专题19 解答中档题型：概率与统计综合题-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题19 解答中档题型：概率与统计综合题 1．（22-23高一下·江苏南京·期末）某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．    (1)求x； (2)求抽取的x人的年龄的中位数结果保留整数； (3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20百分位数． 2．（22-23高一下·江苏南通·期末）某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在为三类树，底部周长在为二类树，底部周长大于或等于为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长（单位：），数据均落在之间，按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该片经济林中二类树约占多少； (2)将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长． 3．（22-23高一下·江苏常州·期末）为丰富学生的学习生活，某高中开设了“校本课程”．为了解学生对“校本课程”工作的认可程度，学校随机调查了600名学生．根据这600名学生对“校本课程”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．      (1)求直方图中的值和第60百分位数； (2)为了解部分学生给“校本课程”工作评分较低的原因，学校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)若学生认可系数不低于0.85，“校本课程”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．根据你所学的统计知识．结合认可系数，判断“校本课程”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 4．（22-23高一下·江苏徐州·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流.      (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 5．（22-23高一下·江苏南京·期末）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； (2)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）. 6．（22-23高一下·江苏南通·期末）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取名，将其成绩整理后分为组，画出频率分布直方图如图所示（最低分，最高分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的倍.    (1)求第一组、第二组的频率各是多少？ (2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留位小数）； (3)现知道直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差. 7．（22-23高一下·江苏无锡·期末）某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中的值，并估计样本中消费金额的中位数(中位数精确到0.01)； (2)求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数 (同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表). 8．（21-22高一下·江苏无锡·期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.    (1)求全市家庭月均用水量不低于 6t的频率； (2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值； (3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）. 9．（21-22高一下·江苏无锡·期末）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元/收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元/收费，第三阶梯为超过的部分按8元/收费. （1）求直方图中的值； （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由； （3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？ 10．（21-22高一下·江苏南通·期末）立德中学高一年级名学生参加某项测试，测试成绩均在分到分之间，现随机抽取名学生的测试成绩，分组：第组，第组，，第组，统计得到频率分布直方图，如图所示. (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计学生测试成绩的平均数； (3)估计学生测试成绩的中位数. 11．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； (3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 12．（21-22高一下·江苏盐城·期末）为了有效抗击疫情，保卫师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把得分分成了5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制成如图所示的频率直方图. (1)计算a的值和样本的平均分； (2)为了更全面地了解师生对食堂服务水平的评价，求该样本的50百分位数（精确到0.01）. 13．（21-22高一下·江苏南京·期末）为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值； (2)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 14．（21-22高一下·江苏连云港·期末）2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表． 组号 分组 频数 频率 1 5 0.05 2 a 0.35 3 30 b 4 20 0.20 5 10 0.10 合计 100 1 (1)求a，b的值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）； (2)根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）； (3)现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数，方差，第5组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？ 15．（22-23高一下·江苏无锡·期末）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示. (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； (2)估计测评成绩的第分位数； (3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立?请证明你的结论. 16．（22-23高一下·江苏苏州·期末）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．      (1)求直方图中的值和第25百分位数； (2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率． 17．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球，从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“（1，2，2）”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球． (1)请你写出该随机试验的样本空间； (2)记“前两次取到的号码相同”为事件A，“后两次取到的号码相同”为事件． ①试判断事件A与事件是否为相互独立事件； ②求事件的概率． 18．（22-23高一下·江苏扬州·期末）某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：千克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：    (1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有蜜柚均以20元/千克收购； B．低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. 19．（22-23高一下·江苏淮安·期末）为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量（单位：公斤）绘制如下频率直方图，未存活重量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”.    (1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数； (2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率. 20．