第02讲 矩形的性质与判定（4个知识点+10种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02讲 矩形的性质与判定 （4个知识点+10种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【例1】（2023秋•紫金县期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：测量某三角形部件的尺寸．已知，点为边的中点，点、对应的刻度为1、7，则 　 　． 【变式1】（2024春•新建区月考）如图，在中，，，，是的中点，则的长为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024春•雨花区校级月考）笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点与点被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则，之间的距离为 　　． 【变式3】（2024•北京模拟）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． （1）求证：． （2）已知，，连接，求的面积． 知识点2．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【例2】（2024•安乡县一模）两个矩形的位置如图所示，若，则　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•雁塔区校级四模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的三等分点，且CE＜DE，连接AE，G为AE的中点，连接CG并延长，与AD交于点F，若AD＝12，则线段AF的长是 　　． 【变式2】（2024春•思明区校级月考）如图，是矩形对角线的交点，，，则的长为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】（2024•曹妃甸区模拟）如图，点是矩形的边延长线上一点，连接，，交于点，作交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求的长． 知识点3．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【例3】（2024•阎良区二模）已知的对角线相交于点，若要使成为矩形，可添加下列哪个条件　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024春•荔城区校级期中）如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是　　 A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【变式2】（2024•海淀区校级模拟）如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件：当 　　时，四边形为矩形． 【变式3】（2024•沈阳模拟）如图，的对角线、交于点，点是上一点，点在延长线上，且，与交于点． （1）求证：； （2）连结、，如果，且恰好是的中点，求证：四边形是矩形． 知识点4．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【例4】（2024•龙湖区校级一模）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为 　　． 【变式1】（2023秋•太谷区期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，点为中点，则最小值为　　 A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 【变式2】（2024•雷州市一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接．若，，，则的最小值是 　　． 【变式3】（2024•文山市模拟）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 经典题型汇编 题型一.矩形性质理解 1．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）矩形不具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．四角相等 D．对角线互相垂直 2．（21-22九年级上·江西南昌·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'C'D'，使得点B'落在边AD上，则∠C'AC的度数为 °． 3．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在矩形中，点，分别是，的中点．求证：．    题型二.利用矩形的性质求角度 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D．不确定 5．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）如图，矩形中，于，，则的度数等于 ．    6．（21-22九年级上·四川成都·期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝2∶1，则∠BDF的度数是多少？ 题型三.根据矩形的性质求线段长 7．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）如图，四边形是矩形，点，，将矩形绕点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是 ．    9．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点． (1)如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； (3)如图③，将矩形旋转一定角度后，连接交于点，连接，直接写出的值． 题型四.根据矩形的性质求面积 10．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，在矩形中，，E，G分别是边的五等分点，F，H分别是边的三等分点，若四边形的面积为1，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动，设运动开始后第t秒钟后，五边形 的面积为，S与t的函数关系式为 ； 为时，五边形 的面积为．    12．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，点E、F分别为垂足．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求矩形的面积． 题型五.利用矩形的性质证明 13．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在矩形中，平分交于点E，若，，则的长（　　） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，点在上，连接、，，点在上，，若，则的长为 ． 15．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，且，．求证：四边形是菱形． 题型六.求矩形在坐标系中的坐标 16．（20-21九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．    18．（19-20九年级上·山西太原·期中）问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点． 操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，． (1)如图，当点落在边上时，求点的坐标； (2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：； (3)拓展探究：如图，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七.矩形与折叠问题 19．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ）    A．9 B．12 C．15 D．16 20．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）在矩形中，，，点E为上一点，且，连接，将沿翻折，得到．