专题16 解答题中档题型：立体几何中线面关系的证明-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题16 解答中档题型：立体几何中线面关系的证明 1．（22-23高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，，，，是棱上一点.    (1)若，求证：平面； (2)若平面平面，平面平面，求证：平面. 2．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，平面平面，，和分别是和的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：． 3．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）如图，在三棱台中，侧面底面，且，，底面为正三角形．    (1)求三棱台的体积； (2)过点作平面平行于平面，分别交，，于，，．求证：平面． 4．（22-23高一下·江苏淮安·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，平面. (1)求证：平面； (2)平面，平面交平面于，交底面于.求证：. 5．（22-23高一下·江苏泰州·期末）如图,在直三棱柱中,,为的中点,为的中点,.求证:    (1)∥平面; (2). 6．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，.    (1)求证：//平面EAC； (2)求三棱锥的体积. 7．（22-23高一下·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)证明：平面平面． 8．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，四棱锥的底面为梯形，，，底面，平面平面，点在棱上，且.    (1)证明：平面； (2)证明：. 9．（22-23高一下·江苏盐城·期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知四面体是“鳖臑”，，，，分别为，的中点，在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求四面体内切球的表面积. 10．（21-22高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．    (1)若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF； (2)若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC． 11．（21-22高一下·江苏徐州·期末）如图，已知在三棱锥中，，点分别为棱的中点，且平面平面.    (1)求证：平面； (2)求证：. 12．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面． (1)求证：； (2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面． 13．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点． (1)求证： (2)求证：平面 (3)求点到平面的距离． 14．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点. (1)若为线段的中点，证明：平面平面； (2)若平面，试确定点的位置，并说明理由. 15．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱AB，PC的中点，求证： (1)MN//平面PAD． (2)MN⊥CD． 16．（21-22高一下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，．求证： (1)AD∥平面PBC； (2)平面PBC⊥平面PAD． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 解答中档题型：立体几何中线面关系的证明 1．（22-23高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，，，，是棱上一点.    (1)若，求证：平面； (2)若平面平面，平面平面，求证：平面. 【答案】见解析 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到，从而利用线面平行的判定定理即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理推得，，再利用线面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）连接交于点，连接，如图，    因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 又平面平面， 所以平面. （2）因为平面平面，，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面平面， 所以平面． 2．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，平面平面，，和分别是和的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】见解析 【分析】（1）取中点为，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论； （2）根据菱形的性质、面面垂直和线面垂直的性质可得，，由线面垂直的判定和性质可证得结论. 【详解】（1）取中点为，连结， 分别为中点，，， ，，又为中点，，， ，，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）连结， 四边形是菱形，， 平面平面，平面平面，平面，，平面， 又平面，， ，平面，平面， 平面，.    3．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）如图，在三棱台中，侧面底面，且，，底面为正三角形．    (1)求三棱台的体积； (2)过点作平面平行于平面，分别交，，于，，．求证：平面． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）作交于，由面面垂直的性质可得平面，为三棱台的高，由三棱台体积公式计算可得答案； （2）连接，四边形为平行四边形，四边形为菱形，由线面垂直的庞大的了可得平面． 【详解】（1）在三棱台，因为底面为正三角形， 所以也为正三角形， 因为，，所以，， 因为，，所以四边形为等腰梯形， 作交于，则， 所以梯形高为，    由侧面底面，侧面底面，，， 所以平面，所以为三棱台的高， 由三棱台体积公式得 ； （2）连接， 因为平面于平面，平面平面， 平面平面，所以，同理：，由，    则四边形为平行四边形， 又，，得， 所以为中点，同理为中点，所以，， 因为，，所以四边形为菱形，所以，    因为为菱形对角线交点， 所以为中点，又，所以，又，则，              又，平面，平面， 所以平面．    4．（22-23高一下·江苏淮安·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，平面. (1)求证：平面； (2)平面，平面交平面于，交底面于.求证：. 【答案】见解析 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明之； （2）由线面平行的性质定理可得，，再由线线平行的传递性可得. 【详解】（1）∵底面为正方形， ∴. ∵平面，平面， ∴. 又∵，，平面，平面， ∴平面. （2）∵，平面，平面平面， ∴. 同理有， ∴. 5．（22-23高一下·江苏泰州·期末）如图,在直三棱柱中,,为的中点,为的中点,.求证:    (1)∥平面; (2). 【答案】见解析 【分析】（1）连接,根据三角形的中位线可得,再根据线面平行的判定定理证明即可; （2）根据已知条件证明平面,从而得到,再根据线面垂直的判定定理证明平面,则四边形为菱形即可得到结论. 【详解】（1）连接,如图,    因为四边形为平行四边形, 所以为的中点, 又为的中点, 所以在中,, 因为平面,平面, 所以∥平面. （2）因为,即, 又,且,平面,平面, 所以平面, 因为, 所以平面, 因为平面, 所以, 又平面,平面, 所以平面, 因为平面, 所以, 则四边形为菱形, 所以. 6．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，.    (1)求证：//平面EAC； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据锥体的体积公式运算求解. 【详解】（1）因为底面ABCD为正方形，所以F为BD中点 因为E为棱的中点，所以//， 且平面，平面， 所以//平面. （2）因为平面ABCD，底边ABCD为正方形 则为直角三角形，且 所以三棱锥的体积. 7．（22-23高一下·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)证明：平面平面． 【答案】见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由（1）知∥，而，则有，再由已知的线面垂直可得，则由线面垂直的判定定理可得平面，从而利用面面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：在中，因为分别为的中点，所以∥． 又因为平面平面，所以∥平面． （2）证明：由（1）可知∥， 又因为，所以． 因为平面平面，所以． 又因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 8．