专题8.5 成对数据的统计分析（能力提升卷）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题8.5 成对数据的统计分析（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024·四川成都·三模）根据如下样本数据，得到回归直线方程为，则(    ) x 4 5 6 7 8 9 y 5.0 3.5 0.5 1.5 -1.0 -2.0 A．， B．， C．， D．， 2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 3．（2024高二上·安徽安庆·期中）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 50 m 60 根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则表中m的值为（    ） A．45 B．50 C．56．5 D．70 4．（2024·河南·模拟预测）雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”．某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度v（单位：m/s）与直径d（单位：mm）的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，下面四个回归方程类型中最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 5．（2024高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．（2024高三上·海南·阶段练习）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其经验回归方程为．已知，，，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（    ） A．160 B．165 C．170 D．175 7．（2024高二上·全国·单元测试）某校团委对“学生性别和喜欢某热门软件是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该软件的人数占男生人数的，女生不喜欢该软件的人数占女生人数．若有的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则男生至少有（    ） 0.050 0.010 3.841 6.635 A．12人 B．6人 C．10人 D．18人 8．（2024·甘肃酒泉·三模）为了了解某高中生对电视台某节目的态度，在某中学随机调查了110名同学，得到如下列联表： 男 女 总计 喜欢 40 20 60 不喜欢 20 30 50 总计 60 50 110 由算得. 参照附表，得到的正确结论是（    ） A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关” C．有99%的把握认为“喜欢该节目与性别有关” D．有99%的把握认为“喜欢该节目与性别无关” 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二下·福建泉州·期中）针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数可能为（    ） 参考公式：附． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．25 B．45 C．60 D．75 10．（2024高二下·福建莆田·期末）为预测某电子商务平台2022年的销售额（单位：亿元），建立了年销售额y与年份代码x的两个回归模型，根据该平台2012年至2021年的数据（年份代码x的值依次为1，2，…，10）作出散点图，建立模型①：和模型②：，如下图，则下列说法正确的是（    ） A．模型②更适合作为回归模型 B．年销售额y与年份代码x呈正相关关系 C．根据模型②计算得，当时，，可预测该平台2022年的年销售额为6252亿元 D．若模型①过样本中心，该平台2012年至2021年间年销售额的平均值为1845亿元，则 11．（2024·全国·模拟预测）2020年东京奥运会于北京时间2021年7月23日到8月8日在东京奥林匹克体育场举行．某公司为推销某种运动饮料，拟在奥运会期间进行广告宣传，经市场调查，广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）的数据如下表所示： 广告支出费用x 2 3 4 5 6 销售量y 4 5 7 10.6 13.4 根据表中的数据可得y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．相应于点的残差为0.16 C．当广告支出费用为7万元时，销售量约为15.32万件 D．回归直线经过点 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二·全国·课后作业）将两个变量x、y的n对样本数据，，，…，在平面直角坐标系中表示为散点图，根据x、y满足一元线性回归模型及最小二乘法，求得其经验回归方程为．设为回归直线上的点，则下列说法正确的是 ． ①越小，说明模型的拟合效果越好； ②利用最小二乘法求出的线性回归直线一定经过散点图中的某些点； ③相关系数r的绝对值越接近于1，说明成对样本数据的线性相关程度越强； ④通过经验回归方程进行预报时，解释变量的取值不能距离样本数据的范围太远，求得的预报值不是响应变量的精确值． 13．（2024高二下·湖北省直辖县级单位·期末）某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程，其中=0.76，.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为 . 14．（2024高三·辽宁·开学考试）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据: 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据,求得线性回归方程为=-20x+.若在这些样本中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二·江西南昌·开学考试）某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量（单位：万只）与相应年份（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现与有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数（单位：个）关于的回归方程. 年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年养殖山羊y/万只 1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 25 2.6 2.7 根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，）； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 16．（2024高二·全国·课后作业）某公司为了做好产品生产计划，准确地把握市场，对过去四年的产品数据进行整理得到了第年与年销售量（单位：万件）之间的关系如下表： 第年 销售量（万件） (1)在图中画出表中数据的散点图； (2)根据（1）中的散点图选择用于拟合与的回归模型，并用相关系数加以说明； (3)建立关于的回归方程，预测第年的销售量． （参考数据：，） 17．