当射线经过线段的三等分点时，的长为 ． 21．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，与对角线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型八.矩形的判定定理理解 22．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，若两条对角线相等，则平行四边形为 形． 23．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量其中三个内角是否都为直角 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相平分 24．（22-23九年级上·山东青岛·期末）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，直线及外一点A． 求作：矩形，使边在直线上，对角线． 题型九.添一条件使四边形是矩形 25．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，平行四边形中，增加一个条件，能判定它是矩形的是(    ) A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，平行四边形的对角线与交于点O，请你添加一个条件使它是矩形，你添加的条件是 ． 27．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，为的一条中线，点为的延长线上一点，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是矩形．    (1)你添加的条件是______________； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 题型十.证明四边形是矩形 28．（23-24九年级上·全国·期末）顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（　　） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形． 30．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（    ） A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，，则对角线的长是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　）    A．2 B． C．1 D． 5．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图所示，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形，那么线段与的比等于（　　） A．25：23 B．5：4 C．25：24 D．4：3 6．（21-22九年级上·湖北十堰·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，点E在上，交于点F，且．若，矩形的周长是16，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 8．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在矩形中，，，为的中点，点，G分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（　　） A．18 B．14 C．16 D．12 9．（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边、垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 10．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2022九年级上·全国·专题练习）矩形的定义：有 的平行四边形叫做矩形． 12．（21-22九年级上·福建三明·期中）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于 ． 13．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可） 14．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：点P为矩形所在的平面上一点，且的面积和的面积分别为1.5和2，则矩形的面积为 ． 15．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图．中，的垂直平分线分别交于点D、F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积是 16．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 17．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，点D在边上，，点E是边所在直线上的一动点，连接，将绕点D顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 ． 18．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图，将沿矩形的对角线折叠，使得点落在点处，点为上一点，连接，若，则的长为 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·广东清远·期中）如图，四边形的对角线，交于点，已知是的中点，，    (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 20．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，点E、F分别是边、上的一点，且，．求证：． 21．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线、相交于点O，，，两动点E、F同时分别以的速度从点A、C出发在线段上运动，    (1)求证：当E、F运动过程中不与点O重合，四边形一定为平行四边形； (2)设E、F的运动时间为，则当t为何值时，四边形为矩形． 22．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上一个动点，将线段绕点顺时针旋转到线段，连接、，设，和矩形的重叠部分面积为． (1)求线段的长度； (2)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 23．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，四边形中，，点在上，平分，若． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当时，延长、交于点，在上取点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 24．（23-24九年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 应用一：分解因式， 我们可以进行以下操作： 先配方 ， 再利用平方差公式可得， ． 应用二：求代数式的最小值． 解：∵ ， ∵， ∴， ∴当，即时，的最小值是5． 【问题解决】 (1)分解因式： ； (2)代数式的最小值 ； (3)某养殖场要将一块长为8米，宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？ 25．（23-24九年级上·广东深圳·期中）大新同学在学习北师大版九上第一章《特殊平行四边形》，通过习题1.4的第4题，知道了“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．大新设计了一个新的游戏机：如图1，用点表示灯泡，外圈8个灯泡平均分布在大圆内，内圈8个灯泡也平均分布在同一个圆心的小圆上，亮着的4个灯泡形成平行四边形．规定每一次4个灯泡亮，若形成某个特殊平行四边形，可换取对应的五角星★数；示例：图1，可获得★．    (1)如果其中亮起的3个灯号为A、V、E三点，则第4个亮着的灯号为哪一点时，获得的★数？请在图2上画出对应的图形． (2)如果获得★，其中亮起的2个灯号为A、E两点，则另外2个亮着的灯号可能为哪两个？