专题13 选择填空压轴题型：立体几何多选综合题-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题13 选择填空压轴题型：立体几何多选综合题 1．（21-22高一下·江苏泰州·期末）在棱长为1的正方体中，下列选项正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．三棱锥的体积为 2．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知圆锥的高为1，母线长为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥侧面展开图的圆心角大小为 C．圆锥截面SAB面积的最大值为 D．若圆锥的顶点和底面圆周上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为 3．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知正三棱台，，，下列说法正确的是（    ）      A．正三棱台体积为 B．侧棱与底面所成角的余弦值为 C．点A到面的距离为2 D．三棱台的外接球的表面积为 4．（22-23高一下·江苏淮安·期末）棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点.则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．与所成的角为60° C．平面截正方体的截面形状是五边形 D．点在平面内运动，且平面，则的最小值为 5．（22-23高一下·江苏常州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则下列结论正确的是（    ） A．该四棱台的体积为 B．该四棱台的侧棱长为 C．与所成角的余弦值为 D．与平面所成的角大小为 6．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则（    ） A．与始终保持垂直 B．的最小值为 C．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为 D．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为 7．（22-23高一下·江苏常州·期末）长方体中，，，，点E，点F分别线段AC，的中点，点P，点Q分别为线段AC，上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在P，Q,使得 B．三棱锥体积的最大值为10 C．若的周长为10，则 D．的最小值为7 8．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列说法正确的有（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．若为棱上一动点，则的周长的最小值为 D．过作平面，使得，则截正方体所得的截面可以是四边形 9．（22-23高一下·江苏镇江·期末）两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面所成角；在正方体中，不在同一表面上的两条平行的棱所确定的平面称为该正方体的对角面.则在某正方体中，两个不重合的对角面所成角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在矩形ABCD中，，M为边BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为线段的中点，则在翻折过程中，（    ）    A．异面直线CN与所成的角为定值 B．存在某个位置使得 C．点C始终在三棱锥外接球的外部 D．当二面角为60°时，三棱锥的外接球的表面积为 11．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则平面MPN B．若，则平面MPN C．若平面MPQ，则 D．若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形 12．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，多面体的所有棱长均为，则（    ）    A． B．平面平面 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 13．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（    ）    A． B．平面 C． 三棱锥的体积是定值 D．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大 14．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，下列判断中正确的是（    ）    A．平面平面 B． C． D．异面直线与所成角的取值范围是 15．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角为 C．，，三点共线 D．直线与平面所成角为 16．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知正方体的棱长为4，点分别是的中点则（    ） A．直线是异面直线 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的内切球的体积为 17．（21-22高一下·江苏南通·期末）在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大 D．存在点使得过有条直线分别与和所成角大小为 18．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（    ） A．若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 B．