专题14 选择填空压轴题型：立体几何中相关角及线段的计算-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题14 选择填空压轴题型：立体几何中相关角及线段的计算 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）用斜二测画法画一个平面四边形的水平放置的直观图，得到一个如图所示的边长为1的正方形，则原图中的长度为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 2．（22-23高一下·江苏常州·期末）正四面体ABCD中异面直线AB与CD所成角为，侧棱AB与底面BCD所成角为，侧面ABC与底面BCD所成的锐二面角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在长方体中，已知，，则和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·江苏南京·期末）在四棱锥中，，，平面平面，，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值不可能为（    ） A． B．2 C． D．3 7．（21-22高一下·江苏南通·期末）直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为 ． 10．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，点C在圆O上，且，E为线段上异于P，B的点，则的最小值为 ． 11．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图所示，平面α⊥平面β，，直线AB与平面α，β所成的角分别为，，过A，B作两平面交线的垂线，垂足分别为，，则：AB= . 12．（22-23高一下·江苏镇江·期末）棱长为的正四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ；直线与之间的距离为 . 13．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知棱长为4的正四面体的四个顶点都在同一球面上，过棱的中点的一个平面截此球所得截面面积为（），请写出一个符合条件的的值： ． 14．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，当时，S与的交点为R，则 ；当S为四边形时，的取值范围为 ． 15．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为 ；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为 . 16．（21-22高一下·江苏无锡·期末）四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为2的等边三角形，，则球的体积为 ；若，分别为线段，的中点，则 . 17．（21-22高一下·江苏淮安·期末）在正四面体中，点E，F分别在棱，上，满足，，面，则棱长为 ，以点A为球心，为半径作一个球，则该球球面与正四面体的表面相交所得到的曲线长度之和为 ． 18．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为 ；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为 . 19．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知如图（1）为梯形，，，点E在CD上，，，，现将沿AE折成如图（2）位置，使得二面角的大小为，则直线AB与平面APE所成角的正弦值是 .    20．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知长方形纸片中，，点，分别是边，上的动点，且，将长方形纸片沿进行翻折，使得，连接，，得到一个三棱柱，如图．已知三棱柱的体积是10，当三棱柱的外接球的表面积取得最小值时，的面积是 ．      学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 选择填空压轴题型：立体几何中相关角及线段的计算 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）用斜二测画法画一个平面四边形的水平放置的直观图，得到一个如图所示的边长为1的正方形，则原图中的长度为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】由直观图还原可得原图形，结合斜二测画法即可求出边长. 【详解】由直观图还原得到原图形如下，    由斜二测画法可得，，， 所以， 故选：C. 2．（22-23高一下·江苏常州·期末）正四面体ABCD中异面直线AB与CD所成角为，侧棱AB与底面BCD所成角为，侧面ABC与底面BCD所成的锐二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定的大小即可得到结论． 【详解】过A作A在底面的射影O，∵是正四面体，∴O是底面的中心， 取的中点，连接，如图所示， 在正四面体中，平面，平面，， 又，平面，，则平面，平面，，即异面直线与所成的角为， 侧棱在底面内的射影为，则是侧棱与底面所成的角，即， ，，侧面与底面所成的角为，∴， ∵，， ∵，∴，即，则，即. 故选：A. 3．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在长方体中，已知，，则和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在长方体中，且， 所以四边形为平行四边形，， 所以和所成角等于与所成的角， 在中，，， 则， 同理， ， 在中，由余弦定理得，， 所以和所成角的余弦值为. 故选：B. 4．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，则，又，则，可得过，，三点截面为等腰梯形，利用题中数据及正四棱台的性质计算即可. 【详解】 取的中点，连接，则， 又，则，又根据正四棱台的性质得， 则为等腰梯形，即过，，三点截面为等腰梯形． 