并请在图3上画出所有的可能的情况． 26．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，其中点与点，点与点分别是对应点，连接． (1)如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，与交于点，连接． ①求证：平分． ②取的中点，连接，求证：． ③若，，求的长． (2)若点A，E，D第二次在同一直线上，，，直接写出点D到距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 矩形的性质与判定 （4个知识点+10种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【例1】（2023秋•紫金县期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：测量某三角形部件的尺寸．已知，点为边的中点，点、对应的刻度为1、7，则　3　． 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长． 【解答】解：由图可得， ，，点为线段的中点， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式1】（2024春•新建区月考）如图，在中，，，，是的中点，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由，是的中点，得，从而可证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【解答】解：，是的中点， ， ， 是等边三角形， ， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【变式2】（2024春•雨花区校级月考）笔直的公路，，如图所示，，互相垂直，的中点与点被建筑物隔开，若测得的长为，的长为，则，之间的距离为 　　． 【分析】由题意可以知为直角三角形，根据勾股定理可以求得，再利用直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半），即可求得． 【解答】解：，互相垂直， ， 为直角三角形， 由勾股定理得， 又为的中点， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解本题的关键． 【变式3】（2024•北京模拟）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． （1）求证：． （2）已知，，连接，求的面积． 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论； （2）作于，根据题意求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：连接， 在中，点是的中点， ， ， ，又， ． （2）解：作于， ，， ， ，， ， ， 的面积． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键． 知识点2．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【例2】（2024•安乡县一模）两个矩形的位置如图所示，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质可得，利用三角形的外角可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 四边形，四边形都是矩形， ， 是的一个外角， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式1】（2024•雁塔区校级四模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的三等分点，且CE＜DE，连接AE，G为AE的中点，连接CG并延长，与AD交于点F，若AD＝12，则线段AF的长是 　3　． 【分析】通过证明△AFG∽△EHG，可得＝，可证AF＝EH，通过证明△CEH∽△CDF，可得＝，可得DF＝3EH＝3AF，即可求解． 【解答】解：如图，过点E作EH∥AD，交CF于H， ∵AD∥EH， ∴△AFG∽△EHG， ∴＝， ∵G为AE的中点， ∴AG＝GE， ∴＝＝1， ∴AF＝EH， ∵E为CD的三等分点，且CE＜DE， ∴CE＝CD， ∵AD∥EH， ∴△CEH∽△CDF， ∴＝， ∴DF＝3EH， ∴DF＝3AF， ∵AD＝12，AD＝AF+DF， ∴AF＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式2】（2024春•思明区校级月考）如图，是矩形对角线的交点，，，则的长为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】依据矩形的性质可知是等边三角形，所以，则． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ． ， ． 是等边三角形． ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线相等且互相平分，则其分成的四条线段都相等． 【变式3】（2024•曹妃甸区模拟）如图，点是矩形的边延长线上一点，连接，，交于点，作交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求的长． 【分析】（1）根据矩形性质先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题； （2）在中，利用勾股定理解答即可． （3）连接，根据菱形的性质证明，然后根据勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，， 四边形是菱形； ， ． （3）解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，得：， ， 解得：． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． 知识点3．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【例3】（2024•阎良区二模）已知的对角线相交于点，若要使成为矩形，可添加下列哪个条件　　 A． B． C． D． 【分析】因为矩形是特殊的平行四边形，所以根据矩形的判断方法来添加条件即可． 【解答】解：若使变为矩形，可添加的条件是：， 理由：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键． 【变式1】（2024春•荔城区校级期中）如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是　　 A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：．， ， 平行四边形是矩形， 故结论正确，但不符合题意； ．， ， ， ， 四边形是菱形，， 故结论正确，但不符合题意； ．四边形是平行四边形， ，， 又， ， 平行四边形是矩形， 故结论正确，但不符合题意； ．当时，四边形不一定是菱形， 故结论错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键． 【变式2】（2024•海淀区校级模拟）如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件：当 　是的中点　时，四边形为矩形． 【分析】证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【解答】解：添加条件为：是的中点，理由如下： ， ， 平分， ， ， ， 同理可证：， ， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：是的中点． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】（2024•沈阳模拟）如图，的对角线、交于点，点是上一点，点在延长线上，且，与交于点． （1）求证：； （2）连结、，如果，且恰好是的中点，求证：四边形是矩形． 【分析】（1）连接，交于点，证出是的中位线，得即可； （2）先证，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， 即； （2）证明：如图所示：连接， 由（1）得：， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 知识点4．