第01讲 二次根式（5考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第01讲 二次根式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解二次根式的概念； 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围； 3.探索二次根式的性质. 一、二次根式的定义 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 1）二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足； 2）二次根式的两个要素：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 3）形如的式子也是二次根式，表示b与的乘积，当b为带分数或小数时，要写成假分数的形式； 4）在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了. 5）【易错点】二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：√4,- √9 都是二次根式. 例1（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1（23-24九年级上·四川宜宾·期中）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 二、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 【小技巧】 1）单个二次根式，如有意义的条件是； 2.）二次根式相加，如有意义的条件是； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是； 4.）二次根式与分式相加，如有意义的条件是. 例2（2023·云南·模拟预测）若二次根式有意义，则下列各数符合要求的是（     ） A．10 B．9 C．8 D．7 变式2-1（2023·内蒙古通辽·模拟预测）要使式子有意义，的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式2-2（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数中自变量x的取值范围是 三、二次根式的性质 性质1：式子既表示二次根式，又表示非负数的算术平方根，所以具有双重非负性； 性质2：，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质3：，当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为；当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为. 例3（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）若，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3-1（2023·江苏南京·模拟预测）计算： ； ． 【考点一】求二次根式的值 例1．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 变式1-1．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 【考点二】求二次根式的参数 例2．（22-23八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 变式2-1．（21-22八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 变式2-2．（22-23八年级下·河南安阳·期中）若是整数，则正整数的最小值是 ． 【考点三】利用二次根式有意义的条件求字母/代数式的值 例3．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）设点 ，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 变式3-1．（2023·山东济宁·模拟预测）已知实数满足，则 ． 变式3-2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知：为实数，且，化简：． 变式3-3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，∴______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 【考点四】利用二次根式的性质化简 例4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，化简 ． 变式4-1．（21-22八年级下·天津·期中）已知，化简： ． 变式4-2．（23-24八年级上·上海静安·期中）化简： ． 【考点五】已知数轴上点的位置，利用二次根式的性质化简 例5．（2023·辽宁丹东·二模）如图所示， ． 变式5-1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： ．    一、单选题 1．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）“”表示的是一个二次根式，则“”不可能是（    ） A．－1 B．4 C．2 D． 3．（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河北衡水·期末）若，则的值可以是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 5．（2023·宁夏银川·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简（　　） A． B． C． D．b 6．（23-24九年级上·河南周口·期末）若有意义，则x、y的取值范围不可能是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·云南·模拟预测）要使有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 8．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数a满足，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C． D． 二、填空题 10．（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 11．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知实数，则代数式的值为 ． 12．（23-24八年级上·江苏·周测）若实数满足，则的立方根为 ． 三、解答题 13．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）先化简再求值：当时，求的值甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______ 的解答是错误的，错误的原因是______ ； (2)若，计算的值． 14．（23-24九年级上·北京·开学考试）求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1)___________的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________； (3)通过对上面错因的分析，求解代数式的值，其中 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解二次根式的概念； 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围； 3.探索二次根式的性质. 一、二次根式的定义 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 1）二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足； 2）二次根式的两个要素：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 3）形如的式子也是二次根式，表示b与的乘积，当b为带分数或小数时，要写成假分数的形式； 4）在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了. 5）【易错点】二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：√4,- √9 都是二次根式. 例1（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据二次根式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，x有可能小于0，故不一定是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、，若时，无意义，不符合题意； D、被开方数小于0，无意义，不符合题意； 故选：B． 变式1-1（23-24九年级上·四川宜宾·期中）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的概念． 根据二次根式的定义：形如的式子逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意； B、为三次根式，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意； C、中，条件，是二次根式，故本选项符合题意； D、，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意． 故选：C． 二、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 【小技巧】 1）单个二次根式，如有意义的条件是； 2.）二次根式相加，如有意义的条件是； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是； 4.）二次根式与分式相加，如有意义的条件是. 例2（2023·云南·模拟预测）若二次根式有意义，则下列各数符合要求的是（     ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据形如的式子叫作二次根式．本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键． 【详解】二次根式有意义， 故， 解得， 故选D． 变式2-1（2023·内蒙古通辽·模拟预测）要使式子有意义，的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式、分式有意义的条件，熟知相关知识点是正确解决本题的关键． 根据分母不为零、被开方数不能是负数即可求解． 【详解】解：式子有意义， ， 解得． 故选：D． 变式2-2（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数中自变量x的取值范围是 【答案】 【分析】 本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】 解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 三、二次根式的性质 性质1：式子既表示二次根式，又表示非负数的算术平方根，所以具有双重非负性； 性质2：，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质3：，当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为；当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为. 例3（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）若，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可得，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式3-1（2023·江苏南京·模拟预测）计算： ； ． 【答案】 2 2 【分析】 本题考查了绝对值的性质和二次根式的性质，解题关键是熟练掌握相关性质．根据绝对值的性质和二次根式的性质，进行计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：2，2． 【考点一】求二次根式的值 例1．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】把代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键． 