若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线都相交 C．若为以为直径的球面上的一个动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 D．若平面，则截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 19．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥外接球的表面积为9π C．点C到平面AEF的距离为 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 20．（21-22高一下·江苏淮安·期末）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别为，的中点，H为的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．平面 C． D．四面体外接球的半径为 21．（21-22高一下·江苏无锡·期末）四棱台的底面是正方形，平面，，则下列说法正确的有（    ） A．直线与直线异面 B．平面平面 C．直线与直线所成角的大小为 D．该四棱台的体积为 22．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，将和分别沿AE，AF及EF所在的直线折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P－AEF如图2所示），设M为底面AEF内的动点，则（    ） A．PA⊥EF B．二面角P－EF－A的余弦值为 C．直线PA与EM所成的角中最小角的余弦值为 D．三棱锥P－AEF的外接球的表面积为 23．（21-22高一下·江苏徐州·期末）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．直线与直线夹角为60° B．平面截正方体所得截面为等腰梯形 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若平面，则动点的轨迹长度为 24．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）已知正三棱柱的棱长均为2，点D是棱上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是（    ） A．棱上总存在点E，使得直线平面 B．的周长有最小值，但无最大值 C．三棱锥外接球的表面积的取值范围是 D．当点D是棱的中点时，二面角的正切值为 25．（21-22高一下·江苏连云港·期末）在长方体中，矩形、矩形、矩形的面积分别是，，，则（    ） A． B．长方体的体积为 C．直线与的夹角的余弦值为 D．二面角的正切值为2 26．（21-22高一下·江苏常州·期末）在正四棱锥中，，，O为底面正方形的中心，点E，F分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．四棱锥外接球的表面积为 D．点E到平面的距离为 27．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是（    ） A．直线平面 B．直线不可能与平面垂直 C．直线与所成角为定值 D．三棱锥的体积为定值 28．（21-22高一下·江苏南京·期末）在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与直线所成的角为 C．若平面过点M，且，则平面截正方体所得的截面图形的周长为 D．动点P在侧面及其边界上运动，且，则与平面所成角的正切值的取值范围是 29．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，二面角的大小为120°，点A，B在二面角的棱l上，过点A，B分别在平面和内作直线l的垂线段和，且，，，则下列结论正确的是（    ）. A．异面直线和的所成之角为120° B． C．点C到平面与点D到平面的距离之比为 D．异面直线和的之间距离是 30．（21-22高一下·江苏扬州·期末）在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有（    ）． A．三棱锥的外接球的表面积为 B．异面直线和所成的角为 C．直线CP和平面所成的角为定值 D．的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 选择填空压轴题型：立体几何多选综合题 1．（21-22高一下·江苏泰州·期末）在棱长为1的正方体中，下列选项正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．三棱锥的体积为 【答案】BD 【分析】对A，根据，且与平面相交判断即可； 对B，证明， 即可； 对C，根据三棱锥的外接球即正方体的外接球求解即可； 对D，根据求解即可 【详解】对A，因为， 与平面相交于，故与平面相交，故A错误； 对B，连接，，因为正方体，故，，，故平面，故，同理，又，故平面，故B正确； 对C，三棱锥的外接球即正方体的外接球，易得其直径为，故外接球的表面积，故C错误； 对D，，故D正确 故选：BD. 2．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知圆锥的高为1，母线长为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥侧面展开图的圆心角大小为 C．圆锥截面SAB面积的最大值为 D．若圆锥的顶点和底面圆周上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为 【答案】ABD 【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径，体积，侧面展开图的弧长，轴截面面积，外接球体积，即可得出结论． 