（2024高三上·四川南充·阶段练习）我省将在2025年全面实施新高考，取消文理科，实行“”，其中，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择其中一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表： 年龄（岁） 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 (1)把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年，请根据上表完成列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 (2)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及. 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 18．（2024高三·江苏南京·开学考试）今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某中学体育组对高三的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图引体向上个数只记整数体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组. (1)第一小组决定从单次完成个的引体向上的男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试， ①单次完成个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？ ②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表. 学业优秀 学业不优秀 总计 体育成绩不优秀 100 200 300 体育成绩优秀 50 50 100 总计 150 250 400 请你根据联表判断是否有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？ 参考公式：独立性检验统计量，其中． 下面的临界值表供参考： P（） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（2024·贵州贵阳·模拟预测）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1)在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，并由散点图判断（a，b为常数）与（，为常数，且，）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)对于非线性回归方程（，为常数，且，），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值． 3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.09 ①证明：“对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即，β，α为常数）”； ②根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.5 成对数据的统计分析（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024·四川成都·三模）根据如下样本数据，得到回归直线方程为，则(    ) x 4 5 6 7 8 9 y 5.0 3.5 0.5 1.5 -1.0 -2.0 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据表中数据分析随x的增加y的变化趋势可知b的正负，根据回归直线的纵截距正负即可判断a的正负． 【详解】根据表中数据可知，随着x的增加y减小，故y与x是负相关，故回归直线斜率为负，故b<0； 再结合散点图以及直线的性质，根据x=4，5，6，7时y均为正可知回归直线当x=0时与y轴截距为正，故a>0． 故选：B． 2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 【答案】D 【分析】根据正相关、相关指数、方差、对立事件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，回归方程，则变量与负相关，A选项错误. B选项，值越小，则模型的拟合效果越差，B选项错误. C选项，数据，，…，的方差为，C选项错误. D选项，连续射击三次， 事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”， D选项正确. 故选：D 3．（2024高二上·安徽安庆·期中）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 50 m 60 根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则表中m的值为（    ） A．45 B．50 C．56．5 D．70 【答案】D 【解析】求出，根据回归直线过样本中心点即可求解. 【详解】， ， 由线性回归方程为过样本中心点， 可得， 解得. 故选：D 4．（2024·河南·模拟预测）雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”．某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度v（单位：m/s）与直径d（单位：mm）的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，下面四个回归方程类型中最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图的分布即可选择合适的函数模型. 【详解】由一次函数，二次函数及指数函数的性质可知，BCD不符合散点的变化趋势， 由散点图分布可知，散点图分布在一个幂函数的图像附近， 因此，最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归方程类型的是. 故选：A. 5．（2024高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大. 【详解】对于A， ， 对于B，， 对于C，， 对于D， 显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大, 故选:B. 6．（2024高三上·海南·阶段练习）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其经验回归方程为．已知，，，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（    ） A．160 B．165 C．170 D．175 【答案】C 【分析】根据数据先求解出，然后根据经验回归方程过求解出，代入于经验回归方程可求. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，所以， 所以经验回归方程为， 当时，， 故选：C. 7．（2024高二上·全国·单元测试）某校团委对“学生性别和喜欢某热门软件是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该软件的人数占男生人数的，女生不喜欢该软件的人数占女生人数．若有的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则男生至少有（    ） 0.050 0.010 3.841 6.635 A．