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【例4】（2024•龙湖区校级一模）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为 　　． 【分析】先根据矩形的判定得出是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可． 【解答】解：如图，连接， ，，， ， 于，于， 四边形是矩形， ，互相平分．且， ，的交点就是点． 当的值最小时，的值就最小， 当时，的值最小，即的值最小． ， ， ，，， ， ， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键． 【变式1】（2023秋•太谷区期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，点为中点，则最小值为　　 A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 【分析】首先证明四边形是矩形，因为是的中点，推出延长经过点，推出，可得，求出的最小值可得的最小值． 【解答】解：如图， 中，，，， ， ， 是直角三角形，， 于点，于点， ， 四边形是矩形， 是的中点， 延长经过点， ，， 当时，的值最小，此时， 的最小值为2.4， 故选：． 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当时，最小． 【变式2】（2024•雷州市一模）如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接．若，，，则的最小值是 　7　． 【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当、、三点共线时，最小，即可求解． 【解答】解：连接、、，如图所示： 四边形是矩形， ，， ， 是线段的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当、、三点共线时，最小， 的最小值是7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键． 【变式3】（2024•文山市模拟）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【分析】（1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【解答】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.矩形性质理解 1．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）矩形不具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．四角相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的对角线的性质．根据矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案． 【详解】解：对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故D选项符合题意， 故选：D． 2．（21-22九年级上·江西南昌·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'C'D'，使得点B'落在边AD上，则∠C'AC的度数为 °． 【答案】90 【分析】根据旋转的性质可得，利用全等三角形的性质可得，结合图形及矩形的性质可得，即可得出结果． 【详解】解：∵将矩形ABCD旋转得到矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：90． 【点睛】题目主要考查矩形的基本性质，旋转的性质，全等三角形的性质等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 3．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在矩形中，点，分别是，的中点．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．由矩形的性质求得，，，由点，分别是，的中点，推出，利用即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴． 题型二.利用矩形的性质求角度 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形，是解题的关键． 利用矩形的性质和得到是等边三角形，问题随之得解． 【详解】解：∵矩形中，对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 5．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）如图，矩形中，于，，则的度数等于 ．    【答案】/度 【分析】根据矩形的性质以及垂直的定义，结合已知条件即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，设、是矩形的对角线且相交于，    ， ， ，， ，． 在矩形，，， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，关键熟记矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分． 6．（21-22九年级上·四川成都·期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝2∶1，则∠BDF的度数是多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论； （2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数． 【详解】解：（1）， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴， ∴四边形ABCD是矩形． （2）∵，， ∴， ∵DF⊥AC， ∴， ∵OC＝OD， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 题型三.根据矩形的性质求线段长 7．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）如图，四边形是矩形，点，，将矩形绕点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的性质．利用矩形的性质可知，由旋转变换的性质得，从而可求出点． 【详解】解：如图，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 由旋转变换的性质可知， ∴， 故选：A． 8．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形．根据矩形的性质，推出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点． (1)如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； (3)如图③，将矩形旋转一定角度后，连接交于点，连接，直接写出的值． 【答案】(1)线段的长为1 (2)的面积为 (3)的值为50 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解； （3）连接，根据矩形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图① 四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为1； （2）解：如图②，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为； （3）解：的值为50， 如图③， 连接， 由矩形旋转可知：，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 则可证：， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， 则的值为50． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 题型四.根据矩形的性质求面积 10．