专题06 选择填空中档题型：向量的线性运算、模与夹角的计算-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题06 选择填空中档题型：向量的线性运算、模与夹角的计算 题型一 向量的线性运算 1．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，已知是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江苏镇江·期末）设与是两个不共线向量，向量，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．3 3．（21-22高一下·江苏淮安·期末）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知三个非零向量，，共面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则存在实数，使 5．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 6．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一下·江苏南通·期末）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量是同一条直线上的向量 C．若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得 D． 题型二 向量的模与夹角的计算 1．（21-22高一下·江苏南通·期末）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 2．（21-22高一下·江苏南京·期末）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·江苏徐州·期末）设向量，满足，则（    ） A．与的夹角为60° B． C． D． 4．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若．且，则 C．已知，则在上的投影向量是 D．三个不共线的向量满足，则O是的外心 5．（21-22高一下·江苏连云港·期末）在等腰直角三角形中，斜边，向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一下·江苏常州·期末）设向量，满足，且，则下列结论正确的是（    ）. A． B． C． D． 7．（22-23高一下·江苏无锡·期末）单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图所示设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 9．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为 . 10．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知平面向量，满足，与的夹角为，记，则的取值范围为 ． 11．（22-23高一下·江苏连云港·期末）如图，在任意四边形中，，分别为，的中点，，，边与所成角为，则线段的长度是    12．（22-23高一下·江苏南京·期末）在解析几何中，设、为直线l上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把直线l垂直的向量称为直线l的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点P到直线l的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点P到直线l的距离为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 选择填空中档题型：向量的线性运算、模与夹角的计算 题型一 向量的线性运算 1．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，已知是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的减法运算即可得到答案． 【详解】解：， 则有， 可得． 故选：C. 2．（22-23高一下·江苏镇江·期末）设与是两个不共线向量，向量，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】若，，三点共线，则存在实数，使，结合向量的线性运算可求解. 【详解】若，，三点共线，则存在实数，使， ， ∴， ∵与是两个不共线向量， ∴，且，解得， 故选：B. 3．（21-22高一下·江苏淮安·期末）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】A，B，C三点共线可转化为，结合向量的运算与向量相等即可求解 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为A，B，C三点共线， 所以，即， 所以，解得， 故选：A 4．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知三个非零向量，，共面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则存在实数，使 【答案】ABD 【分析】利用向量的传递性，平面向量数量积的定义，平面向量共线定理，对选项逐个判断，找出正确选项. 【详解】对于选项A，，，根据向量的传递性得，故选项A正确； 对于选项B，若，，因为它们为共面向量，则，故选项B正确； 对于选项C，由得，因为，，是三个非零向量， 所以得，无法推出，故选项C错误； 对于选项D，因为，为非零向量，由平面向量共线定理可知，若，则存在唯一的实数，使，故选项D正确. 故选：ABD. 5．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误. 故选：AC. 6．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 7．（21-22高一下·江苏南通·期末）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量是同一条直线上的向量 C．若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得 D． 【答案】ABC 【分析】根据零向量和共线向量的定义即可判断A,B，由共线定理可判断C，根据向量数量积的性质即可判断D. 【详解】对A,零向量的方向规定为任意方向，故错误， 对B,共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误， 对C,根据共线定理可知，，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故错误， 对D，，故正确， 故选：ABC. 题型二 向量的模与夹角的计算 1．（21-22高一下·江苏南通·期末）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D. 【详解】，, ,解得,故A错误 ,， 由于，与的夹角为，故B正确, ,故C正确 在上的投影向量为，故D错误, 故选：BC. 2．（21-22高一下·江苏南京·期末）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解. 【详解】解：因为是两个单位向量， 所以，但两向量的方向不能确定， ， 故AB错误；CD正确. 故选：CD. 3．（21-22高一下·江苏徐州·期末）设向量，满足，则（    ） A．与的夹角为60° B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对AD，将两边平方可得判断即可； 对B，根据两边平方求解即可； 对C，根据和计算即可 【详解】对AD，因为，故，即，故，故与的夹角为，故A错误，D正确； 对B，因为，故，因为故，故B正确； 对C，，故C正确； 故选：BCD. 4．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若．且，则 C．已知，则在上的投影向量是 D．三个不共线的向量满足，则O是的外心 【答案】ABD 【分析】对A，举反例判断即可； 对B，根据数量积的运算分析即可； 对C，根据条件可得，进而根据投影向量的公式求解即可； 对D，根据，结合数量积的公式可得，再同理判断即可 【详解】对A，若，则，但不一定成立，故A错误； 对B，若．且，则，即，并不能推出，故B错误； 对C，因为，故，所以在上的投影向量是，故C正确； 对D，，则，故，故，所以，即在的角平分线上，同理在的角平分线上，故为的内心，故D错误； 故选：ABD. 5．（21-22高一下·江苏连云港·期末）在等腰直角三角形中，斜边，向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先由，结合等腰直角三角形，可求出对应的模及其夹角，即可判断A，由可判断B；由可判断C；由是否等于0可判断D 【详解】由题意，等腰直角三角形，，，，又 对A，，故A对； 对B，，故B错； 对C，，故C对； 对D，，故D对； 故选：ACD. 6．（21-22高一下·江苏常州·期末）设向量，满足，且，则下列结论正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据平面向量数量积的运算性质可求得，从而求出的值，进而可求出向量，的夹角余弦值，再由数量积的运算性质判断各选项式子的正误. 【详解】解：，； ； ； ； 又；．故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D正确. 故选：CD． 7．（22-23高一下·江苏无锡·期末）单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令与的夹角为，则，利用向量的模的运算，即可得出相应的范围. 【详解】由题知，令与的夹角为，则， ，所以，， 故选：BC. 8．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图所示设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AB 【分析】根据反向坐标的定义把用表示后，根据向量的减法判断A，把模平方转化为数量积的运算判断B，计算判断C，由投影向量的定义求解判断D． 【详解】由题意， ，A正确； ，，B正确； ，C错误； ，， 在上的投影向量为，D错； 故选：AB． 9．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，利用距离和的最值求解的最小值. 【详解】因为，所以， 整理可得， 因为对任意，上式恒成立，所以； 由题意知，所以，所以. 可以看作点与点的距离之和； 如图，点关于的对称点为，则； 所以的最小值为. 故答案为：. 10．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知平面向量，满足，与的夹角为，记，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，，，依题意可得，，又，可得、、三点共线，求出到直线的距离，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面向量，满足，与的夹角为， 设，，， 则，所以，， ， 、、三点共线， 又到直线的距离， ，即的取值范围为. 故答案为： 11．（22-23高一下·江苏连云港·期末）如图，在任意四边形中，，分别为，的中点，，，边与所成角为，则线段的长度是    【答案】 【分析】根据向量加法的几何意义便可得到：，从而①②便可得出，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， ，分别是四边形的边，的中点， ，， ①②得， ， 又，，边与所成角为， ， ， 线段的长度为． 故答案为：. 12．（22-23高一下·江苏南京·期末）在解析几何中，设、为直线l上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把直线l垂直的向量称为直线l的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点P到直线l的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点P到直线l的距离为 . 【答案】 【分析】利用向量法即可求得点到直线的距离. 【详解】由已知得，，，所以， 在直线l上的投影向量的长度为， 故点P到直线l的距离. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$