上海市高二数学下学期期末模拟试卷02（测试范围：选修一+选修二）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修）

2023-2024学年高二数学下学期期末模拟试卷02 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：选修一+选修二 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角的大小为 　　． 2．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为 　　． 3．若随机变量，，且，则　　． 4．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，、分别是、的中点．则异面直线与所成角的余弦值为 　　． 5．甲乙两人射击，每人射击一次．已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响．设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，则条件概率的值为 　　． 6．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆，，开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的情况有 　　种． 7．如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则　　． 8．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则　　． 9．如图，在平行六面体中，，，则　　． 10．抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，，垂足为，若直线的斜率为，则　　． 11．已知曲线．关于曲线有四个结论： ①直线是曲线的一条对称轴． ②曲线是中心对称图形． ③设曲线所围成的区域面积，则． ④曲线上的点到原点距离的最小值是． 则其中所有正确的结论序号是 　　． 12．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 　　． 二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．已知、分别为随机事件、的对立事件，（A），（B），则下列等式错误的是　　 A． B． C．若、独立，则（A） D．若、互斥，则 14．已知，与，是直线为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是　　 A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使之恰有两解 D．存在，，，使之有无穷多解 15．设的导函数是连续函数，则下面不正确的是　　 A．如果是奇函数，则必是偶函数 B．如果是偶函数，则必是奇函数 C．如果是周期函数，则必是周期函数 D．如果是周期函数，则必是周期函数 16．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，且一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为　　 A． B． C． D． 三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）． 17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，且，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18．在数列中，已知，． （1）证明：数列为等比数列． （2）记，数列的前项和为，求． 19．甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费者，得到下表： 满意 不满意 男 440 60 女 460 40 （1）能否有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，是椭圆上的一点，直线的斜率为，在轴上的截距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，直线与椭圆交于不同的两点，，为坐标原点，求面积的最大值； （3）设是直线的一个法向量，是上一点，对于坐标平面内的定点，定义．用、、、表示，并利用与的大小关系，提出一个关于与位置关系的真命题，给出命题的证明． 21．设函数，其中为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”． （1）若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由； （2）若，求函数的极值点； （3）证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高二数学下学期期末模拟试卷02 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：选修一+选修二 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1．直线的倾斜角的大小为 　　． 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得． 【解答】解：直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又， 所以． 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 2．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为 　　． 【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，列式求解即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为，高为， 由题意可得，， 解得， 所以， 所以该圆锥的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，考查了圆锥的体积公式，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题． 3．若随机变量，，且，则　20　． 【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解． 【解答】解：随机变量，，且， 则，解得或0.8（舍去）， 故． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题． 4．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，、分别是、的中点．则异面直线与所成角的余弦值为 　　． 【分析】将四棱锥补成正方体，则、分别是其所在面的中心，设面的中心为，的中点为，的中点为，则，是所求的角（或所求的角的补角），由此能求出异面直线与所成角的余弦值． 【解答】解：将四棱锥补成正方体， 则、分别是其所在面的中心， 设面的中心为，的中点为，的中点为， 则，是所求的角（或所求的角的补角）， ，，，， 同理，，． 所以，． 故答案为：． 