第02讲 集合间的基本关系（思维导图+4知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第02讲 集合间的基本关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解集合之间的包含与相等的含义; 2．能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义; 3．能够进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养; 4．掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系． 知识点 1 子集与真子集 1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 知识点 2 集合相等 1、集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 【注意】 （1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关。如． （2）如果，，则；反之，则且。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可． 2、判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 知识点 3 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 知识点 4 集合间的关系 1、韦恩图表示集合间关系 2、集合间的关系与实数大小的关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 考点一：子集、真子集的确定 例1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【变式1-1】（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为 ． 【变式1-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 考点二：子集与真子集的个数 例2. （23-24高一上·全国·专题练习）集合的非空真子集有（    ）. A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【变式2-1】（23-24高一·安徽黄山·期中）已知集合，则集合A的真子集有 个． 【变式2-2】（23-24高一上·浙江·期中）已知集合满足，这样的集合有（   ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为 . 考点三：判断是否为同一个集合 例3. （23-24高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（22-23高一上·天津·月考）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·月考）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【变式3-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点四：根据集合相等求参数 例4. （23-24高一上·山西太原·月考）若m，，且满足集合，则 ． 【变式4-1】（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 【变式4-2】（22-23高一上·海南海口·月考）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【变式4-3】（23-24高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ． 考点五：空集的概念及性质应用 例5. （23-24高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·全国·期末）下列式子表示正确的是（    ） A． B． C． D． 考点六：集合关系的Venn图表示 例6. （23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·全国·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（22-23高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 考点七：判断两个集合的包含关系 例7. （22-23高一上·江苏宿迁·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【变式7-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点八：根据集合的包含关系求参数 例8. （23-24高二下·上海闵行·月考）已知集合，且，则 ． 【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24高一上·全国·期末）集合的真子集的个数是（    ） A．15 B．8 C．7 D．63 3．（23-24高一上·全国·月考）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·广东汕头·月考）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 5．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·重庆沙坪坝·月考）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 三、填空题 9．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，则集合的一个非空子集为 . 10．（23-24高二上·河北张家口·月考）写出集合的所有真子集 . 11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 四、解答题 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. （1）若，求出实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 13．（23-24高一上·福建泉州·月考）已知集合. （1）写出集合M的子集、真子集; （2）求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; （3）猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解集合之间的包含与相等的含义; 2．能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义; 3．能够进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养; 4．掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系． 知识点 1 子集与真子集 1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 2、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 3、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． 知识点 2 集合相等 1、集合相等的概念 定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 记法与读法 记作，读作“等于” 图示 【注意】 （1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关。如． （2）如果，，则；反之，则且。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可． 2、判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 知识点 3 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 知识点 4 集合间的关系 1、韦恩图表示集合间关系 2、集合间的关系与实数大小的关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 考点一：子集、真子集的确定 例1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【解析】∵， 所以集合的子集有：，，，. 【变式1-1】（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，则集合A的所有非空子集的元素之和为 ． 【答案】36 【解析】集合A的非空子集分别是：，，，，，，． 故所求和为为． 【变式1-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】含有元素0的A的子集有，，，，，，，， 故含有元素0的A的子集个数为8.故选：D. 【变式1-3】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确.故选：C. 考点二：子集与真子集的个数 例2. （23-24高一上·全国·专题练习）集合的非空真子集有（    ）. A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】B 【解析】集合的非空真子集有，，，，，，， ，，，，，，，共14个.故选：B 【变式2-1】（23-24高一·安徽黄山·期中）已知集合，则集合A的真子集有 个． 【答案】15 【解析】集合，所以集合A的真子集个数是. 