专题05 函数的概念及其表示讲义-2025届高三数学一轮复习

专题05 函数的概念及其表示 【六大核心题型】（讲义）（学生版） 【高考考点透视】 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2023年北京卷第15题，5分 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质． 1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 【重难题型精练】 【题型精练一：函数的概念】 典型例题：下列对应是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 变式训练1：已知，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式训练1：（2024·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 变式训练2：（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 变式训练3：（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（     ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【题型精练二：函数的定义域】 典型例题：已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式训练1：（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 变式训练2：（2024·河北·统考模拟预测）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 变式训练3：（2024·安徽·五月统考）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式训练4：（2023•海南一模）函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）∪（1，2] C．[1，2] D．（﹣∞，1] 变式训练5：（2023·高三课时练习）函数的定义域为______． 变式训练6．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足，则函数的定义域为___________. 【题型精练三：求函数解析式的四种方法】 典型例题：（待定系数法）设二次函数满足，且，求的解析式. 变式训练1：（换元法）（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 变式训练2：（换元法）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 变式训练3：（换元法）若是定义域为上的单调函数，且对任意实数都有，其中是自然对数的底数，则 （　　） A．4 B． C． D． 变式训练4：（方程法）（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 变式训练5：(方程法)（2023·河南·高一期末）若对任意实数，均有，求 变式训练6：(方程法)（2024·湖北随州·高一上学期期末）已知函数满足，则 . 变式训练7：（待定系数法）（2023·山东·模拟预测）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式． 变式训练8：（待定系数法）（2023秋·高三课时练习）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2， 则f（x） 的解析式为_________ 变式训练9：（待定系数法）已知是一次函数，且满足；求的解析式 变式训练10：（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式； (3)已知是一次函数且，求的解析式； (4)已知满足，求的解析式. 变式训练11:(赋值法)（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 变式训练12：(赋值法)（2024·云南昆明·高三深校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______. 变式训练13：(赋值法)已知函数为奇函数，为偶函数，，则________；______. 【题型精练四：求函数值域的基本方法】 典型例题：求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【方法技巧】 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． 变式训练1：（2023春·湖北咸宁·高三校考开学考试）当时，函数的值域是（ ） A． B． C． D． 变式训练2：（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式训练3：（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 变式训练4：（2024·全国·高一假期作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式训练5：（2024上·上海·高一校考期末）函数，的最小值是 . 变式训练6：求下列函数的值域： (1) (2) (3) 变式训练7：（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 __． 变式训练8：（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____ 变式训练9：求函数的值域. 变式训练10：（2024春·江苏·高二校考阶段练习）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若，求函数在上的最小值． . 变式训练11：（2024上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数的定义域为集合，函数的值域为. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 【题型精练五：函数值域求参数】 典型例题：若函数的值域为，则的值为 . 【方法技巧】 值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决. 变式训练：（2024上·河南商丘·高一校考期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练1：（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）函数的定义域为全体实数，则（   ） A． B． C． D． 变式训练2：（2024上·高三模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练3：（2024·甘肃兰州一模）已知函数，若函数的定义域为，值域为，则实数（    ） A． B． C． D． 变式训练4：（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练5：（2024·全国·高三专题练习）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练6：若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练7：（2024·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则常数 ． 