变式1-1．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）当时，代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：将代入得， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，解题关键在于正确地计算． 【考点二】求二次根式的参数 例2．（22-23八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 【答案】D 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数) ∴n的最小值是7． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”． 变式2-1．（21-22八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 变式2-2．（22-23八年级下·河南安阳·期中）若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】4 【分析】根据二次根式有意义的条件和m为正整数，得出，即可得出m的值． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ∵m是正整数， ∴， ∴， ∵是整数， ∴， 解得：， ∴正整数的最小值是4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数． 【考点三】利用二次根式有意义的条件求字母/代数式的值 例3．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）设点 ，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，进而可求； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性、二次根式的非负性，一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键． 变式3-1．（2023·山东济宁·模拟预测）已知实数满足，则 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简绝对值，二次根式的性质，先根据二次根式有意义的条件求出，再化简绝对值，然后两边平方可得答案． 【详解】由题意得，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式3-2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知：为实数，且，化简：． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值化简，二次根式化简，整式加减．根据题意可得，，再化简代数式即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得且， ， ∴， ∴， ∴ 变式3-3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，∴______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 【答案】(1)2023，2024，； (2) (3) 【分析】（1）解不等式组即可求出x、y及的值； （2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式求值即可； （3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可． 【详解】（1）解不等式组得， ∴，， 故答案为：2023，2024，； （2）由， 得，， ∴ ； （3）由， 得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【考点四】利用二次根式的性质化简 例4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 利用进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式4-1．（21-22八年级下·天津·期中）已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键． 根据的取值范围得出，，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 变式4-2．（23-24八年级上·上海静安·期中）化简： ． 【答案】 【分析】利用最简二次根式定义解答即可；此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴原式 故答案为：． 【考点五】已知数轴上点的位置，利用二次根式的性质化简 例5．（2023·辽宁丹东·二模）如图所示， ． 【答案】/ 【分析】直接利用数轴上，的位置，进而得出，，再化简得出答案． 此题主要考查了二次根式的性质和与化简、绝对值的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】由数轴可得：，， 故原式． 故答案为：． 变式5-1．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： ．    【答案】a 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可知，，再化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：a． 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选择即可．本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】．A. 不是二次根式，不符合题意；     B. 是二次根式，符合题意；     C. 不是二次根式，不符合题意； D. 所以不是二次根式，不符合题意； 故选B． 2．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）“”表示的是一个二次根式，则“”不可能是（    ） A．－1 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式定义及有意义的条件，根据二次根式定义及有意义的条件即可判断，解题的关键是正确理解二次根式的定义及有意义的条件． 【详解】解：∵“”表示的是一个二次根式， ∴， ∴选项中不符合题， 故选：． 3．（23-24八年级上·山东济南·期末）下列各式中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案．此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键． 【详解】解：，故A选项不正确，符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级上·河北衡水·期末）若，则的值可以是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，当时，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， 故选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意， 故选：D． 5．（2023·宁夏银川·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简（　　） A． B． C． D．b 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．直接利用数轴上a，b的位置，进而得出，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由图可知：， ． 故选：D 6．（23-24九年级上·河南周口·期末）若有意义，则x、y的取值范围不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据选项中的条件确定被开方数的符号，被开方数大于或等于0则一定有意义，若小于0则没有意义，不成立． 【详解】解：A、当时，被开方数，则式子一定有意义，不符合题意； B、当时，被开方数，则式子一定有意义，不符合题意； C、当时，被开方数，则式子一定没有意义，符合题意； D、当时，被开方数，则式子一定有意义，不符合题意． 故选：C． 7．（2023·云南·模拟预测）要使有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0和二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据分式的分母不能为0和二次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：由分式的分母不能为0和二次根式的被开方数的非负性得：且， 解得且， 故选：A． 8．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案． 【详解】解：∵； ∴，； 解得：； 故选：C． 9．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数a满足，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【详解】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出a的范围，根据绝对值的性质计算即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 则， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 10．（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中． 11．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知实数，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求代数式的的值，因式分解的应用，以及二次根式的性质．把分解因式得，然后把代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·江苏·周测）若实数满足，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及立方根，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，得到的值，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵根据二次根式有意义的条件，得： 解得，； ∴代入原式， ∴， ∴的立方根为． 故答案：． 三、解答题 13．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）先化简再求值：当时，求的值甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． (1)______ 的解答是错误的，错误的原因是______ ； (2)若，计算的值． 【答案】(1)乙，去绝对值时，没有判断的正负情况 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）利用二次根式的性质，化简求值即可得到答案； （2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 原式 ， 乙的解答是错误的，错误的原因是：去绝对值时，没有判断的正负情况； 故答案为：乙；去绝对值时，没有判断的正负情况； （2）解：， ， 原式 ． 14．（23-24九年级上·北京·开学考试）求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1)___________的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________； (3)通过对上面错因的分析，求解代数式的值，其中 【答案】(1)小亮； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：，是解题的关键． （1）根据二次函数的性质，可得，故可解答； （2）二次根式的性质为，故可解答； （3）利用完全平方公式将根号下因式分解，再利用二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】（1） 解：， ∴， 则， 所以小亮的解法是错误的， 故答案为：小亮； （2） 解：错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质， 故答案为：； （3）解：当时，， 则原式 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$