【详解】解：因为圆锥的高为1，母线长为2， 所以圆锥的底面半径为，高为，则： 对于A，圆锥的体积，故A正确； 对于B，设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，则，，故B正确； 对于C，，因为截面的面积为： ，当时， 截面的面积最大，，故C错误； 对于D，圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥的外接球， 设圆锥外接球半径为，由球的性质可知：， 即，解得， 所以外接球的体积．故D正确． 故选：ABD. 3．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知正三棱台，，，下列说法正确的是（    ）      A．正三棱台体积为 B．侧棱与底面所成角的余弦值为 C．点A到面的距离为2 D．三棱台的外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】求得正三棱台体积判断选项A；求得侧棱与底面所成角的余弦值判断选项B；求得点A到面的距离判断选项C；求得三棱台的外接球的表面积判断选项D. 【详解】设中心为，中心为O，连接， 则 ， 在四边形中，过作于D， 则，则 取中点N，过点N作，交于H，交直线于M， 则点M为三棱台的外接球的球心. 由，可得， 则， 由，可得， 选项A：正三棱台体积为.判断错误； 选项B：设侧棱与底面所成角为，则 又，则， 则侧棱与底面所成角的余弦值为.判断正确； 选项C：设点A到面的距离为h， 由，可得 又等腰梯形中，， 则， 则，解之得. 则点A到面的距离为.判断正确； 选项D：三棱台的外接球的半径为， 则三棱台的外接球的表面积为.判断正确.    故选：BCD. 4．（22-23高一下·江苏淮安·期末）棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点.则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．与所成的角为60° C．平面截正方体的截面形状是五边形 D．点在平面内运动，且平面，则的最小值为 【答案】AC 【分析】对于A，利用再证平面即可； 对于B,首先要利用平行线做出异面所成得角，再进行求解即可； 对于C，通过增补两个正方体，根据面面平行的性质，可以做出截面图； 对于D，首先利用平面确定点位置再线段上，再做出垂线,根据相似三角形定理即可求得. 【详解】对于A，如下图，连接,易得 又,平面,又平面,故A正确.    对于B，如下图，取的中点,连接, 则又, 则或其补角为与所成的角. 又正方体棱长为2，易求得 ,则，，故B错误.    对于C，如下图，增补两个正方体，取的中点,连接,则为的中点， 连接交于连接交于,连接,则得到截面为五边.    对于D，如下图，连接    取得中点,连接,过作 平面平面 则点在线段上,最小值即为. 又,,又,.故D错误. 故选：AC. 5．（22-23高一下·江苏常州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则下列结论正确的是（    ） A．该四棱台的体积为 B．该四棱台的侧棱长为 C．与所成角的余弦值为 D．与平面所成的角大小为 【答案】AB 【分析】求出四棱台的体积和侧棱长判断AB；利用几何法求出异面直线夹角余弦、线面角的余弦判断CD作答. 【详解】在正四棱台中，，令上下底面中心分别为，连接，如图，    对于A，，A正确； 对于B，平面，在直角梯形中，， 取中点，连接，有，则，，B正确； 对于C，显然，则是与所成的角或其补角， 在等腰梯形中，，C错误； 对于D，由选项B知，平面，则是与平面所成的角， 因此，显然，D错误. 故选：AB. 6．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则（    ） A．与始终保持垂直 B．的最小值为 C．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为 D．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为 【答案】AC 【分析】根据正方体的性质，截面形状，结合空间中的垂直关系，以及空间中线段和最值的求解方法进行求解. 【详解】对于A，连接，由正方形的性质可得，由正方体的性质可得； 又，所以平面， 因为平面，所以； 同理可得，因为，所以平面； 因为平面，所以，A正确.    对于B，把沿展开到与共面，如图， 则三点共线时，最小，且最小值为， 在中，， 由余弦定理可得，B不正确.    对于C，分别取的中点，连接， 由正方体的性质可知四边形是菱形，且是过面积最小的截面. 理由如下：过点作于，设，则； 由直角三角形性质可得：； ，； 由可得，显然时，取到最小值，此时截面面积最小. 最小面积为，C正确.    对于D，过点作于点，由平面，可得； 又因为，所以平面， 以为球心，为半径的球面被平面所截的圆面的圆心为，半径为， 则，所以，即； 以为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心的圆周，其长度为，D不正确.    故选：AC. 7．（22-23高一下·江苏常州·期末）长方体中，，，，点E，点F分别线段AC，的中点，点P，点Q分别为线段AC，上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在P，Q,使得 B．三棱锥体积的最大值为10 C．若的周长为10，则 D．的最小值为7 【答案】AB 【分析】利用线面垂直可得线线垂直判断A，利用等体积法求出最大体积判断B，利用三角形边长的范围判断C，将侧面翻折到与平面同一平面，利用三点共线可判断D. 【详解】对于选项A，因为平面，平面，所以， 当点P与点C重合，点Q与重合时，，正确； 对于选项B，因为平面平面，所以点P到平面的距离h即点P到的距离h， 所以点P到平面的最大距离为3，又， 所以，所以， 即三棱锥体积的最大值为10，正确； 对于选项C，因为平面，平面，所以，又， 所以在中，，若，则点Q与点重合， 此时即的周长为，错误；    对于选项D，将矩形和矩形展开为矩形， 则，错误.    故选：AB. 8．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列说法正确的有（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．