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，在矩形中，，E，G分别是边的五等分点，F，H分别是边的三等分点，若四边形的面积为1，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质．设，，根据四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，列式计算求得，据此求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴设，， 由题意得，，， ∴， 整理得，即， ∴矩形的面积是， 故选：C． 11．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动，设运动开始后第t秒钟后，五边形 的面积为，S与t的函数关系式为 ； 为时，五边形 的面积为．    【答案】 2秒或4秒 【分析】本题考查矩形的性质，列函数关系式，根据函数值求自变量值．解题关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积． 根据秒时，、两点的运动路程，分别表示、的长度，可得的面积，用求面积即可；再令函数式中的为64，求出即可． 【详解】解：第秒钟时，，故，， 故 ． ； 当时，则， 解得：或4， 即，两点出发2秒或4秒时，五边形的面积为． 故答案为：；2秒或4秒. 12．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，，点E、F分别为垂足．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由，，得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 题型五.利用矩形的性质证明 13．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在矩形中，平分交于点E，若，，则的长（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答本题的关键，根据矩形的性质可得，从而得到，再利用角平分线可进一步推得，，最后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 14．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，点在上，连接、，，点在上，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质，得到角的数量关系，进而得到，作于点M，通过证明得到，设，结合条件，利用勾股定理列方程求出x，进而得解． 【详解】解：，设， ， 在矩形中，， ，， ， ， ， 如图，作于点M， ， 又， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， 由勾股定理有：，即， 解得， ， ， 故答案为：. 【点睛】 本题考查了矩形的性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，掌握并灵活运用相关知识，正确作出辅助线是解决问题的关键． 15．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定，根据矩形性质和已知条件证明即可判断四边形是菱形 【详解】证明：四边形是矩形， ，，．     ．     ，，， ．     ，．     ．     四边形是菱形． 题型六.求矩形在坐标系中的坐标 16．（20-21九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标． 17．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．    【答案】 【分析】当直线经过的中点时，直线把矩形的面积等分，求出的中点，代入直线的解析式求出即可． 【详解】解：．， ，， 中点的坐标为， ∵直线把矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过的中点， 把代入得，， 解得． 答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握中点坐标的求法． 18．（19-20九年级上·山西太原·期中）问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点． 操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，． (1)如图，当点落在边上时，求点的坐标； (2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：； (3)拓展探究：如图，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，，再根据旋转的性质得到，根据勾股定理求出的长，从而可得的长，由此即可得； （2）先根据旋转的性质得到，，从而可得，再利用定理即可得证； （3）分三种情况讨论：①当四边形为菱形时；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时，利用菱形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）证明：四边形是矩形， ， 点在线段上， ， 由旋转的性质得：， 在和中，， ∴． （3）解：存在，求解过程如下： 设点的坐标为，点的坐标为， 由题意，分以下三种情况： ①如图，当四边形为菱形时， 则， ， 解得或， 当时，点的坐标为， 菱形的对角线互相平分， ，解得， 即此时点的坐标为； 当时，点的坐标为， 菱形的对角线互相平分， ，解得， 即此时点的坐标为； ②如图，当四边形为菱形时， 菱形的对角线互相垂直且平分， 点与点关于轴对称， ， ； ③如图，当四边形为菱形时， 菱形的对角线互相平分， ，解得， ， 又四边形为菱形， ， ，即， 解得， 则此时点的坐标为， 综上，存在点使以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定、旋转的性质、菱形的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键． 题型七.矩形与折叠问题 19．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ）    A．9 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是设，由折叠的性质可得，，根据勾股定理可求出、的长，再设，则，，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则，， 在中：，即， 解得：或（舍）， ，， 设，则，， 在中：，即， 解得：， 的长为15， 故选C． 20．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）在矩形中，，，点E为上一点，且，连接，将沿翻折，得到．当射线经过线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理、矩形的性质及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及矩形的性质是解题的关键；设点M、N为线段的三等分点，且点M靠近点B，则有，，然后可分类进行求解． 【详解】解：设点M、N为线段的三等分点，且点M靠近点B，则由题意得：，， 当点M在线段上，如图所示： ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：； 当点M在线段的延长线上，如图所示： 同理可得， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：； 综上所述：的长为或； 故答案为或． 21．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，与对角线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由矩形的性质得到，，又由已知即可证明； （2）连接，先证明，再证明为等边三角形，得到，在中，，则，由勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形 ，， （2）解：如图，连接， ， ，， 点是矩形对角线的交点， ， ， 又四边形是矩形， ，， 点与点对折重合， ， ， ∴， ， 又， ， 又， 为等边三角形， ， 在中，， ， ， 即的长为 【点睛】此题考查矩形的折叠问题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明和为等边三角形是解题的关键． 