12人 B．6人 C．10人 D．18人 【答案】A 【分析】由有的把握认为是否喜欢该软件和性别有关可得，列方程求男生人数的范围，结合条件确定男生的人数的最小值. 【详解】设男生人数为，则女生人数为，则列联表如下： 喜欢该软件 不喜欢该软件 合计 男生 女生 合计 若有的把握认为是否喜欢该软件和性别有关，则， 即，解得． 又因为，，，为整数，所以男生至少有人． 故选：A． 8．（2024·甘肃酒泉·三模）为了了解某高中生对电视台某节目的态度，在某中学随机调查了110名同学，得到如下列联表： 男 女 总计 喜欢 40 20 60 不喜欢 20 30 50 总计 60 50 110 由算得. 参照附表，得到的正确结论是（    ） A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关” C．有99%的把握认为“喜欢该节目与性别有关” D．有99%的把握认为“喜欢该节目与性别无关” 【答案】C 【分析】根据求出的数据，结合临界值表判断即可 【详解】解：因为， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”，或有99%的把握认为“喜欢该节目与性别有关”， 故选：C 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二下·福建泉州·期中）针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数可能为（    ） 参考公式：附． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．25 B．45 C．60 D．75 【答案】BCD 【分析】设男生有人，依题意填写列联表，计算，对照临界值列出不等式即可求得的可能取值情况． 【详解】解：设男生有人，依题意得女生有人，列联表如下： 喜欢“航天热” 不喜欢“航天热” 总计 男生 女生 总计 因为， 所以，解得， 又是5的整数倍， 所以被调查的学生中男生的人数可能为45,60,75， 故选：BCD. 10．（2024高二下·福建莆田·期末）为预测某电子商务平台2022年的销售额（单位：亿元），建立了年销售额y与年份代码x的两个回归模型，根据该平台2012年至2021年的数据（年份代码x的值依次为1，2，…，10）作出散点图，建立模型①：和模型②：，如下图，则下列说法正确的是（    ） A．模型②更适合作为回归模型 B．年销售额y与年份代码x呈正相关关系 C．根据模型②计算得，当时，，可预测该平台2022年的年销售额为6252亿元 D．若模型①过样本中心，该平台2012年至2021年间年销售额的平均值为1845亿元，则 【答案】ABC 【分析】由散点图可判断选项A,B，结合回归方程可判断选项C,D. 【详解】由散点图可知年销售额y与年份代码x呈正相关关系；模型②更适合作为回归模型，故选项A,B正确. 当时， 当时,对应的年份为2022，可预测该平台2022年的年销售额为6252亿元，故选项C正确. ,解得，故选项D不正确. 故选：ABC 11．（2024·全国·模拟预测）2020年东京奥运会于北京时间2021年7月23日到8月8日在东京奥林匹克体育场举行．某公司为推销某种运动饮料，拟在奥运会期间进行广告宣传，经市场调查，广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）的数据如下表所示： 广告支出费用x 2 3 4 5 6 销售量y 4 5 7 10.6 13.4 根据表中的数据可得y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．相应于点的残差为0.16 C．当广告支出费用为7万元时，销售量约为15.32万件 D．回归直线经过点 【答案】ABC 【分析】A：回归直线经过样本点的中心(，)； B：残差为实际值减去用回归方程算出来的值：，＝10．6，； C：将x＝7代入可得； D：将x＝6代入验算是否等于13.4． 【详解】由表可知，，，将代入回归直线方程，得，解得，选项A正确； 相应于点的残差，选项B正确； 广告支出费用为7万元时，销售量约为(万件)，选项C正确； ∵，∴回归直线不经过点，选项D错误． 故选：ABC． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二·全国·课后作业）将两个变量x、y的n对样本数据，，，…，在平面直角坐标系中表示为散点图，根据x、y满足一元线性回归模型及最小二乘法，求得其经验回归方程为．设为回归直线上的点，则下列说法正确的是 ． ①越小，说明模型的拟合效果越好； ②利用最小二乘法求出的线性回归直线一定经过散点图中的某些点； ③相关系数r的绝对值越接近于1，说明成对样本数据的线性相关程度越强； ④通过经验回归方程进行预报时，解释变量的取值不能距离样本数据的范围太远，求得的预报值不是响应变量的精确值． 【答案】③④ 【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于①，对于线性回归方程，用相关系数来刻画回归效果，并非越小，模型的拟合效果就越好，所以①错误， 对于②，利用最小二乘法求出的线性回归直线有可能不经过散点图中的所有点，所以②错误， 对于③，相关系数r的绝对值越接近于1，说明成对样本数据的线性相关程度越强，所以③正确， 对于④，若解释变量的取值超出样本数据范围太多，则导致预报值准确度降低，得到预报值已不是准确值，所以④正确， 故答案为：③④ 13．（2024高二下·湖北省直辖县级单位·期末）某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程，其中=0.76，.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为 . 【答案】11.8万元 【分析】由题可得样本中心，进而可得回归直线方程，把代入即得. 【详解】由题意可得， ， 代入回归方程可得， ∴回归方程为， 把代入方程可得. 故答案为：11.8万元. 14．（2024高三·辽宁·开学考试）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据: 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据,求得线性回归方程为=-20x+.若在这些样本中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为 . 【答案】 【详解】由表格数据可知：，. ∵， ∴ ∴回归直线方程为 分别将个点代入方程得小于的点有两个点，则其这些样本点中任取点，共有种不同的取法，其中这两点恰好在回归直线两侧的共有种不同的取法，故满足条件的概率. 故答案为. 点睛：本题考查的知识是线性回归方程及等可能性事件的概率.回归直线方程中系数的两种求法①公式法：利用公式，求出回归系数；②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数；求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二·江西南昌·开学考试）某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量（单位：万只）与相应年份（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现与有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数（单位：个）关于的回归方程. 年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年养殖山羊y/万只 1.2 1.5 1.6 1.6 1.8 2.5 25 2.6 2.7 根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，）； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】 【解析】由已知求出和，根据所给公式求出和，即可求出关于的线性回归方程. 