若为棱上一动点，则的周长的最小值为 D．过作平面，使得，则截正方体所得的截面可以是四边形 【答案】ABC 【分析】根据空间几何关系及正方体的性质，对选项逐个判断即可得到答案． 【详解】对于A，在正方体中，平面，所以， 又因为，且平面，平面， 所以平面，所以， 同理可证， 又因为且平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，A正确； 因为在正方体中，且，所以是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以∥平面， 又，所以点到平面的距离为定值， 而面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，B正确；    对C，如图，将绕旋转，绕旋转，使得与和与 共面，如图点在上，点在上，若周长最小，即最小， 当，，，四点共线时，最小，在中，由余弦定理得 ，所以，C正确； 对于D，如图，在正方体中，与正方体体对角线垂直的截面只有两种图形，三角形与六边形，所以D错误．    故选：ABC． 9．（22-23高一下·江苏镇江·期末）两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面所成角；在正方体中，不在同一表面上的两条平行的棱所确定的平面称为该正方体的对角面.则在某正方体中，两个不重合的对角面所成角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】结合图象，根据两个相交平面所成角的定义确定两个不重合的对角面所成角的可能大小即可. 【详解】如图：    平面与平面的交线为， 因为， 所以四边形为矩形，故，同理， 所以为二面角的平面角， 又，所以二面角的平面角为， 由相交平面所成角的定义可得平面与平面所成的角的大小为， 如图（2）    平面与平面的交线为， 因为，，平面，， 所以平面，设， 则平面，过点作， 则为二面角的平面角， 设正方体的边长为，则， 因为， 所以，所以， 所以， 所以，又， 所以， 所以平面与平面所成的角的大小为， 故选：CD. 10．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在矩形ABCD中，，M为边BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为线段的中点，则在翻折过程中，（    ）    A．异面直线CN与所成的角为定值 B．存在某个位置使得 C．点C始终在三棱锥外接球的外部 D．当二面角为60°时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AC 【分析】A选项，作出辅助线，找到或的补角为异面直线CN与所成的角，利用余弦定理求出，异面直线CN与所成的角的余弦值为定值；B选项，假如可证出，与矛盾；C选项，作出辅助线，得到即为三棱锥外接球的半径，由于，所以，可得到C正确；D选项，作出辅助线，找到即为二面角为平面角，即，求出各边长，再找到球心，利用半径相等列出方程，求出外接球半径和表面积. 【详解】A选项，矩形ABCD中，，M为边BC的中点， 所以为等腰直角三角形，故，， 翻折过程中，， 取的中点，连接， 因为N为线段的中点，所以，则或的补角为异面直线CN与所成的角， 因为M为边BC的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 其中， 由余弦定理得， 故， 故， 所以异面直线CN与所成的角的余弦值为，A正确；      B选项，因为，所以，故⊥， 假如，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以不存在某个位置使得，B错误； C选项，由于⊥，故外接圆的圆心为，设三棱锥外接球球心为，则⊥平面， 连接，则即为三棱锥外接球的半径， 由于，所以， 所以点C始终在三棱锥外接球的外部，C正确；      D选项，取的中点，连接，， 因为，所以⊥，且，所以⊥， 所以即为二面角为平面角，即， 过点作⊥于点，则，， ， 因为⊥，⊥，，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 由C选项可知，三棱锥外接球球心为，则⊥平面， 过点作⊥于点，则，， 若球心在平面的上方时，如图，此时，        由勾股定理得，， 故，解得，不合要求，舍去； 若球心在平面的下方时，如图，此时，        由勾股定理得，， 故，解得，满足要求， 代入上式可得外接球半径为， 三棱锥的外接球的表面积为. 故当二面角为60°时，三棱锥的外接球表面积为，D错误. 故选：AC 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 11．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则平面MPN B．若，则平面MPN C．若平面MPQ，则 D．若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形 【答案】ACD 【分析】根据线线平行即可判断A，根据线面平行的性质即可得矛盾判断B,根据线面线面垂直的性质即可判断C，根据平行关系，即可由线段成比例得线线平行，即可求解截面. 【详解】对于A,连接,在正方体中，可知， 当时，是的中点，则,所以 ，由于平面,平面,所以平面MPN，故A正确， 对于B, 当时，与点重合，连接交于点 ,连接, 若平面MPN,则平面,且平面平面,则， 由于是的中点，则为中点，这显然不符合要求，故B错误， 对于C, 若平面MPQ，则,由于 平面平面,又, 平面, 所以平面,平面,则, 显然 与平面不垂直，故,则, 由于为中点，所以为中点，故 ，C正确， 对于D，取中点,在 上取点,使得，在棱取,使得，在棱上取 由于分别为的中点，所以 , 同理 连接即可得到截面多边形，故D正确， 故选：ACD . 12．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，多面体的所有棱长均为，则（    ）    A． B．