（22-23高一下·江苏泰州·期末）一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件. (1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由； (2)判断事件与是否相互独立，并证明. 21．（22-23高一下·江苏扬州·期末）某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，把他们的阅读时间分为5组：，，，，，并绘制如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.（各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平） (2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在的概率. 22．（22-23高一下·江苏南通·期末）某校知识竞赛分初赛､复赛两轮.某班从甲､乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 甲的成绩（分） 100 90 120 130 105 115 乙的成绩（分） 95 125 110 95 100 135 (1)试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象； (2)初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛.若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率. 23．（22-23高一下·江苏常州·期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)若选择方案一，求甲获胜的概率； (2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由. 24．（22-23高一下·江苏常州·期末）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为，乙队胜丙队的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲队轮空． (1)求“前三场比赛结束后，乙队被淘汰”的概率； (2)求“一共只需四场比赛甲队就获得冠军”的概率； (3)求“需要进行第五场比赛”的概率． 25．（22-23高一下·江苏连云港·期末）甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，丙译出密码的概率为，求： (1)其中恰有一人破译出密码的概率； (2)密码被破译的概率. 26．（22-23高一下·江苏徐州·期末）每年的月日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响. (1)若，求甲恰好胜出一轮的概率； (2)若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为. （i）求，，的值； （ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率. 27．（22-23高一下·江苏南京·期末）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C. (1)求、、； (2)求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率. 28．（22-23高一下·江苏盐城·期末）某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在内的人数为5.    (1)若用分层抽样的方法从时长在，内的学生中抽取6名参加座谈，再从这6名学生中随机抽取2名发言，求这2名发言学生中至少有1名时长在内的概率； (2)在（1）的条件下，记抽取的2名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率. 29．（22-23高一下·江苏南京·期末）海水养殖场更新了某水产品的网箱养殖方法，收获时随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：      (1)求频率直方图中的值，并估计箱产量的众数和中位数（精确到0.01）． (2)若先用分层抽样的方法从箱产量在和的网箱中抽取6个网箱，然后再从抽出的这6个网箱中任意选取2个网箱做进一步检测，求这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率． 30．（22-23高一下·江苏连云港·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：    (1)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）； (2)求89.5的百分位数． (3)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取5个人，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到两人的成绩不在同一组的概率． 31．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5. (1)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求至少有一人命中的概率. 32．（21-22高一下·江苏无锡·期末）（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由. （2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率. 33．（21-22高一下·江苏南通·期末）近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康中国成人的数值标准是：为偏瘦为正常为偏胖为肥胖下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了个居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据的百分位数 (2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取个人，再从这个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率． 34．（21-22高一下·江苏苏州·期末）2022年2月苏州新冠肺炎疫情发生后，2月17日，“疫”声令下，江苏省内各大市纷纷闻讯而动，约6000名医务工作者雪夜抱团驰援苏州，为苏州抗疫工作注入坚实而温暖的力量，各方力量按成一股绳，合力“苏”写了守望相助的抗疫故事，现从各市支援苏州某地区的700名医务工作者中随机抽取40名，将这40人的年龄按照，，，这3个区间绘制如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这40名医务工作者的平均年龄（同一组数据用该组，区间的中点值代表） (2)现需要对居家隔离的居民进行单管核酸检测，防疫指挥部决定在，两区间段医务工作者中按比例分配分层随机抽样方法抽取5人.假设5人已经选定，现要从这5人中选择2人到某户进行检测，求选中的两人来自不同年龄段的概率. 35．（21-22高一下·江苏南通·期末）水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金． (1)求需要进行四局比赛才能结束的概率； (2)若前3局打成2:1时，比赛因故终止．有人提议按2:1分配奖金，请利用相关数学知识解释这样分配是否合理． 36．（21-22高一下·江苏苏州·期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. (1)试分别求出事件B和事件C发生的概率； (2)试求A、B、C只有一个发生的概率. 37．（21-22高一下·江苏淮安·期末）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）． (1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率． 38．（21-22高一下·江苏无锡·期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 39．（21-22高一下·江苏南通·期末）北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为”学习航天精神，致敬航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示． (1)根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)用分层抽样的方法从得分在[60，70），[70，80），[80，90]这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率． 40．（21-22高一下·江苏南通·期末）甲、乙两人分别对，两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响.已知甲击中，的概率均为，乙击中，的概率分别为，. (1)求A被击毁的概率； (2)求恰有1个目标被击毁的概率. 41．（21-22高一下·江苏常州·期末）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间､､……､､. (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率； (2)从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率； (3)估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 42．