【题型精练六：分段函数求值，求参数与不等式问题】 典型例题：（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【方法技巧】 根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决 变式训练1：（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 变式训练2：（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 变式训练3：（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 变式训练4：（2023·全国·高三专题练习）已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练5：（2024·贵州遵义·模拟预测）若函数，则不等式的解集为 . 变式训练6：（2024·全国·高三专题练习）已知函数且，则（    ） A．-16 B．16 C．26 D．27 变式训练7：（多选）（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知，若，则所有可能的值是（    ） A．－1 B． C．1 D． 变式训练8：（2022秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数，则函数的所有零点之和为___________． 变式训练9：（2024·江苏南京·高三期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是______. 变式训练10：（2024上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明． (2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 变式训练11：（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，其中 (1)求的单调区间 (2)求方程的零点个数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的概念及其表示 【六大核心题型】（讲义）（教师版） 【高考考点透视】 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2023年北京卷第15题，5分 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质． 1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 【重难题型精练】 【题型精练一：函数的概念】 典型例题：下列对应是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数； 对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数； 对于C选项，当时，不存在，不是函数； 对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数. 故选：A 变式训练1：已知，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】对A：可得定义域为， 所以不能表示集合M到N的函数关系； 对B：可得定义域为，值域为， 且满足一个x对应一个y，所以能表示集合M到N的函数关系； 对C：任意，一个x对应两个的值， 所以不能表示集合M到N的函数关系； 对D：任意，一个x对应两个的值， 所以不能表示集合M到N的函数关系； 故选：B. 变式训练1：（2024·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A项，因为，所以， 所以方程对应的曲线为椭圆， 所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立； 对于B项，因为，所以， 所以方程对应的曲线为双曲线， 其渐近线为， 所以当其绕原点旋转后，其一定是函数图象，故B项成立； 对于C项，因为，所以方程对应的曲线为圆， 所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立； 对于D项，因为，所以方程对应的曲线为圆， 所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立. 故选：B. 变式训练2：（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，；当时，， 不符合函数定义，A错误； 对于B,令，则，令，则， 不符合函数定义，B错误； 对于C, 令，则，令，则， 不符合函数定义，C错误； 对于D, ,,则，则存在时，， 符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确， 故选：D 变式训练3：（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（     ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点， 若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点， 故选：B. 【题型精练二：函数的定义域】 典型例题：已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 变式训练1：（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得,解得 故定义域为. 故答案为： 变式训练2：（2024·河北·统考模拟预测）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义域得到，从而求出补集. 【详解】由题意得，，解得，因为，所以， 故． 故选：A． 变式训练3：（2024·安徽·五月统考）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义域为，所以的定义域为，解得， 由分母不为，得，即，所以函数定义域为：. 故选：. 变式训练4：（2023•海南一模）函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）∪（1，2] C．[1，2] D．（﹣∞，1] 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【解析】解：要使原函数有意义，则，解得x≤2且x≠1． ∴函数的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2]． 故选：B． 变式训练5：（2023·高三课时练习）函数的定义域为______． 【答案】 【解析】要使函数有意义，则 ，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 变式训练6．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足，则函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】由可得，即，所以，代入 即，解得或（舍），则 所以 解得 所以函数定义域为 故答案为: 【题型精练三：求函数解析式的四种方法】 典型例题：（待定系数法）设二次函数满足，且，求的解析式. 【答案】 【分析】根据题意设，由求出c，由可求得，即可得答案. 【解析】设二次函数为， 因为，所以，所以， 又因为， 即， 所以，解得：， 所以函数解析式为. 变式训练1：（换元法）（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，运算求解即可. 【解析】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 变式训练2：（换元法）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 【答案】x2－2(|x|≥2) 【解析】配凑法. f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2). 变式训练3：（换元法）若是定义域为上的单调函数，且对任意实数都有，其中是自然对数的底数，则 （　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是定义域为上的单调函数，且， ∴在上存在唯一一个实数使得， 于是. 令，得，即. 