第02讲 二次函数的图象和性质（3个知识点+12种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第02讲 二次函数的图象和性质（3个知识点+12种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【例1】（2023秋•田家庵区校级月考）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•芜湖县校级月考）如图为函数：，，，在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是的图象的序号是　　． 【变式2】（2023•望江县模拟）下列图象中，函数与的图象大致是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023秋•芜湖月考）已知抛物线，当时，随的增大而 　　．（填“增大”或“减小” 知识点2．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【例2】（2023秋•庐阳区校级期中）函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•铜官区期末）已知函数，若使成立的值恰好有2个，则的值为　　． 【变式2】（2023•南谯区校级一模）如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 　　． 【变式3】（2023秋•六安期中）我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”． （1）求抛物线与轴的“和谐值”； （2）求抛物线与直线的“和谐值”． 【变式4】（2022秋•定远县期末）设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、，若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”； （2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值． 知识点3．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【例3】（2023秋•凤阳县校级月考）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•天长市期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•休宁县期中）已知二次函数的图象与轴的两个交点，关于直线对称，且，顶点在函数的图象上，则这个二次函数的表达式为 　　． 【变式3】（2023秋•淮北期中）抛物线的形状与相同，顶点是，该抛物线解析式为 　 ． 【变式4】（2023秋•芜湖月考）“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系，它们的关系如图所示： （1）设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为元，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （2）若小亮每天想获得的销售利润为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 经典题型汇编 题型一.y=ax²+k的图象和性质 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）写出一个顶点在轴上，开口向上的抛物线： ． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴． 题型二.y=a（x-h）²的图象和性质 4．（23-24九年级上·安徽·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为 ． 6．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）通过配方，求抛物线y=-x2+6x-5的对称轴和顶点坐标． 题型三.y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）下列图象中，可能是的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数的顶点坐标是 ． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； (2)x取何值时，？ 题型四.把y=ax²+bx+c化成顶点式 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）把二次函数化成顶点式为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 12．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴． 题型五.画y=ax²+bx+c的图象 13．（19-20九年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数的图象与轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（         ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 15．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数部分自变量x与函数值y的对应值如下表所示： x 0 y (1)填空：______，并将表格填写完整； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；    (3)当时，求y的最大值与最小值的差． 题型六.y=ax²+bx+c的图象与性质 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）当时，函数的值记为，已知函数，若，且，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 17．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则 ． 18．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）二次函数，其中为实数． (1)判断点是否在该拋物线上． (2)求该二次函数顶点的纵坐标（用含的代数式表示）． (3)若将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为________．（直接写出答案） 题型七.二次函数图象与各项系数符号 19．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线的表达式： ． 21．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线的顶点在第四象限，请判断b，c的符号并简要说明理由． 题型八.一次函数、二次函数图象综合判断 22．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图、在同一平而直角坐标系中、直线和抛物线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 23．（2020·安徽·模拟预测）若函数y＝ax2+bx+c的图象经过P（1，0），Q（5，﹣4）当1≤x≤5时，y随x的增大而减小，则实数a的范围 ． 24．（19-20九年级上·安徽宿州·期末）已知：在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象交于点. （1）求，的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 题型九.已知抛物线上对称的两点求对称轴 25．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为．如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 26．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 27.