精品解析：浙江省余姚中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

余姚中学2023学年第二学期期中检测高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ） A. 恰有1名女生和恰有2名女生 B. 至少有1名男生和至少有1名女生 C. 至少有1名女生和全是女生 D. 至少有1名女生和至多有1名男生 5. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在中，分别为内角所对应的边，其公式为：若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，的平均数和中位数相同 B. 数据，，，，，，，，的众数为3 C. 有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D. 甲组数据的方差为4，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是乙组 10. 在中，内角、、所对的边分别、、，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 外接圆的半径为 C. 取得最小值时， D. 时，值为 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ） A. 存在点P，使得平面 B. 对任意点P，平面平面 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 点到直线的距离为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为______. 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 14. 已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位. （1）求； （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组 （单位：分），得到如下的频率分布直方图． （1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表） 17. 在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______. （1）求角； （2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围； （3）在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围. （注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分） 18. 三棱台中，若面，，，，，分别是，中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成成角的余弦值； （3）求与平面所成角的正弦值. 19. 如图①，在矩形中，，为的中点，如图②，将沿折起，点在线段上． （1）若，求证平面； （2）若平面平面，是否存在点，使得平面与平面垂直？若存在，求此时三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2023学年第二学期期中检测高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 3. 在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案. 【详解】因为O是AC的中点， ，又由可得E是DO的中点， . 故选：B. 4. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ） A. 恰有1名女生和恰有2名女生 B. 至少有1名男生和至少有1名女生 C. 至少有1名女生和全是女生 D. 至少有1名女生和至多有1名男生 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断即可. 【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生； 对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； 对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误； 对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误； 对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生， 故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误. 故选：A 5. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】因为，，． 所以，， ， 所以向量与的夹角为钝角， 因此量在上的投影向量与方向相反， 而，， 所以在上的投影向量为， 故选：C 6. 秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在中，分别为内角所对应的边，其公式为：若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理可得，在结合已知“三斜求积术”即可求的面积. 【详解】解：因为，由正弦定理得：，则 又由余弦定理得： 则由“三斜求积术”得. 故选：D. 7. 已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得，而. 【详解】设收集的48个准确数据为， 所以，所以， 所以，又 ， ， 故选：B. 8. 在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定为等边三角形，利用正弦定理可确定外接圆半径，由此可知外接圆圆心即为四面体外接球球心，由球的性质可知平面，利用可求得点到平面的距离，由此可求得线面角的正弦值. 【详解】，，，，又为中点， ，则，即为等边三角形， 设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，取中点，连接， ，，，即外接圆半径为， 又四面体的外接球半径为，为四面体外接球的球心， 由球的性质可知：平面，又平面，， ，，； 设点到平面的距离为， 由得：， 又与均为边长为的等边三角形，， 直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据，，，，，的平均数和中位数相同 B. 数据，，，，，，，，的众数为3 C. 有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D. 甲组数据的方差为4，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是乙组 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，众数、中位数的定义，以及分层抽样的定义，即可求解. 【详解】对于A，平均数为，将数据从小到大排列为1,2,3,3,4,5，所以中位数为，A正确； 对于B，数据，，，，，，，，的众数为3，B正确； 对于C，根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为，C错误； 对于D，乙数据的平均数为， 乙数据的方差为， 所以这两组数据中较稳定的是甲组，D错误. 故选：AB. 10. 在中，内角、、所对的边分别、、，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 外接圆的半径为 C. 取得最小值时， D. 时，值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由正弦定理化简可得，再根据三角形面积公式判断即可；对B，根据结合正弦定理判断即可；对C，根据正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D，根据三角函数值域求解即可. 【详解】对A，因为，由正弦定理可得， 因为，则，则， 又因为，故，故三角形面积为，故A正确； 对B，，则， 设外接圆的半径为，则，故，故B正确； 对C，因为，由余弦定理， 即，化简可得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 此时，故当，时，取得最小值，故C错误； 对D，由C，，当时，的值为，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（ ） A. 