第02讲 二次函数的图像与性质（1）（7大核心考点精讲练透）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第02讲 二次函数的图像与性质（1） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.理解并能掌握二次函数的有关概念 2.学会使用描点法画出y＝ax2（a≠0）的图像，并能够通过图像概括二次函数的特征 3.掌握y＝ax2（a≠0）的开口方向，图像与性质，并会求最值 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2（a≠0）的特征 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 （3）y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 教材习题01 已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3). (1)求a的值,并写出这个二次函数的表达式. (2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置. 解题方法 ①因为图像经过(-2,-3)，代入表达式，求出a的值 ②根据二次函数的图像以及性质，概括出图像的性质 【答案】 解：(1) 把点(-2,-3)的坐标代入y=ax2,得 - 3=a(-2)2, 解得a=－ 这个二次函数的表达式是y=－x2 (2)顶点为(0,0),对称轴为y轴. 因为a=－<0,所以这个二次函数图象的开口向下,顶点是图象上的最高点,图象在x轴的下方(除顶点外). 考点一： 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题 例1．二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 变式1-1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 考点二：二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题 例2．在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 变式2-1．二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 考点三：二次函数y=ax²图象性质 例3．下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 变式3-2．抛物线，，共有的性质是（   ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小 考点四：二次函数y=ax²中y值大小比较问题 例4．已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 变式4-1．二次函数的图象对称轴右侧上有两点，，若，则 ．（填“”“”或“”） 变式4-2．已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是 （填＞，＜或＝）． 考点五：描点法绘制二次函数图像 例5．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．    (1)求的值，并画出它的图象； (2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 变式5-1．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 考点六：二次函数y=ax²与一次函数综合问题 例6．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 变式6-1．如图，抛物线与直线的交点A的横坐标是2，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 考点七：二次函数y=ax²图象及性质的实际应用 例7．如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　） A． B． C． D．5 变式7-1．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是（   ） A． B． C． D． 1．下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各点在二次函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 3．对于二次函数，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴为y轴 C．顶点坐标是 D．y随x的增大而减小 4．抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．下列4个函数，①；②；③；④，其中图像是中心对称图形，且对称中心在原点的共有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为增函数． 根据以上定义，下列函数中①；②；③；④，是增函数的（    ） A．①③④ B．①② C．③④ D．①③ 7．如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 9．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，分别过点（，2，…，2024）作x轴的垂线，交（）的图象于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为(   ) A．1012 B． C． D． 12．二次函数的图象开口向 ． 13．已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 14．若均在二次函数图象上，则 （填“>”“=”“<”）． 15．若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）. 16．观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 17．函数 与直线交于点 (1)求a，b的值. (2)x取何值时，y随x的增大而增大? 18．如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 19．已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 20．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图像与性质（1） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.理解并能掌握二次函数的有关概念 2.学会使用描点法画出y＝ax2（a≠0）的图像，并能够通过图像概括二次函数的特征 3.掌握y＝ax2（a≠0）的开口方向，图像与性质，并会求最值 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2（a≠0）的特征 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 （3）y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 教材习题01 已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3). (1)求a的值,并写出这个二次函数的表达式. (2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置. 解题方法 ①因为图像经过(-2,-3)，代入表达式，求出a的值 ②根据二次函数的图像以及性质，概括出图像的性质 【答案】 解：(1) 把点(-2,-3)的坐标代入y=ax2,得 - 3=a(-2)2, 解得a=－ 这个二次函数的表达式是y=－x2 (2)顶点为(0,0),对称轴为y轴. 因为a=－<0,所以这个二次函数图象的开口向下,顶点是图象上的最高点,图象在x轴的下方(除顶点外). 考点一： 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题 例1．二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 抛物线 轴 向下 【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键． 【详解】图像为抛物线；对称轴为轴；顶点坐标为；，开口向下； 故答案为：抛物线；轴；；向下． 变式1-1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点坐标为原点，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：C 考点二：二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题 例2．在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据，得出抛物线开口向上，即可求解． 