（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，抛物线过点和． (1)求b和m的值； (2)若抛物线与y轴交于点C，求的面积． 题型十.根据二次函数的对称性求函数值 28．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标是，它与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 29．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知二次函数的部分图像如图所示，则 0（填“”或“”或“”）． 30．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）若二次函数的图象的对称轴方程是x=1，并且图象过A（0，-4）和B（4，0），求此二次函数的解析式． 题型十一.二次函数综合 31．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则的值是（    ） A．1 B．4 C． D． 32．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为、． （1）此抛物线的顶点坐标是 ； （2）若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有8个整点，则的取值范围为 ． 33．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点． 题型十二.y=ax²的图象和性质 34．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 35．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ． 36．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是一条以y轴为对称轴，原点O为顶点的抛物线，且经过点．    (1)求这个函数的解析式． (2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并求出的面积． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（    ） A．向右 B．向上 C．向左 D．向下 2．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）抛物线的顶点坐标是(　　) A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·安徽合肥·开学考试）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　） A．   B．  C．   D．   6．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A． B． C． D． 8．（19-20九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数y1＝2x2-4x和一次函数y2＝-2x，规定：当x任取一个值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较大值为M；若y1＝y2，则M＝y1＝y2.下列说法错误的是  (    ) A．当x＞2时，M＝y1 B．当x＜0时，M随x的增大而减小 C．M的最小值为-2 D．若M＝-1时，则 9．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象如图所示，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线交x轴于点，，交y轴的正半轴于点C，顶点为D，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C．（m为任意实数） D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 12．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）实数，满足，则的最大值为 ． 13．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ． 14．（19-20九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PAPC的最小值是 ． 三、解答题 15．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的图象经过，两点． (1)求此二次函数解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上． 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线过点． (1)求的值； (2)求该抛物线顶点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点． (1)求该函数的解析式． (2)平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 18．（20-21九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知点，点，抛物线(h，k均为常数)与线段AB交于C，D两点，且，求k的值． 19．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 20．（23-24九年级上·安徽·期中）已知二次函数． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 21．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为． (1)求b的值； (2)若点D是线段AC上方抛物线上的一个动点（点D与A，C不重合），求点D到直线的最大距离； (3)当时，函数的最大值为，求t的值． 22．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图1，两抛物线与    为常数)相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和1    (1)求a，b的值． (2)如图2，过点A作轴与抛物线交于C，分别以，的长为边长向上方作矩形．将矩形先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上． ①求n关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围； ②直线与抛物线和分别交于点P和点Q，当是线段的中点时，求m的值． 23．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点坐标为，图像的顶点为.矩形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为．    (1)求的值及顶点的坐标； (2)如图2，将矩形沿轴正方向平移个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图像交于点，，连接，过点作于点． ①当时，求的长； ②当_____时，的面积为1．（点与点不重合） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象和性质 （3个知识点+12种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【例1】（2023秋•田家庵区校级月考）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断、的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】解：在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项错误； 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项错误； 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项错误； 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项正确； 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 【变式1】（2023秋•芜湖县校级月考）如图为函数：，，，在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是的图象的序号是　③　． 