详解】在已知条件中用正弦定理将角化边得到. 而的周长为3，故. 所以，得. 故选：A. 8. 若函数在区间上单调递增，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正弦型函数的单调递增区间，再根据是其子区间即可得到的取值范围，即得到的最大值. 【详解】令，，结合得， 取，得． 因为函数在区间上单调递增，所以， 得，故的最大值为． 故选：C． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，有两个正确选项的，每选对一个得3分，有三个正确选项的，每选对一个得2分，有选错的得0分） 9. 对于非零向量，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量垂直数量积表示即可判断A；举特例可验证B选项正误；由向量的数量积公式即可验证C；由向量加减法运算的几何意义即可验证D. 【详解】非零向量数量积为零，两个向量一定垂直，故A正确， 当时，，但与不相等，故B错误； ，只有当，即共线时才等于，故C错误； 由向量加减法运算的几何意义可知，故D错误； 故选：BCD. 10. 已知,则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】因为,根据偶函数的定义判断A;根据最小正周期公式判断B;将代入验证C的正误;求解函数的单调递增区间即可判断D. 【详解】因为,定义域为, ,所以是偶函数,故A正确; 的最小正周期为,故B正确; ,所以是图象的一个对称中心,故C正确; 令, 解得, 即的单调递增区间为,故D错误. 故选:ABC. 11. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则符合条件的有两个 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，使用正弦定理即可证明；对于B，使用余弦定理解出全部的即可证明有两解；对于C，给出一组反例即可否定；对于D，使用和差化积以及积化和差公式即可证明或. 【详解】对于A，由已知有，故，所以，故A正确； 对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即，而该方程有两个解，故B正确； 对于C，若，，，则，但不是等腰三角形，故C错误； 对于D，若，则有. 故，从而. 这表明或，即或，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ________ 【答案】0 【解析】 【分析】由复数运算法则直接计算即可. 【详解】. 故答案为：0. 13. 如图所示，由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是直角三角形OAB，，AB=2，那么它的原图形面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用直观图求得，可得原图中，进而可求面积. 【详解】因为直观图是直角三角形OAB，，AB=2， 所以可求得，设原图为，则其为直角三角形， 且在原图形中，， 所以原图形的面积为. 故答案为：. 14. 已知E，F是直角的外接圆上的两个动点，且，P为的边上的动点，若的最大值为48，则的面积的最大值为______． 【答案】25 【解析】 【分析】设直角的外接圆的圆心为，取弦的中点，可求得，结合圆的知识，当三点共线时，最大，进而求得圆的半径，进而求得的面积的最大值. 【详解】设直角外接圆的圆心为，取弦的中点， 由，可得点的轨迹是以为圆心的圆， 则， 因为的最大值为48，所以， 由圆的相关知识可知，当三点共线时，且在三点处时，最大， 在中，，所以圆的半径为, ， 所认的面积的最大值为25. 故答案为：25. 【点睛】本题考查：圆的内接三角形问题，向量的数量积的计算，数形结合法的运用，重要不等式的运用，综合性强. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，其中，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）10， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干中已知条件，用坐标表示与，用坐标法求解即可. （2）设与的夹角为，分别求得与，利用平面向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 解：因，， 则，，， 故， 【小问2详解】 设与的夹角为， 由（1）得，， 则. 16. . （1），求的解析式； （2），求的单调区间及最值. 【答案】（1），其中 （2）单调递增区间为，单调递减区间为，，没有最小值 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换公式化简即可； （2）根据的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意， 又且，，故，且， 所以 ， 所以，其中. 【小问2详解】 由（1）得，其中， 则，所以，则， 令，解得，所以的单调递增区间为； 令，解得，所以的单调递减区间为； 且，没有最小值. 17. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若， ①求的值： ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解； （2）①结合余弦定理可得，结合即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得，将转换为，结合两角和的正弦公式即可得解. 【小问1详解】 因为，利用正弦定理可得： ， 即. 因为，所以，即， 又，可得. 【小问2详解】 ①由余弦定理及已知可得： 即，又因为，所以， 联立或（舍）， ②由正弦定理可知：， 因为，则，故为锐角，， . 18. 如图，在中，已知分别为上的点，且. （1）求； （2）求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是线段的中点 【解析】 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【小问1详解】 依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. 【小问2详解】 因，所以， 所以， 则，即. 【小问3详解】 因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，，进而可得可得结论； （2）①由正弦定理可得，可求，进而可求得；②设，则，，由正弦定理可得，进而可求得 ，可求得其取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理，∴，， 代入，整理得∴； 【小问2详解】 ①中，由正弦定理，得， ∴，∴或（舍），∴， ∵，且，所以三点共线， ∴，故， ∴，∴． ②设，，，则，， 在中，，则， 在中，， 则 ， 因为，故，， 则，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$