专题18 解答题中档题型：向量的综合应用-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题18 解答中档题型：向量的综合应用 1．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知向量，． (1)当，求 (2)求的最小值，并求此时向量，的夹角大小． 2．（21-22高一下·江苏连云港·期末）已知向量，满足，，．求： (1)； (2)与的夹角． 3．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知向量，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 4．（21-22高一下·江苏常州·期末）已知，为平面向量，且. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且向量与平行，求实数k的值. 5．（21-22高一下·江苏镇江·期末）已知平面直角坐标系中，向量． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若与的夹角为_____，求实数λ的取值范围． 请在①锐角；②钝角两个序号中选择一个填写在空白处，将问题补充完成，并解答． 6．（21-22高一下·江苏淮安·期末）已知平面向量，． (1)求的值； (2)若向量与夹角为，求实数λ的值． 7．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知平面向量，，满足，. (1)若，求向量与的夹角； (2)若，函数，求的值. 8．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 9．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，点分别在边上，且满足，. (1)当时，求证：； (2)若，且，求的值. 10．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知向量，． (1)求向量和的夹角的余弦值； (2)设向量，，是否存在正实数k，使得？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 11．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 12．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知中，，，，点D在边BC上且满足.    (1)用、表示，并求； (2)若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值. 13．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图所示，在中，，，，．    (1)用表示； (2)求的值． 14．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图，在中，，，，，.    (1)求的长； (2)求的值． 15．（22-23高一下·江苏南通·期末）已知向量，函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求. 16．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知向量，，. (1)若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由. (2)若，且，求与的夹角大小. 17．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 已知平面向量，都是单位向量， ． (1)求与的夹角； (2)若，求在上的投影向量的坐标． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 18．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若，函数，求的值域. 19．（21-22高一下·江苏无锡·期末）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，，. (1)求； (2)设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 20．（21-22高一下·江苏南通·期末）在三角形中，，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于点P． (1)将向量用向量表示； (2)若，求． 21．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知向量， ，其中，且. (1)求的值； (2)若，且，求角. 22．（21-22高一下·江苏无锡·期末）在三角形ABC中，，E为AC中点，，线段AD与BE交于点M. (1)用向量和表示； (2)若.在直线BC上是否存在点H，使得线段AH长度为定值，若存在，则求出线段AH的长度，若不存在，请说明理由. 23．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，在中，，.为边上的中线，O为上的一点，且，过O点的直线与边，（不含端点）分别交于E，F，设.    (1)求的值； (2)若，求的值. 24．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在三角形ABC中，已知分别是线段AB，AC上的点，且，.若M、N分别为线段EF、BC的中点. (1)用，表示； (2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由. 25．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，，，，.    (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值. 26．（22-23高一下·江苏苏州·期末）在钝角三角形中，，，，. (1)求的值； (2)已知，，三点共线，若恒成立，求实数的取值范围. 27．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知向量，的夹角为，且，． (1)求． (2)（其中），当取最小值时，求与的夹角的大小． 28．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知中，是边（含端点）上的动点．    (1)若点为与的交点，请用表示； (2)若点使得，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 解答中档题型：向量的综合应用 1．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知向量，． (1)当，求 (2)求的最小值，并求此时向量，的夹角大小． 【答案】(1)；(2)最小值为，此时，夹角大小为 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据模长的坐标运算即可利用函数的性质求最值. 【详解】（1）因 因为， 所以． （2）解法设，， 因为， 所以， 由， 当且仅当即时取等 所以最小值为，此时，夹角大小为． 解法设， 由， 所以 故当，时最小值为， 此时． 2．（21-22高一下·江苏连云港·期末）已知向量，满足，，．求： (1)； (2)与的夹角． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量模的坐标运算以及向量的基本运算可以直接求得； （2）根据向量数量积的定义进行计算即可得到结果. 【详解】（1）由，得， 故，代入，，得， 由，得 （2）由, 由于， 故与的夹角为. 3．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知向量，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)；(2)或. 【分析】根据向量共线和垂直的坐标运算求解. 