【分析】根据二次函数的对称轴：，可得答案． 【解答】解：对称轴是直线，图象中第二个， 对称轴是直线，图象中第一个， 对称轴是直线，图象中第三个， 对称轴是直线，图象中第四个， 故答案为：③． 【点评】本题考查了二次函数图象，利用二次函数图象的对称轴确定函数图象是解题关键． 【变式2】（2023•望江县模拟）下列图象中，函数与的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】可先根据的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择． 【解答】解：当时，由二次函数可知开，口向上，顶点在轴负半轴上，与轴的交点为，， 由一次函数可知过一，二，三象限，交轴于； 当时，由二次函数可知，开口向下，顶点在轴正半轴上，与轴的交点为，，由一次函数可知过二，三，四象限，交轴于； 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数的图象及一次函数的图象的特征． 【变式3】（2023秋•芜湖月考）已知抛物线，当时，随的增大而 　减小　．（填“增大”或“减小” 【分析】根据题目中的函数解析式以及二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【解答】解：抛物线，， 抛物线开口向上，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小． 故答案为：减小． 【点评】本题考查二次函数图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象和性质解答． 知识点2．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【例2】（2023秋•庐阳区校级期中）函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】由函数解析式即可求得答案． 【解答】解： ， 函数图象顶点坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为． 【变式1】（2022秋•铜官区期末）已知函数，若使成立的值恰好有2个，则的值为　或　． 【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使成立的值恰好有2个的值． 【解答】解：函数的图象如图： 根据图象知道当或时，对应成立的值恰好有2个， 所以或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题． 【变式2】（2023•南谯区校级一模）如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 　或　． 【分析】利用排除法，先求得直线与该图象有两个或三个交点时的取值，则可求得结论． 【解答】解：由题意，直线与函数的图象恒相交， ①当时，直线与直线恒相交，与抛物线至少有一个交点时，即方程有两个实数根， ， △， 解得：； 当时，直线与函数的图象有两个或三个交点， 当时，直线与函数的图象只有一个交点； ②当时，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点， 综上，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是解题的关键． 【变式3】（2023秋•六安期中）我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”． （1）求抛物线与轴的“和谐值”； （2）求抛物线与直线的“和谐值”． 【分析】（1）利用顶点式即可解决问题； （2）如图，点为抛物线任意一点，作轴交直线于，设，则，可得，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）， 抛物线上的点到轴的最短距离为1， 抛物线与轴的“和谐值”为1； （2）如图，点为抛物线任意一点，作轴交直线于， 设，则， ， 当时，有最小值，最小值为， 抛物线与直线的“和谐值”为． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；正确理解新定义的能力． 【变式4】（2022秋•定远县期末）设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、，若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”； （2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值． 【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题； （2）根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题； 【解答】解：（1）， 顶点，， 的值顶点坐标为， ． （2），， 由题意，解得． 【点评】本题考查二次函数的应用．解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标，属于中考常考题型． 知识点3．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【例3】（2023秋•凤阳县校级月考）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的顶点式求解析式． 【解答】解：设这个二次函数的解析式为 二次函数的图象的顶点坐标为， 二次函数的解析式为， 把代入得， 所以． 故选：． 【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 【变式1】（2023秋•天长市期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标为，得到对称轴经过点，列出式子，求出答案． 【解答】解：由题意得： 抛物线的顶点坐标为， 对称轴经过点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键． 【变式2】（2023秋•休宁县期中）已知二次函数的图象与轴的两个交点，关于直线对称，且，顶点在函数的图象上，则这个二次函数的表达式为 　　． 【分析】利用二次函数的对称轴为直线，且图象与轴交于、两点，，利用抛物线的对称性可求、两点的坐标，根据顶点在函数的图象上，求得顶点坐标，然后利用待定系数法求得解析式即可． 【解答】解：对称轴为直线，且图象与轴交于、两点，， 直线与轴交于，，顶点的横坐标为， 顶点在函数的图象上， ， 顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得，， 解得，． ； 这个二次函数的表达式为； 故答案为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与横轴的交点问题、以及抛物线的对称问题． 【变式3】（2023秋•淮北期中）抛物线的形状与相同，顶点是，该抛物线解析式为 　或　． 【分析】由题意，抛物线的形状与相同，它的顶点坐标是，即可得抛物线的解析式． 【解答】解：抛物线的形状与相同，顶点是， 当开口向下时，这条抛物线的解析式为：． 当开口向上时，这条抛物线的解析式是：． 故答案为：或． 【点评】此题考查二次函数图象的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力． 