题型八.矩形的判定定理理解 22．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，若两条对角线相等，则平行四边形为 形． 【答案】矩 【分析】本题考查矩形的判定，由两条对角线相等的平行四边形是矩形即可解答． 【详解】解：由于平行四边形的两条对角线相等，则此四边形是矩形； 故答案为：矩． 23．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量其中三个内角是否都为直角 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相平分 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意； B、测量其中三个内角是否为直角，能判定矩形；符合题意； C、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意； D、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意； 故选：B． 24．（22-23九年级上·山东青岛·期末）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，直线及外一点A． 求作：矩形，使边在直线上，对角线． 【答案】见解析 【分析】根据垂直平分线的作法及矩形的判定作图即可． 【详解】解：①以点A为圆心，线段c为半径画弧交直线l于点C和，即； ②作线段的垂直平分线交于点B； ③分别以点C和为圆心，长为半径向上画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，分别交于点D和，； ④连接，； 如图所示：矩形与矩形即为所求． 【点睛】题目主要考查垂直平分线的作法及矩形的判定，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键． 题型九.添一条件使四边形是矩形 25．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，平行四边形中，增加一个条件，能判定它是矩形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可直接求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故选项A符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故选项B不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故选项C不符合题意； 四边形是平行四边形， ，故选项D不符合题意， 故选：A． 26．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，平行四边形的对角线与交于点O，请你添加一个条件使它是矩形，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据矩形的判定定理，即可求解． 【详解】解：添加，理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一） 27．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，为的一条中线，点为的延长线上一点，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是矩形．    (1)你添加的条件是______________； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据等腰三角形的性质和矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：添加的条件是， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：，是边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 题型十.证明四边形是矩形 28．（23-24九年级上·全国·期末）顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中点四边形及矩形的判定和性质，三角形中位线的性质．利用三角形中位线的性质得出，再由四边形是矩形，即可得出结果． 【详解】解：由于E、F、G、H分别是的中点， 根据三角形中位线定理得：， ∵四边形是矩形，即， ∴， 故选：B． 29．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定．根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形． 【详解】解：、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 故答案为：； 30．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】本题考查矩形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等． （1）根据题意得，继而得，即可得到本题答案； （2）利用矩形性质可知，再判定，利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长是． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（    ） A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形， 故选D． 2．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定定理，熟记平行四边形与矩形的关系是解题的关键．根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、由可得，无法据此判断平行四边形是矩形； B、，可判断平行四边形是菱形无法判断其为矩形，故不符合题意； C、，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判定为矩形，故符合题意； D、，据此可判断平行四边形是菱形无法判断其为矩形，故不符合题意； 故选：C． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，，则对角线的长是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 首先证明出是等边三角形，然后得到，然后利用，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴． 故选：A． 4．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　）    A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】∵，分别是，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 5．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图所示，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形，那么线段与的比等于（　　） A．25：23 B．5：4 C．25：24 D．4：3 【答案】C 【分析】设点A的对应点为点K，点C的对应点为点L，由矩形的性质得，由折叠得，，，可证明，由，根据勾股定理得，再由，求得，则， ，由，求得，再证明，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：设点A的对应点为点K，点C的对应点为点L， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，， ∴， 同理， ∵， ∴； ∵， ∴H、K、L、F四点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度、勾股定理、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识与方法，证并且求得是解题的关键． 6．