画出与的图像如图所示： 由图像可知，与的图像在上只有1个交点， 且是方程的解， 所以，故. 故选:B. 变式训练4：（方程法）（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【分析】先把x都化为2x，进行化简得到，再把x替换为得到，最后联立方程组求解即可. 【解析】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故. 故答案为： 变式训练5：(方程法)（2023·河南·高一期末）若对任意实数，均有，求 【答案】/ 【解析】∵（1） ∴（2） 由得， ∴. 故答案为：. 变式训练6：(方程法)（2024·湖北随州·高一上学期期末）已知函数满足，则 . 【答案】/ 【解析】因为①， 所以②， ②①得，． 故答案为：． 变式训练7：（待定系数法）（2023·山东·模拟预测）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式． 【答案】 【分析】由二次函数性质与待定系数法求解． 【详解】解：根据题意设， 又过点，则 解得， 故 变式训练8：（待定系数法）（2023秋·高三课时练习）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x） 的解析式为_________ 【答案】或 【分析】设出一次函数解析式，化简，结合函数相等可得答案. 【解析】设，则 于是有解得或所以或. 故答案为：或. 变式训练9：（待定系数法）已知是一次函数，且满足；求的解析式 【解析】设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以； 变式训练10：（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式； (3)已知是一次函数且，求的解析式； (4)已知满足，求的解析式. 【解析】(1)设，，则 ∵ ∴ ， 即， (2)∵ 由勾型函数的性质可得，其值域为 所以 (3)由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)， ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7. (4)∵2f(x)+f(-x)=3x，① ∴将x用替换，得，② 由①②解得f(x)=3x. 变式训练11:(赋值法)（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 【答案】1,（答案不唯一） 【解析】令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 变式训练12：(赋值法)（2024·云南昆明·高三深校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______. 【答案】 【解析】中，令，解得， 令得，故， 不妨设，满足要求. 故答案为： 变式训练13：(赋值法)已知函数为奇函数，为偶函数，，则________；______. 【答案】 【分析】根据奇偶性定义，结合已知等式可构造方程组求得结果. 【详解】为奇函数，为偶函数，， ， 由得：，. 故答案为：；. 【题型精练四：求函数值域的基本方法】 典型例题：求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【解析】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 【方法技巧】 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． 变式训练1：（2023春·湖北咸宁·高三校考开学考试）当时，函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性得出值域. 【详解】因为指数函数在区间上是增函数，所以， 于是，即 所以函数的值域是. 故选：C. 变式训练2：（2024·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，① 又因为函数为奇函数，则，即，② 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 变式训练3：（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域. 【详解】， 而由函数向右平移3个单位得到， 所以得值域和的值域相同，都为， 所以得值域为， 故选：B 变式训练4：（2024·全国·高一假期作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【解析】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 变式训练5：（2024上·上海·高一校考期末）函数，的最小值是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可. 【解析】因为的图象开口向上，对称轴为， 又，所以的最小值是. 故答案为：. 变式训练6：求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 变式训练7：（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 __． 【答案】 【解析】因为函数的值域是， 所以函数的值域为， 则的值域为， 所以函数的值域为． 故答案为：． 变式训练8：（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____ 【解析】表示点与点连线的斜率， 的轨迹为圆， 表示圆上的点与点连线的斜率， 由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在， 则设过的圆的切线方程为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为， 即的值域为. 故答案为：. 变式训练9：求函数的值域. 【解析】，可设， 则. 设，则，从而. （其中，），， ，，且.. 故函数的值域为. 变式训练10：（2024春·江苏·高二校考阶段练习）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若，求函数在上的最小值． 【答案】(1)当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. (2) 【分析】（1 ）利用一元二次不等式的解法及对参数分类讨论即可求解； （2 ）根据已知条件及基本不等式即可求解. 【解析】（1）由可得，即， 当时，不等式，解得，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. （2）由，得，解得， 所以，因为，所以， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数在上的最小值为. 变式训练11：（2024上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数的定义域为集合，函数的值域为. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 （2024上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数的定义域为集合，函数的值域为. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出集合、，再求两个集合的并集； （2）根据题意，确定两个集合的包含关系，然后求得取值范围. 【解析】（1）由题意得 所以，所以； 当时，在上单调增，则， ∴； （2）若是的必要不充分条件，则是的真子集. 当时，在上单调增， 则，所以，解得； 当时，，不符合题意； 当时，在上单调减，则，不符合题意； 综上，. 【题型精练五：函数值域求参数】 典型例题：若函数的值域为，则的值为 . 【答案】 【解析】设，可得， 由题意可知，关于的方程在上有解， 若，可得，则； 若，则，即， 由题意可知，关于的二次方程的两根为、， 由韦达定理可得，解得. 综上所述，. 故答案为：. 