【变式4】（2023秋•芜湖月考）“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系，它们的关系如图所示： （1）设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为元，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （2）若小亮每天想获得的销售利润为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【分析】（1）依据题意，首先求出销售量与单价的函数关系式，再表示出利润，即可得解； （2）依据题意，由（1）得关系式令，解方程即可得解，注意减少库存进行取舍． 【解答】解：（1）由题意，设每天的销售量与的一次函数关系为， ， ． 销售量与单价的关系为． ． （2）由题意，令， ． ，． 又尽可能地减少库存， ， ． 答：应将销售单价定为17元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 经典题型汇编 题型一.y=ax²+k的图象和性质 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）写出一个顶点在轴上，开口向上的抛物线： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】写出一个二次项系数大于0且一次项为0的二次函数，即可求解． 【详解】解：依题意，一个顶点在轴上，开口向上的抛物线可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式中顶点坐标为．由二次函数解析式可得顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点为． 故选：D． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1)，； (2)顶点坐标；对称轴为：轴． 【分析】（）将点代入中得，然后将点代入即可求解； （）由（）得，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）将点代入中得：， 解得：， 将点代入中得：， 解得：， ∴，； （2）由（）得：， ∴抛物线解析式为：， ∴顶点坐标；对称轴为：轴． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与性质及其应用． 题型二.y=a（x-h）²的图象和性质 4．（23-24九年级上·安徽·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握抛物线的顶点式．根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标是， 故选：D． 5．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线，即可根据自变量的大小判断函数值的大小 【详解】∵二次函数为： ∴ ∴二次函数的开口向上，对称轴为：， ∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴和开口方向是解决问题的关键 6．（21-22九年级上·安徽合肥·期末）通过配方，求抛物线y=-x2+6x-5的对称轴和顶点坐标． 【答案】对称轴：直线x=3；  顶点（3，4） 【分析】通过配方将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】∵y=-x2+6x-5=-x2+6x-9+4=-（x-3）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，4）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握配方的方法． 题型三.y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）下列图象中，可能是的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，根据二次函数的顶点式可判断抛抛物线开口向上，对称轴为，顶点为，即可解答．解题的关键是熟练运用顶点式判断抛物线开口，对称轴，顶点等信息． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点为， 观察图象，则C选项符合题意， 故选：C． 8．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； (2)x取何值时，？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了顶点式，熟练掌握函数的图形和性质是解题的关键． （1）用配方法变成顶点式即可得到答案； （2）令，确定函数图像与轴的交点，结合开口方向即可得到答案． 【详解】（1）解：， 顶点坐标， 对称轴； （2）解：令，即， 解得或， 由于抛物线开口向下， 故当或时，． 题型四.把y=ax²+bx+c化成顶点式 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）把二次函数化成顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将二次函数的一般式化成顶点式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【详解】解：， 故选：B． 11．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式方程的顶点坐标是，据此可以直接求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点的坐标是． 故答案是：． 12．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴． 【答案】二次函数的顶点坐标为，对称轴是直线 【分析】本题考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：配方，得：， 所以，二次函数的顶点坐标为，对称轴是直线． 题型五.画y=ax²+bx+c的图象 13．（19-20九年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数的图象与轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围． 【详解】将该二次函数化简得,y=−[(x−3)2−],令y=0得,x=或.画出图象可知,在红色区域内部及其边界上的整点为(2,0),(3,0),(4,0),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2)七个． 故选C. 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的相关知识点，解题的关键是能根据二次函数画出其抛物线. 14．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数部分自变量x与函数值y的对应值如下表所示： x 0 y (1)填空：______，并将表格填写完整； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；    (3)当时，求y的最大值与最小值的差． 【答案】(1)0，表格见解析 (2)见解析 (3)16 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法求解即可； （2）根据表格数据，结合二次函数解析式，进行描点，连线，画图即可； （3）根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ∴，则， 当时，， 当时，， 故答案为：0， 补全表格数据如下： x 0 y 0 （2）解：∵， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴故该二次函数的图象与x轴的另一个交点为， 结合表格数据，该二次函数的图象如图所示：    （3）解：∵该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，根据（2）中图象， 当时，y有最大值，最大值为， 当时，y有最小值，最小值为， ∴当时，y的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、根据图象求函数的最值，熟练二次函数的图象与性质是解答的关键． 题型六.y=ax²+bx+c的图象与性质 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）当时，函数的值记为，已知函数，若，且，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．