第01讲 一元二次方程（3大知识清单7大题型精讲专练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第01讲 一元二次方程 课程标准 学习目标 ①理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程； ②掌握一元二次方程的一般形式． 1. 学习一元二次方程的定义和一般形式； 2. 了解一元二次方程的根的概念． 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 题型01 识别一元二次方程 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．（x+1）（x﹣2）＝3 C． D．x2﹣2y＝1 2．关于x的方程ax2﹣3x+1＝0是一元二次方程，则（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a＝1 3．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①3x2+7＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③（x﹣2）（x+5）＝2x2﹣1； ④3x2﹣5x＝0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝7 B．x2+y＝5 C． D．x2+x＝4 题型02 根据一元二次方程定义求参数的值 1．已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 2．关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．3 3．若是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2 4．已知（m﹣2）x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m可取的值是 　　． 题型03 根据一元二次方程定义求参数的取值范围 1．若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a为任意实数 2．若方程（m+1）x2+x﹣4m＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m＞1 3．若方程（m﹣1）x2+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　 　． 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　． 题型04 一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 2．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0 3．把一元二次方程化成一般形式是 　 　． 4．将一元二次方程（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 题型05 判断一元二次方程的系数 1．方程3x2﹣6x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．﹣6；3；﹣9 B．3；﹣6；﹣9 C．3；﹣6；9 D．﹣3；﹣6；9 2．将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，3 B．3，1 C．2x2，﹣3x D．2，﹣3 3．一元二次方程x2﹣2x＝1的一般形式为 　　，二次项为 　　，一次项系数为 　　，常数项为 　　． 4．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2＝1的常数项为0，则m＝　　． 题型06 通过一个根求参数的值 1．如果x＝2是方程﹣x2+x﹣k＝0的解，那么常数k的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 2．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1+m＝0的两根，则m的值为（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．3或4 3．若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为 　　． 4．若关于x的方程x2﹣4x+k＝0的一个根为，则k的值为 　　． 题型07 整体代入求值 1．已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2024﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2024 B．2023 C．2024 D．2025 3．已知m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+2m2﹣2m+6的值为 　　． 4．已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值． 1．下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2ax2+x+1＝0 B．a2x+4x＝0 C．x2+xy＝0 D．（|a|+2）x2+4x+5＝0 2．下列方程中不是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝x+1 C．7x2+3＝0 D． 3．已知关于x的一元二次方程3x2﹣4x+m＝0的一个根是x＝1，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．3 D．﹣3 4．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2026﹣2a2﹣2a的值是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 7．若方程3x2＝9x+1化为一般形式后的二次项为3x2，则一次项的系数为 　 　． 8．已知是关于x的一元二次方程，则a等于 　 　． 9．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 　． 10．若关于x的方程x2+kx+10＝0（k为常数）有一个实数根为﹣2，则k的值为 　 　． 11．若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 　 　． 12．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　． 13．已知x＝a是方程x2+x﹣2＝0的一个根，求　 　． 14．若a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，则代数式a3+2a2﹣5a的值为 　 　． 15．已知m是方程x2﹣4x+1＝0的根，求代数式的值． 16．关于x的方程为一元二次方程． （1）求m的值． （2）求该一元二次方程的根． 17．关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程5x2﹣8x+3＝0是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于x的一元二次方程7x2﹣bx+c＝0是“和美方程”，求b2﹣6c的最小值． 19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 20．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． （1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为 　 　； （2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值； （3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 课程标准 学习目标 ①理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程； ②掌握一元二次方程的一般形式． 