第02讲 二次根式的乘除（9考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第02讲 二次根式的乘除 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索二次根式乘法/除法法则； 2.掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质； 3.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质； 4.熟练进行二次根式的乘法/除法运算. 二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 积的算术平方根：积的算术平方根等于各因式算术平方根的积．主要用于二次根式的化简，即 例1（2023·山东临沂·二模）估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 变式1-1．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算： ． 变式1-2．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）若，，则可以表示为（） A． B． C． D． 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：. 商的算术平方根：商的算术平方根等于各因式算术平方根的商．主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母，即. 【注意事项】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 例2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）下列各式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）计算： ． 变式2-2．（2023·山东烟台·模拟预测）已知：，则 ． 最简二次根式的定义：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式． 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： 1.开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； 2.不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 例3．（23-24九年级上·四川眉山·期中）下列二次根式、、、、、、中，最简二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-1．（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3-2．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 分母有理化：把分母中的根号划去的方法，叫做分母有理化． 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：. 例4．（2023·山东青岛·二模）计算： ． 变式4-1．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 【考点一】二次根式乘除法则成立的条件 例1．（22-23八年级下·全国·期中）若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1-1．若成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24八年级上·湖南邵阳·阶段练习）能使等式 成立的x的取值范围是 ． 变式1-3．如果，那么x的取值范围是 ． 【考点二】二次根式的乘除混合运算 例2．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2-1．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【考点三】把根号外的因数（式）移到根号内 例3．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）把根号外面的因式移到根号内的结果是 ． 变式3-1．（20-21八年级上·上海·期中）把的根号外因式移到根号内得 ． 变式3-2．把下列根号外的因式移到根号内. (1)a; (2)·(x>y>0); (3)ab(0<a<b). 【考点四】化为最简二次根式 例4．（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 变式4-1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）把根式化简成最简二次根式，正确结果是（   ） A． B． C．－ D．－ 【考点五】根据最简二次根式的概念求值 例5．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 5-1．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．若a是正整数，是最简二次根式，则a的最小值为 . 【考点六】分母有理化及其应用 例6．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如果，那么 ． 变式6-1．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 变式6-2．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，则化简的结果为 ． 变式6-3．（23-24九年级上·广东潮州·期中）阅读下列材料，并解决相应问题： 应用：用上述类似的方法化简下列各式： (1)， (2)若k是的小数部分，求的值． 【考点七】比较二次根式的大小 例7．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． 变式7-1．（22-23八年级下·福建福州·期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：，，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅： (1)举些例子比较与的大小，并提出猜想；至少举例，举例要全面哦 (2)利用学过的知识证明你的猜想． 变式7-2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【考点八】利用二次根式的乘除运算解决实际问题 例8．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为60cm）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚的高度至少为（　　） A．300 B． C． D． 变式8-1．（22-23八年级上·江苏·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为 km． 变式8-2．交通警察在处理事故时，车辆是否超速是划分责任的一个主要依据，根据实际工作经验，刹车后车轮滑过的距离可以用来推算当时的车速，所用的公式为其中v表示车速，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数.在一段限速80的地段，发生了一起交通事故，警察在现场调查中测得，，则肇事汽车当时 超速.（填“已经”或“没有”） 变式8-3．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，那么是的多少倍？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 【考点九】与二次根式的乘除运算有关的阅读材料类问题 例9．（23-24七年级下·山东日照·期中）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：，，所以． 小明：， 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明； (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 变式9-1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是______． (2)化简：． (3)比较与的大小，并说明理由． 变式9-2．（22-23八年级下·湖北鄂州·期中）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ∵ ∴ 这种方法称为“构造对偶式” 问题：已知 (1)求的值； (2)求的值． 一、单选题 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列二次根式是最简二次根式的为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·重庆铜梁·模拟预测）估计的值应在( ) A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知，，则与的关系为（    ） A．相等 B．绝对值相等 C．互为相反数 D．互为倒数 4．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 5．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）设，，则下列运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·吉林长春·期中）关于，以下说法正确的是（    ） A．