平面平面 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】推导出四边形为平行四边形，可判断A选项，取中点，连接、，根据两平面的二面角可判断B选项；根据对称性找到平面的垂线，根据线面角的性质可求C选项；求点到面的距离转化为求三角形的高，可判断D选项. 【详解】对于A选项，如图，设，连接、，则为、的中点，    因为，为的中点，则，同理， 因为，、平面，所以，平面， 同理可证平面，因为、有公共点，则、、三点共线， 且， 又因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，故，A对； 对于B选项，取中点为，在、中， 由正三角形的性质可得，，，平面平面， 平面，平面，则为二面角的平面角， 易知四边形是边长为的正方形，则，， 所以，， ，同理可得， 所以，，故，B错； 对于C选项，由条件可知四棱锥、四棱锥均为正四棱锥， 连接、交点为正方形的中心，则平面， 即为直线与平面所成的角， 由，，可得， 则为等腰直角三角形，所以，，C对； 对于D选项，因为，且，则， 因为平面，则， 因为是边长为的等边三角形，则， 设点到平面的距离为，由，即， 则， 因为为的中点，所以，点到平面的距离为，D对. 故选：ACD. 13．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（    ）    A． B．平面 C． 三棱锥的体积是定值 D．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大 【答案】ABC 【分析】本题利用立体几何中线面垂直的判定、面面平行的判定对A,B选项进行判断；由等体积法可判断C；D选项需要结合线面角的相关知识点，通过转化的思想去解决. 【详解】解：对于A，连接，，，，    由正方体的性质可得：，平面， 平面，所以，， 平面，所以平面， 因为平面，所以同理可得， ，平面，平面 平面，，故A正确； 对于B，连接，易证：， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 又平面， 故平面平面，平面，平面，故B正确； 对于C，设到平面的距离为，连接， ， 因为平面，所以， 点是线段上一动点，又因为，因为平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值， 也为定值，所以三棱锥的体积是定值，故C正确；    对于D，连接，平面，即为直线与平面所成角， ，当从移动至的过程中，增大，先变小再变大， 即先变大再变小，故D错误； 故选：ABC. 14．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，下列判断中正确的是（    ）    A．平面平面 B． C． D．异面直线与所成角的取值范围是 【答案】ABC 【分析】证明平面，结合面面垂直判定定理证明平面平面，判断A； 证明平面，结合线面垂直的定义证明，判断B； 由平面平面，结合锥体体积公式证明，由此判断C； 根据异面直线夹角的定义判断D. 【详解】因为，， ，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，， ，平面， 所以平面，平面， 所以， ，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，A正确； 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面，，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，平面， 所以，B正确； 因为平面平面，点在直线上， 所以点到平面的距离等于到平面的距离 所以，C正确； 因为， 所以异面直线与所成角为或中的锐角或直角， 又为等边三角形，所以当点为的中点时，， 故异面直线与所成角可能为，D错误. 故选：ABC. 15．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角为 C．，，三点共线 D．直线与平面所成角为 【答案】ACD 【分析】根据线面垂直的判定定理证明A，作出异面直线所成角，即可判断B，根据线面的位置关系判断C，找到线面角，再利用锐角三角函数计算，即可判断D. 【详解】由正方体的特性可知，平面，平面，故， 同理可得，，平面，故平面，故A正确；    连接、交于点，连接，则为的中点，为的中点， 所以， 所以为直线与直线所成角，取的中点，连接、， 令正方体的棱长为，则， ，， 所以，则为等腰三角形，所以，故B错误； 由正方体的特性可知，为正方体的体对角线，平面， 平面平面，又交平面于点， 故点在上，即，，三点共线，故C正确；    连接交于点，连接，因为，平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为直线与平面所成角，因为，， 所以，则，即直线与平面所成角为，故D正确.    故选：ACD. 16．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知正方体的棱长为4，点分别是的中点则（    ） A．直线是异面直线 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的内切球的体积为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据异面直线的概念即可判断；对于B，利用平面基本性质作出截面图形，从而可以判断；对于C，利用等体积法求解锥体体积即可判断；对于D，利用体积分割法求出锥体的内切球的半径，代入球的体积公式即可判断. 【详解】对于A，如图，取的中点，连接，取的中点，连接， 则，所以四边形是平行四边形，所以， 又因，所以直线是异面直线，故A正确；    对于B，如图，延长交于点，连接交点，连接， 因为为的中点，则， 所以为的中点，因为，所以为的中点，则， 因为，所以为平行四边形，所以， 所以，则平面截正方体所得截面为等腰梯形， 在等腰梯形中，， 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，故B错误；    对于C，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又因为为的中点，所以三棱锥的高为， ，所以，故C正确；    对于D，由题意，三棱锥为边长的正面体， 设其内切球的球心为，半径为. 