【详解】（1）因为，所以，解得：. （2）因为，所以，解得：或. 4．（21-22高一下·江苏常州·期末）已知，为平面向量，且. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且向量与平行，求实数k的值. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）设，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标； （2）计算出向量与的坐标，由已知向量平行，可求得的值. 【详解】（1）设，因为，所以① 又因为，所，即② 由①②联立得，解之得或， 则所求向量的坐标为或 （2）因为，， 所以，， 又因为向量与平行，所以， 解之得. 5．（21-22高一下·江苏镇江·期末）已知平面直角坐标系中，向量． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若与的夹角为_____，求实数λ的取值范围． 请在①锐角；②钝角两个序号中选择一个填写在空白处，将问题补充完成，并解答． 【答案】(1)或；(2)若选①锐角，λ的取值范围为；若选②钝角，λ的取值范围为 【分析】（1）设，先求得坐标，根据向量平行的坐标关系，可得x值，根据求模公式，可得y值，即可得答案. （2）先求得坐标，求得与共线时的值，若选①锐角，则，即可得范围；若选②钝角，则，即可得范围. 【详解】（1）设，由题意得， 因为， 所以，解得， 又， 所以，解得， 所以向量的坐标为或 （2）， 当与共线时，，解得， 若选①锐角，则 解得， 所以若与的夹角为锐角时，λ的取值范围为； 若选择②钝角，则， 解得， 所以若与的夹角为钝角时，λ的取值范围为； 6．（21-22高一下·江苏淮安·期末）已知平面向量，． (1)求的值； (2)若向量与夹角为，求实数λ的值． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得； （2）首先求出的坐标，即可得到，再根据数量积的坐标表示求出，最后根据数量积的定义得到方程，解得即可； 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以； （2）解：， 所以，， 又向量与夹角为， 所以， 即， 即，解得或. 7．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知平面向量，，满足，. (1)若，求向量与的夹角； (2)若，函数，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设向量与的夹角为，根据向量的数量积的运算公式，化简得到，即可求解： （2）根据题意，化简得到，进而求得的值. 【详解】（1）解：设向量与的夹角为， 因为且，， 可得，解得， 又因为，所以. （2）解：由题意知， 则 ， 所以. 8．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出； （2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出 【详解】（1）由可得，，所以，而，所以． （2）由得，而，即，解得，所以，故的面积为． 9．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，点分别在边上，且满足，. (1)当时，求证：； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】根据平面向量基本定理，以为基底表示题中其它向量．（1）根据，运算证明；（2）先整理运算可得，再代入题中所求问题运算求解． 【详解】（1）. 因为是的中点. 所以. 所以. 因为，所以. 且，所以，所以. （2）. 因为， 所以. 两式相减得，所以. 因为， 所以. 所以 10．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知向量，． (1)求向量和的夹角的余弦值； (2)设向量，，是否存在正实数k，使得？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【分析】（1）利用向量的夹角公式直接求解即可； （2）若，则，代入化简可得，再由可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 设向量和的夹角为， （2）假设存在正实数k，使得，则， 所以 所以 因为，所以， 所以或， 解得或 即存在且t的取值范围为． 11．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解； （2）讲条件两边平方，解得，然后结合数量积坐标表示解得，最后将齐次式化简，代入求解； 【详解】（1）因为，所以， 即 所以； （2）因为，所以， 即， 所以， 即， 所以， 所以     . 12．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知中，，，，点D在边BC上且满足.    (1)用、表示，并求； (2)若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）由向量的线性运算表示向量，由数量积，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1），                    所以 （2）易知, 所以,                         又, 所以, 13．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图所示，在中，，，，．    (1)用表示； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)13 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）分别由，向量表示，由向量的数量积运算求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 所以； （2） ， 即的值为13． 14．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图，在中，，，，，.    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)4 【分析】（1）由向量的线性运算，即可由模长公式求解长度， （2）由数量积的运算律，即可求解. 【详解】（1），， , ，，，. ； （2）， 15．（22-23高一下·江苏南通·期末）已知向量，函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示函数，然后对函数进行降幂化简，代入正弦函数的单调增区间求解； （2）先求，然后结合角的范围及同角关系求得，然后利用两角差的正弦公式化简计算即可. 【详解】（1） ， 由，解得， 所以的单调递增区间是. （2）， 因为，所以， 所以， 所以 . 16．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知向量，，. (1)若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由. (2)若，且，求与的夹角大小. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算及基底的概念即可判断； （2）利用向量垂直的坐标运算求解x，然后再利用数量积的夹角坐标公式计算即可. 【详解】（1）当时，，， 因为，所以向量，不共线，所以，能构成平面的一组基底； （2）因为，，所以， 又，且，所以，所以， 此时，，则， 又因为，所以，即向量与的夹角为. 17．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 已知平面向量，都是单位向量， ． (1)求与的夹角； (2)若，求在上的投影向量的坐标． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）选①：根据数量积运算展开求得，然后可得夹角；选②：将条件平方展开可得，然后可得夹角；选③：根据垂直的向量表示展开可得，然后可得夹角； （2）根据（1）中结论和单位向量定义列方程求得，然后由可得. 