是有理数 B． C． D．是最简二次根式 8．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）一个菱形两条对角线长的和是，面积是，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河南新乡·开学考试）已知是实数，且满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 11．（2023·山东青岛·模拟预测）计算： 12．（23-24九年级上·河南南阳·期中）若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数的值 ． 13．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）若，，则 ． 14．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）如果二次根式，那么可以用含a和b的代数式表示为 ． 15．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于 ． 三、解答题 16．（22-23八年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4)． 17．（21-22八年级下·江西赣州·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 18．（22-23九年级上·河南周口·期中）已知，求：的值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的乘除 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索二次根式乘法/除法法则； 2.掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质； 3.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质； 4.熟练进行二次根式的乘法/除法运算. 二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 积的算术平方根：积的算术平方根等于各因式算术平方根的积．主要用于二次根式的化简，即 例1（2023·山东临沂·二模）估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘法及无理数的估算．先将原式进行计算，然后判断其结果在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， ， ， 即， 那么原式的值在2和3之间， 故选：A． 变式1-1．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可，解题关键是掌握二次根式的乘法法则． 【详解】解：, 故答案为：． 变式1-2．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）若，，则可以表示为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键． 首先化简二次根式，进而得出答案． 【详解】解；∵， ∴可以表示为；． 故选：B． 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：. 商的算术平方根：商的算术平方根等于各因式算术平方根的商．主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母，即. 【注意事项】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 例2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）下列各式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质化简和二次根式除法依次计算各项后即可解答，熟练掌握二次根式的化简和二次根式除法运算法则是解题的关键． 【详解】、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算正确，符合题意； 故选：． 变式2-1．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，利用二次根式的除法法则进行计算，是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 变式2-2．（2023·山东烟台·模拟预测）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和除法运算，理解二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质和除法运算法则进行分析计算． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 最简二次根式的定义：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式． 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： 1.开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； 2.不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 例3．（23-24九年级上·四川眉山·期中）下列二次根式、、、、、、中，最简二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式、二次根式的性质．由于，可知．．的被开方数，可以利用完全平方公式因式分解．有意义的隐含条件是为非负数． 【详解】解：将根式整理化简得： ， ， ， ， ． 由此可知，最简二次根式有：、，共2个． 故选：B 变式3-1．（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．能理解最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简根式；②，故不是最简根式；③是最简根式；④，故不是最简根式；⑤，故不是最简根式．所以最简根式有：①、③，共2个． 故选：B． 变式3-2．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 答案不唯一，整数m满足是最简二次根式即可． 【详解】∵是最简二次根式， ∴． 故答案为：4（答案不唯一）． 分母有理化：把分母中的根号划去的方法，叫做分母有理化． 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：. 例4．（2023·山东青岛·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了二次根式的除法运算及加法运算，先化简二次根式，在计算除法，最后计算加法即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 变式4-1．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，最后代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 【考点一】二次根式乘除法则成立的条件 例1．（22-23八年级下·全国·期中）若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法的法则及二次根式有意义的条件进行分析即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， 即a的范围为：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 变式1-1．若成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件可得到关于的一元一次不等式组，求解即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ． 解得 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得到一元一次不等式组是解题的关键． 变式1-2．（23-24八年级上·湖南邵阳·阶段练习）能使等式 成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1-3．如果，那么x的取值范围是 ． 【答案】x＞2 【详解】∵， ∴x-1≥0且x-2>0， 解得x>2. 故答案为x>2. 【考点二】二次根式的乘除混合运算 例2．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 变式2-1．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可； （2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2） 【考点三】把根号外的因数（式）移到根号内 例3．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）把根号外面的因式移到根号内的结果是 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键． 变式3-1．（20-21八年级上·上海·期中）把的根号外因式移到根号内得 ． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可． 