由抛物线的对称轴得到，推出，再整体代入，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 17．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由函数图象与轴的交点坐标得出其对称轴．先根据和求出二次函数的对称轴，然后根据两点与对称轴的距离结合开口方向进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和 ∴对称轴为 ∵抛物线还经过点和， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线的距离离轴越远，函数值越小， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）二次函数，其中为实数． (1)判断点是否在该拋物线上． (2)求该二次函数顶点的纵坐标（用含的代数式表示）． (3)若将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为________．（直接写出答案） 【答案】(1)在 (2)或 (3) 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入求解，即可判断； （2）将利用配方法配成顶点式即可求解； （3）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，可表达顶点的纵坐标，再求最小值． 【详解】（1）解：当时，， ∴点在该拋物线上； （2） ， ∴该二次函数顶点的纵坐标为； （3）将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线为， 则抛物线顶点纵坐标为， ∵， ∴， 故：所得抛物线顶点的纵坐标的最小值是． 故答案为：． 题型七.二次函数图象与各项系数符号 19．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象经过的象限等知识．熟练掌握二次函数的图象，一次函数的图象经过的象限是解题的关键． 由图象可知，，则，，然后进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，， ∴， ∵，， ∴的图象经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限， 故选：B． 20．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数一般形式为，抛物线开口向下则，与轴交于点，则，满足这些条件的表达式均可，答案不唯一． 【详解】解：抛物线开口向下，，与轴交于点，则，所以例如 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，及与系数的关系，熟练掌握函数图象与性质是解题的关键． 21．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线的顶点在第四象限，请判断b，c的符号并简要说明理由． 【答案】的符号为“－”，的符号可“＋”可“－”也可以是0． 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，横纵坐标的符号分别为“＋”“－”进行判断即可． 【详解】解：， 故抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在第四象限， ∴ ， ∴， ∴的符号为“－”，的符号可“＋”可“－”也可以是0． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质．熟练掌握第四象限内点的符号特征，准确的求出二次函数的顶点坐标是解题的关键． 题型八.一次函数、二次函数图象综合判断 22．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图、在同一平而直角坐标系中、直线和抛物线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解． 【详解】解：A、由一次函数图象可知：，当时，抛物线开口向下，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知：，，当，，抛物线对称轴为直线，故此选项不符合题意； C、由图可知，，，当，，抛物线开口向下，对称轴为直线，故此选项符合题意． D、由一次函数图象可知：，，当，，抛物线对称轴为直线，故此选项不符合题意； 故选：C． 23．（2020·安徽·模拟预测）若函数y＝ax2+bx+c的图象经过P（1，0），Q（5，﹣4）当1≤x≤5时，y随x的增大而减小，则实数a的范围 ． 【答案】． 【分析】由于不知道a的范围，要讨论a的正负零三种情况，当a＝0时，是一次函数，当a≠0时是二次函数，当a当a＞0时，P， Q两点在对称轴的左边，当a＜0时，P， Q两点在对称轴的右边，把P，Q代入函数表达式从而可以得到a,b的关系式，从而可以得到两个不等式，求出a的范围． 【详解】当a＝0时，b＜0时，y随x的增大而减小， 把P（1，0），Q（5，﹣4）代入解析式得，， 两式相减得，b＝﹣1﹣6a， 抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝+3， 当a＞0时，+3≥5，y随x的增大而减小，即0＜a≤， 当a＜0时，+3≤1，y随x的增大而减小，即﹣≤a＜0， 故答案为：﹣． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数图像的性质，准确讨论出a的三种情况和a与b的关系式是解题关键． 24．（19-20九年级上·安徽宿州·期末）已知：在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象交于点. （1）求，的值； （2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 【答案】（1），;（2）对称轴为直线，顶点坐标. 【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，得出A点坐标，再代入二次函数解析式可得c； （2）将（1）中得出的二次函数的解析式化为顶点式可求得其顶点坐标和对称轴． 【详解】解：（1）∵点A在一次函数图象上， ∴m=-1-4=-5， ∵点A在二次函数图象上， ∴-5=-1-2+c，解得c=-2； （2）由（1）可知二次函数的解析式为：， ∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,-1)． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的性质以及二次函数的性质，熟记各知识点是解此题的关键． 题型九.已知抛物线上对称的两点求对称轴 25．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为．如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解答的关键．由羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等可求得抛物线的对称轴，再二次函数的性质判断羽毛球的最高点即可． 【详解】解：∵羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴方程为， ∵， ∴距离对称轴越远，函数值越小，高度越低， ∵与对称轴的距离最近， ∴当第秒时，羽毛球的高度最高， 故选：B． 26．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查的是已知抛物线上的两点求解抛物线的对称轴，可得本题抛物线的对称轴为直线． 【详解】解：∵一条抛物线经过点和， ∴该抛物线的对称轴是直线； 故答案为： 27.（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，抛物线过点和． (1)求b和m的值； (2)若抛物线与y轴交于点C，求的面积． 