则， 又， 所以，解得， 则三棱锥的内切球的体积为，故D正确. 故选：ACD. 17．（21-22高一下·江苏南通·期末）在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大 D．存在点使得过有条直线分别与和所成角大小为 【答案】AB 【分析】本题利用立体几何中线面垂直的判定、面面平行的判定对A,B选项进行判断，C,D选项需要结合线面角与异面直线成角的相关知识点，通过转化的思想去解决. 【详解】解：对于A：连接， 由正方体的性质可得： ，平面 平面，，故A正确； 对于B：连接 易证： 平面 平面 平面平面 平面，平面，故B正确； 对于C：连接，平面 即为直线与平面所成角， 当从移动至的过程中，增大，先变小再变大，即先变大再变小，故C错误； 对于：， 与成角的直线与也成， 当在或时，， 故过点的直线中，有条分别与和所成角大小为，即过有条直线分别与和所成角大小为，故D错误． 故选：AB. 【点睛】熟练利用线面垂直的性质定理，线面平行的判定定理将会对这类难题的较为简单的选项做一个清晰的判断，后面较难的有关线面角，线线角的动态变化要能够学会利用转化的思想去解决. 18．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（    ） A．若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 B．若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线都相交 C．若为以为直径的球面上的一个动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 D．若平面，则截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 【答案】ABC 【分析】A找到异面直线所成角的平面角求正切值；B利用平面的基本性质找到与面的交点，进而确定过与直线都相交的直线是否唯一；C首先确定及△外接圆圆心位置，再求外接圆半径及圆心到的距离，即可得外接球半径；D利用正方体截面的性质，动态分析截面从到过程中截面图形面积和周长的变化情况即可. 【详解】A：如下图，由则与所成角即为，而，正确； B：若为中点，而为棱的中点，则，故共面， 连接并延长交于，连接并延长交于， 又面，面，，， 故所得直线过与直线都相交， 唯一性说明：若存在过与直线都相交另一条直线，显然该直线也在面PAG内， 则与面存在另一个交点(非)，与直线与平面相交有且仅有一个交点矛盾， 所以直线为过与直线都相交的唯一直线，正确； C：由题设，当到面距离最大为球体半径时的体积最大， 此时在面两侧，距离为，可视为正方形的中心， 而△外接圆圆心为中点，其半径为，且△外接圆圆心到距离为， 故外接球半径为，故三棱锥外接球的表面积为，正确； D：如下图，平面时，截面从点到面过程中，截面面积和周长都越来越大；从面到面过程中，面积先变大后变小而周长不变；从面到过程中，面积和周长越来越小，错误. 故选：ABC. 19．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥外接球的表面积为9π C．点C到平面AEF的距离为 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为 【答案】BCD 【分析】假设，推出，又不可能有即可判断A选项；先求出外接球球心，进而求得外接球半径，求出表面积即可判断B选项；由等体积法即可判断C选项；先判断出截面形状，再求截面面积即可判断D选项. 【详解】 对于A，取中点，连接，由于是的中点，，而平面，则平面， 又平面，，若，又，平面，平面， 又平面，则，但正方形中，是中点，不可能有，则A错误； 对于B，连接交于点，则是的外心，取中点，连接，则， 又底面，则底面，又底面，则，则， 又可得，则即为三棱锥外接球的球心，又， 则外接球半径为，则外接球表面积为，B正确； 对于C，连接，，则， 则，则，，底面， 设点C到平面AEF的距离为，由可得，解得，C正确； 对于D，连接，易得，则，又， 则平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形，， 则等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，即截面面积为，D正确. 故选：BCD. 20．（21-22高一下·江苏淮安·期末）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别为，的中点，H为的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．平面 C． D．四面体外接球的半径为 【答案】ABD 【分析】根据翻折前后图形之间的关系可得，，再由直线与平面垂直的判定可得平面，进而判断A,B,C,根据四面体的外接球与为长宽高的长方体的外接球相同，即可求解. 【详解】翻折前，，，故翻折后，，， 又，平面，故B正确； 则，故A正确； 平面，平面,故,故不可能成立，故C错误； 由于,故该四面体的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，故外接球半径为，D正确； 故选：ABD. 21．（21-22高一下·江苏无锡·期末）四棱台的底面是正方形，平面，，则下列说法正确的有（    ） A．直线与直线异面 B．平面平面 C．直线与直线所成角的大小为 D．该四棱台的体积为 【答案】BCD 【分析】根据棱台的性质判断A，根据面面垂直判定定理判断B，根据异面直线的夹角的定义判断C，根据台体体积公式判断D. 【详解】如图：由棱台的性质可得，直线与直线相交与点，所以直线与直线不异面，A错， 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，B对， 因为，所以为直线与直线所成角， 因为四边形为正方形，所以， 所以直线与直线所成角的大小为，C对， 设正方形的面积为，正方形的面积为，棱台的高为，棱台的体积为， 因为平面，所以棱台的高， 又，， 所以，D对， 故选：BCD. 22．