【详解】解：， ； 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键． 变式3-2．把下列根号外的因式移到根号内. (1)a; (2)·(x>y>0); (3)ab(0<a<b). 【答案】（1）;（2）;（3）. 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知a>0，利用二次根式的乘法法则化简； （2）(3)利用二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】(1)  ∵>0,∴a>0,a=,∴a·; (2)  ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即>0. ∴, ∴··; (3)  ∵0<a<b,∴ab>0, b-a＞0,∴ab=, ∴ab·. 【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确确定a、b和x的范围是关键． 【考点四】化为最简二次根式 例4．（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式4-1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断是解此题的关键． 【详解】解：A. ，化简不正确； B. ，化简不正确； C. ，化简不正确； D. ，化简正确； 故选D． 变式4-2．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）把根式化简成最简二次根式，正确结果是（   ） A． B． C．－ D．－ 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化， 根据二次根式有意义的条件可知，将二次根式转化为即可； 【详解】解：， 故选：C 【考点五】根据最简二次根式的概念求值 例5．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 5-1．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 变式5-2．若a是正整数，是最简二次根式，则a的最小值为 . 【答案】3 【分析】直接利用最简二次根式的定义进行分析即可得. 【详解】∵a是正整数，是最简二次根式， ∴=， ∵a为1时，=3，a为2时，=2，均不是最简二次根式， a为3时，=，此时是最简二次根式， ∴a最小为3， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题的关键. 【考点六】分母有理化及其应用 例6．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求函数的值、二次根式的分母有理化，熟练掌握求函数值的方法是解题关键．把代入，根据二次根式的分母有理化方法计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 变式6-1．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，以及估算无理数大小，先把式子分母有理化，再估算出所在范围，再根据化简后的式子进行变形，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分，小数部分为， ，． 故答案为：2，． 变式6-2．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，则化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，分母有理化，根据二次根式有意义的条件得出，从而得到，根据非负数的性质得出，，最后代入式子中进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式6-3．（23-24九年级上·广东潮州·期中）阅读下列材料，并解决相应问题： 应用：用上述类似的方法化简下列各式： (1)， (2)若k是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 此题考查了二次根式的混合运算，熟练二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化计算后，再进行二次根式的加减法即可； （2）先求出，再代入进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1） （2）∵， ∴， ∵k是的小数部分， ∴ ∴ 【考点七】比较二次根式的大小 例7．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数，，若，则．随后讲解了一道例题： 参考下面例题的解法，解答下列问题： 试比较和的大小． 解：，， ∵， ∴ (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，先求原数的平方，再由负数比较大小的法则即可得到答案； （2）参考例题解法，由完全平方公式对原数进行处理，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 变式7-1．（22-23八年级下·福建福州·期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：，，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅： (1)举些例子比较与的大小，并提出猜想；至少举例，举例要全面哦 (2)利用学过的知识证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意列举出三个具体数据的实例进行计算得出结论； （2）利用两个非负数平方的大小，来比较这两个非负数的大小的方法进行证明即可． 【详解】（1）例如：，而， ； ，而， ； ，而，， ； ； （2），，而， ． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提． 变式7-2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】(1)5； (2)； (3)． 【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是5； ∴， ∴， ∴的整数部分是1，则的小数部分是， 故答案为：5；； （2）解：， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． 【考点八】利用二次根式的乘除运算解决实际问题 例8．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为60cm）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚的高度至少为（　　） A．300 B． C． D． 【答案】D 【分析】仔细观察上图，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成一等边三角形，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是，雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高． 【详解】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形， 它的边长是（cm）， 这个等边三角形的高是（cm），雨棚起码高是： cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 变式8-1．（22-23八年级上·江苏·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为 km． 【答案】 【分析】根据，，，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． 变式8-2．交通警察在处理事故时，车辆是否超速是划分责任的一个主要依据，根据实际工作经验，刹车后车轮滑过的距离可以用来推算当时的车速，所用的公式为其中v表示车速，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数.在一段限速80的地段，发生了一起交通事故，警察在现场调查中测得，，则肇事汽车当时 超速.（填“已经”或“没有”） 【答案】已经 【分析】把d、f的值代入公式进行计算即可得解． 【详解】∵d=24m，f=1.3，∴v=161616×5.59≈89.4km/h． ∵89.4＞80，∴肇事汽车当时已经超速． 故答案为已经． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，把已知数据代入公式进行计算即可，计算时要用计算器． 变式8-3．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，那么是的多少倍？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)是的倍 (2)下落的高度是11.25m 【分析】（1）将代入进行计算即可，将代入，计算与的比值即可得出结论； （2）将代入公式进行计算即可． 【详解】（1）解：当时，（s， 当时，（s， ， 是的倍． （2）解：当时，， 解得， 下落的高度是11.25m． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的运算，算术平方根的应用，解题关键是掌握二次根式的性质和运算． 【考点九】与二次根式的乘除运算有关的阅读材料类问题 例9．（23-24七年级下·山东日照·期中）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：，，所以． 