【答案】(1)，； (2)30 【分析】（1）根据抛物线过点和，得到点A和点B关于对称轴对称，利用抛物线性质和对称轴公式即可得到，，进而求出抛物线解析式为，把代入即可求出； （2）先求出点C的坐标为，得到，再求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 把代入得，； （2）由抛物线可知，抛物线与y轴交点C的坐标为， ∴， ∵和， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，熟知抛物线的对称性和抛物线的对称轴公式是解题关键． 题型十.根据二次函数的对称性求函数值 28．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标是，它与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，先求出抛物线对称轴为． 直线，再根据抛物线的对称轴进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 故选B． 29．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知二次函数的部分图像如图所示，则 0（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】由已知的图像可知二次函数图像的对称轴，然后根据抛物线的对称性，观察图像可知当时，，即可获解． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在之间， ∴另一个交点在0、1之间， ∴当时，，则， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像的对称性是解答此题的关键． 30．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）若二次函数的图象的对称轴方程是x=1，并且图象过A（0，-4）和B（4，0），求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】先根据二次函数对称轴和B点的坐标可以求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为（-2，0），由此可将二次函数解析式设为交点式，然后代入A点坐标求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线且与x轴的一个交点为B（4，0）， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（-2，0）， ∴设二次函数的解析式为， 又∵二次函数经过A（0，-4）， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键在于能够根据对称轴和与x轴的一个交点坐标求出另一个交点坐标，然后利用交点式进行求解． 题型十一.二次函数综合 31．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则的值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立一次函数与二次函数解析式，建立方程，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：直线与抛物线交于、两点，，， ，即， ， 故选：D． 32．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为、． （1）此抛物线的顶点坐标是 ； （2）若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有8个整点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（1）将该抛物线解析式整理为顶点式，即可确定抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线的顶点坐标，即可确定出整点的纵坐标只能为0或1，因此线段上应有7个整点，结合图像分析，即可得到的取值范围． 【详解】解：（1）∵抛物线， ∴此抛物线的顶点坐标是； （2）由（1）可知，此抛物线的顶点坐标是， ∴整点的纵坐标只能为0或1， ∴线段上应有7个整点， 如下图， 当该抛物线经过点时，恰好有8个整点， 此时可有， 解得， 当该抛物线经过点时，恰好有10个整点， 此时可有， 解得， ∴的取值范围为． 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点、配方法确定顶点坐标等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题． 33．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设是线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、平行线分线段成比例定理以及等高三角形面积的比等于其对应底的比等知识． （1）将、的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值； （2）根据抛物线的解析式可得出点的坐标，由和等高，则面积比等于对应底边比，由此可得出；然后由平行线分线段成比例定理，即可求得、的比例关系，由此可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得：， 故此抛物线的解析式为：； （2）由知：； ， ，； ， ， ， ， ， 点的坐标为：． 题型十二.y=ax²的图象和性质 34．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系；把，分别代入求得，，然后根据图象即可求得答案． 【详解】解：如图所示：把代入得，， 把代入得， 抛物线的开口越小，的绝对值越大， 抛物与四边形的边没有交点，则的取值范围为：或 故选C．    35．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键． 根据原点是抛物线的最低点，则抛物线必须开口向上，可得，即可解答． 【详解】解：解：点是是抛物线的最低点， ． 故答案为：． 36．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是一条以y轴为对称轴，原点O为顶点的抛物线，且经过点．    (1)求这个函数的解析式． (2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并求出的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）设抛物线解析式为，把代入求解． （2）求得点的坐标，即可得到轴，，由求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 函数的解析式为． （2）点关于轴的对称点为， ∴轴，， ． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是（    ） A．向右 B．向上 C．向左 D．向下 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握“，开口向上，，开口向下，”即可求解． 【详解】解：中二次项系数为，， 抛物线开口向上． 故选：B． 2．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，把解析式配成顶点式，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）抛物线的顶点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 4．（21-22九年级上·安徽合肥·开学考试）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象对称轴，增减性，解一元一次不等式的问题，根据题意可得二次函数图象的对称轴为，结合函数图象的增减性可得，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，，，， ∴图象开口向下，对称轴为， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 解得，， 故选：． 5．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及一次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及一次函数的图象与系数的关系．