【详解】（1）选①：由知， 又，所以，得，                                则，又，则． 选②：由知， 又，所以有，得，                         则，又，则. 选③：由知， 又，所以有，得，                          则，又，则． （2）设， 由（1）可知，解得或， 所以或， 即或． 18．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若，函数，求的值域. 【答案】(1)；(2) 【分析】根据向量共线定理的坐标形式建立方程即可求得结果； 利用换元法转化成一元二次函数，即可求得结果. 【详解】（1）解：向量，，， 即， ， . （2），， ， 设， 则， ，， 设，， 由二次函数性质可得： ， . 故的值域为. 19．（21-22高一下·江苏无锡·期末）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，，. (1)求； (2)设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【分析】(1)根据复数的模的性质结合数量积公式求解即可；(2)根据向量垂直的性质列方程求的值. 【详解】（1）， . （2），， 若是以为斜边的直角三角形，则， ， 化简得：，解得. 存在满足条件. 20．（21-22高一下·江苏南通·期末）在三角形中，，点F为边中点，点E在边上，且，与相交于点P． (1)将向量用向量表示； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据垂直关系，建立平面直角坐标系，根据向量坐标运算以及共线的坐标运算，即可求解， （2）用基地向量表示,根据数量积的运算即可求解. 【详解】（1）由，以分别为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， 设，故，进而, 因为,所以得：，解得，故， 由, 故 （2）由（1）知，又, 故 21．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知向量， ，其中，且. (1)求的值； (2)若，且，求角. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得到，再结合同角三角函数的基本关系求出，最后利用二倍角公式求解即可； （2）先求出，进而得到，得到，再利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由， 得，即. 代入，得， 又，则，. 则. （2）由，，则. 又，所以. 则= =. 由，得. 22．（21-22高一下·江苏无锡·期末）在三角形ABC中，，E为AC中点，，线段AD与BE交于点M. (1)用向量和表示； (2)若.在直线BC上是否存在点H，使得线段AH长度为定值，若存在，则求出线段AH的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【分析】（1）由B、M、E三点共线设，由又A、M、D三点共线，设，都用表示后，由向量相等求得，从而得出结论； （2）假设存在点H，设，则，，由已知，，求得，再由定值得出值，从而可得线段AH的长度． 【详解】（1）因为B、M、E三点共线，设，则， 又A、M、D三点共线，设，则， 因为不共线，所以，解得. 所以. （2）， ， 由可得，， 假设存在点H，设，则. 则 当时，.所以存在点H，使得AH长度为定值． 23．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，在中，，.为边上的中线，O为上的一点，且，过O点的直线与边，（不含端点）分别交于E，F，设.    (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)5；(2) 【分析】（1）由D为BC中点，结合可得，后由O，E，F三点共线可得答案； （2）以为基底表示，结合可得，结合（1）可得，即可得答案. 【详解】（1）∵D为BC中点，. ， 又O，E，F三点共线，∴，∴； （2） . 注意到，则. 又，则. 则. 24．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在三角形ABC中，已知分别是线段AB，AC上的点，且，.若M、N分别为线段EF、BC的中点. (1)用，表示； (2)判断A，M，N三点是否共线？若是，写出证明过程；若不是，则说明理由. 【答案】(1)；(2)不共线，理由见解析 【分析】（1）根据几何性质用，表示出，然后根据向量的减法法则，即可得出答案； （2）假设三点共线，则有共线，根据向量共线的条件得出方程组，得出方程组无解，假设不正确，即可得出答案. 【详解】（1） 因为分别是的中点， 所以，，. 又，， 所以，， 所以，. （2）由（1）知，，. 假设A，M，N三点共线，则共线， 所以，使得，即， 整理可得，. 因为不共线，所以应有，无解， 所以，假设不成立，所以A，M，N三点不共线. 25．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，，，，.    (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1)0；(2) 【分析】（1）首先由已知条件得出为等边三角形，求出各边长，然后以BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得． （2）利用向量夹角的坐标表示可得． 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以为等边三角形， 所以，， 在中，由得， 所以， 所以，. 以BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则， 因为E为DC的中点，所以， 所以， 所以    （2）由（1）得，， 所以． 26．（22-23高一下·江苏苏州·期末）在钝角三角形中，，，，. (1)求的值； (2)已知，，三点共线，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)的取值范围为 【分析】（1）由条件结合三角形面积公式求，利用表示，结合数量积的运算律求的值； （2）设，利用表示，结合数量积运算律求，再求其最小值，由此可得的取值范围. 【详解】（1）因为，，， 又， 所以， 所以，所以或， 若，则， 则， 为三角形最大内角，不合题意； 所以，则， ， 则； （2）由已知，设， 则， 所以， ，， 当时，取最小值，最小值为， 由恒成立可得，. 所以的取值范围为， 27．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知向量，的夹角为，且，． (1)求． (2)（其中），当取最小值时，求与的夹角的大小． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量的模长公式结合数量积的运算律求解即可. （2）根据向量的模和二次函数的性质求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）， 所以． （2）， 故当时，最小． 此时，； ，． 因为与的夹角范围为，故与的夹角为． 28．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知中，是边（含端点）上的动点．    (1)若点为与的交点，请用表示； (2)若点使得，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由已知得，再由A、O、P三点共线，令，由得，然后由C、O、Q三点共线，求出作答. （2）由（1）中信息，设，则，再由垂直关系的向量表示及数量积的运算律，求出，借助函数的单调求解作答. 【详解】（1）因为，则 ，又A、O、P三点共线，有，， 又，即有，而C、O、Q三点共线，于是，解得， 所以. （2）由（1）知，，而，设，则， 由，得，即， 整理得，即， 于是，显然函数在上单调递增， 因此， 所以的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$