小明：， 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明； (2)运用以上结论，计算： ①； ②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)；举例见解析 (2)①24；②77 (3)18 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得：； （2）①根据，即可求解； ②根据，即可求解； （3）由长方形的面积可求，再化简求值即可． 【详解】（1）解：； 例如：，， ∴． （2）解：①； ②． （3）解：∵长方形的长为，宽为， ∴， 答：这个长方形的面积为18． 变式9-1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是______． (2)化简：． (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）根据题干求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，可判断与的大小． 【详解】（1）解：由题意知， ∵ ∴的有理化因式可以是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：，理由如下； 由题意知，，， ∵， ∴，即． 变式9-2．（22-23八年级下·湖北鄂州·期中）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ∵ ∴ 这种方法称为“构造对偶式” 问题：已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意可得，然后问题可求解； （2）由（1）及题意可列方程进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； （2）解：由（1）知，① ∵，② ∴①+②得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列二次根式是最简二次根式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的识别，如果一个二次根式符合下列两个条件：1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A，中被开方数含能开得尽方的因数，，不是最简二次根式； B，是最简二次根式； C，中被开方数不是整数，，不是最简二次根式； D，中被开方数不是整数，，不是最简二次根式； 故选B． 2．（2023·重庆铜梁·模拟预测）估计的值应在( ) A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的除法，无理数的估算；先将该算式计算化简，再通过估算进行求解． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知，，则与的关系为（    ） A．相等 B．绝对值相等 C．互为相反数 D．互为倒数 【答案】D 【分析】本题考查的是互为负倒数的性质，二次根式的乘法，熟练掌握性质是本题的解题关键．根据互为倒数的性质进行计算． 【详解】． ∴与的关系为互为倒数． 故选：D． 4．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选D． 5．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）设，，则下列运算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘除法．直接利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：A、，正确，本选项不合题意； B、，无法化简，错误，本选项符合题意； C、，正确，本选项不合题意； D、，正确，本选项不合题意； 故选：B． 6．（23-24九年级上·四川遂宁·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘法和除法运算，根据二次根式的乘法和除法运算法则逐项计算即可选择，也是解题关键． 【详解】解：，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算正确，符合题意． 故选D． 7．（23-24九年级上·吉林长春·期中）关于，以下说法正确的是（    ） A．是有理数 B． C． D．是最简二次根式 【答案】B 【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或；无理数的估算、二次根式的性质化简、最简二次根式的判断，可判定选择项． 【详解】解：A、是无理数，原来的说法错误，不符合题意； B、因为，所以，原来的说法正确，符合题意； C、，原来的说法错误，不符合题意； D、不是最简二次根式，原来的说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数，无理数的估算、二次根式的性质、最简二次根式，解题的关键是掌握有理数，无理数的范围以及分类方法． 8．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质和求解可得． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）一个菱形两条对角线长的和是，面积是，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设菱形的对角线、交于点，，，则，所以；由，得，则，所以菱形的周长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， 菱形的对角线、交于点， 则，， 设，， 则， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：B． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、菱形的面积公式、整式的乘法等知识，正确地求出的长是解题的关键． 10．（23-24九年级上·河南新乡·开学考试）已知是实数，且满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于零求出x、y的值，代入解题即可． 【详解】解：由题可知：，解得，， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的乘法，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 二、填空题 11．（2023·山东青岛·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】 此题考查了分式的乘除法，先计算乘法，再计算除法即可. 【详解】解：， 故答案为：. 12．（23-24九年级上·河南南阳·期中）若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，熟记“整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数”的相关概念是解题的关键． 【详解】解：，是有理数． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得，，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 14．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）如果二次根式，那么可以用含a和b的代数式表示为 ． 【答案】/ 【分析】根据，即可得到答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式乘法运算及代数式的表示，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键． 15．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于 ． 【答案】 【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，， ∴ ∴， ∵最大压强是前面向下放置， ∴， ∵最小压强是面积最大的面向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键． 三、解答题 16．（22-23八年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解； （4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 17．（21-22八年级下·江西赣州·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 【答案】(1)，； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， （2）矩形的长为，宽为， ∴剩余木料的面积； （3）剩余木条的长为，宽为， ∵，， ∴能截出个木条． 18．（22-23九年级上·河南周口·期中）已知，求：的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可得：，，解得，再把代入式子计算出，再把，代入，根据二次根式的乘法和除法法则计算即可求解. 【详解】解:，， ∴， 把代入式子计算出， 把，代入得： ∴原式． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件和二次根式乘除法法则，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式有意义的条件和二次根式乘除法法则． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$