存在点P，使得平面 B. 对任意点P，平面平面 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 点到直线的距离为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项当与重合时，用线面平行可得出，进而可得；B选项证明平面即可得出；选项C由正方体的性质和画图直接得出；选项D由余弦定理确定，之后求距离即可. 【详解】A： 当与重合时，由题可知，， 四边形为平行四边形，故，又平面，平面，则平面，故A正确； B： 连接，平面，平面，， 又， 故， 又平面，平面， 又平面，故对任意点P，平面平面，故B正确； C： 由正方体的结构特征可知，异面直线和所成的角即为和所成的角，由图可知为，故C错误； D： 由正方体的特征可得， ， 所以点到直线的距离，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到基本事件的总数为，以及所求事件中包含的基本事件个数为，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件的总数为， 三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为， 则三人恰好参加同一个社团的概率为. 故答案为：. 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可求数量积． 【详解】，， ，存在实数，使得，即， 又，则， ，，， 则 ， 故答案为：． 14. 已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定正方体对角线与的交点E，求出确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答. 【详解】在正方体中，如图， 平面，平面，则，而， ，，平面，于是平面，又平面， 则，同理，而，，平面， 因此平面，令交平面于点， 由，得， 即，解得， 而，于是， 因为点在内，满足，则， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧， 而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心， 于是正的内切圆半径， 则，即，， 所以圆在内的圆弧为圆周长的， 即点的轨迹长度为 故答案为： 【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位. （1）求； （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据复数代数形式的乘法法则化简与，根据复数为实数和纯虚数的条件，即可求出，利用复数模长公式，即可求得到复数的模长； （2）由（1）知，求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 设，，因为为实数，所以，即 所以， 又因为为纯虚数， 所以即，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 又因为在复平面上所对应的点在第一象限， 所以 ，解得： 所以，实数的取值范围为. 16. 某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组 （单位：分），得到如下的频率分布直方图． （1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表） 【答案】（1），中位数为82.5． （2），有520名学生获奖． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解； （2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和及不低于平均值的学生人数为总数乘以不低于平均值的频率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知：，解得， 设此次竞赛活动学生得分的中位数为， 因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得， 由，得， 所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5． 【小问2详解】 由频率分布直方图及（1）知： 数据落在，，，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ， 此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为， 则， 所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖 17. 在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______. （1）求角； （2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围； （3）在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围. （注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度； 选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度. （2）根据（1）中结果和，把周长转化成，然后再求解范围. （3）根据中线公式和正弦定理，把转化成三角函数求解即可. 【小问1详解】 选①：因为， ,即， ，,. 选②：， , ， ,,. 选③：向量与平行， , , ,,. 【小问2详解】 , , . 为锐角三角形, ， ， . 周长的取值范围为. 【小问3详解】 ， 又由中线公式可得， . 即， 为锐角三角形， ， ,. . 18. 三棱台中，若面，，，，，分别是，中点. （1）求与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成成角的余弦值； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得和，得到为与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解； （2）过作，过作，连接，证得平面， 进而证得平面，得到平面与所成角即，在直角中，即可求解； （3） 过作，作，连接，由平面，得到和，得到平面和平面，在直角中，求得，求得到平面的距离是，进而求得与平面所成角. 【小问1详解】 解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得. 【小问2详解】 解：过作，垂足为，过作，垂足为，连接. 由面，面，故， 又因为，，平面，则平面. 由平面，故， 因为，，且平面，于是平面， 由平面，可得， 所以平面与平面所成角即， 又因为，，则， 所以， 在直角中，，则，所以. 【小问3详解】 解： 过作，垂足为，作，垂足为， 连接，过作，垂足为， 由，，可得， 由平面，平面，则， 因为，，平面，于是平面， 又因为平面，则， 因为，，平面，所以平面， 在直角中，， 因为，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是，设所求角为，则. 19. 如图①，在矩形中，，为的中点，如图②，将沿折起，点在线段上． （1）若，求证平面； （2）若平面平面，是否存在点，使得平面与平面垂直？若存在，求此时三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 如图，连，交于，在矩形中，为中点， ，且，， 又，，又平面，平面， 平面． （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解； （2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在点，使得平面与平面垂直. 在矩形中，，，，即， 已知平面平面，又平面平面， 平面，平面，．① 取中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 由（1）知当时，， ，．② 而，平面，平面，又平面，平面平面． 即当时，平面与平面垂直． 依题意有，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $