第02讲 一元二次方程的解法（7个知识点+8种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02讲 一元二次方程的解法（7个知识点+8种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【例1】（2023秋•镇江期中）方程的根为　　． 【变式1】（2022秋•盱眙县期末）方程的解是　　 A．， B． C． D． 【变式2】（2023秋•姑苏区校级月考）解方程： （1）； （2）． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【例2】（2023秋•句容市月考）将方程配方后，原方程可变形为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•丹徒区期中）用配方法解方程，可以将其变形为、为常数）的形式，则　　． 【变式2】（2024•徐州二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【例3】（2023秋•广陵区期中）以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•沛县月考）代数式与的值相等时，　　． 【变式2】（2022秋•宜兴市期末）解方程： （1）； （2）． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【例4】（2023秋•鼓楼区校级月考）一元二次方程的根是　　 A．0 B．3 C．0和3 D．1和3 【变式1】（2023秋•吴江区校级月考）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 　　． 【变式2】（2023•泉山区校级三模）（1）解方程：； （2）解不等式组： 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【例5】（2023秋•赣榆区月考）若，则　　． 【变式1】（2023秋•金坛区校级月考）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 【变式2】（2023秋•沭阳县月考）阅读下面的例题，解方程 解：原方程化为．令，原方程化成 解得：， 当，；当时（不合题意，舍去） 原方程的解是 请模仿上面的方法解方程：． 知识点6．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【例6】（2023秋•南京期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　　 A．4 B． C．1 D． 【变式1】（2024•淮安区二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 　　． 【变式2】（2023秋•梁溪区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围． 知识点7．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、 配方法的综合应用． 【例7】（2023秋•姑苏区校级月考）将进行配方变形，下列正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•淮阴区校级月考）若，，则 　　．（填“”、“ ”或“” 【变式2】（2023秋•仪征市期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　　； （2）代数式的最小值为 　　； 【类比应用】 （3）试判断代数式与的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 经典题型汇编 题型一.解一元二次方程——直接开平方法 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）计算：． 题型二.解一元二次方程——配方法 4．（2023九年级上·江苏·专题练习）将方程配方后，原方程变形为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 题型三.配方法的应用 7．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为 ． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 题型四.根据判别式判断一元二次方程根的情况 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 11．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根等于，求的值． 题型五.根据一元二次方程根的情况求参数 13．（22-23九年级上·江苏常州·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取的正整数为（　　） 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）使得方程有两个不相等实根，则k的取值范围是 ． 15．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）解方程 ． （2）关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 题型六.公式法解一元二次方程 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·江苏·期中）已知代数式的最小值为，则的值为 ． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 题型七.因式分解法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）方程的根是 ． 21．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）解下列方程式 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八.换元法解一元二次方程 22．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 23．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）若实数x，y满足，则的值为 ． 24．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若关于的一元二次方程：没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，数轴上点表示方程的两个根，它们在数轴上的对应点的位置可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）方程的解是 ． 12．（23-24九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根是 ． 13．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）关于x的一元二次方程，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．则黄金分割数为 ． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 16．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ． 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 18．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 20．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 21．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于x的方程 (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 23．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)（配方法）． 24．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 26．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式　　； （2）若可配方成（m、n为常数），则　　； 【探究问题】（1）已知，则　　； （2）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元二次方程的解法 （7个知识点+8种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【例1】（2023秋•镇江期中）方程的根为　，　． 【分析】直接利用开平方法解方程得出答案． 【解答】解： 则， 解得；，． 故答案为：，． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． 【变式1】（2022秋•盱眙县期末）方程的解是　　 A．， B． C． D． 【分析】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方即可得到方程的解． 【解答】解：， 变形得：， 开方得：，； 故选：． 【点评】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的依据是解题的关键． 【变式2】（2023秋•姑苏区校级月考）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）直接开平方法即可解决问题． （2）先化分式方程为整式方程，注意最后检验即可． 【解答】解：（1）， ， 则或， 所以，． （2）两边都乘得， ， 即， 解得，， 当时，； 当时，， 所以是原方程的增根，故舍去， 所以原方程的解为． 【点评】本题考查解一元二次方程和解分式方程，熟知一元二次方程和分式方程的解法即分式方程需要检验是解题的关键． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【例2】（2023秋•句容市月考）将方程配方后，原方程可变形为　　 A． B． C． D． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：， ， 则，即， 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1】（2023秋•丹徒区期中）用配方法解方程，可以将其变形为、为常数）的形式，则　1　． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出的值． 【解答】解：， ， ，即， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是关键． 【变式2】（2024•徐州二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 解得：，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程和解一元一次不等式组，能正确配方是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 【例3】（2023秋•广陵区期中）以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据公式法即可求出答案； 【解答】解：由题意可知：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【变式1】（2023秋•沛县月考）代数式与的值相等时，　或　． 【分析】利用题意列方程，然后把方程化为一般式后利用因式分解法解方程． 【解答】解：根据题意得， 即， ， 或， 所以，； 故答案为：或． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 【变式2】（2022秋•宜兴市期末）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）， ， ，即， ， ，； （2）， ， ， ， ，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【例4】（2023秋•鼓楼区校级月考）一元二次方程的根是　　 A．0 B．3 C．0和3 D．1和3 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：或， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 【变式1】（2023秋•吴江区校级月考）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 　12　． 【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长． 【解答】解：解方程， 得，， 第三边， 第三边长为5， 周长为． 【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论． 【变式2】（2023•泉山区校级三模）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）分别解两个不等式，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）， ， 或， ，； （2）， 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集为． 【点评】本题考查了解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了因式分解法解一元二次方程． 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【例5】（2023秋•赣榆区月考）若，则　3　． 【分析】把看成是一个整体，用十字相乘法因式分解，解关于的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，在解题过程中，体现整体思想，对没意义的值要舍去． 【变式1】（2023秋•金坛区校级月考）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 【分析】设，则原方程化为，求出，，求出或3，根据、为直角三角形的两直角边得出且，再求出答案即可． 【解答】解：， 设， 则原方程化为：， ， ， 或， ，， 即或3， ，是一个直角三角形两条直角边的长， ，， ， 舍去， 即． 故答案为：3． 【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键． 【变式2】（2023秋•沭阳县月考）阅读下面的例题，解方程 解：原方程化为．令，原方程化成 解得：， 当，；当时（不合题意，舍去） 原方程的解是 请模仿上面的方法解方程：． 【分析】将方程第一项变形为，设，将方程化为关于的一元二次方程，求出方程的解得到的值，即为的值，利用绝对值的代数意义即可求出的值，即为原方程的解． 【解答】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程分解因式法，弄清题意阅读材料中的例题的解法是解本题的关键． 知识点6．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【例6】（2023秋•南京期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　　 A．4 B． C．1 D． 【分析】由一元二次方程根的判别式，解出即可． 【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根， △， ， 解得，； 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根． 【变式1】（2024•淮安区二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 　　． 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：△， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 【变式2】（2023秋•梁溪区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围． 【分析】（1）计算根的判别式得到△，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得到，，则，然后解不等式即可． 【解答】（1）证明：△ ， 此方程总有两个实数根； （2）， ，， 此方程恰有一个根小于， ， 解得， 即的取值范围为． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 知识点7．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、 配方法的综合应用． 【例7】（2023秋•姑苏区校级月考）将进行配方变形，下列正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】因为，则有，，进而可把进行配方变形． 【解答】解： ， 进行配方变形为． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程配方法的应用，综合性较强，难度适中． 【变式1】（2024春•淮阴区校级月考）若，，则 　　．（填“”、“ ”或“” 【分析】先作差计算，再利用配方法判断结果的范围，从而可得答案． 【解答】解：，， ； ，则， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是代数式的值的大小比较，配方法的应用，熟练的利用配方法判断代数式的值的范围是解本题的关键． 【变式2】（2023秋•仪征市期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　4　； （2）代数式的最小值为 　　； 【类比应用】 （3）试判断代数式与的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 【分析】（1）依据题意，由配方法的意义得，是完全平方式，进而判断可以得解； （2）依据题意，由，再由平方数是非负数进而可以判断得解； （3）依据题意，将与相减，然后判断差的大小，进而可以得解； （4）依据题意，设，从而表示出，然后再表示出四边形的面积，结合的取值范围进而可得围成的生物园的最大面积． 【解答】解：（1）由题意得，是完全平方式． 故答案为：4． （2）由题意，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：． （3）．理由如下： ， ． （4）设， ． ，生物园的面积． 又 ， ， 当时，取得最大值，最大值为32． 答：当时，面积最大为． 【点评】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键． 经典题型汇编 题型一.解一元二次方程——直接开平方法 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．两边直接开平方得：，进而可得答案． 【详解】解：， 两边直接开平方得：， 则，． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法．熟练掌握负数没有平方根是解题的关键． 根据负数没有平方根，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵关于的方程没有实数根， ∴，即， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）计算：． 【答案】， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法计算即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 所以，． 题型二.解一元二次方程——配方法 4．（2023九年级上·江苏·专题练习）将方程配方后，原方程变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是要注意解题步骤的准确应用．根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出的值． 【详解】解：， ， ，即， ， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用配方法法求解即可； （）利用因式分解法法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，． 题型三.配方法的应用 7．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 先移项，再配方，最后得出选项即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方得：， ． 故选：B． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用； 先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即A的最小值为， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 【答案】(1)， (2) (3)当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元 【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值； （）把代入化成的 形式，即可求出最小值； （）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案； 本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式． 【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，     ∴的最小值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∴当，即时，取最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为， 当，即时，取最小值为， ∴最低费用是(元)， 答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元． 题型四.根据判别式判断一元二次方程根的情况 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查判别式与根的关系，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键．根据判别式的值确定根的情况即可． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根， 故选：． 11．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：17 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根等于，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，以及一元二次方程根的定义； （1）计算，即可得证； （2）把代入方程，即可求解． 【详解】（1）证明：，，，， 此方程总有两个实数根； （2）解：此方程恰有一个根等于， 把代入方程，得 . 题型五.根据一元二次方程根的情况求参数 13．（22-23九年级上·江苏常州·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取的正整数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：根据题意得， 解得， 正整数的值为． 故选：A． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）使得方程有两个不相等实根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次根的情况得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等实根， ∴， ∴， 故答案为： 15．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）解方程 ． （2）关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）（2）m的值为7或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式等知识． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个相等的实数根可以得到，解关于m的方程即可求解． 【详解】解：（1）， 移项得 ， 配方得 ， 即 ， ∴， ∴； （2）∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴m的值为7或． 题型六.公式法解一元二次方程 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 17．（23-24九年级上·江苏·期中）已知代数式的最小值为，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法及一元二次方程的求解．将代数式配方成，即可求解． 【详解】解：∵ ∴的最小值为， ∴ 整理得： 解得： 故答案为： 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程公式法，因式分解法．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ，． 题型七.因式分解法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程转换为两个一元一次方程求解即可 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选C 20．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）方程的根是 ． 【答案】，； 【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再化为两个一次方程即可，掌握因式分解的方法解方程是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 21．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）解下列方程式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】 本题考查了一元二次方程的不同解法；能根据一元二次方程的不同形式选择恰当的解法是解题的关键． （1）可求，，，，由求根公式，进行求解即可； （2）对左边进行因式分解，化为的形式，即可求解； （3）化成的形式，当时，直接开平方；当时，原方程无实根；据此即可求解； （4）化成一般式后可得，，，，由求根公式，进行求解即可； 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ，，， ， ， ，． 题型八.换元法解一元二次方程 22．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，则，得出，即可解答． 【详解】解：令， 则方程可改写为：， ∵一元二次方程的解是，， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：C． 23．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．设，则原方程左边变为：，解方程可得a的值即可． 【详解】解：设，则原方程左边变为：， 整理得，， ∴， 解得或， ∵， ∴， 故答案为4． 24．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 【答案】3 【分析】设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值即可． 【详解】解：设， 可得原方程为， 解得， ， ， 即的值为3． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用换元法是解本题的关键． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练选择解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤进行解答即可． 【详解】解： ， 故选：D． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，涉及配方法，先移项，再系数化1，然后配成完全平方式，据此作答即可． 【详解】解：因为 所以 则 即 故选：D 4．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法即可解题． 【详解】解： ， 故选：D． 5．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，得两个不相等的实数根，据此即可作答． 