专题04 选择填空中档题型：平面向量的坐标运算-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题04 选择填空中档题型：平面向量的坐标运算 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知点，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知，，若，则（    ） A．0 B． C． D． 3．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知向量与的夹角为，，，则（    ）. A． B． C．或 D．以上都不对 6．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 8．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知向量， ，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高一下·江苏南京·期末）设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为 11．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 12．（21-22高一下·江苏扬州·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（22-23高一下·江苏苏州·期末）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（    ）      A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 15．（22-23高一下·江苏连云港·期末）设点是的外心，且（，），则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是正三角形，则 D．若，，，则四边形的面积是17 16．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知向量，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时，与的夹角为锐角 D．若，则与的夹角的余弦值为 17．（22-23高一下·江苏南通·期末）下列命题为真命题的有（    ） A．已知非零向量，，，若，，则 B．若四边形ABCD中有，则四边形ABCD为平行四边形 C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 18．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的相反向量是 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．若，则 19．（21-22高一下·江苏苏州·期末）下列说法中正确的有（    ） A．对于向量，，，有 B．与向量的夹角为的单位向量是 C．，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．中，是边上一点，满足，，则 20．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知正六边形的中心为，则（    ） A． B． C．存在， D． 三、填空题 21．（22-23高一下·江苏苏州·期末）向量，且，则 ． 22．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图所示，为正三角形，，则 ．    23．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知，，，则在上的投影向量的坐标为 ． 24．（21-22高一下·江苏常州·期末）已知向量，则与共线且方向相反的单位向量的坐标为 . 25．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，已知菱形的边长为，，，则 ． 26．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）已知向量，若与平行，则实数 ． 27．（21-22高一下·江苏盐城·期末）设平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 . 28．（21-22高一下·江苏常州·期末）已知点，，均位于单位圆（圆心为，半径为1）上，且，则 ；的最大值为 . 29．（21-22高一下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xoy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为 30．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 选择填空中档题型：平面向量的坐标运算 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知点，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由列方程可求出，从而可得答案 【详解】由，，得， 设，则， 因为，所以， 解得， 所以点的坐标为， 故选：A. 2．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知，，若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由平面向量共线的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，且，则，解得. 故选：C. 3．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解. 【详解】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线， 所以， 所以， 故选：D. 4．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据向量数量积小于0，以及不共线可解. 【详解】由题可知，即， 又向量不共线，所以，， 所以实数k的取值范围为且. 故选：B. 5．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知向量与的夹角为，，，则（    ）. A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】由向量模的坐标运算及数量积的运算律可得，再由数量积的定义求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以， 因为向量与的夹角为，所以， 所以. 故选：B. 6．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，，，再根据夹角公式计算可得. 【详解】因为，，所以，， ， 设与的夹角为，则，又，所以. 故选：A. 7．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由两向量平行的坐标表示列出等式，即可解出答案. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故选：D. 8．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知向量， ，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示可求得，再根据二倍角正切公式，即可得答案. 【详解】由题意向量， ，， 则， 故， 故选：A. 9．（21-22高一下·江苏南京·期末）设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为A，B，D三点共线，所以有，即 因为，为平面内一个基底，所以，不是共线向量，因此有， 故选：D. 10．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为 【答案】D 【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可. 【详解】对于A，，则，A错误； 对于B，，则不平行，B错误； 对于C，，又，则，C错误； 对于D，在上的投影向量的模为，D正确. 故选：D. 11．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示计算． 【详解】由已知，， 又与共线，所以，解得． 故选：C． 12．（21-22高一下·江苏扬州·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】由已知可得，解得. 故选：A. 13．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合点坐标可得点的坐标． 【详解】为坐标原点， 由已知， ， 又，所以点坐标为， 故选：A． 二、多选题 14．（22-23高一下·江苏苏州·期末）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（    ）      A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】对于A、B，利用向量减法的几何意义，结合数量积的定义式，化简，根据角的取值范围，可得答案; 对于C、D，由题意作图，根据几何性质，求得边长，结合向量加法与数乘，可得答案. 