（21-22高一下·江苏常州·期末）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：吨）得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 22 0.22 x y 16 0.16 10 0.10 6 0.06 6 0.06 5 z 2 0.02 2 0.02 合计 100 1 (1)求上表中x，y，z的值； (2)试估计该区居民的月平均用水量； (3)从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率. 43．（21-22高一下·江苏常州·期末）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. (1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于4”的概率； (2)从盒中任取一球，记下该球的编号x，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号y，求事件“”发生的概率. 44．（21-22高一下·江苏常州·期末）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在内的人数为92． (1)求n的值； (2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）． (3)如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率． 45．（21-22高一下·江苏扬州·期末）某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：、、、、、． (1)求这名学生成绩的平均值； (2)若采用分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取人进行调查分析，求这人中恰好有人成绩在内的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 解答中档题型：概率与统计综合题 1．（22-23高一下·江苏南京·期末）某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．    (1)求x； (2)求抽取的x人的年龄的中位数结果保留整数； (3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20百分位数． 【答案】(1)100；(2)32；(3)91 【分析】（1）根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出． （2）利用中位数的计算方法求解即可． （3）利用百分位数的计算公式求解即可； 【详解】（1）第一组频率为， 所以； （2）设中位数为， 则由图可得，解得， 所以抽取的人的年龄的中位数为32； （3）按照成绩从小到大的顺序排列为：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99， ，故分位数为. 2．（22-23高一下·江苏南通·期末）某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在为三类树，底部周长在为二类树，底部周长大于或等于为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长（单位：），数据均落在之间，按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该片经济林中二类树约占多少； (2)将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，即可求解二类树的频率， （2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 所以，解得． 因为底部周长在为二类树， 所以由图可得，． 答：该片经济林中二类树木约占． （2）由题意可得， 答：估计该经济林中树木的平均底部周长为． 3．（22-23高一下·江苏常州·期末）为丰富学生的学习生活，某高中开设了“校本课程”．为了解学生对“校本课程”工作的认可程度，学校随机调查了600名学生．根据这600名学生对“校本课程”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．      (1)求直方图中的值和第60百分位数； (2)为了解部分学生给“校本课程”工作评分较低的原因，学校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)若学生认可系数不低于0.85，“校本课程”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．根据你所学的统计知识．结合认可系数，判断“校本课程”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 【答案】(1)，85；(2)10；(3)“校本课程”工作需要进一步整改，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出的值，再根据百分位数的计算规则计算可得； （2）首先求出三组的比例，再按照分层抽样计算可得； （3）求出平均数，即可判断. 【详解】（1）由图可知：， 解得.   因为内的频率为， 内的频率为， 所以第百分位数位于区间内，设为， 所以，解得，所以第百分位数为85. （2）低于分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人）； （3）由图可知，认可程度平均分为： ， 所以“校本课程”工作需要进一步整改. 4．（22-23高一下·江苏徐州·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流.      (1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】(1)小吃类21家，生鲜类9家；(2)（i）中位数为元，平均数为440元；（ii）256 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）（i）根据中位数和平均数的定义计算即可； （ii）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可. 【详解】（1）根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类21家，生鲜类9家. （2）（i）根据题意可得，解得， 设中位数为x，因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为元. 平均数为, 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为256. 5．（22-23高一下·江苏南京·期末）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； (2)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）. 【答案】(1)50；(2)免费停车时长为分钟 【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出的频率，从而得到样本中停车时长在区间上的频率并估计该天停车时长在区间上的车辆数； （2）先确定第30百分位数位于之间，列出方程，求出答案. 【详解】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为， 可列等式为， ， 所以样本中停车时长在区间上的频率为， 估计该天停车时长在区间上的车辆数是50； （2）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为， 并且的频率为，所以位于之间， 则满足， ， 确定免费停车时长为分钟. 6．（22-23高一下·江苏南通·期末）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取名，将其成绩整理后分为组，画出频率分布直方图如图所示（最低分，最高分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的倍.    (1)求第一组、第二组的频率各是多少？ (2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留位小数）； (3)现知道直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差. 【答案】(1)第一组的频率为，第二组的频率为；(2)；(3)平均数为，方差为 【分析】（1）设第一组的频率为，则第二组的频率为，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，即可得解； （2）计算出样本的第百分位数，即可得出全市“良好”以上等级的成绩范围； （3）利用总体的平均数和方差公式可求得结果. 【详解】（1）解：设第一组的频率为，则第二组的频率为， 由题意可得，解得， 因此，第一组的频率为，第二组的频率为. （2）解：设样本的第百分位数为，前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以，， 由百分位数的定义可得，解得， 所以，估计全市“良好”以上等级的成绩范围为. （3）解：成绩在的频数为，成绩在的频数为， 又因为直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为， 所以，成绩在内的平均数为， 方差为. 7．（22-23高一下·江苏无锡·期末）某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中的值，并估计样本中消费金额的中位数(中位数精确到0.01)； (2)求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数 (同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表). 