1. 学习一元二次方程的定义和一般形式； 2. 了解一元二次方程的根的概念． 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 题型01 识别一元二次方程 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．（x+1）（x﹣2）＝3 C． D．x2﹣2y＝1 【分析】根据一元二次方程的定义“等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数时2（二次）的方程，叫做一元二次方程”即可得． 【解答】解：A、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； B、（x+1）（x﹣2）＝3，整理得x2﹣x﹣5＝0，选项说法正确，符合题意； C、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； D、x2﹣2y＝1，是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 2．关于x的方程ax2﹣3x+1＝0是一元二次方程，则（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a＝1 【分析】根据一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c都是常数）及其定义，即可求解． 【解答】解：使x的方程ax2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程， 根据一元二次方程的定义可知： 二次项系数不为0， ∴a≠0． 故选：C． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①3x2+7＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③（x﹣2）（x+5）＝2x2﹣1； ④3x2﹣5x＝0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：①3x2+7＝0，是一元二次方程，故本小题正确； ②ax2+bx+c＝0，a≠0时是一元二次方程，故本小题错误； ③（x﹣2）（x+5）＝2x2﹣1，整理后是一元二次方程，故本小题符合题意； ④3x2﹣5x＝0，是一元二次方程，故本小题符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 4．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝7 B．x2+y＝5 C． D．x2+x＝4 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A选项：该方程是关于x的一元一次方程，不符合题意； B选项：该方程中含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，不符合题意； C选项：该方程是分式方程，不符合题意； D选项：该方程符合一元二次方程的定义，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义理解，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 题型02 根据一元二次方程定义求参数的值 1．已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可． 【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程， ∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2， 解得：a＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2．关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A． B． C．或 D．3 【分析】根据一元二次方程的定义，列出有关m的方程和不等式，继而解答即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m2﹣1＝2，， 解得：， 故选：A． 【点评】此题考查的是一元二次方程，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 3．若是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2 【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣2＝2，进一步求解即可． 【解答】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣2＝2， ∴m＝2或m＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 4．已知（m﹣2）x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m可取的值是 　　． 【分析】利用一元二次方程定义可得：|m|＝2且m﹣2≠0，再解出m的值即可． 【解答】解：由题意得：|m|＝2且m﹣2≠0， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 题型03 根据一元二次方程定义求参数的取值范围 1．若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a为任意实数 【分析】根据一元二次方程的定义得出a≠0即可． 【解答】解：∵关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程， ∴a≠0． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能能熟记当a≠0时方程ax2+bx+c＝0是一元二次方程是解此题的关键． 2．若方程（m+1）x2+x﹣4m＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m＞1 【分析】根据一元二次方程的定义得出m+1≠0，再求出m即可． 【解答】解：∵方程（m+1）x2+x﹣4m＝0是关于x的一元二次方程， ∴m+1≠0， ∴m≠﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出m+1≠0是解此题的关键． 3．若方程（m﹣1）x2+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：根据一元二次方程的定义可得：m﹣1≠0， 解得：m≠1， 故答案为：m≠1． 【点评】此题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　． 【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解． 【解答】解：根据题意得，m2﹣1≠0，且2m≥0， ∴m≠±1且m≥0， ∴m≥0且m≠1． 故答案为：m≥0且m≠1． 【点评】本题主要考查根据一元二次方程的定义，二次根式的性质求参数，掌握一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式是解题的关键． 题型04 一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 2．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0 【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可． 【解答】解：（x﹣1）2＝6， x2﹣2x+1﹣6＝0， x2﹣2x﹣5＝0， 即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 3．把一元二次方程化成一般形式是 　 　． 【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），进行计算即可解答． 【解答】解：， x2﹣3+x2﹣4x+4＝2， x2﹣3+x2﹣4x+4﹣2＝0， 2x2﹣4x﹣1＝0， 故答案为：2x2﹣4x﹣1＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．将一元二次方程（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【分析】先把（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0变为一般形式﹣3x2+8x﹣1＝0，然后得出答案即可． 【解答】解：由（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0得﹣3x2+8x﹣1＝0， ∴二次项系数为﹣3，一次项系数为8，常数项为﹣1． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c＝0（a≠0），把式子化为一元二次方程的一般形式是解题关键． 题型05 判断一元二次方程的系数 1．方程3x2﹣6x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．﹣6；3；﹣9 B．3；﹣6；﹣9 C．3；﹣6；9 D．﹣3；﹣6；9 【分析】根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【解答】解：方程3x2﹣6x﹣9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣6，﹣9． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2．将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，3 B．3，1 C．2x2，﹣3x D．2，﹣3 【分析】根据ax2+bx+c＝0（a≠0）的二次项系数和一次项系数分别是a，b，据此即可作答． 【解答】解：∵2x2＝3x﹣1， ∴2x2﹣3x+1＝0， ∴二次项系数和一次项系数分别为2，﹣3， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，解答本题的关键要明确：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 3．一元二次方程x2﹣2x＝1的一般形式为 　　，二次项为 　　，一次项系数为 　　，常数项为 　　． 【分析】根据一元二次方程的一般式为ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是常数且a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a为二次项系数，b为一次项系数，据此可得答案． 【解答】解：一元二次方程x2﹣2x＝1的一般形式为x2﹣2x﹣1＝0， ∴二次项为x2，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1， 故答案为：x2﹣2x﹣1＝0；x2；﹣2；﹣1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式为ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是常数且a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a为二次项系数，b为一次项系数是解题的关键． 4．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2＝1的常数项为0，则m＝　　． 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可确定出m的值． 【解答】解：由已知方程得到：（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0． 根据题意得：m2﹣1＝0， 解得：m＝1或m＝﹣1， 当m＝1时，方程为5x＝0，不合题意， 则m的值为﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 题型06 通过一个根求参数的值 1．如果x＝2是方程﹣x2+x﹣k＝0的解，那么常数k的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】将x＝2代入﹣x2+x﹣k＝0，即可求得常数k的值． 【解答】解：把x＝2代入方程﹣x2+x﹣k＝0，得﹣4+2﹣k＝0， 解得：k＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元一次方程的解法，解决此题的关键是能运用解的定义得出一元一次方程． 2．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1+m＝0的两根，则m的值为（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．3或4 【分析】分两种情况讨论，①当底是3时，②当腰为3时，结合根与系数的关系即可求解． 【解答】解：当3为底边长时， 则a＝b，a+b4， ∴a＝b＝2． ∵2，2，3能围成三角形， ∴4﹣4×2﹣1+m＝0， 解得m＝5； 当3为腰长时，a、b中有一个为3， 则另一个为4﹣3＝1， ∵1，3，3能围成三角形， ∴9﹣4×3﹣1+m＝0或1﹣4×1﹣1+m＝0， 解得m＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质来解答． 3．若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为 　　． 【分析】根据题意可得：把x＝﹣1代入方程（k﹣2）x2+6x+k2﹣k＝0中得：k﹣3﹣6﹣k2﹣k＝0，从而可得k＝±3，然后利用一元二次方程的二次项系数不为0，可得k﹣3≠0，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0中得： k﹣3﹣6+k2﹣k＝0， 解得：k＝±3， ∵k﹣3≠0， ∴k≠2， ∴k＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 4．若关于x的方程x2﹣4x+k＝0的一个根为，则k的值为 　　． 【分析】把x＝2代入一元二次方程得到关于k的方程，然后解关于k的方程即可． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣4x+k＝0得（2）2﹣4（2）+k＝0， 解得k＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 题型07 整体代入求值 1．已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】根据方程的解的定义得出a2﹣2024a+1＝0，然后变形为a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，，代入要求的式子计算即可． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2024a+1＝0， ∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a≠0， ∴， 即， ∴ ＝2024a﹣1﹣2023a ＝a﹣1 ＝2024﹣1 ＝2023， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，准确进行计算是解题的关键． 2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2024﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2024 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】把x＝1代入ax2+bx+1＝0，可得a+b＝﹣1，再代入2024﹣a﹣b，即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1， ∴a+b+1＝0， 即a+b＝﹣1， ∴2024﹣a﹣b ＝2024﹣（a+b） ＝2024﹣（﹣1） ＝2024+1 ＝2025． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立． 3．已知m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+2m2﹣2m+6的值为 　　． 【分析】先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值． 【解答】解：∵m为方程x2+x﹣3＝0的一个根， ∴m2+m﹣3＝0． ∴m2+m＝3． ∴m3+2m2﹣2m+6 ＝m3+m2+m2+m﹣3m+6 ＝m（m2+m）+（m2+m）﹣3m+6 ＝3m+3﹣3m+6 ＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键． 4．已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x＝m入方程即可得到2m2﹣7m的形式，再整体代入2m2﹣7m＝﹣1，即可求解． 【解答】解：根据题意得：2m2﹣7m+1＝0， ∴2m2﹣7m＝﹣1， ∴m（2m﹣7）+5＝2m2﹣7m+5＝﹣1+5＝4． 【点评】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 1．下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2ax2+x+1＝0 B．a2x+4x＝0 C．x2+xy＝0 D．（|a|+2）x2+4x+5＝0 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【解答】解：A．当a＝0时，2ax2+x+1＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．a2x+4x＝0是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意； C．x2+xy＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．（|a|+2）x2+4x+5＝0是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．下列方程中不是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝x+1 C．7x2+3＝0 D． 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，对选项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，符合题意； B、x2＝x+1是一元二次方程，不符合题意； C、7x2+3＝0是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3．已知关于x的一元二次方程3x2﹣4x+m＝0的一个根是x＝1，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得1+t，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得1+t， 解得t， 即方程的另一个根为． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系． 4．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2026﹣2a2﹣2a的值是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【分析】根据题意可得a2+a＝1，将代数式2026﹣2a2﹣2a变形得2026﹣2（a2+a），再整体代入即可求解． 【解答】解：根据题意得，a2+a＝1， ∵2026﹣2a2﹣2a＝2026﹣2（a2+a）， ∴原式＝2026﹣2×1＝2024， 故选：A． 【点评】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的含义是解题的关键． 5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】先将方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2，整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，然后设x﹣2＝m，则am2+bm+2＝0，再根据题意可得x﹣2＝2024，从而进行计算即可解答． 【解答】解：a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2， 整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0， 设x﹣2＝m， ∴am2+bm+2＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， ∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024， ∴x﹣2＝2024， 解得：x＝2026， ∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为2026， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行是进行计算是解题的关键． 6．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【分析】先根据分式的运算法则化简分式，再结合m2﹣3m＝2代入计算即可． 【解答】解： ， ∵m2﹣3m＝2， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，关键是分式运算法则的运用． 7．若方程3x2＝9x+1化为一般形式后的二次项为3x2，则一次项的系数为 　﹣9　． 【分析】将方程转化为一般形式后，即可得出结果． 【解答】解：∵3x2＝9x+1， ∴3x2﹣9x﹣1＝0， ∴一次项的系数为﹣9， 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键． 8．已知是关于x的一元二次方程，则a等于 　±1　． 【分析】根据定义得到a2+1＝2，解方程即可得到答案． 【解答】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴a2+1＝2， 解得a＝±1， 故答案为：±1． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键． 9．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　﹣5　． 【分析】根据题意正确得出一元二次方程的一般形式，进而可得到答案． 【解答】解：∵一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，二次项的系数是2， ∴化成的一般形式为2x2﹣5x+3＝0， ∴一次项系数为﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键． 10．若关于x的方程x2+kx+10＝0（k为常数）有一个实数根为﹣2，则k的值为 　7　． 【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于k的新方程，解新方程即可求得k的知． 【解答】解：∵关于x的方程x2+kx+10＝0（k为常数）有一个实数根为﹣2， ∴（﹣2）2﹣2k+10＝0． 解得k＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 11．若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 　2020　． 【分析】把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0，得出关于m的一元二次方程，再整体代入． 【解答】解：当x＝m时，方程x2+x﹣4＝0为m2+m﹣4＝0， 即m2+m＝4，m2＝4﹣m， 所以，m3﹣5m+2024 ＝m（4﹣m）﹣5m+2024 ＝4m﹣m2﹣5m+2024 ＝﹣（m2+m）+2024 ＝﹣4+2024 ＝2020， 故答案为：2020． 【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想． 12．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　2　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0且|m|＝2，再求出m即可． 【解答】解：∵方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m+2≠0且|m|＝2， 解得：m＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m+2≠0和|m|＝2是解此题的关键． 13．已知x＝a是方程x2+x﹣2＝0的一个根，求　3　． 【分析】根据方程解的定义，利用整体代入的射线解决问题． 【解答】解：∵x＝a是方程x2+x﹣2＝0的一个根， ∴a2+a﹣2＝0， ∴a2+a＝2， ∴a2a（a2+a）＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的射线解决问题． 14．若a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，则代数式a3+2a2﹣5a的值为 　6　． 【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝a+2，再用a表示a3得到a3＝3a+2，然后利用降次的方法计算． 【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根， ∴a2﹣a﹣2＝0， ∴a2＝a+2， ∴a3＝a（a+2）＝a2+2a＝a+2+2a＝3a+2， ∴a3+2a2﹣5a＝3a+2+2（a+2）﹣5a＝3a+2+2a+4﹣5a＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15．已知m是方程x2﹣4x+1＝0的根，求代数式的值． 【分析】先把x＝m代入方程方程x2﹣4x+1＝0得m2﹣4m＝﹣1，然后把所求分式进行化简，在把m2﹣4m＝﹣1 代入求值即可． 【解答】解：把x＝m代入方程方程x2﹣4x+1＝0得： m2﹣4m＝﹣1， ∴ ＝﹣2， ∴代数式的值为﹣2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义和分式的乘除法则． 16．关于x的方程为一元二次方程． （1）求m的值． （2）求该一元二次方程的根． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0且m2﹣2＝2，然后解不等式和方程确定m的值； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且m2﹣2＝2， 解得m＝﹣2， 即m的值为﹣2； （2）一元二次方程为﹣4x2+8x＝0， 解得x1＝0，x2＝2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．也考查了解一元二次方程． 17．关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程， ∴k2﹣1≠0， ∴k≠±1， 所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程； （2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程， ∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0， ∴k＝﹣1， ∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程5x2﹣8x+3＝0是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于x的一元二次方程7x2﹣bx+c＝0是“和美方程”，求b2﹣6c的最小值． 【分析】（1）将x＝1代入方程看左右两边是否相等即可得到答案； （2）将x＝1代入得到字母关系，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案． 【解答】解：（1）该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当x＝1时，方程左边＝5﹣8+3＝0，右边＝0， ∴左边＝右边， ∴x＝1是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）由题意得：7﹣b+c＝0， ∴b＝7+c， ∴b2﹣6c＝（7+c）2﹣6c ＝c2+8c+49 ＝（c+4）2+33， ∵（c+4）2≥0， ∴（c+4）2+33≥33， ∴b2﹣6c的最小值为33． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可； （2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出a＝b＝c是解（2）的关键． 20．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． （1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为 　0或﹣2　； （2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值； （3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝c代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝m+1代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝c代入方程，得到ac+b+1＝0，因此y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根，从而得证结论． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为x＝c， 代入方程得，c2+2c＝0， 解得c＝0或﹣2； 故答案为：0或﹣2； （2）∵关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为x＝m+1， 代入方程得，（m+1）2+2m（m+1）+m+1＝0， 整理得，3m2+5m+2＝0， 解得或﹣1． （3）∵关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根， ∴方程的一个根为x＝c，且c≠0， 代入方程，得ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0， ∵c≠0， ∴ac+b+1＝0， ∴把y＝1代入方程acy2+by+1＝0，得左边＝ac+b+1＝0＝右边， ∴y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根， ∴关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c或m的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$