取的中点，连接， 在等腰梯形中，， 则，， 在等腰梯形中，，， 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积． 故选：A． 5．（21-22高一下·江苏南京·期末）在四棱锥中，，，平面平面，，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AD的中点E，CD的中点O，证明，，则即为二面角的平面角，从而可得答案. 【详解】平面平面，平面平面，， 取CD的中点O，连接PO，OA，,平面， 则平面ABCD，平面ABCD可得, 由，，，可得四边形ABCO为正方形， 三角形ADO为等腰直角三角形，取AD的中点E，连接OE,PE，则，, 可得平面PEO，平面PEO，， 则即为二面角的平面角，，， 则, 故选：A. 6．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值不可能为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】取中点G，连接，先证面BFG面AEC，由面面平行证面BFG，再结合条件证，即可得长度在边BG上高的长度与FG、BG较大边的长度之间，最后直接求解即可判断 【详解】如图，取中点G，连接， 点，分别是棱，的中点，则， 又，面BFG，面AEC，所以面BFG面AEC， 因为平面，故面BFG， 又是侧面正方形内一点（含边界），面BFG 面，故， 易得，，边FG上的高，故由等面积法，边BG上的高，故，又， 故选：D. 7．（21-22高一下·江苏南通·期末）直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小. 【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点， 所以，而面，面，故， 又，面，故面， 则与平面所成角为，若， 所以，，则，故. 故选：A. 8．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，做出其截面图，然后结合线面角的定义即可得到结果. 【详解】    由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且为等腰梯形，过点做，过点做，由线面角的定义可知，侧棱与底面所成角即为， 由条件可得，，,，则，,则，所以为等腰直角三角形， 所以，即. 故选：B. 二、填空题 9．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为 ． 【答案】 【分析】根据线线平行，即可求解截面四边形为等腰梯形，由梯形面积即可求解. 【详解】取的中点为,连接,则,又,故,则梯形梯形即为截面四边形， 由于,, 所以梯形为等腰梯形，则高为, 所以面积为， 故答案为：.    10．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，点C在圆O上，且，E为线段上异于P，B的点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将沿翻折，使得在平面上，再根据两点间线段最短，结合几何关系求解即可 【详解】将沿翻折，使得在平面上为如图所示，易得取最小值，此时三点共线. 由题意可得，故，又，故正.根据对称性易得，且垂足为.故， 故答案为：. 11．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图所示，平面α⊥平面β，，直线AB与平面α，β所成的角分别为，，过A，B作两平面交线的垂线，垂足分别为，，则：AB= . 【答案】 【分析】连接，设，然后根据题意用表示出的长度，即可求得结果 【详解】连接，设， 因为平面α⊥平面β，，， 所以， 所以是平面所成的角，所以， 在中，， 同理可得是平面所成的角，所以， 在中，， 在中，， 所以， 故答案为：. 12．（22-23高一下·江苏镇江·期末）棱长为的正四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ；直线与之间的距离为 . 【答案】； 【分析】将正四面体补形为正方体，求正方体的外接球的半径及其表面积可得球的表面积，再确定直线与的公垂线段，由此求两直线之间的距离. 【详解】如图，将正四面体补形为正方体， 则正四面体的外接球就是正方体的外接球， 由已知，所以正方体的边长为， 所以正方体的对角线长为，正方体的外接球的半径为， 所以球的表面积， 取的中点，的中点， 因为，， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以直线与之间的距离为线段的长， 又中，，， 所以， 所以直线与之间的距离为， 故答案为：；. 13．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知棱长为4的正四面体的四个顶点都在同一球面上，过棱的中点的一个平面截此球所得截面面积为（），请写出一个符合条件的的值： ． 【答案】4或5或6（答案不唯一） 【分析】将正四面体，置入到正方体中，正方体的外接球即为正四面体的外接球，从而得到过点的截面面积的最值，得到过点的截面圆面积取值范围为，得到答案. 【详解】如图，棱长为4的正四面体，置入到正方体中，    此正方体棱长为，四面体外接球即为此正方体外接球，球心即为正方体中心， 半径． 则过点的最大截面圆即为过球心时，此时截面圆半径即为球半径，截面面积为， 当点为截面圆圆心时，此时截面圆面积最小，其中， 最小截面圆半径为， 截面圆面积为，所以过点的截面圆面积取值范围为， 所以． 故答案为：4或5或6. 14．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，当时，S与的交点为R，则 ；当S为四边形时，的取值范围为 ． 【答案】； 【分析】设与的交点为，根据截面的性质可得，从而得到，再根据可得，从而求得；再根据截面的性质可得与平面的交线经过上求S为四边形时，的取值范围即可 【详解】如图所示，设与的交点为，根据截面的性质可得，故，即，从而得到，故. 再根据可得，即，解得，故 当S为四边形时，易得与平面的交线经过，此时，故，即，易得，故 故答案为：； 15．