【详解】解：A、∵， ∴此方程没有实数根， 故本选项不符合题意； B、∵， ∴此方程有两个相等实数根， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴此方程没有实数根， 故本选项不符合题意； D、∵， ∴此方程有两个不相等的实数根， 故本选项符合题意； 故选：D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若关于的一元二次方程：没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根得到，列出不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故选：． 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论． 【详解】解：设方程中， 则方程变为 ∵关于的方程的解为，， ∴关于的方程的解为，， ∴对于方程，或， 解得：，， 故选B． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法：当二次项系数化为1时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； 【详解】解： ， 即或 ， 所以，这位同学是乙， 故选：B． 9．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，数轴上点表示方程的两个根，它们在数轴上的对应点的位置可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，用数轴表示实数，先求出方程的两个根，再根据根的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴它们在数轴上的对应点的位置可以是D； 故选D． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种解法是解题的关键． 先移项、然后再运用因式分解解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ，． 故答案为：，． 12．（23-24九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练直接开平方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：， ， 则原式化为：， ， 代数式的最小值等于， 故答案为：11． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）关于x的一元二次方程，当 时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．则黄金分割数为 ． 【答案】 【分析】依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解． 【详解】依据题意， 将代入得， ，， ∴ 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将看成一个整体计算即可． 【详解】解：设， 原方程为：， 解得， ， ． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用、直接开平方等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 由可得，再对配方得到，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：可得， ， ， 所以． 故答案为：． 17．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的分布情况，由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，利用有且只有一个根在的范围建立不等式组，求解即可得出结论，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】根据题意得，， ∴， ①当时，即， ∴原方程为， ∴，不满足条件； ②当时，原方程有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）有且只有一个根在的范围内， ∴Ⅰ、， ∴， Ⅱ、， ∴无解； 故答案为：． 18．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可． 【详解】解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为：3． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，然后提取公因式分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 20．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】 本题主要考查解一元二次方程． （1）利用直接开平方方解方程即可． （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 则， 即或， ∴，． （2）原方程可化为， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， ∴，． 21．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于x的方程 (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【答案】(1)此方程有两个不相等的实数根 (2)解得或 【分析】 本题考查了公式法解一元二次方程以及求出判别式是值来判断方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，代入数值进行计算，即可作答． （2）把代入，得到关于的一元二次方程，再运用公式法解一元二次方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根： （2）解：将代入方程，得：， 整理得：， 解得或 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1)且 (2)0或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式以及一元二次方程的定义列不等式组求解即可； （2）先根据题意得出，然后代入解方程得出，，然后分相同的根为1和3两种情况求m的值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴,解得：且． （2）解：∵且，k是符合条件的最大整数， ∴， ∴，解得，． 当相同的根为1时，有，解得； 当相同的根为3时，有，解得． 故m的值为0或． 23．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)（配方法）． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，并两边同除以4，然后利用直接开平方法求解即可； （2）先整理原方程，然后利用因式分解法求解即可； （3）先移项，再将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案； （4）将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【详解】（1）解：， ∴， ∴ ∴或， ∴， ； （2）解：， 整理得：， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∴ ∴， ∴或， ∴，； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 24．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根； 【详解】解：设，则原方程可化为 解得∶ 当时，，解得 当时，，方程无解 原方程的根是． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 26．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式　　； （2）若可配方成（m、n为常数），则　　； 【探究问题】（1）已知，则　　； （2）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】解决问题：（1）；（2）；探究问题：（1）；（2）当时，为“完美数”，理由见解析；拓展结论：当时，最大，最大值为 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． [解决问题]（1）把34分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值； [探究问题]（1）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （2）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； [拓展结论]由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：解决问题：（1）根据题意得：； 故答案为：； （2）根据题意得：， ，， ∴； 故答案为：； 探究问题：（1）∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （2）当时，为“完美数”，理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； 拓展结论：， ，即， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$