根据一次函数和二次函数的图像确定a、c的符号，逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意； B、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项正确，故符合题意； C、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意； D、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意， 故选：B． 6．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）已知点，是反比例函数的图象上的两点，且当时，，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与轴交点在原点下方，都不符； 当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与轴交点在原点上方，A符合． 由已知，k＞0：它们在同一直角坐标系中的图象大致是A． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象以及图象的特点． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是． 故选：C． 8．（19-20九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数y1＝2x2-4x和一次函数y2＝-2x，规定：当x任取一个值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较大值为M；若y1＝y2，则M＝y1＝y2.下列说法错误的是  (    ) A．当x＞2时，M＝y1 B．当x＜0时，M随x的增大而减小 C．M的最小值为-2 D．若M＝-1时，则 【答案】D 【分析】通过解方程2x2-4x=-2x得两函数图象的交点坐标为（0，0），（1，-2），利用新定义和函数图象逐项判断即可. 【详解】二次函数y1＝2x2-4x和一次函数y2＝-2x的图像如图所示： 解方程2x2−4x=−2x,解得x1=0，x2=1,两函数图象的交点坐标为(0,0),(1,−2)， 当x>2时,M=y1，所以A选项说法正确； 当x<0时,M=y1，M随x的增大而减小，所以B选项说法正确； 当x≤0，M的最小值为0；当0<x≤1时，M的最小值为−2；当x≥1时，M的最小值为−2，所以M的最小值为−2，所以C选项说法正确； 当M=−1时,若0<x<1，则−2x=−1,解得；若x>1，则2x2−4x=−1, ，所以D选项说法错误. 故选D. 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图像与性质，画出函数图像，数形结合是解决本题的关键. 9．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象如图所示，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查由二次函数图象确定系数符号，判定点所在象限． 由抛物线的开口向下得到，由与轴的交点为在轴的正半轴上得到，进一步得到，由对称轴为可以推出，最后即可确定点的位置． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 与轴的交点为在轴的正半轴上， ， ， 对称轴为， 、异号，即， 点在第四象限． 故选：D． 10．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线交x轴于点，，交y轴的正半轴于点C，顶点为D，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C．（m为任意实数） D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；由抛物线过点A、B，则可得，得，，从而可判断A、B；由抛物线的对称轴及最值可判断C；当时函数值为正，则可判断D，最后可确定答案． 【详解】解：∵抛物线过点A、B， 设，则 ∴，， ∴，， 故选项A正确，不符合题意；B不正确，符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时函数取得最大值， ∴对于任意实数m，当时，， 即， 故选项C正确，不符合题意； 由图象知，当时函数值为正，即， 故选项D正确，不符合题意； 故选B． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察，，得与关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：依题意，因为抛物线经过，两点，且，两点的纵坐标相等 所以与关于对称轴对称， 即， 所以， 故答案为：． 12．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据条件变形为，确定出a的取值范围，将转化为即可． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，式子的值随的增大而增大， ∴当时，的最大值为． 故答案为． 13．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ． 【答案】 B / 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据抛物线对称轴为，开口向上，根据已知条件分类讨论得出点B在对称轴的左侧；根据，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：抛物线关于直线对称，经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧， 若点A位于对称轴左侧， 则， 解得，不等式组无解，不符合题意； 若点B位于对称轴左侧， 则， 解得， 不等式组的解为； 此时， ， 解得：， ， 综上，时，则的取值范围是， 故答案为：B，． 14．（19-20九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PAPC的最小值是 ． 【答案】 【分析】点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线对称轴于点P，则点P 为所求，而的最小值就是BC． 【详解】解：， 令，解得：或3，令，则， 故点、、的坐标分别为：、、，函数的对称轴为：， 点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，点为所求， 则的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路径问题以及求函数图象与坐标轴的交点，正确确定出P点的位置是解题的关键． 三、解答题 15．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的图象经过，两点． (1)求此二次函数解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】（1）利用待定系数法，将和代入函数解析式中求解b、c即可； （2）将点A横坐标代入（1）中解析式中判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴此二次函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个二次函数的图象上． 【点睛】本题主要考查了待定系数法及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知利用待定系数法求函数解析式． 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线过点． (1)求的值； (2)求该抛物线顶点的坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数图像和性质； （1）将代入即可求得的值， （2）将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （3）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为； （3）解：∵开口向上，对称轴为直线，， ∵， ∴当时取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，． 