【点评】本题考查异面直线、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．甲乙两人射击，每人射击一次．已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响．设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，则条件概率的值为 　　． 【分析】根据对立事件的关系和独立性可求得（A）、，再根据条件概率的计算公式即可求解． 【解答】解：， ， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查对立事件的关系和独立性，属于基础题． 6．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆，，开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的情况有 　42　种． 【分析】先分类讨论，再由组合数排列数即可求解． 【解答】解：甲不去场馆，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有 种； 情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有 种，场馆场馆均有两人共有 种， 所以甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的情况为种． 故答案为：42． 【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题． 7．如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则　0　． 【分析】根据茎叶图可得甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分，进而分别求出他们的中位数和平均数，列出方程，解出，，可得答案． 【解答】解：由题意，甲篮球队6名队员某场比赛的得分为07，12，12，20，，31， 且中位数为，平均数为， 乙篮球队6名队员某场比赛的得分为08，09，19，，25，28， 且中位数为，平均数为， 这两组数据的中位数相等，且平均值也相等， ，解得； 且，解得， 即． 故答案为：0． 【点评】本题考查茎叶图的应用，考查中位数和平均数的计算，属于基础题． 8．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则　　． 【分析】根据题意，由双曲线的几何性质求出该双曲线渐近线方程，结合直线与圆的位置关系分析可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为， 则，变形可得，即，故该双曲线的渐近线方程为， 假设与圆交于，两点， 圆的圆心为，半径， 其圆心到直线的距离， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题． 9．如图，在平行六面体中，，，则　3　． 【分析】根据向量的线性运算及向量数量积的定义与性质即可求解． 【解答】解：在平行六面体中， ，， 又，，，， ，， 且与的夹角为，与的夹角为， 与的夹角为， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查向量的线性运算，向量数量积的定义与性质，属于中档题． 10．抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，，垂足为，若直线的斜率为，则　4　． 【分析】求出直线的方程，求出点和的坐标，利用抛物线的定义即可求的值． 【解答】解：抛物线方程为， 焦点，准线方程为， 直线的斜率为， 直线的方程为， 当时，， 由可得点坐标为， ，为垂足， 点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，， ． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，利用抛物线的定义是解决本题的关键． 11．已知曲线．关于曲线有四个结论： ①直线是曲线的一条对称轴． ②曲线是中心对称图形． ③设曲线所围成的区域面积，则． ④曲线上的点到原点距离的最小值是． 则其中所有正确的结论序号是 　②③　． 【分析】①设是曲线上的点，则此点关于对称点为，将代入验证是否一定等于1； ②代入验证和原表达式是否一致，即可判断； 作出图象验证③④． 【解答】解：①设是曲线上的点，则此点关于对称点为， 因为， 代入点则有，只有时，才可能值为1，故不正确； ②代入得，故曲线关于中心对称； 当则，曲线的方程可化为，两边平方化简得：， 同理当时，曲线的方程化简为：， 作出图象，如图所示： ③所围成的区域面积大于四个直角三角形的面积之和，小于矩形面积， 故，所以正确； ④由图象可得上的点到原点的距离最小值为，故错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查了推理能力、作图能力、数形结合思想，属于中档题． 12．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 　　． 【分析】两个曲线一个是指数函数，一个是圆，根据三角形原理，当圆心与指数函数图像上某点连线与该点切线垂直时，可以得到两曲线上距离最近的点． 【解答】解：如图所示， 对于指数函数，，设，，则点切线斜率为， 又圆心为，， 所以直线斜率为， 令，得， 即，到圆心距离为， 所以最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两曲线上点间的最近距离，属中档题． 二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．已知、分别为随机事件、的对立事件，（A），（B），则下列等式错误的是　　 A． B． C．若、独立，则（A） D．若、互斥，则 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断． 【解答】解：由， 故选项错误，选项正确； 若、独立，则（A）（B）， ，故正确； 若、互斥，则， ，正确． 故选：． 【点评】本题考查了条件概率的概率公式的应用，独立事件概率公式以及互斥事件概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属基础题． 14．已知，与，是直线为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是　　 A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使之恰有两解 D．存在，，，使之有无穷多解 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出，，，，的关系，然后求解方程组的解即可． 【解答】解：，与，是直线为常数）上两个不同的点，直线的斜率存在， ，即，并且，， ， ①②得：， 即． 方程组有唯一解． 故选：． 【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用． 15．设的导函数是连续函数，则下面不正确的是　　 A．如果是奇函数，则必是偶函数 B．如果是偶函数，则必是奇函数 C．如果是周期函数，则必是周期函数 D．