专题04 一元二次函数与方程、不等式练习-2025届高三数学一轮复习

专题04 一元二次函数与方程、不等式 【练习】（学生版） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设，，且，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 2.若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． . 5.若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.若，使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 7.若不等式的解集是，则不等式的解集是（　  ） A． B． C． D． 8.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9.如果关于x的不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0的解集为{x|x≠a}，那么下列数值中，b可取到的数为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 10.已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 11.若关于的不等式的解集恰有50个整数元素，则下列各选项正确的是（    ） A．的值可能为-43 B．这50个整数元素之和可能为-925 C．的值可能为57.5 D．这50个整数元素之和可能为1625 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0的解集是 　　． 13.若存在，有成立，则实数a的取值范围是__________. 14.已知是定义在区间上的奇函数，且，若，均属于，当时，都有．若对所有，恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)； (2)； (3)； 16..在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②当x＝2时，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且 _______． （1）求f（x）的解析式； （2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域为[3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值． 17.某种饲料原来每袋成本为10元，售价为15元，每月销售8万袋． (1)若售价每袋提高1元，月销售量将相应减少2000袋，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该饲料每袋售价最多为多少元？ (2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每袋售价元，并投入万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每袋售价每提高1元，月销售量将相应减少万袋．则当每袋售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润． 18.（2024上·四川南充·高一统考期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 19.设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次函数与方程、不等式 【练习】（教师版） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设，，且，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据基本不等式，即可求解. 【解析】∵ ∴，（当且仅当，取“=”） 故选：C. 2.若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先参变分离，转化为，再利用基本不等式求最值，即可求解. 【解析】由题意可知，对任意的，恒成立，即， 当时，，当，即时，等号成立， 所以. 故选：D 3.“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由不等式恒成立，可求得，即可得出答案. 【解析】因为，成立，则，即. 所以，“”是“，成立”的充分不必要条件. 故选：A. 4.已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】先由得，由基本不等式得，故. 【解析】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得， 故选：C. 5.若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【解析】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 6.若，使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可转化为，使成立，求的最小值即可. 【解析】因为，使得不等式成立， 所以，使得不等式成立， 令，， 因为对称轴为，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 7.若不等式的解集是，则不等式的解集是（　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出，再解一元二次不等式即可. 【解析】因为不等式的解集是：， 所以和是方程的两个实数根， 由，解得：， 故不等式，即为， 解不等式，得：， 所求不等式的解集是：. 故选：C． 8.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解. 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以的两根是或2，由韦达定理可得：， 所以可转化为，解得或. 所以原不等式的解集为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9.如果关于x的不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0的解集为{x|x≠a}，那么下列数值中，b可取到的数为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据题意，利用不等式成立的条件，求出b的取值范围，即可得出答案． 【解析】解：不等式x2﹣2ax+b﹣1＞0可化为（x﹣a）2＞a2﹣b+1， 因为不等式的解集为{x|x≠a}， 所以a2﹣b+1＝0，得b＝a2+1． 验证a＝0时，b＝1；a＝±1时，b＝2； 所以b可取到的值为1和2． 故选：CD． 10.