【详解】解：根据题意，设关于的线性回归方程为， 则， ， 则， 所以， 所以关于的线性回归方程为. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力. 16．（2024高二·全国·课后作业）某公司为了做好产品生产计划，准确地把握市场，对过去四年的产品数据进行整理得到了第年与年销售量（单位：万件）之间的关系如下表： 第年 销售量（万件） (1)在图中画出表中数据的散点图； (2)根据（1）中的散点图选择用于拟合与的回归模型，并用相关系数加以说明； (3)建立关于的回归方程，预测第年的销售量． （参考数据：，） 【答案】(1)散点图见解析 (2)可以用线性回归模型拟合与的关系，说明见解析 (3)回归方程为；第年销售量的预测值为万件 【分析】（1）根据表格数据直接描点即可； （2）根据表格数据和相关系数公式可求得，由相关系数的意义可确定结论； （3）利用最小二乘法可求得回归直线方程，代入即可得到预测值. 【详解】（1）作出散点图，如图所示， （2）由（1）中的散点图可知，各点大致分布在一条直线附近， 根据题中所给表格及参考数据可得：，，，，，，， ； 与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当强， 可以用线性回归模型拟合与的关系． （3）设关于的回归直线方程为：， ，， 关于的回归直线方程为：， 当时，，预测第年的销售量约为万件. 17．（2024高三上·四川南充·阶段练习）我省将在2025年全面实施新高考，取消文理科，实行“”，其中，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择其中一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表： 年龄（岁） 频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 (1)把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年，请根据上表完成列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 (2)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及. 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 【答案】(1)表格见解析，有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关 (2)分布列见解析，期望 【分析】第（1）问根据列联表数据计算与比较即可得到结论，第（2）问根据超几何分布概率和期望的计算公式求得期望. 【详解】（1）（1）解: 列联表如图所示: 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计 30 20 50 所以有的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联； （2）（2）解：年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人， 则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为. 则.所以的分布列为： 0 1 2 . 18．（2024高三·江苏南京·开学考试）今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某中学体育组对高三的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图引体向上个数只记整数体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组. (1)第一小组决定从单次完成个的引体向上的男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试， ①单次完成个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？ ②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表. 学业优秀 学业不优秀 总计 体育成绩不优秀 100 200 300 体育成绩优秀 50 50 100 总计 150 250 400 请你根据联表判断是否有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？ 参考公式：独立性检验统计量，其中． 下面的临界值表供参考： P（） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)①；②分布列见解析， (2)有 【分析】（1）①求出从中选2个，个中选3个，个中选6个，单次完成个引体向上的人共有人，然后利用古典概型的概率公式求解， ②X的所有可能取值有0、1、2，分别求出相应的概率，从而可求出X的分布列和数学期望， （2）利用求出，然后与临界值比较即可 【详解】（1）①， 所以，，， 即从中选2个，个中选3个，个中选6个， 又因为单次完成个引体向上的人共有人，         记“单次完成个引体向上的甲被抽中”为事件A， 则                                ②X的所有可能取值有0、1、2，                                          所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 所以 （2）因为 所以有的把握认为体育锻炼与学业成绩有关 19．（2024·贵州贵阳·模拟预测）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1)在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，并由散点图判断（a，b为常数）与（，为常数，且，）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)对于非线性回归方程（，为常数，且，），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值． 3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.09 ①证明：“对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即，β，α为常数）”； ②根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)作图见解析，选择为回归方程较适宜 (2)① 证明见解析；② 【分析】 （1）根据散点图，结合一次函数和指数型函数图象的特征进行判断即可； （2）①根据对数与指数的互化公式进行求解即可； ②利用题中所给的数据和公式进行求解即可. 【详解】（1）作出散点图如图所示． 由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围， 故选择为回归方程较适宜； （2）①由已知，，则， 则，，即．所以繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系． ②由①知繁殖个数的对数z关于天数x可以用线性回归方程来拟合． 由表中数据可得， ， 则z关于x的线性回归方程为． 又， 因此细菌的繁殖个数y关于天数x的非线性回归方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$