【答案】(1)，0.46万元；(2)0.466 【分析】（1）由频率和为1，列方程可求出的值，先判断出中位数在第三组，然后列方程求解即可， （2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解. 【详解】（1）由题可知， 即，所以. 因为前两组的频率和为，前三组的频率和为， 所以中位数在第三组，设中位数为，则，解得， 所以样本中消费金额的中位数约为0.46万元； （2）由频率分布直方图可得 因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元. 8．（21-22高一下·江苏无锡·期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.    (1)求全市家庭月均用水量不低于 6t的频率； (2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值； (3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）. 【答案】(1)0.3；(2)4.92（t）；(3)6.56 【分析】（1）直接由频率分布直方图计算； （2）用每组区间的中点值乘以相应的频率再相加可得均值； （3）由频率分布直方图分别求出前3组和前4组的频率，得出75%分位数在第4组，求出频率0.75对应的值即可得． 【详解】（1）全市家庭月均用水量不低于6t的频率为. （2）全市家庭月均用水量平均数的估计值为（t）； （3）因为，， 所以全市家庭月均用水量的75％分位数为. 9．（21-22高一下·江苏无锡·期末）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元/收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元/收费，第三阶梯为超过的部分按8元/收费. （1）求直方图中的值； （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由； （3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？ 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到 【分析】（1）频率分布直方图中的所有矩形的面积之和为1建立关于的方程，求出的值； （2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”，算出频率，得出全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数； （3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为，所以现行收费标准不符合要求. 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为1，现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到. 【详解】（1）由频率分布直方图可得 ，解得. （2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”，则100户居民中有，由此可以估计全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数为. （3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ，所以现行收费标准不符合要求. 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ， 现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到. 10．（21-22高一下·江苏南通·期末）立德中学高一年级名学生参加某项测试，测试成绩均在分到分之间，现随机抽取名学生的测试成绩，分组：第组，第组，，第组，统计得到频率分布直方图，如图所示. (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计学生测试成绩的平均数； (3)估计学生测试成绩的中位数. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】利用频率之和为，求出的值； 根据频率分布图的平均数的运算规则计算即可； 根据中位数的定义计算即可. 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得 （2）学生测试成绩的平均数为： （3）设中位数为，则： ， 解得 11．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； (3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】(1)人；(2)平均数为，中位数为；(3) 【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1，求得a，再根据各层的人数比例抽取； （2）利用平均数和中位数公式求解； （3）法一，分一人或二人获优秀，利用互斥事件和独立事件的概率求解；法二：利用对立事件的概率求解. 【详解】（1）解：由， 得， 因为（人），（人）． 所以不高于50分的抽（人）； （2）平均数． 因为在内共有80人，则中位数位于内， 则中位数为； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A， 则． 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 12．（21-22高一下·江苏盐城·期末）为了有效抗击疫情，保卫师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把得分分成了5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制成如图所示的频率直方图. (1)计算a的值和样本的平均分； (2)为了更全面地了解师生对食堂服务水平的评价，求该样本的50百分位数（精确到0.01）. 【答案】(1)，样本平均分为分；(2)分 【分析】（1）由频率和为1求参数a，根据直方图求样本平均分； （2）首先判断50百分位数所在区间，再由百分数求法求得50百分位数. 【详解】（1）由直方图知：，可得， 样本平均分为分. （2）由， 所以50百分位数在[60，70）区间内，令50百分位数为， 则，可得分. 13．（21-22高一下·江苏南京·期末）为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值； (2)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a； （2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可； （3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可. 【详解】（1）由，解得； （2）， 故本次防疫知识测试成绩的平均分为； （3）设受嘉奖的学生分数不低于分， 因为，对应的频率分别为0.15，0.1， 所以，解得， 故受嘉奖的学生分数不低于分． 14．（21-22高一下·江苏连云港·期末）2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表． 组号 分组 频数 频率 1 5 0.05 2 a 0.35 3 30 b 4 20 0.20 5 10 0.10 合计 100 1 (1)求a，b的值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）； (2)根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）； (3)现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数，方差，第5组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？ 【答案】(1)；；作图见解析；(2)众数的估计值为7.5；中位数的估计值为11.67；(3)平均数为7，方差为1.67 【分析】（1）根据频率之和为1，以及频数之和为样本容量，即可求解. （2）根据频率分步直方图，可求众数以及中位数. （3）根据平均数和方差的公式即可求解. 【详解】（1）∵，∴． ∵，∴． 频率直方图如下： （2）该组数据众数的估计值为7.5． 易知中位数应在内，设中位数为x， 则，解得，故中位数的估计值为11.67． （3）∵第4组和第5组的频数之比为2∶1，∴从第4组抽取4人，第5组抽取2人． ∴这6人得分的平均数， 方差， 即这6人得分的平均数为7，方差为1.67． 15．（22-23高一下·江苏无锡·期末）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示. (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； (2)估计测评成绩的第分位数； (3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立?请证明你的结论. 【答案】(1)；(2)；(3)不相互独立，证明见解析 【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，从而得解； （2）先判断测评成绩的第分位数所在区间，再利用百分位数的计算方法求解即可； （3）依题意分别求得这两事件与交事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：， 则分数小于60的频率为：， 故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为； （2）由频率分布直方图易得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为， 则测评成绩的第分位数落在区间上， 所以测评成绩的第分位数为； （3）依题意，记事件 “抽到的学生分数小于30”，事件 “抽到的学生是男生”， 因为分数小于40的学生有5人，其中3名男生； 所以“抽到的学生是男生”的概率为， 因为分数小于30的学生有2人，其中1名男生， 所以“抽到的学生分数小于30” 的概率为， 因为事件表示“抽到的学生分数小于30且为男生”，满足条件的只有1名男生， 所以， 因为， 所以这两个事件不相互独立. 