【详解】解：抛物线中，， 抛物线开口向上， 故选：A． 变式2-1．二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据题意利用二次函数性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴，即， 故选：B． 变式2-2．在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【答案】# 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 【详解】解：由抛物线开口方向可知，为正数， 又由开口大小可得，， 故答案为：． 考点三：二次函数y=ax²图象性质 例3．下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数及二次函数的性质，解题的关键是根据各种函数的性质确定其增减性，难度不大．分别利用一次函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：、中，函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； B、中，开口向上，当时函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； C、中，在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； D、中，当时函数值随自变量的值增大而增大，符合题意． 故选：D． 变式3-1．关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答． 【详解】根据二次函数和的图象，可得两图象都关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点只在抛物线上，所以①③④正确． 故选：B． 变式3-2．抛物线，，共有的性质是（   ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质．根据二次函数的性质解题． 【详解】 解：开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点； ∴抛物线，，共有的性质是对称轴为轴，顶点为原点； 故选：B． 考点四：二次函数y=ax²中y值大小比较问题 例4．已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据性质即可作答． 【详解】关于轴的对称点为． 中二次项系数 当时，值随值的增大而增大 和的横坐标 故选：C． 变式4-1．二次函数的图象对称轴右侧上有两点，，若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据，得到y随x增大而减小直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴ 当时，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 变式4-2．已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是 （填＞，＜或＝）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 考点五：描点法绘制二次函数图像 例5．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．    (1)求的值，并画出它的图象； (2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可； （2）当时，，当时，，当时，n取最大值，，并结合函数图象求出n的取值范围． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）； 二次函数的解析式为， 如图所示：    （2）解：点是此二次函数的图象上一点，， 当时，， 当时，， 当时，n取最大值，， ∴当时，． 【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，熟练的利用二次函数的定义求解二次函数的解析式是解本题的关键． 变式5-1．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 【答案】(1)，轴 (2) (3)图像见解析 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论； （2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可； （3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得：， 二次函数的解析式为， 对称轴为轴， 故答案为：，轴； （2）点， 当时，， 点 点的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）如图    【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． 考点六：二次函数y=ax²与一次函数综合问题 例6．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 变式6-1．如图，抛物线与直线的交点A的横坐标是2，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与正比例函数图象的综合，图形的对称性，求不等式的解集；由于直线与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称，则直线与抛物线的交点B、直线与抛物线的交点A关于y轴对称，由此得点B的横坐标，结合函数图象即可求得不等式的解集． 【详解】解：如图，与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称， ∴直线与抛物线的交点B、直线与抛物线的交点A关于y轴对称， ∴B的横坐标是， 由得，表明抛物线在直线的上方时，自变量的范围， 观察图象知，， 故选：A． 变式6-2．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题： （1）因为直线与抛物线交于A，B两点．则联立式子，得，解得的值，即可作答； （2）由（1）知，，结合图象，即可知道当时的取值范围； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， 得 则， 解得，， 所以，； （2）解：由（1）知直线与抛物线交于，， 故结合图象，当时，则， 所以当时的取值范围为． 考点七：二次函数y=ax²图象及性质的实际应用 例7．如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】找出点A关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点C，根据轴对称确定最短路线问题，点C即为使最短的点，再根据抛物线解析式求出点、B的坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点的横坐标为1，连接与y轴相交于点C，点C即为使最短的点， 当时，， 当时，， 所以，点， 由勾股定理得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，以及二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 变式7-1．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到DE、DC的长度，然后求出比值即可得解． 【详解】解：设A点坐标为（）， ∵轴， ∴点B、C的纵坐标与点A的纵坐标相同，为a， ∴在中，， 解得或（舍去）， ∴点， ∵在中，， ∴或（舍去）， ∴点， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为 ， ∴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴在中，， ∴或（舍去）， ∴点E的坐标为， ∴，， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． 1．下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的性质，根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质逐一判断即可求解，掌握一次函数、反比例函数及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴的值随的值增大而增大，该选项不合题意； 、∵， ∴在同一个象限内，的值随的值增大而减小，该选项不合题意； 、∵， ∴的值随的值增大而减小，该选项符合题意； 、∵， ∴当时，的值随的值增大而增大；当时，的值随的值增大而减小，该选项不合题意； 故选：． 2．下列各点在二次函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数自变量与函数值的计算，掌握二次函数自变量与函数值的对应关系是解题的关键． 