【详解】对于A，， 因为．所以，所以， 即，A正确；B错误； 对于C，如图，当时，可判断为中点，， 则，，作，则四边形为平行四边形， 则，，所以，， 所以．所以，C错误，D正确． 故选：AD．    15．（22-23高一下·江苏连云港·期末）设点是的外心，且（，），则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是正三角形，则 D．若，，，则四边形的面积是17 【答案】ACD 【分析】分别根据平面向量三点共线定理及三角形外心的性质判断即可求解. 【详解】对选项A：因为，则，，三点共线，且点是的外心， 所以，所以为中点，所以是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 对选项B：因为，则，，三点共线， 易知是以为直角顶点的直角三角形，且为的中点，则，，故B错； 对选项C：因为是正三角形，则也是的重心， 故，则，故C对； 对选项D：因为，故在外，又， 所以，又，， 则，故D对. 故选：ACD. 16．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知向量，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时，与的夹角为锐角 D．若，则与的夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，利用特例说明C，由数量积的坐标表示计算B、D. 【详解】因为，， 对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当时，此时，所以与共线同向，故C错误； 对于D：若时，则，，， 所以，即与的夹角的余弦值为，故D正确； 故选：ABD. 17．（22-23高一下·江苏南通·期末）下列命题为真命题的有（    ） A．已知非零向量，，，若，，则 B．若四边形ABCD中有，则四边形ABCD为平行四边形 C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】由平面向量基本定理结合投影向量的运算逐一判断即可． 【详解】对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，故A正确； 对于选项B，四边形ABCD中有，由平行四边形判定定理可得， 四边形ABCD为平行四边形，故B正确； 对于选项C，，，则，即， 则，不能作为平面向量的一组基底，故C错误； 对于选项D，向量，，则，， 故向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 18．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的相反向量是 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD. 【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确； 对于B，因为，所以， 又，且，所以，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，又，且， 所以，解得，故D错误． 故选：AC. 19．（21-22高一下·江苏苏州·期末）下列说法中正确的有（    ） A．对于向量，，，有 B．与向量的夹角为的单位向量是 C．，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．中，是边上一点，满足，，则 【答案】CD 【分析】对A，由向量数量积为标量即可判断； 对B，设单位向量，由，，求解即可判断； 对C，非零向量，，由 夹角为即可判断； 对D，，即可求出，即可判断 【详解】对A，向量数量积为标量，故不一定等于，故A错； 对B，设单位向量，则有，又，可解得，或，故与向量的夹角为的单位向量是或，故B错； 对C，存在负数，使得，则反向，则，充分性成立；当成立，夹角为，则不一定反向，必要性不成立，故“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件，C对； 对D，因为，故，故，则，故D对； 故选：CD. 20．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知正六边形的中心为，则（    ） A． B． C．存在， D． 【答案】ACD 【分析】根据平面向量的的平行四边形法则和三角形法则可判断A、B，以为原点建立坐标系，可判断C，结合平面向量的数量积的定义可判断D. 【详解】对A，因为六边形，所以 所以，故A正确； 对B，，故B不正确； 对C，以为原点，建立坐标系，则设正六边形的边长为，则 ， ，，所以存在，使得，所以C正确. 对D，设正六边形的边长为，， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 21．（22-23高一下·江苏苏州·期末）向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得，再建立平面直角坐标系，利用坐标求解夹角的余弦作答. 【详解】由，得，即，而，则，即， 以的方向分别为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图， 则，于是，有， 所以. 故答案为：. 22．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图所示，为正三角形，，则 ．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，把数量积运算转化为坐标运算. 【详解】如图建立平面直角坐标系，    易知：， ∴， ∴， 故答案为：. 23．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知，，，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】求得，计算出，根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】由题意可得，则， 故在上的投影向量为， 即在上的投影向量的坐标为， 故答案为：. 24．（21-22高一下·江苏常州·期末）已知向量，则与共线且方向相反的单位向量的坐标为 . 【答案】 【分析】设，由题可得，据此可得答案. 【详解】设，因与反向，则，又为单位向量， 则，即. 故答案为：. 25．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，已知菱形的边长为，，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知建立直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算公式即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 由题意可知，. 设,则， 因为，所以， 即，解得，， 所以， 所以. 故答案为：. 26．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）已知向量，若与平行，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据与平行，利用共线向量定理求解. 【详解】解：因为向量， 所以， 又因为与平行， 所以， 解得， 故答案为：1. 27．（21-22高一下·江苏盐城·期末）设平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】由向量坐标运算可分别求得和，则所求投影向量为. 【详解】，， 在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 28．（21-22高一下·江苏常州·期末）已知点，，均位于单位圆（圆心为，半径为1）上，且，则 ；的最大值为 . 【答案】； 【分析】根据弦长公式可求得，利用平面向量的线性运算及数量积的定义可求解的值；建立直角坐标系，设，，三点的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解的最大值. 【详解】解：因为，圆的半径为1，所以， 又，所以； 以圆心为原点，建立直角坐标系，设， 则， 则，因为，所以的最大值为. 故答案为：；. 29．（21-22高一下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xoy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为 【答案】 【分析】根据A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，得到，然后利用向量的加法和减法运算法则求解. 【详解】解：因为A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)， 所以， 所以， 则， 所以 以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为， 故答案为：. 30．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设，然后表示出，由可得，代入中求其模，利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 可知，，分别在线段、上， 设（）， 则， 所以， 所以， ， 所以 ， 设，则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$