已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用二次不等式的解集得方程的两根为和，结合韦达定理得，从而判断A，再利用基本不等式计算判断BCD. 【解析】由题意，不等式的解集为， 可得，且方程的两根为和， 所以，所以，， 所以，所以A正确； 因为，，所以，可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确； 由， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误； 由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 11.若关于的不等式的解集恰有50个整数元素，则下列各选项正确的是（    ） A．的值可能为-43 B．这50个整数元素之和可能为-925 C．的值可能为57.5 D．这50个整数元素之和可能为1625 【答案】BCD 【分析】考虑，，，解不等式，再根据解集恰有50个整数元素，计算得到答案. 【解析】不等式等价于不等式. 当时，的解集为，不合题意； 当时，的解集为，则50个整数解为， 所以，这50个整数元素之和为； 当时，的解集为，则50个整数解为， 所以，这50个整数元素之和为. 综上所述：的取值范围是，这50个整数元素之和为-925或1625. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0的解集是 　　． 【分析】根据题意，由二次函数的性质可得a＞0且方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和2，由此分析可得b＝﹣3a，c＝2a，则不等式等价于（x﹣3）（3x﹣2）（2x+1）＞0，解可得答案． 【解析】解：根据题意，由函数y＝ax2+bx+c的图像，有a＞0， 且方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和2，则有，则有b＝﹣3a，c＝2a， 则（ax+b）（bx+c）（cx+a）＜0⇔（ax﹣3a）（﹣3a+2a）（2a+a）＜0⇔（x﹣3）（3x﹣2）（2x+1）＞0， 解可得：﹣＜x＜或x＞3，即不等式的解集为． 故答案为：． 13.若存在，有成立，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】参数分离可得，设，将存在问题转化为，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围. 【解析】解：将原不等式参数分离可得，设， 已知存在，有成立，则， 令，则，， 由对勾函数知在 上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，即， 故答案为：. 14.已知是定义在区间上的奇函数，且，若，均属于，当时，都有．若对所有，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】先判断的单调性，求得的最大值，化简不等式，利用构造函数法，结合一次函数的性质列不等式组，由此求得的取值范围. 【解析】由题知，在上递增. 所以. 由可得， 即对任意恒成立. 构造函数，则， 即，解得或. 故答案为:或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)； (2)； (3)； （1）解：由可得，解得， 故原不等式的解集为. （2）解：由可得，即，解得， 故原不等式的解集为. （3）解：由可得，解得， 故原不等式的解集为. 16..在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②当x＝2时，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且 _______． （1）求f（x）的解析式； （2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域为[3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值． 【分析】（1）分别选①②③，得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的解析式； （2）根据函数的值域以及二次函数的性质求出m+n的值即可． 【解析】解：（1）若选①， 由题意可得 解得a＝﹣2，b＝﹣1， 故f（x）＝﹣x2+4x﹣1； 若选②， 由题意可得 解得a＝﹣2，b＝﹣1， 故f（x）＝﹣x2+4x﹣1； 若选③， 因为f（x+2）＝f（2﹣x）， 所以f（x）图象的对称轴方程为x＝2， 则﹣a＝2，即a＝﹣2，因为f（0）＝﹣1，所以b＝﹣1， 故f（x）＝﹣x2+4x﹣1． （2）因为f（x）＝﹣x2+4x﹣1在R上的值域为（﹣∞，3]， 所以3n﹣2≤3，即， 因为f（x）图象的对称轴方程为x＝2，且， 所以f（x）在[m，n]上单调递增， 则 整理得n2﹣m2+m﹣n＝0，即（n﹣m）（n+m﹣1）＝0， 因为n﹣m≠0，所以n+m﹣1＝0，即n+m＝1． 17.某种饲料原来每袋成本为10元，售价为15元，每月销售8万袋． (1)若售价每袋提高1元，月销售量将相应减少2000袋，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该饲料每袋售价最多为多少元？ (2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每袋售价元，并投入万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每袋售价每提高1元，月销售量将相应减少万袋．则当每袋售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润． 【答案】(1) (2)当售价为时有最大利润为 【分析】（1）设饲料每袋售价为元，则，解得答案. （2）设月总利润为，，利用均值不等式计算得到答案. 【解析】（1）设饲料每袋售价为元，则， 解得， 故饲料每袋售价最多为元 （2）设月总利润为， 则 ， 当，即时等号成立，此时 故当售价为时有最大利润为. 18.（2024上·四川南充·高一统考期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由不等式解集可得是的两个根，利用根与系数关系求参数值； （2）由题意有，讨论、、求不等式解集. 【解析】（1）由题设的解集为，即是的两个根， 所以. （2）由题意， 当时，解得或，故解集为； 当时，解得，故解集为； 当时，解得或，故解集为； 19.设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）依题意可得是真命题，分和两种情况讨论； （2）依题意参变分离可得存在使得成立，则只需，，利用基本不等式求出即可得解. 【解析】（1）若命题：是假命题，则是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若存在成立， 即存在使得成立，故只需，， 因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$