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，将和分别沿AE，AF及EF所在的直线折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P－AEF如图2所示），设M为底面AEF内的动点，则（    ） A．PA⊥EF B．二面角P－EF－A的余弦值为 C．直线PA与EM所成的角中最小角的余弦值为 D．三棱锥P－AEF的外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】根据线面垂直可判断线线垂直，故可判断A,根据二面角的几何求法即可求解，根据线面角是直线与平面内的直线所成角的的最小角即可求解C，三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，根据长方体的外接球半径即可求解. 【详解】根据题意，，，，，平面，故平面，平面，故，故A正确； 取为中点，又，所以 又，故三角形为等腰三角形，连接，则， 根据二面角的定义，显然即为所求二面角， 在三角形中，， ，又， 故， 故二面角的余弦值为，则B错误； 设点到平面的距离为，与平面所成的角为，由平面，,故，因此,因为平面,故是与平面内的所有直线所成的最小的角，故，故C正确 因为，，两两垂直， 故三棱锥的外接球半径和长宽高分别为2,2,4的长方体的外接球半径相等， 故其外接球半径， 故外接球表面积，故D正确 故选：ACD. 23．（21-22高一下·江苏徐州·期末）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．直线与直线夹角为60° B．平面截正方体所得截面为等腰梯形 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若平面，则动点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】对A，根据的平行线确定直线与直线夹角即可； 对B，根据面面平行的性质，作出平面截正方体所得截面分析即可； 对C，由题意，动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧上，再根据弧长公式求解即可； 对D，先判断过且平行于平面的平面截正方体的面，再分析的轨迹即可 【详解】对A，连接，可得正，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故A正确； 对B，根据面面平行的性质可得平面截的交线，故平面截的交点为的中点，故，故截面为等腰梯形，故B正确； 对C，若，则，故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧上，其长度为，故C错误； 对D，取中点，连接如图.由B，截面为等腰梯形，易得，，故平面平面，故的轨迹为线段，其长度为，故D正确； 故选：ABD. 24．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）已知正三棱柱的棱长均为2，点D是棱上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是（    ） A．棱上总存在点E，使得直线平面 B．的周长有最小值，但无最大值 C．三棱锥外接球的表面积的取值范围是 D．当点D是棱的中点时，二面角的正切值为 【答案】ABC 【分析】对A，在上取一点使得，从而可得判断即可；对B，展开侧面，根据两点之间线段最短可得的周长有最小值，结合D是棱上（不含端点）的一个动点判断最大值即可；对C，取中点,中点，连接并延长，交正方形的外接圆于，分析可得外接球直径即为的外接圆直径.再分析最值求解即可；对D，分别求得到平面的距离，到线段的距离，再求二面角的正切值即可 【详解】对A，在上取一点使得，则，当时， 则有平行四边形，故，则直线平面，故A正确； 对B，如图展开侧面，易得当在与的交点时取得最小值， 因为D是棱上（不含端点）的一个动点，故无最大值， 故的周长有最小值，但无最大值，故B正确； 对C，由题意，三棱锥外接球即四棱锥的外接球， 取中点,中点，连接并延长，交正方形的外接圆于， 则.易得平面平面. 根据外接球的性质有外接球的球心在平面中，且为的外接圆圆心.由对称性， 可得当在中点时，最大，此时外接球直径最小. 此时，故外接球直径 ， 此时外接球表面积.当在或者点时， 三棱锥外接球即正三棱柱的外接球， 此时外接球的一条直径与和的外接圆直径构成直角三角形， 此时外接球直径 ，此时外接球表面积.因为点D是棱上（不含端点）的一个动点， 故三棱锥外接球的表面积的取值范围是，故C正确； 对D，设到平面的距离为，则由， 即，故.设到线段的距离， 则， 解得，故二面角的正切值为 ，故D错误； 故选：ABC. 25．（21-22高一下·江苏连云港·期末）在长方体中，矩形、矩形、矩形的面积分别是，，，则（    ） A． B．长方体的体积为 C．直线与的夹角的余弦值为 D．二面角的正切值为2 【答案】BC 【分析】设，由题意可得， ，解得可判断A；求出体积可判断B；连接，所以，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，利用余弦定理求出可判断C；连接，做交与，可得为二面角的平面角，计算出可判断D. 【详解】 设，由题意可得， ，解得， 所以，故A错误； 长方体的体积为，故B正确； 连接，所以，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，因为， 所以，所以直线与的夹角的余弦值为，故C正确；      连接，做交与，因为平面，平面，所以，又，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，因为， 所以，所以，故D错误. 故选：BC. 26．（21-22高一下·江苏常州·期末）在正四棱锥中，，，O为底面正方形的中心，点E，F分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．四棱锥外接球的表面积为 D．