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为 ；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为 . 【答案】； 【分析】画出图形，求出四面体的高，从而求出四面体的体积；通过分析得到，，即O，F两点重合，画出图形，得到落在内部的长，从而求出答案. 【详解】 如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°， 因为菱形的边长为2，， 所以，， 故四面体的体积为； 当四面体的体积为1时，此时， 解得：，，即O，F两点重合， 即PO⊥底面BCD，如图2， 以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以O为圆心，半径为的圆， 落在内部的长为圆周长的一半的三分之一，所以长度为. 故答案为：；. 16．（21-22高一下·江苏无锡·期末）四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为2的等边三角形，，则球的体积为 ；若，分别为线段，的中点，则 . 【答案】； 【分析】由条件确定球心的位置及球的半径，由此求出球的体积，再证明，由此可求. 【详解】因为和是边长为2的等边三角形， 所以，， 又， 所以，， 所以，为以为斜边的直角三角形， 设的中点为，则， 故四面体的外接球的球心为， 又为四面体的外接球的球心， 所以为的中点，且球的半径为， 所以球的体积， 因为，， 所以， 所以，同理， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以， 因为，，所以为直角三角形， 又为线段的中点， 所以， 又， 所以， 故答案为：，. 17．（21-22高一下·江苏淮安·期末）在正四面体中，点E，F分别在棱，上，满足，，面，则棱长为 ，以点A为球心，为半径作一个球，则该球球面与正四面体的表面相交所得到的曲线长度之和为 ． 【答案】3； 【分析】根据平面可得，进而也为等边三角形，即可求，将球面与正四面体的四个面所得的交线分为两类，一类与侧面的交线，一类与底面的交线，结合球的截面性质即可求解. 【详解】因为平面，平面,平面平面，所以, 由于四面体每个面都是等边三角形，故也为等边三角形， 所以; 球面与正四面体的四个面都相交，所得的交线分为两类：一类与三个侧面的交线，与侧面交线为弧,弧在过球心的大圆上， 由于,所以弧的长度为：, 与侧面的交线与弧一样长， 另一类交线是与底面的交线，过作平面,, 所以,,故与底面刚好相交于底面各边的中点处，形成的交线此时是底面的内切圆， 内切圆半径为,故弧长为：， 因此所有的交线长为 故答案为：交线之和为 18．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为 ；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为 . 【答案】； 【分析】空1：利用等体积法球点到面的距离；空2：由题意可知：球A仅与平面、平面、平面和平面相交，分别分析球A与各面交线的形状，运算求解即可. 【详解】空1：由题意可得：， 因为平面，平面，可得， 设点到平面的距离为d, 因为，则，解得， 即点到平面的距离为； 空2：由题意可知：球A仅与平面、平面、平面和平面相交， 因为，此时球A与平面的交线为半径为2的圆的， 则交线的长度为； 设球A与棱的交点为，即，可得， 则， 且为锐角，则，即， 所以球A与平面的交线为半径为2的圆的， 则交线的长度为； 同理可得：球A与平面的交线的长度； 可知，所以球A与平面的交线为半径为的圆的， 则交线的长度为； 所以球面与该棱柱表面的交线的总长度为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． （2）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 19．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知如图（1）为梯形，，，点E在CD上，，，，现将沿AE折成如图（2）位置，使得二面角的大小为，则直线AB与平面APE所成角的正弦值是 .    【答案】 【分析】根据题意分析可得二面角的平面角为，平面平面，利用面面垂直的性质可证平面，再利用线面夹角的定义分析运算. 【详解】在图（1）中，， 在图（2）中，，则二面角的平面角为， 且，平面， 可得平面， 因为平面，所以平面平面， 在中，作边的高线，垂足为，连接，可得， 因为，平面平面，平面平面，平面， 可得平面，则直线AB与平面APE所成角为， 所以， 即直线AB与平面APE所成角的正弦值是. 故答案为：.    【点睛】方法点睛：求解平面图形折叠问题的关键和方法 1.关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口． 2.方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥，四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何中解决． 20．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知长方形纸片中，，点，分别是边，上的动点，且，将长方形纸片沿进行翻折，使得，连接，，得到一个三棱柱，如图．已知三棱柱的体积是10，当三棱柱的外接球的表面积取得最小值时，的面积是 ．      【答案】 【分析】分别取的中点，连接，取的中点，由直三棱柱和直角三角形的性质可得点为三棱柱的外接球球心，设，，，由已知可得外接球半径，再利用均值定理和函数单调性即可求解. 【详解】由题可知三棱柱是直三棱柱，分别取的中点，连接， 取的中点，由可得，，则点到三棱柱的六个顶点的距离都是相等， 因此点G是三棱柱的外接球的球心，      设，，，则，解得， 又因为， 所以三棱柱的外接球的半径， 若三棱柱的外接球的表面积取到最小值，只需外接球的半径取到最小值，即取最小值， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 又因为函数和在上单调递减， 所以在上单调递减， 从而当时，取到最小值， 即三棱柱的外接球的表面积取到最小值，此时的面积为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$