（21-22九年级上·湖北十堰·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，连接，根据已知条件求出点的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点的坐标，发现规律，进而求出第2021次旋转结束时，点的坐标． 【详解】 如图，过点作轴于点，连接， ， ， 四边形是矩形 ， ， ， ， ， ， 矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点的坐标为； 则第4次旋转结束时，点的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2021次旋转结束时，点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律． 7．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，点E在上，交于点F，且．若，矩形的周长是16，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．设，根据矩形的性质得到，再根据直角三角形的性质，证明，从而证得，得到，由此可列方程并求解，即得答案． 【详解】解：设， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，矩形的周长是16， ， 解得， 即． 故选：A． 8．（2023九年级上·山东·专题练习）如图，在矩形中，，，为的中点，点，G分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（　　） A．18 B．14 C．16 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是能够利用等腰三角形的性质证得两三角形全等． 首先根据等腰直角三角形的性质证得，从而得到，，然后根据梯形面积公式求得结论即可． 【详解】解：为等腰直角三角形，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，为的中点， ，， ， ， 故选：C． 9．（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边、垂线，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小；根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解 【详解】解：连接 ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形: ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时， 即 ∴ ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 10．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等． 设与的交点为点，由角的和差可求得，根据矩形的性质得到，从而，根据三角形的内角和定理求得，再根据对顶角相等即可得． 【详解】设与的交点为点， ∵，， ∴， ∵在矩形中，， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：D 二、填空题 11．（2022九年级上·全国·专题练习）矩形的定义：有 的平行四边形叫做矩形． 【答案】一个角是直角 【解析】略 12．（21-22九年级上·福建三明·期中）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于 ． 【答案】5 【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长． 【详解】如图，连接OB， ∵B的坐标为（4，3）， ∴ ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB=5 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等． 13．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 当或时，四边形是矩形， 故答案为：或（答案不唯一）． 14．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：点P为矩形所在的平面上一点，且的面积和的面积分别为1.5和2，则矩形的面积为 ． 【答案】7或1 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积等知识，分两种情况：①点P在矩形的内部时，过点P作，交于E，交于F；由三角形面积得出；②点P在矩形的外部时，过点P作，交于E，交于F；由三角形面积得出，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 分两种情况： ①点P在矩形的内部时，过点P作，交于E，交于F ， 则，， ∵，， ∴， ∴矩形的面积； ②点P在矩形的外部时，过点P作，交于E，交于F ， 则，， ∵，， ∴， ∴矩形的面积； 综上所述，矩形的面积为7或1； 故答案为：7或1． 15．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图．中，的垂直平分线分别交于点D、F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积是 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及矩形的判定与性质等知识，连接，由线段垂直平分线的性质得，，得是等边三角形，得，，再证明四边形是矩形，则可计算其面积 【详解】解：连接，如图， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为： 16．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键． 先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】 AIAI 如图，连接 四边形是矩形 ， ∵ 如图，作B点关于A点的对称点，连接 ， 的最小值为 故答案为：． 17．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，点D在边上，，点E是边所在直线上的一动点，连接，将绕点D顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】证明，可得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可得：当时，有最小值，即可求解．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点H作于N， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵将绕点D顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可得：当时，有最小值， 此时，∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图，将沿矩形的对角线折叠，使得点落在点处，点为上一点，连接，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】作于点G，于点H，先作辅助线，根据矩形的性质可以得到对角线的值，角度之间的关系，然后根据折叠的性质找到边长以及角度之间的关系，证明，对应边相等，再根据边长之间的关系，得到的长，进而根据勾股定理求得结果． 【详解】解：作于点G，于点H，如图所示： ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24九年级上·广东清远·期中）如图，四边形的对角线，交于点，已知是的中点，，    (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定． （1）由与平行，得到两对内错角相等，再由为的中点，得到，又，得到，利用即可得证； （2）由，得到，即，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证． 【详解】（1）证明：， ，， 为的中点， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ，且， 四边形为矩形． 20．