专题05 函数的概念及其表示练习-2025届高三数学一轮复习

专题05 函数的概念及其表示（练习） 【新高考模式】 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.若集合，，则集合的真子集的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4.已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 5.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 6.已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7.若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． 8.若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数，则使的可以是（    ） A． B． C． D． 9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数的定义域为，则的定义域为________. 13.已知，函数若，则 . 14.已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域 （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域 16.求下列函数的值域 (1)； (2)； (3) 17.已知为定义在上的偶函数，，且． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 18.已知函数，，．    （1）在图中画出函数，的图象； （2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明） 19.对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若（）是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的概念及其表示（练习） 【新高考模式】 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 2.若集合，，则集合的真子集的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求集合A，确定即可求解. 【解析】因为，，所以， 所以集合的真子集的个数为. 故选:D. 3.已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，运算求解即可. 【解析】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 4.已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 所以，即， 设，易知在上单调递增， 所以，即， 故，所以． 故选：B． 5.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由函数的定义域为R，得，恒成立. 当时，恒成立； 当时，，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C. 6.已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由得，两边取以e为底的对数得：， 当时，由得，解得， 综上或. 故选：A. 7.若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围. 【解析】由在上递增，且值域为， 由，开口向上且对称轴为， 所以，二次函数在上递减，在上递增， 要使有最小值， 当时，显然不成立； 当时，，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 8.已知函数，则使的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】①当时，由，可得， 若时，则，此时无解， 若时，由，解得； ②当时，由，可得或. 若时，则，由可得，方程无解， 若时，由可得或，由可得或. 综上所述，满足的的取值集合为. 故选：BCD. 9.(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【解析】解析：f(x)＝＝＝1＋，∵ 2x＞0，∴ 1＋2x＞1，∴ 0＜＜1，则0＜＜2，∴ 1＜1＋＜3，即1＜f(x)＜3，当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1；当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2．综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}．故选BC． 10.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以A正确; 对于B,,当定义域分别为与时,值域均为,所以为同族函数,所以B正确; 对于C, 在定义域内,函数图像在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减,不满足定义域不同时,值域相同,所以C错误; 对于D,定义域为,当定义域分别为与时,值域均为,所以D正确 综上,故选ABD 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数的定义域为，则的定义域为________. 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求的定义域即可. 【详解】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为， 则函数中，所以，即的定义域为. 故答案为：. 13.已知，函数若，则 . 【答案】2 【解析】，故， 故答案为：2. 14.已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 【答案】 / 【解析】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域 （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域 【答案】 【解析】（1）令，则， 因为函数的定义域为，所以， 所以函数的定义域为． （2）令，，则，． 因为函数的定义域为，所以， 所以函数的定义域为， 所以，所以， 所以函数的定义域为． 故答案为：； 16.求下列函数的值域 (1)； (2)； (3) 【解析】（1）， 当时，；当时，；当时，， 故的值域为； （2）因为恒成立，故, 则由可得， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 故的值域为； （3）， 因为，故， 当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为； 17.已知为定义在上的偶函数，，且． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）由题可得函数为奇函数，然后根据奇函数和偶函数的性质列方程求函数，的解析式； （2）令，进而可化为，根据指数函数性质解不等式即得. 【解析】（1）由题意易知，，则， 即， 故为奇函数，故为奇函数， 又①，则， 故②， 由①②解得，； （2）由，可得， 所以，即， 令，则， 解得， 所以，即， 所以， 解得， 故不等式的解集为． 18.已知函数，，．    （1）在图中画出函数，的图象； （2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明） 【解析】（1），的图象如下图所示： （2）当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述：. 图象如下图所示： 19.对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若（）是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析； （2）分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值； （3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明. 【详解】（1）①不是. 当时，， ， 所以不是集合中的元素； ②是. ，， 所以是集合中的元素. （2）当时，，， ， 因为，在上单调递减， 故成立，即； 若，令，， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$