16．（22-23高一下·江苏苏州·期末）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．      (1)求直方图中的值和第25百分位数； (2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率． 【答案】(1)，第25百分位数为30；(2) 【分析】（1）根据频率和为1可求的值，判断第25百分位数在第二组，设为，列方程可求解； （2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）, 因为第一组的频率为，， 第二组的频率为，， 所以第25百分位数在第二组，设为，则， 所以第25百分位数为30. （2）年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为， 用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人， 设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，， 从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种， 其中2名年龄都在内的样本事件有种， 所以两名幸运市民年龄都在内的概率为． 17．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球，从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“（1，2，2）”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球． (1)请你写出该随机试验的样本空间； (2)记“前两次取到的号码相同”为事件A，“后两次取到的号码相同”为事件． ①试判断事件A与事件是否为相互独立事件； ②求事件的概率． 【答案】(1)；(2)①事件A与事件为相互独立事件；② 【分析】（1）根据已知，写出即可； （2）①根据已知写出事件包含的样本点，根据古典概型计算出的值，根据独立事件概率的乘法公式，计算即可判断；②方法一：列出事件包含的样本点，根据古典概型计算即可；方法二：写出对立事件包含的样本点，计算得出概率，然后根据对立事件的概率公式，计算即可；方法三：根据①的概率，结合事件的运算关系，计算即可得出答案. 【详解】（1）根据已知，可得样本空间 ，包含8个等可能的样本点. （2）①由（1）可知，事件A包含的样本点有：，，，， 故； 事件包含的基本事件有：，，，， 故； 事件包含的基本事件有：，， 故； 因， 故事件与事件为相互独立事件. ②方法一：事件包含的基本事件有： ，，，，，， 故. 方法二：设事件的对立事件为，则事件包含的基本事件有：，， 故， . 方法三：. 18．（22-23高一下·江苏扬州·期末）某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：千克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：    (1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有蜜柚均以20元/千克收购； B．低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. 【答案】(1)；(2)方案A 【分析】（1）依题意可得蜜柚质量在区间和的比为2：3，则分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个，求出从这5个蜜柚中随机抽取2个的可能情况，再求出至少有一个小于3.5千克的方法种数，由古典概率公式代入即可得出答案. （2）分别计算两种方案的收益，比较两者的大小即可得出答案. 【详解】（1）由题意得： 所以蜜柚质量在区间和的比为2：3， 所以应分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个. 记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A 抽取的质量在区间的蜜柚分别记为，，质量在区间的蜜柚分别记为，，， 则从这5个蜜柚中随机抽取2个， 样本空间，共10个样本点 解法一：事件，共7个样本点， 所以. 解法二：事件A对立事件，共3个样本点， 所以. （2）方案A好， 由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间，，，，， 的频率依次为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05， 若按方案A收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250， 于是总收益为 （元）. 若按方案B收购：由题意知蜜柚质量低于4.5千克的个数为1750， 蜜柚质量高于或等于4.5千克的个数为， 所以总收益为（元）. 因为， 所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A. 19．（22-23高一下·江苏淮安·期末）为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量（单位：公斤）绘制如下频率直方图，未存活重量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”.    (1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数； (2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率. 【答案】(1)平均数23；中位数；(2) 【分析】（1）根据题意结合平均数、中位数的概念运算求解； （2）先求每组的人数，再结合古典概型运算求解. 【详解】（1）根据频率直方图可得：每组的频率依次为， 估计平均数为：. 因为， 可知中位数位于内，设为， 则，解得， 所以可估计中位数为. （2）由（1）可知：未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为； 未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为，； 从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两个，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 其中有且仅有一个“重点帮扶养殖户”在的情况有，，，，，，，，共8种情况， 所以恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率. 20．（22-23高一下·江苏泰州·期末）一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件. (1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由； (2)判断事件与是否相互独立，并证明. 【答案】见解析 【分析】（1）先求出摸球的所有情况，利用古典概率求解，比较即可判断； （2）利用独立事件的判定方法进行判断. 【详解】（1）两人摸出球的所有情况：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12种； 事件包含的情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6种； 事件包含的情况有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6种； 所以，故小明的判断不正确. （2）事件包含的情况有：（1,2），（2,1），故； 因为，； 所以事件与不相互独立. 21．（22-23高一下·江苏扬州·期末）某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，把他们的阅读时间分为5组：，，，，，并绘制如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.（各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平） (2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在的概率. 【答案】(1)0.03；平均数为26；(2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出，再根据平均数公式计算可得； （2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）由题意得：， 这100名学生阅读时间的平均数为： ， 所以这100名学生阅读时间的平均数为26； （2）由直方图得：课外阅读时间为与的学生数的比为1:2， 所以，课外阅读时间在有2名，阅读时间在有4名. 记从这6名学生中随机抽取2人， 恰好有一人读书时间在为事件M 课外阅读时间在的2名学生分别记为a、b， 阅读时间在的4名学生分别记为A、B、C、D， 所以从这6人中任意抽取2人， 样本空间 ，共15个样本点， 其中，共8个样本点， 所以. 22．（22-23高一下·江苏南通·期末）某校知识竞赛分初赛､复赛两轮.某班从甲､乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 甲的成绩（分） 100 90 120 130 105 115 乙的成绩（分） 95 125 110 95 100 135 (1)试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象； (2)初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛.若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率. 【答案】(1)甲､乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定；选甲参加知识竞赛较合适；(2) 【分析】（1）根据表格数据计算平均数和方差，比较即可确定人选； （2）列举总的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概率概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，， ， ， ， 所以，， 所以甲､乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，故选甲参加知识竞赛较合适. （2）在5道题中，参赛者会答的3道题分别记为，另外2道不会答的题分别记为， 记“参赛者进入复赛”为事件，参赛者从5道题中抽3道题的结果有 ，，，共10种. 进入复赛，即至少答对2道的情况有 ，，共7种. 所以参赛者进入复赛的概率为. 23．（22-23高一下·江苏常州·期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)若选择方案一，求甲获胜的概率； (2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由. 【答案】(1)；(2)方案二被选择的可能性更大，理由见解析 【分析】（1）由相互独立时间的概率乘法公式，结合互斥事件的概率加法公式即可求解， （2）列举所有基本事件，由古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为A 甲获胜事件A包含甲连胜两局记为；甲第一局负，第二、三局胜记为；甲第一局胜，第二局负、第三局胜记为 且互斥，且每局比赛相互独立. 则，， ∴ 所以甲获胜的概率为. （2）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，有36个样本点，为， 它们是等可能的，故这是个古典概型. 两点数之和不大于6的样本点有15个：, 记事件C为“两点数之和不大于6”，所以. 记事件D为“点数之和大于6”，所以. 因为，所以方案二被选择的可能性更大。 24．（22-23高一下·江苏常州·期末）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为，乙队胜丙队的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲队轮空． (1)求“前三场比赛结束后，乙队被淘汰”的概率； (2)求“一共只需四场比赛甲队就获得冠军”的概率； (3)求“需要进行第五场比赛”的概率． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据题意，打了三场比赛，乙必须输两场，且在第一轮和第三轮输掉比赛，由独立事件的乘法公式计算； （2）四场比赛甲决出冠军，乙丙均会要负两场，据此计算即可； （3）根据对立事件的概率公式计算. 【详解】（1）记事件A为甲队胜丙队，则，， 事件B为甲队胜乙队，则，， 事件C为丙队胜乙队，则，， 前三场比赛结束后，乙队被淘汰的概率为： （2）只需四场比赛甲队就获得冠军的概率为： 由于甲队胜乙队和甲队胜丙队的概率均为， 且乙队胜丙队和丙队胜乙队的概率也相等，均为， 第一场比赛甲队轮空，以后的比赛相对于甲队，可视乙队丙队为同一人， 设甲队胜为事件，甲队轮空为事件， 所以甲队最终获胜的概率． （3）只需四场比赛就决出冠军的概率为： . 故需要进行第五场比赛的概率为：. 25．（22-23高一下·江苏连云港·期末）甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，丙译出密码的概率为，求： (1)其中恰有一人破译出密码的概率； (2)密码被破译的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设出事件，根据互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式，以及独立事件概率的乘法公式即可得出答案； （2）根据已知结合独立事件概率的乘法公式，求出密码不能破译的概率，进而根据对立事件概率公式，即可得出答案. 【详解】（1）记密码被甲、乙、丙3人独立地破译分别为事件A、、，则，，，，，， 记“恰有一人破译出密码”为事件， 由已知可得， . （2）记“密码被破译出”为事件， 因为， 所以. 26．（22-23高一下·江苏徐州·期末）每年的月日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响. (1)若，求甲恰好胜出一轮的概率； (2)若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为. （i）求，，的值； （ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率. 【答案】(1)；(2)（i），；（ii） 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. （2）（i）利用对立事件和独立事件的概率公式表示出和，即可求解；（ii）利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件， “甲在第二轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第一轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第二轮竞赛中胜出”为事件， 则，，，相互独立， 且，，，. 设“甲恰好胜出一轮”为事件， 则，，互斥. 当时， . 所以当，甲恰好胜出一轮的概率为. （2）由（1）知，（i）记事件为“甲、乙各胜出一轮”， 事件为“甲、乙都获得优秀”， 所以，. 因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响， 所以 ， ， 则，解得或（舍去）. 综上，，. （ii）设事件为“甲获得优秀”，事件为“乙获得优秀”， 于是“两人中至少有一人获得优秀”， 且，， 所以，， 所以. 故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为. 27．（22-23高一下·江苏南京·期末）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C. (1)求、、； (2)求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率. 【答案】(1)、、；(2) 【分析】（1） 获得优秀，可以是第一跳成功，也可以是第一跳失败第二跳成功，利用互斥事件的概率公式计算. （2）利用相互独立事件和互斥事件的概率的应用求出结果． 【详解】（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2. 记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C. ，   ，   . ，   甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率、、； （2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D， .                                    甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率. 28．（22-23高一下·江苏盐城·期末）某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在内的人数为5.    (1)若用分层抽样的方法从时长在，内的学生中抽取6名参加座谈，再从这6名学生中随机抽取2名发言，求这2名发言学生中至少有1名时长在内的概率； (2)在（1）的条件下，记抽取的2名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意得到抽取的人数分别为4人和2人，记为，和，利用列举法，结合古典摡型，即可求解； （2）给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，记为，结合列举法，结合对立事件的概率，即可求解. 【详解】（1）解：由于，内的学生比例为，故抽取的人数分别为4人和2人. 若分别记为，，，，和，，从这6名学生中随机抽取2名学生， 这样的样本点为共有15种情况. 其中2名发言学生都不在中的情况只有一种，故事件的概率为. （2）解：给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，记为， 则这样的样本点共有9个： 其中甲比乙高的分别是： 甲80元乙50元；甲100元乙50元；甲100元乙80元这样三种情况， 所以甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率为. 29．（22-23高一下·江苏南京·期末）海水养殖场更新了某水产品的网箱养殖方法，收获时随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：      (1)求频率直方图中的值，并估计箱产量的众数和中位数（精确到0.01）． (2)若先用分层抽样的方法从箱产量在和的网箱中抽取6个网箱，然后再从抽出的这6个网箱中任意选取2个网箱做进一步检测，求这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率． 【答案】(1)，52.5，52.35；(2) 【分析】（1）由频率之和为1即可求解，由众数和中位数的计算即可求解， （2）利用列举法求解所有基本事件，由古典概型的概率公式,结合对立事件即可求解. 