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，四棱锥的底面为梯形，，，底面，平面平面，点在棱上，且.    (1)证明：平面； (2)证明：. 【答案】见解析 【分析】（1）过作交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明即可. （2）利用线面垂直的性质定理，面面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1）在平面中， 过作交于点，连接， 因为，所以. 又，所以. 又，所以， 所以四边形为平行四边形. 所以， 又平面，平面， 所以平面.    （2）因为底面，平面， 所以. 在平面中，过点作，交于点， 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面，又平面，所以. 又平面，平面，，所以平面. 又平面，所以. 9．（22-23高一下·江苏盐城·期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知四面体是“鳖臑”，，，，分别为，的中点，在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求四面体内切球的表面积. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）连接与相交于点，连接、，依题意可得且，根据三角形相似得到，即可得到，从而得证； （2）依题意可得，，再判断，即可得到平面，则，求出各个面的面积，利用等体积法求出内切球的半径，即可得解. 【详解】（1）连接与相交于点，连接、，因为，分别为，的中点， 则且，所以，所以， 又， 所以，所以，则，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由题意四面体是“鳖臑”，，， 显然可得，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，， 若，则， 此时，则不是直角三角形，不符合题意， 又，所以，，平面， 所以平面，平面，所以，符合题意. 则， 所以，， ，， 又， 设内切球的半径为，所以， 即，解得， 所以. 10．（21-22高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．    (1)若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF； (2)若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC． 【答案】见解析 【分析】（1）设AC，BD的交点为O，所以PA∥OF，利用线面平行的判定定理即可证得结论； （2）由题意得BD⊥AC，BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，则BD⊥PC，又BF⊥PC，所以PC⊥平面BDF，利用面面垂直的判定定理可得结论. 【详解】（1）设AC，BD的交点为O，连OF，      因为底面ABCD为菱形，且O为AC中点，PF＝FC，所以PA∥OF， 又PA平面BDF，OF平面BDF，故PA∥平面BDF． （2）因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC， 因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA， 又ACBD＝O，AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC， 又PC平面PAC， 所以BD⊥PC， 又BF⊥PC，BDBF＝B，BD，BF平面BDF，所以PC⊥平面BDF， 又PC平面PBC，故平面BDF⊥平面PBC. 11．（21-22高一下·江苏徐州·期末）如图，已知在三棱锥中，，点分别为棱的中点，且平面平面.    (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】见解析 【分析】（1）要证平面，只需证明； （2）要证，只需利用面面垂直的性质证明平面. 【详解】（1）因为点分别为棱的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）因为，点为棱的中点，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. 12．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面． (1)求证：； (2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面． 【答案】见解析 【分析】（1）证明，继而根据面面垂直的性质证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论； （2）延长交于点M，连接,证明平面，继而说明直线l为直线，即可证明结论. 【详解】（1）证明：， ∵设，∴，，, ∴，∴， ∴，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴． （2）延长交于点M，连接, ∵，∴D为的中点， ∵的中点为E，∴，不在平面内, ∵平面，∴平面， 又平面，平面， ∴平面平面，即直线l为直线， ∴平面． 13．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点． (1)求证： (2)求证：平面 (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】（1）证明平面后由线面垂直的性质定理得线线垂直； （2）取中点，连接，，证明后可得线面平行； （3）由体积法求点面距． 【详解】（1）因为正方形， 又平面平面 平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面， 所以． （2） 取中点，连接，， 在中，因为，分别是，的中点， 所以， 因为是正方形边中点， 所以， 所以， 即四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 故EF平面 （3）如图，设，连接， 因为，为中点， 所以， 又平面平面，平面平面， 平面， 故平面，即是三棱锥的高 由正方形边，所以 因为，所以， 设点到平面的距离为， 因为， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 14．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点. (1)若为线段的中点，证明：平面平面； (2)若平面，试确定点的位置，并说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)点为线段的三等分点，且靠近点处，理由见解析 【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证平面，进而证明结果；（2）利用线面平行的性质定理理解分析． 【详解】（1）因为底面为正方形，，所以. 因为为线段中点，所以在平面中，. 因为底面底面，所以. 又平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又平面平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）如图，连接，交于点，连接. 因为在正方形中，为线段中点， ，所以，即. 因为平面平面，平面平面， 所以， 所以，即， 所以点为线段的三等分点，且靠近点处. 15．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱AB，PC的中点，求证： (1)MN//平面PAD． (2)MN⊥CD． 【答案】见解析 【分析】（1）要证明线面平行，可转化为证明线线平行，取PD的中点E，证明四边形是平行四边形；（2）根据平行关系转化为证明，即证明平面PAD. 【详解】（1）取PD的中点E，连接． 因为E，N分别是的中点，所以且， 又因为，M是AB中点，所以且， 所以且， 所以四边形AMNE是平行四边形，所以．        因为平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD （2）因为平面ABCD，所以，又，且， 所以平面PAD，平面，所以，                         又因为，所以． 16．（21-22高一下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，．求证： (1)AD∥平面PBC； (2)平面PBC⊥平面PAD． 【答案】见解析 【分析】（1）由线面平行的性质定理得线线平行，再由线面平行判定定理得结论； （2）由线面垂直得线线，然后又由线线垂直得线面垂直，从而证得面面垂直． 【详解】（1）∵BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD=AD，∴BC∥AD． ∵AD平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC． （2）∵PA=PB=AB，满足PA2＋PB2=AB2，∴PA⊥PB． 由∠ABC=90°知BC⊥AB． 又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥平面PAB． 又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA． 又∵PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴PA⊥平面PBC． 又∵PA⊂平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD． 学科网（北京）股份有限公司 $$