根据题意，把点坐标代入二次函数计算，即可求解． 【详解】解：A、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； B、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； C、当时，故在二次函数图象上，符合题意； D、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； 故选：C． 3．对于二次函数，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴为y轴 C．顶点坐标是 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可对A、B、C、D进行判断． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下，故选项A不符合题意； ∴对称轴为y轴，故选项B不符合题意； ∴顶点坐标为，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 4．抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A． 5．下列4个函数，①；②；③；④，其中图像是中心对称图形，且对称中心在原点的共有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象的性质，要求学生熟练掌握函数的对称性质．根据各个函数图形的形状，以及中心对称图形的定义即可求解．在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】解：四个函数中： ①的图象是中心对称图形，对称中心不是原点； ②的图象是双曲线，是中心对称图形，且对称中心是原点，符合题意； ③是轴对称对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． ④的图象不是关于原点对称的中心对称图形．不符合题意． 故选：A． 6．定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为增函数． 根据以上定义，下列函数中①；②；③；④，是增函数的（    ） A．①③④ B．①② C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数、二次函数，掌握各种函数的性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：由新定义可得： ，， ∴①是增函数； ，， ∴②不是增函数； ，是增函数， ∴③是增函数； ，是方程，不是函数， ∴④不是增函数． 故选D． 7．如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 8．若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得，抛物开口向上，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越大，即可推出与同号或都等于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当，，当，， ∴与同号或都等于0， ∴ 故选：D． 9．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数和二次函数的性质，熟练掌握各类函数的性质是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数、二次函数的性质进行逐项分析即可． 【详解】A． ，二次项系数为，故函数开口向上，且对称轴为，当时，函数值y随自变量x的值增大而减小；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意； B．，比例系数为，当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意； C． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增减小，故不符合题意； D． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增大，故符合题意； 故选：D 10．如图，分别过点（，2，…，2024）作x轴的垂线，交（）的图象于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， ． 故选：D． 11．如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为(   ) A．1012 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得，． 点的坐标是：，， ； 同理可得：正方形的边长； 依此类推，正方形的边长是为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键． 12．二次函数的图象开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【详解】∵为二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下． 故答案为：下． 13．已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据二次函数解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，由此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故答案为：． 14．若均在二次函数图象上，则 （填“>”“=”“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：由函数可知则抛物线的对称轴为轴，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小， ，均在对称轴的左侧， ， ． 故答案为：． 15．若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）. 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小，开口向下，离对称轴越远的点纵坐标越小，由此可解． 【详解】解： 中， 的图象开口向下，对称轴为y轴， 距离y轴越远的点纵坐标越小， ， ， 故答案为：． 16．观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 17．函数 与直线交于点 (1)求a，b的值. (2)x取何值时，y随x的增大而增大? 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握函数图象交点的坐标满足每个函数解析式是解题的关键． （1）把已知点代入直线解析式可求得，再代入抛物线解析式可求得的值； （2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，则可求得答案． 【详解】（1）解：把代入可得：， 点的坐标为， 把代入可得，即 则 ∴ （2）解：由（1）可得， ∴物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 18．如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 【答案】(1)点 ，点． (2)27 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点的横坐标，然后代入二次函数解析式计算求出点的纵坐标，从而得解，再根据对称性写出点的坐标 （2）根据点A、B的坐标直接求出三角形的面积． 【详解】（1）轴，， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 点、关于轴对称， 点． （2）点 ，点． ， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特征． 19．已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数关系式为 (2)； (3)存在，此时C点坐标为、、、 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据条件求出，从而求出，即可求解； （3）由题意可得点到的距离是点C到的距离的2倍，即点C的纵坐标为1或者3，把和代入求解即可． 【详解】（1）解;∵二次函数的图像经过点 ∴把点直接代入可得：， ∴二次函数关系式为． （2）解：把代入，解得：或1， ∴， ∴， ∴． （3）解：存在； ∵的面积等于面积的2倍，且和都有共同的底边， ∴点到的距离是点C到的距离的2倍， ∵到的距离为2， ∴点C到的距离为1 即点C的纵坐标为1或者3， 把代入得：，把代入得：， ∴此时C点坐标为、、、； 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到面积问题，待定系数法求解析式等，灵活运用所学知识是关键． 20．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$