【详解】（1）由频率分部直方图可得，解得． 众数为； 前三组的频率为， 设中位数为，则， 故． （2）箱产量在和的比值为2：1，故6个网箱中有4个在中，将4个网箱记为，有2个在中，记为 从6个中抽出2个网箱，共有15种方法，都在中的有这1种， 故这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率为． 30．（22-23高一下·江苏连云港·期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：    (1)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）； (2)求89.5的百分位数． (3)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取5个人，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到两人的成绩不在同一组的概率． 【答案】(1)0.75；(2)第95百分位数；(3)0.6 【分析】（1）由频率分布直方图即可求解频率， （2）计算频率即可求解， （3）由列举法求解所有基本事件，即可由古典概型的计算公式求解. 【详解】（1）60分及以上的频率， 估计这次环保知识竞赛的及格率为． （2）89.5分以下的频率，所以89.5的百分位数为第95百分位数， （3），的频率之比为，所以从，的两组中抽取5个人，则5个人中来自的有 人，记为 则来自有3个人，记为, 所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：,共有10种情况， 取到两人的成绩不在同一组的结果有有6种情况， 所以概率为 31．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5. (1)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求至少有一人命中的概率. 【答案】(1)0.21；(2)0.29；(3)0.94 【分析】（1）根据概率乘法得三人都命中概率； （2）结合概率乘法和加法公式即可得到答案； （3）采取正难则反的原则，根据对立事件的概率公式求解即可． 【详解】（1）设事件：甲投篮命中；事件：乙投篮命中；事件：丙投篮命中， ，， 甲、乙、丙各投篮一次，则甲和乙命中，丙不命中的概率为 ． 所以甲、乙、丙各投篮一次，甲和乙命中，丙不命中的概率为0.21． （2）设事件：恰有一人命中． 所以 ． 所以甲、乙、丙各投篮一次，恰有一人命中的概率为0.29． （3）设事件：至少有一人命中． 所以. 所以甲、乙、丙各投篮一次，至少有一人命中的概率为0.94． 32．（21-22高一下·江苏无锡·期末）（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件B是否相互独立，并说明理由. （2）甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙两人射击互不影响.求两人中恰有一人通过考核的概率. 【答案】（1）事件A与B独立，理由见解析；（2）0.2212 【分析】（1）验证是否有即可得； （2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”，由对立事件和互斥事件的概率公式计算． 【详解】（1）， ， ， 则，所以事件A与B独立； （2）设C=“甲通过考核”，D=“乙通过考核”. ， ， . 即恰有一人通过考核的概率为0.2212. 33．（21-22高一下·江苏南通·期末）近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康中国成人的数值标准是：为偏瘦为正常为偏胖为肥胖下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了个居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据的百分位数 (2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取个人，再从这个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率． 【答案】(1)，50百分位数为；(2) 【分析】（1）由各组频率和为1，可求出的值，由百分位数的定义求解， （2）根据分层抽样的定义可求得在、分别抽取人和人，再利用列举法可求得概率. 【详解】（1）依据频率直方图意义知， ， 即 因为，两组的频率之和为， 而的频率为， 要求样本数据的百分位数即求中位数， 所以满足频率恰为的位置， 即． （2）由频率直方图知的频数为， 的频数为， 所以两组人数比值为， 按照分层抽样抽取人，则在、分别抽取人和人， 记这组两个样本编号、，这组编号为、、、 故从人随机抽取人所有可能样本点构成样本空间： ，，，，，，，，，，，，，，， 设事件“从人抽取人的数值不在同一组”， 则，，，，，，，， 故， 答：从人抽取两人，两人的值不在同一组的概率为． 34．（21-22高一下·江苏苏州·期末）2022年2月苏州新冠肺炎疫情发生后，2月17日，“疫”声令下，江苏省内各大市纷纷闻讯而动，约6000名医务工作者雪夜抱团驰援苏州，为苏州抗疫工作注入坚实而温暖的力量，各方力量按成一股绳，合力“苏”写了守望相助的抗疫故事，现从各市支援苏州某地区的700名医务工作者中随机抽取40名，将这40人的年龄按照，，，这3个区间绘制如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这40名医务工作者的平均年龄（同一组数据用该组，区间的中点值代表） (2)现需要对居家隔离的居民进行单管核酸检测，防疫指挥部决定在，两区间段医务工作者中按比例分配分层随机抽样方法抽取5人.假设5人已经选定，现要从这5人中选择2人到某户进行检测，求选中的两人来自不同年龄段的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据频率分布直方图可得每组的频率，再根据加权平均数运算求解；（2）先根据分层抽样求每层抽取的人数，再根据古典概型求解． 【详解】（1）被抽取的40名医务工作人员的平均年龄. （2）40人中年龄在内的人数比为，即. 按比例分配分层随机抽样，在内应抽取人，在内应抽取人. 设年龄在内的3人编号为，年龄在内的2人编号为4，5，用表示选择编号为的事件， 设事件“选中的两人来自不同年龄段”，则，所以. 因为，所以. 所以. ∴选中的两人来自不同年龄段的概率为. 35．（21-22高一下·江苏南通·期末）水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金． (1)求需要进行四局比赛才能结束的概率； (2)若前3局打成2:1时，比赛因故终止．有人提议按2:1分配奖金，请利用相关数学知识解释这样分配是否合理． 【答案】(1)；(2)不合理，理由见解析 【分析】（1）由进行四局比赛结束的情况为前三局{甲两胜，乙一胜，最后一局甲胜}、{甲一胜，乙两胜，最后一局乙胜}，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可. （2）根据前3局2:1时，利用独立乘法公式求出胜2局者和胜1局者分别获胜的概率，即可判断分配是否合理. 【详解】（1）由题意，任意一局甲胜概率为，乙胜的概率为，进行四局比赛结束， 若第四局甲胜，则前三局{甲两胜，乙一胜}， 此时， 若第四局乙胜，则前三局{甲一胜，乙两胜}， 此时， 综上，需要进行四局比赛才能结束的概率为. （2）不合理，理由如下： 前3局：若甲胜两局，乙胜一局， 甲获胜的情况为{第4局甲胜}、{第4局乙胜，第5局甲胜}， 故此情况下，甲获胜的概率为，而乙获胜概率为， 所以前3局胜2局者与胜1局者奖金分配应为，故题设分配不合理. 36．（21-22高一下·江苏苏州·期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. (1)试分别求出事件B和事件C发生的概率； (2)试求A、B、C只有一个发生的概率. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解. 【详解】（1）由题意得：， ，即， 解得：或 （2）设A、B、C只有一个发生的概率为P， 当时， 则； 当时，同理可得：， 综上：A、B、C只有一个发生的概率为 37．（21-22高一下·江苏淮安·期末）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）． (1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率． 【答案】(1)，平均分为；(2) 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可计算出值，然后用每组区间的中点值乘以相应频率再相加可得平均值； （2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数，并编号，用列举法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由概率公式计算概率． 【详解】（1）由频率分布直方图，，， 平均分为； （2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为， 抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为， 从这6人中任取2人的基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为． 38．（21-22高一下·江苏无锡·期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求. 【详解】（1）设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”. 则，，，故，，. “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥. 每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立. 