点E到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】以O为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法进行求解：对于A：判断出两平面的法向量，即可得到平面平面；对于B：判断出两平面的法向量不垂直，所以平面平面不垂直；对于C：设外接球的球心为.由,解得：.求出球的半径，即可求出球的表面积.对于D：利用向量法求出E到平面PBC的距离. 【详解】在正四棱锥，O为正方形ABCD的中心， 所以平面ABCD, . 所以CA、BD、OP两两垂直.以O为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系. 因为，所以,所以. 因为，所以. 所以,,,,,,.所以,.,. 设平面OEF的法向量为，所以， 不妨令，则. 同理可求：平面PDC的一个法向量为；平面PBC的一个法向量为. 对于A：因为，，所以，所以， 所以平面平面.故A正确； 对于B：因为，，所以，所以不垂直，所以平面平面不垂直.故B不正确； 对于C：因为正四棱锥，所以外接球的球心落在直线OP上.设外接球的球心为.由,则，解得：. 所以球的半径. 所以球的表面积为 故C正确； 对于D：因为. 所以E到平面PBC的距离为. 故D正确. 故选：ACD. 27．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是（    ） A．直线平面 B．直线不可能与平面垂直 C．直线与所成角为定值 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直的判定定理一一判断即可； 【详解】解：如图由正方体的性质可知，平面，平面，所以平面， 同理可证平面，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可证，，平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面，所以，故C正确； 当点为的中点时，，所以平面，故B错误； 又，平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离不变，设为，又的面积不变， 所以为定值，故D正确； 故选：ACD. 28．（21-22高一下·江苏南京·期末）在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与直线所成的角为 C．若平面过点M，且，则平面截正方体所得的截面图形的周长为 D．动点P在侧面及其边界上运动，且，则与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据异面直线所成角判断A、B，通过证明线面垂直，即可判断C、D； 【详解】解：对于A：连接，显然，所以即为直线与直线所成的角， 根据正方体的性质可得为等边三角形，所以，故A错误； 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以直线与直线所成的角为，故B正确； 同理可证，，平面，所以平面， 取的中点、的中点，连接、、， 所以且，且，且， 显然平面平面， 所以平面，所以平面即为平面，所以， 即平面截正方体所得的截面图形的周长为，故C正确； 对于D：因为平面，所以线段即为点的轨迹， 所以当点与（）重合时最大，当为的中点时最小， 所以， 又平面，所以为与平面所成角， 所以， 所以与平面所成角的正切值的取值范围是，故D正确； 故选：BCD 29．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，二面角的大小为120°，点A，B在二面角的棱l上，过点A，B分别在平面和内作直线l的垂线段和，且，，，则下列结论正确的是（    ）. A．异面直线和的所成之角为120° B． C．点C到平面与点D到平面的距离之比为 D．异面直线和的之间距离是 【答案】BCD 【分析】对A，根据线线角的范围判断即可； 对B，过作矩形，根据二面角的性质结合余弦定理求解即可； 对C，根据二面角的性质可得点C到平面与点D到平面的距离之比为再计算即可； 对D，根据二面角的性质分析可得异面直线和的之间距离即到平面的距离，再根据面积公式列式求解即可 【详解】对A，因为线线角的范围为，故A错误； 对B，过作矩形如图，则，故，且平面.由余弦定理，，解得.又，故，故，故，故B正确； 对C，由题意，，，故点C到平面与点D到平面的距离之比为，故C正确； 对D，同B中图，因为，故平面，又平面，故异面直线和的之间距离即到平面的距离.因为为二面角，故到平面的距离即到平面的距离设为，则根据三角形的面积公式有，故，解得，故D正确； 故选：BCD. 30．（21-22高一下·江苏扬州·期末）在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有（    ）． A．三棱锥的外接球的表面积为 B．异面直线和所成的角为 C．直线CP和平面所成的角为定值 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对A，三棱锥的外接球即正方体的外接球，再求解外接球表面积即可； 对B，根据异面直线夹角的定义可得直线和所成的角为，进而根据为正三角形求解即可； 对C，举反例，当在和时直线CP和平面所成的角不相等判断即可； 对D，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥，由圆锥底面圆上任意一点满足，结合两点之间线段最短求解即可 【详解】对A，三棱锥的外接球即正方体的外接球，且即为外接球的直径，又，故外接球的表面积，故A正确； 对B，连接，，易得异面直线和所成的角即与所成的，根据正方体的性质可得为正三角形，故，故异面直线和所成的角为，故B正确； 对C，当在时，直线CP和平面平行，所成的角为；当在时，直线和平面不平行，所成的角不为，故C错误； 对D，由题意，，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥如图所示.则易得圆锥底面圆上任意一点满足，故.不妨设与四点共面，则易得当三点共线时，取得最小值.此时，故D正确； 故选：ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $$