专题08 选择填空中档题型：平面向量的基本定理-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题08 选择填空中档题型：平面向量的基本定理 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南通·期末）在边长为3的正方形中，，则（    ） A．-5 B．5 C．15 D．25 2．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知点D为边BC上的中点，点E满足，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 3．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 5．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 7．（21-22高一下·江苏徐州·期末）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·江苏淮安·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C． D．5 二、多选题 11．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 12．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形中，，，为中点，为中点，延长交于点，则（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一下·江苏镇江·期末）如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（    ）    A． B．若为线段的中点，则 C． D．的最小值为6 14．（21-22高一下·江苏淮安·期末）我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高一下·江苏泰州·期末）如图，已知菱形的边长为6，为中点，，下列选项正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 16．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在中，点为边上的点，且，若，则的值是 . 17．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，在四边形中，E，F分别是和的中点，若，其中，则 . 18．（21-22高一下·江苏苏州·期末）在中，，过点O的直线分别交直线于两个不同的点，若，其中为实数，则的最小值为 19．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）蜜蜂的蜂巢构造非常精巧、适用而且节省材料，蜂巢由无数个大小相同的正六边形房孔组成．由于受到了蜂巢结构的启发，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船的内部以及卫星外壳都大量采用蜂巢结构，统称为“蜂窝式航天器”．2022年五一节假日前夕，我国的神舟十三号飞行乘组平稳落地，3名航天员先后出舱，在短暂的拍照留念后，3名航天员被转移至专业的恢复疗养场所进行身体康复训练．他们所乘的返回舱外表面覆盖着蜂窝状防热材料，现取其表面中一个正六边形，它的的边长为2，若点P是正六边形的边上一点，则的取值范围是 ． 20．（21-22高一下·江苏苏州·期末）在中，已知为边上一动点，过点作一条直线交边于点. （1）若为中点，且，则 .； （2）设，则的最大值是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 选择填空中档题型：平面向量的基本定理 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南通·期末）在边长为3的正方形中，，则（    ） A．-5 B．5 C．15 D．25 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算、向量线性运算求得正确答案. 【详解】由于，所以，所以， 又，所以 . 故选：C. 2．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知点D为边BC上的中点，点E满足，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算，结合图形即可得解. 【详解】依题意，作出图形如下， 因为点D为BC上的中点，， 所以， 则，故，则. 故选：D. 3．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的图形关系并依据平面向量基本定理即可利用向量表示向量. 【详解】中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则    故选：D. 4．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选：B． 5．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用表示，结合平面向量基本定理确定其表达式. 【详解】设，， 所以， 又， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：B. 6．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，因为点在上，则，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系．        已知，，，得，， ，，， ，， ，， 因为点在上，则， 又，且、不共线， 可得，且，解得． ， ． 故选：D． 7．（21-22高一下·江苏徐州·期末）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理结合已知条件，将用表示出来，从而可求出的值 【详解】因为，所以为上靠近点的三等份点， 所以 , 因为， 所以， 所以， 故选：A. 8．（22-23高一下·江苏淮安·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可. 【详解】只要两个向量不共线，即可作为基底向量 对于A，因为，，所以，则共线，故A不符合； 对于B，因为，，所以，则共线，故B不符合； 对于C，因为，，所以，则共线，故C不符合； 对于D，因为，，所以，则不共线，故D符合； 故选：D. 9．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】由已知，，， 在向量上的投影向量为，所以， 故选：B． 10．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】利用、表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于的式子，即可求出最小值. 【详解】 三点共线 即 故的最小值为. 故选：C. 二、多选题 11．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解. 【详解】选项A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 选项B：由图可知，，，所以，故B正确； 选项C：，所以C错误； 选项D：，故D错误. 故选：AB. 12．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形中，，，为中点，为中点，延长交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】以为基底，结合向量共线的条件和平面向量基本定理，解决共线、垂直和向量数量积的运算. 【详解】如图所示，    ，，， 为中点，为中点， ，A选项错误； 设，则， 由与共线，，解得. ，所以，B选项正确； ， 所以，C选项正确； ，D选项正确. 故选：BCD. 13．（22-23高一下·江苏镇江·期末）如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（    ）    A． B．若为线段的中点，则 C． D．的最小值为6 【答案】AC 【分析】对于选项A，过作的垂直，再根据条件即可求出，从而判断出选项A的正误； 对于选项BCD，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD分析判断即可得出结果. 【详解】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，， 所以，故选项A正确； 建立如图所示平面直角坐标系，则，，，， 选项B，因为为线段的中点，则，，， 所以，由，得到，所以，故选项B错误； 设，则，， 选项C，由，得到，解得，故选项C正确； 选项D，，，所以， 令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误；    故选：AC. 14．（21-22高一下·江苏淮安·期末）我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据各边长的关系直接可判断A；根据正方形对角线互相垂直，然后观察可判断B；利用投影表示数量积可判断C；作，求出FI、BI长，然后由向量加法可判断D. 【详解】记，则 所以，即，故A正确； 由正方形性质可知，，显然不平行，所以不垂直，B错误； 因为，，所以，故C正确； 过F作，垂足为I，，即 所以，所以 则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 15．（21-22高一下·江苏泰州·期末）如图，已知菱形的边长为6，为中点，，下列选项正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】对A，根据平面向量的线性运算求解即可； 对B，根据平面向量基本定理可得 对C，以为基底计算判断即可； 对D，以为基底计算，并根据判断即可 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，因为菱形，故，故，故，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 16．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在中，点为边上的点，且，若，则的值是 . 【答案】 【分析】根据题意，由平面向量基本定理代入计算，即可得出答案. 【详解】因为点为边上的点，且， 所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 17．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，在四边形中，E，F分别是和的中点，若，其中，则 . 【答案】 【分析】由、分别是、的中点，根据相反向量的定义，易得，，利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量分别表示为和的形式，两式相加后，易得到结论． 【详解】解：、分别是、的中点， ，， 又， ① 同理② 由①②得， ． 整理得：． 又 故答案为：. 18．（21-22高一下·江苏苏州·期末）在中，，过点O的直线分别交直线于两个不同的点，若，其中为实数，则的最小值为 【答案】 【分析】利用表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于的函数，即可求出最小值. 【详解】，故， 三点共线，即， 故的最小值为. 故答案为：. 19．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）蜜蜂的蜂巢构造非常精巧、适用而且节省材料，蜂巢由无数个大小相同的正六边形房孔组成．由于受到了蜂巢结构的启发，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船的内部以及卫星外壳都大量采用蜂巢结构，统称为“蜂窝式航天器”．2022年五一节假日前夕，我国的神舟十三号飞行乘组平稳落地，3名航天员先后出舱，在短暂的拍照留念后，3名航天员被转移至专业的恢复疗养场所进行身体康复训练．他们所乘的返回舱外表面覆盖着蜂窝状防热材料，现取其表面中一个正六边形，它的的边长为2，若点P是正六边形的边上一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，求出的表达式，结合表达式的几何意义即可求得答案. 【详解】如图，以A为坐标原点AB，AE分别为x,y轴建立平面直角坐标系， 则 ,设正六边形的中心为M,则, 设点 ，则 ， 故， 而表示点和的距离的平方， 即，而 , 当P位于边的中点处取最小值，位于顶点处取值大值， 故， 所以， 故答案为：. 20．（21-22高一下·江苏苏州·期末）在中，已知为边上一动点，过点作一条直线交边于点. （1）若为中点，且，则 .； （2）设，则的最大值是 . 【答案】； 【分析】（1）利用，将展开代入数量积运算； （2）先把化简转化为齐次式，分子分母同除以，构造转化为二次式比二次式，分离常数再转化为一次式比二次式，分子分母同除以一次式，再利用基本不等式求出最值． 【详解】(1)若为中点，且，则为中位线， ； （2）， 令，则， 令，则 当时，，当且仅当时取等号， ， ， 的最大值是， 故答案为：  ． 【点睛】本题主要考查向量运算和分式函数最值得求解，运算量比较大，属于填空压轴题． 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