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，点E、F分别是边、上的一点，且，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，余角的性质，全等三角形的判定及性质；由矩形的性质得，再由同角的余角相等得，由可判定，由全等三角形的性质即可得证；掌握判定方法及性质，“一线三等角”模型是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 即：． 21．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线、相交于点O，，，两动点E、F同时分别以的速度从点A、C出发在线段上运动，    (1)求证：当E、F运动过程中不与点O重合，四边形一定为平行四边形； (2)设E、F的运动时间为，则当t为何值时，四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)当或时，四边形为矩形 【分析】（1）证明，根据对角线互相平分，即可得证； （2）根据矩形的性质，可得，进而分类讨论，即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， 四边形是平行四边形， ，， 或， 即， 四边形一定是平行四边形； （2）解：由（1）知：四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， 运动时间为， ， 当、没重合时，， ， 解得：， 当、重合后时，， ， 解得：， 当或时，四边形为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的性质是解题的关键． 22．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上一个动点，将线段绕点顺时针旋转到线段，连接、，设，和矩形的重叠部分面积为． (1)求线段的长度； (2)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】 本题考查了旋转性质，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，关键是分情况讨论． （1）根据矩形的性质与勾股定理便可求得结果； （2）分两种情况：当时；当时．根据三角形的面积公式写出解析式便可． 【详解】（1） 解：四边形是矩形， ， ，， ； （2） 解： 当时，如图所示： ，即； 当时，如图所示： ，即， 故． 23．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，四边形中，，点在上，平分，若． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当时，延长、交于点，在上取点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，可得，由平行四边形的判定可证四边形为平行四边形； （2）由外角的性质和余角性质可得结论； （3）过点作，交于，过点作于，由“”可证，可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ∴， 又， 四边形为平行四边形； （2）证明：， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图3，过点作，交于，过点作于， ，， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 24．（23-24九年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 应用一：分解因式， 我们可以进行以下操作： 先配方 ， 再利用平方差公式可得， ． 应用二：求代数式的最小值． 解：∵ ， ∵， ∴， ∴当，即时，的最小值是5． 【问题解决】 (1)分解因式： ； (2)代数式的最小值 ； (3)某养殖场要将一块长为8米，宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)2； (3)当x取2时，矩形区域的面积S最大，最大值是36． 【分析】本题考查因式分解的应用．结合例题把含字母的项配成完全平方式是解决本题的关键．用到的知识点为：． （1）把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，再用平方差公式进行因式分解； （2）把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最小值． （3）得到面积S的代数式，把含字母的项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最大值． 【详解】（1）解： ； （2）． ∵， ∴． ∴代数式的最小值是2； （3） ． ∵， ∴，即时，最大，为36． 答：当x取2时，矩形区域的面积S最大，最大值是36． 25．（23-24九年级上·广东深圳·期中）大新同学在学习北师大版九上第一章《特殊平行四边形》，通过习题1.4的第4题，知道了“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．大新设计了一个新的游戏机：如图1，用点表示灯泡，外圈8个灯泡平均分布在大圆内，内圈8个灯泡也平均分布在同一个圆心的小圆上，亮着的4个灯泡形成平行四边形．规定每一次4个灯泡亮，若形成某个特殊平行四边形，可换取对应的五角星★数；示例：图1，可获得★．    (1)如果其中亮起的3个灯号为A、V、E三点，则第4个亮着的灯号为哪一点时，获得的★数？请在图2上画出对应的图形． (2)如果获得★，其中亮起的2个灯号为A、E两点，则另外2个亮着的灯号可能为哪两个？并请在图3上画出所有的可能的情况． 【答案】(1)第4个亮着的灯号为点，见解析 (2)可能为或，见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定．熟练掌握菱形、矩形的判定条件是解题的关键． （1）根据四边都相等的四边形是菱形求解即可； （2）根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形求解即可． 【详解】（1）解：由菱形四边都相等，可知第4个亮着的灯号为点，如图1，菱形即为所求；    （2）解：由题意知，只能为矩形的对角线， ∴矩形的另外一条对角线上的点为或， ∴可能为或，如图3，矩形、即为所求；    26．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，其中点与点，点与点分别是对应点，连接． (1)如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，与交于点，连接． ①求证：平分． ②取的中点，连接，求证：． ③若，，求的长． (2)若点A，E，D第二次在同一直线上，，，直接写出点D到距离． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③ (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论； ②如图1，过点作的垂线，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论； ③如图2，过点作的垂线，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得到结论． （2）如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于，根据旋转的性质得到，，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）①证明：矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形， ， ， 又， ， ， 平分； ②证明：如图1，过点作的垂线，垂足为Q，    平分，，， ， ， ，，， ， ， 即点是中点， 又点是中点， ； ③解：如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，    ∴ 又，， ， ， ， ， ，，则 ； （2）解：如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于， 则， ∴四边形是矩形，则，    将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形， ，， 点，，第二次在同一直线上， ，, ， ， ，又， ，， ， 又∵， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是正确地作出辅助线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$