如果是周期函数，则必是周期函数 【分析】根据导函数与原函数的关系、函数的奇偶性的性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【解答】解：对于：当是奇函数时，则，则有，则，故必是偶函数，故正确； 对于是偶函数，则，则，故必是奇函数，故正确； 对于是周期函数，则，则，故必是周期函数，故正确； 对于：设不是周期函数，，，是周期函数，但不是周期函数，故错误， 故选：． 【点评】本题考查导函数与原函数的关系、函数奇偶性的性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 16．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，且一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意作出正四棱台，为正四棱台底面的中心，也是球的球心，是上底面的中心，取，分别为，的中点，连接，，，过作于，可得为二面角的平面角，求解可得正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值． 【解答】解：由题意作出正四棱台如图所示，为正四棱台底面的中心，也是球的球心， 是上底面的中心，取，分别为，的中点，连接，，， 过作于， ，，又，又， 平面，， 为二面角的平面角， 由球的半径为50，高为40，由勾股定理可得， 进而可得，， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查求二面角的正弦值的求法，属中档题． 三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）． 17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，且，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【分析】（1）连接，得出，由中位线性质得，证明，再证明，平面，得出，即可证明平面． （2）利用等体积法计算三棱锥的体积即可． 【解答】（1）证明：连接，如图所示， 因为底面为菱形，所以， 又因为为的中点，为的中点，所以，所以， 因为，为的中点．所以， 又因为平面底面，平面底面， 所以平面， 又因为平面，所以， 且，平面，平面， 所以平面． （2）解：，，， 所以， 又因为，所以， 所以三棱锥的体积为： ． 【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了锥体体积计算问题，是基础题． 18．在数列中，已知，． （1）证明：数列为等比数列． （2）记，数列的前项和为，求． 【分析】（1）证明数列为等比数列，即转化变形方向为与的关系．首先分离与，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证； （2）先由（1）结论求出，再化简，再由分组求和法即可得出答案． 【解答】（1）证明：由，得， 从而， ， 又，故数列为等比数列； （2）解：由（1）得，，故， 所以， 则． 【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题． 19．甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费者，得到下表： 满意 不满意 男 440 60 女 460 40 （1）能否有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关； （2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【分析】（1）计算，与临界值表比较，即可得出结论； （2）求得的可能取值及对应概率，即可求得分布列和期望． 【解答】解：（1）， 所以有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关； （2）由题意可知，消费者对新产品满意的概率为，不满意的概率为， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，是中档题． 20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长为4，是椭圆上的一点，直线的斜率为，在轴上的截距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，直线与椭圆交于不同的两点，，为坐标原点，求面积的最大值； （3）设是直线的一个法向量，是上一点，对于坐标平面内的定点，定义．用、、、表示，并利用与的大小关系，提出一个关于与位置关系的真命题，给出命题的证明． 【分析】（1）由条件求出左焦点坐标，利用点斜式求直线的方程； （2）由条件结合椭圆定义列方程求，，可得椭圆方程，再表示面积并求其最大值； （3）根据定义求，提出命题若，则直线与椭圆相切，再通过证明直线与椭圆有且只有一个交点完成证明． 【解答】解：（1）设椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 因为的焦距为2，所以，故，所以左焦点的坐标为， 因为过点，直线的斜率为， 所以直线的方程为； （2）因为是上的一点，所以，化简可得， 因为，所以，所以，， 所以的方程为， 因为直线的斜率为，在轴上的截距，所以直线的方程为， 设，，由对称性可得，， 因为的面积，为坐标原点， 所以，又， 所以，此时直线的斜率为0， 所以面积的最大值为2； （3）因为直线的斜率为，在轴上的截距为，所以直线的方程为， 则向量为直线的一个法向量， 取，因为是上一点，故设，， 设椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 则．，，， 由已知，， 所以， 提出如下命题：椭圆 的左、右焦点分别为，， 直线的方程为，若，则直线与椭圆相切，证明如下： 联立方程，化简可得， 所以． 方程的判别式△， 因为，， 所以，所以， 所以△，所以方程组只有一组解， 所以直线与椭圆只有一个交点，所以直线与椭圆相切． 【点评】本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题． 21．设函数，其中为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”． （1）若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由； （2）若，求函数的极值点； （3）证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有． 【分析】（1）代入有，根据指数函数、幂函数性质可得，再将代入即可证明； （2）代入值有，直接求导，令导函数为0即可得到其极值点； （3）假设存在，使得，通过和谐数组定义转化得对任意，恒成立，设，再利用二次函数的性质即可证明假设不成立． 【解答】解：（1）是的“和谐数组”，理由如下： 当时，．根据幂函数、指数函数的性质，对任意，都有． 对任意、，代入，得：． 是的“和谐数组”． （2）当， 于是可列表如下： 0 0 极大值 极小值 为函数的一个极大值点，为的一个极小值点． （3）证明：反证法：假设存在，使得，则对任意，都有． 对任意，恒成立．令，则在上恒成立， 由二次函数性质可知，必存在使得当时，恒成立，且此时， 当时有， 其中， 由二次函数性质可知，必存在使得当时，． 这与在上恒成立矛盾． 对任意，都有． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数的新定义，考查运算求解能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$