精品解析：天津市南开中学2023-2024学年高二下学期期中学情调查数学试卷

南开中学2023—2024学年度第二学期高二数学学情调查 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 一质点作直线运动，其位移s（t）（单位：m）与时间t（单位：s）之间满足关系，则该质点在第时瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在 上 是增函数 B. 在 上是减函数 C. 当 时，取极大值 D. 当 时，取极大值 3. 将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种 4. 将一个边长为3cm的正方形铁片的四角截去四个边长均为cm的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积最大为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有最小值，则实数的取值范围为 A B. C. D. 7. 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（ ） A. 13 B. 16 C. 20 D. 25 8. 已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷（共32分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 已知函数在处切线方程为，求_______． 10. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______. 11. 从，等5名学生中随机选3名参加数学、物理、化学三项竞赛，被选中的同学每人仅参加三项竞赛中的一项，且每项竞赛均有人参加，则和至多有一名入选的方法有______种．（请用数字作答） 12. 某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有______种分配花朵的方式．（请用数字作答） 注：各位老师相邻情况如下右图所示． 13. 南开园中有很多地方沉淀着历史的印记，值得同学们在三年的时光里驻足留意．小南、小艾等6位即将毕业的同学在伯苓楼、范孙楼、瑞廷礼堂、翔宇楼4座标志性建筑中各选择一座拍照留念，若每座建筑至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一座建筑拍照，且小南、小艾不在同一座建筑拍照，则不同的拍照方式共有______种，（用数字作答） 14. 已知方程有唯一实数解，则实数的值为______． 三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间、最值． （3）设在上有两个零点，求的范围. 16. 已知函数． （1）求证：； （2）若当时，，求取值范围． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若函数的导函数有两个不同的零点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南开中学2023—2024学年度第二学期高二数学学情调查 Ⅰ卷（共32分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 一质点作直线运动，其位移s（t）（单位：m）与时间t（单位：s）之间满足关系，则该质点在第时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的物理意义求解即可. 【详解】由导数的物理意义可得该质点在第时的瞬时速度即函数在时的导数值， 因为 所以， 所以， 所以质点在第3秒时的瞬时速度为． 故选：A． 2. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在 上 是增函数 B. 在 上是减函数 C. 当 时，取极大值 D. 当 时，取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】观察导函数 的图象，根据函数的单调性与导数之间的关系，判断函数单调性，继而判断函数的极值点，即可得答案. 【详解】观察的图象可知， 当时，导函数的图象先负后正，故函数先递减，后递增，故A错误； 当 时，导函数先正后负，函数先增后减，故B错误 当 时，函数递增，时 ，函数单调减， 故得到函数在处取得极大值，C正确； 当 时，函数递减，时 ，函数单调增， 故得到函数在处取得极大=效值，故D错误 故选：C 3. 将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种 【答案】C 【解析】 【分析】求出A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列的排列个数，然后确定A，B在C同侧的情况所占的比例，即可求得答案. 【详解】将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，共有, 其中的顺序有，共6种， A，B在C同侧的情况有共4种， 即在A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列中， A，B在C同侧的情况占比为， 则将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（种）， 故选：C 4. 将一个边长为3cm的正方形铁片的四角截去四个边长均为cm的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为，即可求出的取值范围，则无盖方盒的容积为，，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值. 【详解】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为， 则，即， 所以无盖方盒的容积为，， 则， 令，解得或； 令，解得． 函数的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值即最大值，所以， 即该方盒容积最大. 故选：B 5. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，构造函数，判断其单调性，将化为，根据函数单调性即可求得答案. 【详解】令，，则， 故在上单调递减，结合，得， 由，得，即，则， 即的解集是， 故选：A 6. 若函数有最小值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数的取值范围. 【详解】作出的图象： 当时，， 当时，在上在 上 则在上单调递减，在 上单调递增，又 ∴， 函数有最小值，则， 即， 故选B 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合函数最值的有界性以及利用数形结合是解决本题的关键． 7. 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（ ） A. 13 B. 16 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定十位、千位数字，再分类求解作答. 【详解】依题意，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的十位、千位数字分别为5与4或5与3， 当十位、千位数字为5与4时，排十位、千位数字有种，排另三个数位有种，共有种， 当十位、千位数字为5与3时，则4与5必相邻，且4只能为最高位或个位，即4与5可视为一个整体， 1，2，3视为一个整体，且3在1与2的中间，因此不同排法有种， 所以构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为. 故选：B 8. 已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将存在唯一的整数，使得，即，转化为在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，利用导数判断函数单调性，作出其大致图象，数形结合，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意， 令 ， 因为存在唯一的整数使得，即， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值也是最小值 ， 作出其大致图象如图： 是斜率为a，且过定点的直线， 当时，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式，不符合题意， 故，又，， 此时需满足在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方， 则需满足，解得， 则实数a的取值范围是 ， 故选：C． 【点睛】方法点睛：（1）转化思想：将存在唯一的整数，使得即转化为在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方；（2）数形结合思想，利用导数判断函数性质，作出图象，数形结合，解决问题. Ⅱ卷（共32分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 已知函数在处的切线方程为，求_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解，根据切点在曲线也在直线上求解． 【详解】因为函数在处的切线斜率为，又在处的切线方程为， 所以，因为函数在处的切点为，且切点也在切线上， 所以． . 故答案为：5 10. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可. 【详解】， 因为函数存在单调递减区间， 所以存在，使得小于零， 所以导函数的判别式，解得或， 所以实数的取值范围为是， 故答案为：. 11. 从，等5名学生中随机选3名参加数学、物理、化学三项竞赛，被选中的同学每人仅参加三项竞赛中的一项，且每项竞赛均有人参加，则和至多有一名入选的方法有______种．（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】分和只有一名入选、和都没入选两种情况讨论，先选人，再排列，最后根据分类加法计数原理计算可得. 【详解】当和只有一名入选时，则入选的方法种； 当和都没入选时，则入选的方法种， 即和至多有一名入选的方法有种． 故答案为：． 12. 某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有______种分配花朵的方式．（请用数字作答） 注：各位老师相邻情况如下右图所示． 【答案】 【解析】 【分析】先分配、再分配、最后分配和，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先在7种颜色花朵中选1种给教师，有7种选法； 然后在剩下的6种颜色花朵中选1种给教师，有6种选法； 最后在剩下的5种颜色花朵中选2朵（可以相同）给教师和，有种选法， 由分步乘法计数原理可得，共有种分配花朵的方式． 故答案为：． 13. 南开园中有很多地方沉淀着历史的印记，值得同学们在三年的时光里驻足留意．小南、小艾等6位即将毕业的同学在伯苓楼、范孙楼、瑞廷礼堂、翔宇楼4座标志性建筑中各选择一座拍照留念，若每座建筑至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一座建筑拍照，且小南、小艾不在同一座建筑拍照，则不同的拍照方式共有______种，（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6人分为4组，要求小南、小艾不在同一组，②将四组安排在4座标志性建筑中拍照，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将6人分为4组，要求小南、小艾不在同一组， 若分为3、1、1、1的四组，有种分组方法， 若分为2、2、1、1的四组，有种分组方法， 则有种分组方法； ②将四组安排在4座标志性建筑中拍照，有种情况， 故有种排法． 故答案为：． 14. 已知方程有唯一实数解，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程变形为，设，将问题转化为方程有唯一解，即有唯一解，设，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案． 【详解】由题意知：有唯一解， 又、，设， 即， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增； 所以， 故方程有唯一解，即有唯一解，即有唯一解， 设，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，当时，，故只需满足， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故，故成立． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将方程转化为，从而将问题转化为有唯一解. 三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； （2）求函数在上的单调区间、最值． （3）设在上有两个零点，求的范围. 【答案】（1）； （2）单调增区间为，单调减区间为；最大值为，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）由求出增区间，由求出减区间，再根据单调性求出最值即可； （3）根据函数的性质结合条件即可求出的范围. 【小问1详解】 由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减. 所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为. 所以，又，， 所以. 【小问3详解】 在上有两个零点，即有两个不等根， 由（2）知. 16. 已知函数． （1）求证：； （2）若当时，，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到恒成立，即恒成立，从而得证； （2）令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别得到函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 令，， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立， 即恒成立， 又，所以恒成立，即. 【小问2详解】 当时，等价于， 令，， 因为在上恒成立，则在上恒成立， 因， 当时，，函数在上单调递减，，不符合题意； 当时， 则当时，，函数单调递减，，不符合题意； 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，，符合题意． 综上所述，的取值范围为． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若函数的导函数有两个不同的零点，，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，依题意在上有两个不等实根，令，只需，即可求出的取值范围，结合韦达定理可得，则需证，，令，利用导数说明函数的单调性，求出，即可证明. 【小问1详解】 由已知函数的定义域为，又 当时，，函数在上是增函数； 当时，解得或（舍去）， 所以当时，函数在上是增函数； 当时，函数在上是减函数； 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由已知，即， 可得， 函数有两个极值点，即在上有两个不等实根， 令，只需，故， 又，， 所以 ， 要证， 即证，， 只需证，， 令， 则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，又， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以时，单调递增， 时，单调递减， 则， 令，，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即得证. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$