【方法技巧】 值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决. 变式训练：（2024上·河南商丘·高一校考期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为对任意，同时恒大于0且恒不为1，分情况讨论求实数的取值范围即可. 【解析】的定义域为， 则对任意，同时恒大于0且恒不为1， 对于，若，则时，不满足题意； 若，则恒成立， 因为，要满足恒大于0且恒不为1，则， 所以的取值范围是． 故选:A． 变式训练1：（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）函数的定义域为全体实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题知，时，恒成立，讨论和两种情况，列出条件，解出即可. 【解析】因为函数的定义域为全体实数， 则时，恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，则， 解得， 综上知，， 故选：C. 变式训练2：（2024上·高三模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得在，上单调递减， 因为函数的值域为，， 所以， ， ，，，， ， ，，结合可得：，， ，． 故选：． 变式训练3：（2024·甘肃兰州一模）已知函数，若函数的定义域为，值域为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而 ，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以．故 故选：C 变式训练4：（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得. 【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 变式训练5：（2024·全国·高三专题练习）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 变式训练6：若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令,则，利用基本不等式可以求出结果. 【详解】令，由题意可得， ，当且仅当，即时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 故选：C. 变式训练7：（2024·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则常数 ． 【答案】7或 【详解】因为，所以， ，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故答案为：7或. 【题型精练六：分段函数求值，求参数与不等式问题】 典型例题：（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【解析】当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：. 故选：B. 【方法技巧】 根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决 变式训练1：（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【解析】由题意知． 故选：D． 变式训练2：（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 由于，则． 故选：B 变式训练3：（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 【答案】A 【解析】由分段函数知：当时，周期， 所以， 所以． 故选：A 变式训练4：（2023·全国·高三专题练习）已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 所以，即，解得， 当时，， 所以，即，解得， 所以，的取值范围是 故选：D 变式训练5：（2024·贵州遵义·模拟预测）若函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因为，则有： 当时，可得，解得； 当时，可得，则，解得； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 变式训练6：（2024·全国·高三专题练习）已知函数且，则（    ） A．-16 B．16 C．26 D．27 【答案】C 【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 故选：C 变式训练7：（多选）（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知，若，则所有可能的值是（    ） A．－1 B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】利用函数的解析式，结合指数、对数运算可求得结果. 【解析】由已知可得 或或， 解得，或. 故选：BD 变式训练8：（2022秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数，则函数的所有零点之和为___________． 【答案】 【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解． 【详解】设，则， ①当时，，得； ②当时，，得； 综上所述：若，则或. 故或，则有： ①由，可得或，解得或； ②由，可得或，解得或； 综上所述：函数的所有零点为，，，4. 故所有零点的和为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意分和两种情况讨论，运算求解, 变式训练9：（2024·江苏南京·高三期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解 【详解】当时，函数不存在最大值，故， 当时，在区间上单调递增， 所以此时； 当时，在区间上单调递减，所以此时， 若函数存在最大值，则，解得，又， 所以的取值范围为 故答案为： 变式训练10：（2024上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明． (2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的函数解析式，利用奇函数、偶函数定义判断即得. （2）探讨函数的单调性，并求出最小值，再借助一次型函数图象与性质列出不等式，求解即得. 【解析】（1）函数是奇函数， 当时，，则， 当时，， 当时，，则， 因此，恒有成立， 所以函数是奇函数. （2）当时，单调递减，当时，单调递减，又， 因此函数在上单调递减，， 由对所有恒成立，得，即， 令，依题意，任意，， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 变式训练11：（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，其中 (1)求的单调区间 (2)求方程的零点个数. 【答案】(1)单调增区间是,单调减区间是 (2)个 【分析】(1)求的导函数,解导函数不等式,即可求出单调递增和递减区间; (2)利用（1）中函数的单调性可得相应的方程，再构建新函数，从而可判断相应方程的根，注意结合这个性质. 【详解】（1）当,,又因为,所以,是单调增区间; 当,,又因为,所以,是单调减区间; （2）对于方程, 当, 当在是单调递增的; 方程,所以, 设 ,设,, 在是单调递增的，而， 故当时，，当时，， 故在上是单调递增，在上单调递减. 故在上有， 下证当， 设，则， 故在上为增函数，故， 故原不等式成立. 由可得， 故当时，有， 故此时方程在上有且只有一个实数根. 当时，， 由在为减函数可得，其中， 因为在为减函数，故在为减函数， ，， 因为，故，所以，故， 故方程在上有且只有一个实数根. 若，则， 而由的解析式可得. 故方程即为， 此时，故，其中， 设，，则， 故在上为减函数，而， ， 故此时在有且只有零点 即在有且只有一个零点， 方程的零点个数有个 学科网（北京）股份有限公司 $$