所以. 答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为. （2）设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则. 所以. 解得. 39．（21-22高一下·江苏南通·期末）北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员送入太空，顺利进入天和核心舱．为激发广大学生努力学习科学文化知识的热情，某校团委举行了一场名为”学习航天精神，致敬航空英雄”的航天航空科普知识竞赛，满分100分，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示． (1)根据频率分布直方图，求这100名同学得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)用分层抽样的方法从得分在[60，70），[70，80），[80，90]这三组中选6名学生，再从这6名学生中随机选取2名作为代表参加团委座谈会，求这2名学生的得分不在同一组的概率． 【答案】(1)64.5；(2) 【分析】（1）首先根据频率和为1，求，再根据平均数公式，即可求解； （2）首先确定各组抽取的人数，再通过列举的方法求古典概型的概率. 【详解】（1）根据题意知，解得，        所以这100名同学得分的平均数是 答：平均数是64.5． （2）由条件知从抽取3名，从中抽取2名，从抽取1名，分别记为，            因此样本空间可记为 用A表示“这2名同学的得分不在同一组”，则                  A包含样本点的个数为11， 所以 答：这2名同学的成绩分别在各一名的概率是 40．（21-22高一下·江苏南通·期末）甲、乙两人分别对，两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响.已知甲击中，的概率均为，乙击中，的概率分别为，. (1)求A被击毁的概率； (2)求恰有1个目标被击毁的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出甲、乙两人均要击中目标的概率，即为A被击毁的概率；（2）求出A被击毁，B不被击毁的概率，再求出B被击毁，A不被击毁的概率，相加后得到恰有1个目标被击毁的概率. 【详解】（1）A被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为， （2）B被击毁的概率为， 则A被击毁，B不被击毁的概率为， B被击毁，A不被击毁的概率为， 则恰有1个目标被击毁的概率为 41．（21-22高一下·江苏常州·期末）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间､､……､､. (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率； (2)从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率； (3)估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 【答案】(1)，概率为0.68；(2)；(3) 【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出，并计算出不低于70分的频率作为概率的估计值；（2）利用列举法求解古典概型的概率；（3）同一组中的数据以这组数据的中间值作代表计算出平均数. 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 由频率分布直方图知，不低于70分的三组频率之和为， 因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率为0.68. （2）评分在的人数为2人，设为，在的人数为3人，设为， 从这5人中随机抽取2人，共10个等可能的基本事件， 分别为， 记事件为“2人评分都在”，包含3个基本事件，分别为， 所以， 因此2人评分都在的概率为. （3）这50名学生对个性化作业评分的平均数为： . 42．（21-22高一下·江苏常州·期末）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：吨）得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 22 0.22 x y 16 0.16 10 0.10 6 0.06 6 0.06 5 z 2 0.02 2 0.02 合计 100 1 (1)求上表中x，y，z的值； (2)试估计该区居民的月平均用水量； (3)从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率. 【答案】(1)，，；(2)9.21吨；(3) 【分析】（1）根据频数和为100计算可得，进而根据概率求得，再根据频率和为1求得； （2）根据平均数的计算公式直接求解即可； （3）将所有基本事件例举出，再根据古典概型的公式求解即可 【详解】（1）由题意可得， 则， 又， （2）利用组中值估计该区居民的月平均用水量为 （3）记从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，且2户居民来自不同分组的事件为A，设中的2户为，中的2户为，则所有可能的情况有共6种情况，其中满足条件的有四种情况，故，故从上表中月平均用水量不少于22.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，且2户居民来自不同分组的概率为 43．（21-22高一下·江苏常州·期末）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. (1)从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于4”的概率； (2)从盒中任取一球，记下该球的编号x，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号y，求事件“”发生的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）列举出从盒中任取两球的所有等可能基本事件，再列出取出的两球编号之和大于4的事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案； （2）列出有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件，列出事件“”发生的所有基本事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】（1）从盒中任取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，共6个， 记取出的两球编号之和大于4的事件为A， 则事件A包含，，，，共4个等可能基本事件， 所以， 答：从盒中任取两球，取出的两球编号之和大于4的概率为； （2）有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，，共16个， 记的事件为B， 则事件B包含，，，，，，，，，，，，，共14个等可能基本事件， 所以， 答：事件“”发生的概率为. 44．（21-22高一下·江苏常州·期末）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在内的人数为92． (1)求n的值； (2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）． (3)如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出，再计算即可． （2）设中位数为，由，求出即可． （3）列举出所有的基本事件及满足条件的事件，再求出这2人均是二等奖的概率． 【详解】（1）由已知可得，． 则，得． （2）设中位数为，则，得． （3）按照分层抽样的方法从，内选取的人数为， 从，内选取的人数为． 记二等奖的4人分别为，，，，一等奖的1人为， 事件为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”． 从这5人中随机抽取2人的基本事件为，，，，，，，，，，共10种， 其中2人均是二等奖的情况有，，，，，，共6种， 由古典概型的概率计算公式得． 45．（21-22高一下·江苏扬州·期末）某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：、、、、、． (1)求这名学生成绩的平均值； (2)若采用分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取人进行调查分析，求这人中恰好有人成绩在内的概率． 【答案】(1)分；(2) 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，再将矩形直方图中每个矩形的底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出这名学生成绩的平均值； （2）分析可知抽取的人中，成绩在内的有人，成绩在内的有人，记成绩在内位同学为、、、，成绩在的位同学位、、，列举出所有基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）解：，．            这名学生的成绩的平均值为 ， 因此，这名学生成绩的平均值为分. （2）解：设“抽取人中恰好有人成绩在内”为事件． 由题设可知，成绩在和内的频率分别为和， 则抽取的人中，成绩在内的有人，成绩在内的有人．                       记成绩在内位同学分别为、、、，成绩在的位同学分别为、、． 则从人中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、，共种， 其中事件所包含的基本事件有：、、、、、、、、、 、、，共种， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$