【变式2-2】（23-24高一上·浙江·期中）已知集合满足，这样的集合有（   ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由得且不全部是的元素， 令，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个，故选：B. 【变式2-3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）集合的子集个数为 . 【答案】 【解析】因为，所以当时，不成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，成立， 当时，不成立， 所以满足题意的为，， 所以集合的子集个数为：. 考点三：判断是否为同一个集合 例3. （23-24高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.故选：B 【变式3-1】（22-23高一上·天津·月考）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【解析】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素， 集合中只有一个元素，为方程，故D错误.故选：A. 【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·月考）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【解析】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同，所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误；故选：C. 【变式3-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误.故选：C 考点四：根据集合相等求参数 例4. （23-24高一上·山西太原·月考）若m，，且满足集合，则 ． 【答案】 【解析】， 故①或②， 由①解得，不满足，舍去， 由②解得，故. 【变式4-1】（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意得， 则，解得. 【变式4-2】（22-23高一上·海南海口·月考）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】0 【解析】因为，且，所以， 则有， 所以，且，得， 所以，. 【变式4-3】（23-24高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ． 【答案】0 【解析】由题意，可得， 根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得， 此时集合，所以. 考点五：空集的概念及性质应用 例5. （23-24高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集.故选：B． 【变式5-1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确；故选：D. 【变式5-2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确；故选：C. 【变式5-3】（23-24高一上·全国·期末）下列式子表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正确； 对于选项B，根据集合的关系知，错误； 对于选项C，根据集合的关系知，错误； 对于选项D，根据元素与集合的关系知，错误.故选：A. 考点六：集合关系的Venn图表示 例6. （23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，显然，且互不包含.故选：A 【变式6-1】（23-24高一上·全国·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，集合没有包含关系故选：A 【变式6-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 所以集合的元素集合也有，即.故选：B 【变式6-3】（22-23高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由图知：，，根据选项可知或．故选：BD. 考点七：判断两个集合的包含关系 例7. （22-23高一上·江苏宿迁·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，故，故选：B 【变式7-1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】B 【解析】由题意，在中，，， ∴，∴⫌，故选：B. 【变式7-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】易知方程无解，所以，所以选项A正确， 因为，所以选项B错误， 因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确， 又空集是任何集合的子集，所以选项D正确，故选：ACD. 【变式7-3】（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合,，，,，．故选：B． 考点八：根据集合的包含关系求参数 例8. （23-24高二下·上海闵行·月考）已知集合，且，则 ． 【答案】2 【解析】∵，且， ∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，∴a=2． 【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故中至多一个元素. 又，且，则或或， 当时，， 当时，， 当时，，∴．故选：D. 【变式8-2】（23-24·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是.故选：B 【变式8-3】（23-24高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 【答案】或 【解析】当，则时，； 当，则时，， 要使，须有，解得， 综上可知，能使成立的a的取值集合为或． 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个.故选：C. 2．（23-24高一上·全国·期末）集合的真子集的个数是（    ） A．15 B．8 C．7 D．63 【答案】C 【解析】由于， ，又，， ，即集合， 该集合的所有真子集为， 该集合的真子集个数为，故选：C. 3．（23-24高一上·全国·月考）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点， 故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 4．（23-24高一上·广东汕头·月考）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【解析】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对.故选：D 5．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又，所以，选项B符合，故选：B. 6．（23-24·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误.故选：B. 二、多选题 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，即有， 所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D．故选：AC. 8．（23-24高一上·重庆沙坪坝·月考）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【解析】具有“幸福关系”的元素组有：三组， 含一组的有，，共3个， 含二组的有，，共3个， 含三组的有共1个. 所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对； 其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误； 其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.故选：BD 三、填空题 9．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，则集合的一个非空子集为 . 【答案】（或或） 【解析】，则集合的一个非空子集为，，. 10．（23-24高二上·河北张家口·月考）写出集合的所有真子集 . 【答案】，，，，，， 【解析】， 其所有真子集有，，，，，，. 11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得. 四、解答题 12．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. （1）若，求出实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故，故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 13．（23-24高一上·福建泉州·月考）已知集合. （1）写出集合M的子集、真子集; （2）求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; （3）猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】（1）；；（2）8个子集，7个真子集，6个非空真子集； （3）个子集，个真子集，个非空真子集. 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 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