17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点． (1)求该函数的解析式． (2)平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查用待定系数法求二次函数解析式，将点和点代入二次函数中求解，即可解题． （2）本题考查二次函数的最值，以及平移规律，根据顶点始终在二次函数上，得到顶点坐标为，得到平移后的解析式，根据直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q，表示出，再根据二次函数的最值，即可解题． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点， ，解得， 该函数的解析式为； （2）解：平移抛物线，其顶点始终在二次函数上， 顶点坐标为，故平移后的解析式为， ， 直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q， （）， ，   当时，长的最大值为． 18．（20-21九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知点，点，抛物线(h，k均为常数)与线段AB交于C，D两点，且，求k的值． 【答案】 【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】 解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）， ∴AB=4， ∵抛物线y=-（x-h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=AB=2， ∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h==c+1， ∴2=-[c-（c+1）]2+k， 解得，k=． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 19．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 20．（23-24九年级上·安徽·期中）已知二次函数． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为： (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标． （1）化为顶点式，求出二次函数顶点坐标和对称轴； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象． 【详解】（1）∵， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）令，则， 令，则， 解得，，， 所以，过，，，的函数图象如图所示： 21．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为． (1)求b的值； (2)若点D是线段AC上方抛物线上的一个动点（点D与A，C不重合），求点D到直线的最大距离； (3)当时，函数的最大值为，求t的值． 【答案】(1)b的值为 (2)点D到直线的最大距离为 (3)t的值为或2 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的增减性． （1）将点A的坐标代入，即可求出b的值； （2）过点D作轴，交AC于点E，交x轴于点F，过点D作于点G．先求出直线的函数解析式为：，设，，即可求出当时，有最大值，最大值为；再证明，即可求出； （3）根据，得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，再根据二次函数的性质，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， 解得， 即b的值为； （2）解：由（1）知该抛物线的表达式为，． 如图，过点D作轴，交AC于点E，交x轴于点F，过点D作于点G． 设直线的函数表达式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． ∵点D在抛物线上， ∴设，， ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ∵，， ∴， ∴． ∵，． ∴． ∴， 即点D到直线的最大距离为； （3）解：把代入，得， 解得，． ∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． ∵当时，函数的最大值为， ①当时，时，取得最大值，解得； ②当时，时，取得最大值． ∴t的值为或2． 22．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图1，两抛物线与    为常数)相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和1    (1)求a，b的值． (2)如图2，过点A作轴与抛物线交于C，分别以，的长为边长向上方作矩形．将矩形先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上． ①求n关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围； ②直线与抛物线和分别交于点P和点Q，当是线段的中点时，求m的值． 【答案】(1)， (2)①，m的取值范围： ② 【分析】（1）把，分别代入两函数解析式，得方程组求解即可； （2）①由（1）知两抛物线分别为与，则，，点，点，再由平移得点坐标为，将点的坐标代入抛物线，得，即，由，即，即可求解； ②由①知，点坐标为即，所以点的坐标为，则点P的坐标为，点Q的坐标为，则点中点的坐标为，当是的中点时，则，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 当时，， 当时，， 解方程组 解得，； （2）解：①由（1）知两抛物线分别为与， ，，点，点， 由平移得，平移后点坐标为，    将点的坐标代入抛物线，得， 即， ∵， ∴， 解得， 即自变量m的取值范围：； ②由①知，点坐标为即， 点的坐标为， 则点P的坐标为， 点Q的坐标为， 则点中点的坐标为， 当是的中点时，则， 解得（由知，不合题意，舍去）， 【点睛】本题考查二次函数图象性质，平移性质，矩形的性质，两抛物线交点问题，二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 23．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点坐标为，图像的顶点为.矩形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为．    (1)求的值及顶点的坐标； (2)如图2，将矩形沿轴正方向平移个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图像交于点，，连接，过点作于点． ①当时，求的长； ②当_____时，的面积为1．（点与点不重合） 【答案】(1)； (2)①1；②或 【分析】(1)把代入解析式，得到，根据，确定顶点坐标即可． (2) ①根据题意，，点的坐标为，得到，向右平移2个单位长度后得到，，当时，；当时，；得到，，计算即可． ②根据题意，，点的坐标为，得到，向右平移t个单位长度后得到，，当时，；当时，；得到，，计算，根据三角形的面积计算即可． 【详解】（1）把代入解析式， 解得， ∵， ∴顶点的坐标为． （2）①根据题意，，点的坐标为， ∴， ∴向右平移2个单位长度后得到，， 当时，； 故 当时，； 故，， ∴． ②根据题意，，点的坐标为，故， 故向右平移t个单位长度后得到，， 当时，； 当时，； ∴，， ∴， ∴， 解得或，都符合题意， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段长的坐标表示，顶点式求坐标，绝对值的应用，熟练掌握待定系数法，平移，线段的坐标表示是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$