第03讲 集合的基本运算（思维导图+5知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第03讲 集合的基本运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解全集、补集的含义，能求出集合的补集； 2．初步理解两个集合的并集与交集的含义，能够求出两个集合的并集和交集； 3．通过解决涉及集合的交集、并集、补集的相关问题，掌握集合的三种语言（自然语言、符号语言和图形语言），并能够运用这些语言解决集合运算的基本问题. 知识点 1 并集 1、并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 知识点 2 交集 1、交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点 3 全集与补集 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则为全集. 图形语言 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号语言 图形语言 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 知识点 4 德摩根律与容斥原理 1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 知识点 5 区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 考点一：并集的概念与运算 例1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，故选：A 【变式1-1】设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，.故选：D. 【变式1-2】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以故选：C. 【变式1-3】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合， 所以.故选：A. 考点二：交集的概念与运算 例2. 若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，则.故选：D. 【变式2-1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，，则.故选：A 【变式2-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据集合交集的定义立得.故选：A. 【变式2-3】已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为或， 所以.故选：A 考点三：补集的概念与运算 例3. 设全集，集合，则=（    ） A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D． 【答案】A 【解析】，，.故选：A. 【变式3-1】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 所以，所以A选项正确，BCD选项错误.故选：A 【变式3-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 又因为，所以，故选：C. 【变式3-3】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】因为，，所以.故选：D. 考点四：由交、并、补运算求参数 例4. 已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为，， 所以，故.故选：A 【变式4-1】设集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以， 即实数的取值范围是.故选：D 【变式4-2】已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，得，解得且且，故A错； 又， 若2，则，，满足题意.故B对； 若3，则，，不满足题意；故C错 若4，则，，不满足题意；故D错；故选：B 【变式4-3】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且，故.故选：D. 【变式4-4】设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 【答案】A 【解析】由全集，，得， 即1，4是方程的两个根，于是，解得， 所以m的值等于4.故选：A 考点五：交、并、补混合运算 例5. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合， 可得，所以.故选：B. 【变式5-1】已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 故，所以.故选：D. 【变式5-2】设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知集合，， 故，故=，故选：A 【变式5-3】设全集 ，集合，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， .故选：B. 考点六：根据集合的混合运算求参数 例6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 因为，所以，所以，故选：A. 【变式6-1】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由集合，，可得或， 因为，则满足.故选：A. 【变式6-2】已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需，解得：， 综上得：，则实数的取值范围为.故选：A 【变式6-3】已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【解析】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或，故选：D． 考点七：Venn图在集合运算的运用 例7. 设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 那么图中的白色部分所表示的集合是.故选：C. 【变式7-1】设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，图中的阴影部分表示的集合为.故选：C 【变式7-2】如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察图形知，阴影部分在集合中，且不在集合， 在中，ABC不可选，也不在中， 所以阴影部分可表示为.故选：D 【变式7-3】（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 选项A，，则，故A正确； 选项B，，则，故B错误； 选项C，，，则，故C错误； 选项D，，， 则，故D正确.故选：AD 考点八：集合运算在实际中的应用 例8. 高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【解析】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人），故选：D. 【变式8-1】为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 【答案】D 【解析】画出Venn图.全集表示全校学生， 分别用集合表示参与“数学建模选修课”和“语文素养选修课”的学生， 则表示两项选修课都参与的学生， 表示两项选修课都没有参与的学生则可用表示，即. 由题意可知，全集元素的个数为317，元素的个数为30， 元素的个数为20， 则阴影部分表示只参与一项活动的学生，设有人， 则， 故只参与一项活动的学生数为,故选：D. 【变式8-2】学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【解析】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 .故选：B. 【变式8-3】建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 【答案】 【解析】由韦恩图可知：． 1．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，， 根据交集的运算可知，.故选：A 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则.故选：A. 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选：C． 4．已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【解析】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以，故选：C. 5．某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】设对两项运动都喜爱的人数为 根据已知作出venn图， 根据venn图可得，，解得.故选：C. 6．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于集合中的元素， 当，时，；当，时，， 所以或或， 故.故选：B． 7．（多选）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意．故选：AC 8．（多选）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对A，，，故，故A错误； 对B，，故，故B正确； 对C，，故，故C正确； 对D，，故，故D正确.故选：BCD 9．已知集合，若，满足条件的集合B有 个． 【答案】4 【解析】根据题意可知：若集合B有一个元素，则， 若集合B有两个元素，则或， 若集合B有三个元素，则，综上满足条件的B有4个. 10．已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】，， 则，解得，故. 11．设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】 【解析】由已知的：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 12．已知集合. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）因为，所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以，所以的取值范围是. 13．已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；；（2） 【解析】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得， 得解得，所以， 故实数的取值范围为 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的基本运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解全集、补集的含义，能求出集合的补集； 2．初步理解两个集合的并集与交集的含义，能够求出两个集合的并集和交集； 3．通过解决涉及集合的交集、并集、补集的相关问题，掌握集合的三种语言（自然语言、符号语言和图形语言），并能够运用这些语言解决集合运算的基本问题. 知识点 1 并集 1、并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 知识点 2 交集 1、交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点 3 全集与补集 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则为全集. 图形语言 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号语言 图形语言 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 知识点 4 德摩根律与容斥原理 1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 知识点 5 区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 考点一：并集的概念与运算 例1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】设集合，则（    ） A． B． C． D． 考点二：交集的概念与运算 例2. 若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 考点三：补集的概念与运算 例3. 设全集，集合，则=（    ） A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D． 【变式3-1】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D． 考点四：由交、并、补运算求参数 例4. 已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式4-1】设集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 考点五：交、并、补混合运算 例5. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设全集 ，集合，，则 （    ） A． B． C． D． 考点六：根据集合的混合运算求参数 例6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-3】已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 考点七：Venn图在集合运算的运用 例7. 设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-3】（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 考点八：集合运算在实际中的应用 例8. 高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【变式8-1】为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 【变式8-2】学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【变式8-3】建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 1．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 5．某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 6．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，若，满足条件的集合B有 个． 10．已知集合，，则 ． 11．设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 12．已知集合. （1）求； （2）若，求的取值范围. 13．已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$