复习03正弦定理与余弦定理解三角形（九大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

复习03正弦定理与余弦定理解三角形 一、正弦定理 1.正弦定理的内容 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 正弦定理 公式 ，其中为的外接圆的半径. 常见变形 ①； ②； ③； 解三角形问题 ①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 角边关系 2.三角形的面积公式 设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S. ①(h为BC边上的高)； ②； 二、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 余弦定理 公式 常见变形 ，， 解三角形问题 ①已知三边，求三个角； ②已知两边和一角，求第三边和其他两角． 余弦定理与勾股定理的关系 ⇔C为直角； ⇔C为钝角； ⇔C为锐角. 三、三角形中常用结论 1. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边： 2. 大边对大角，大角对大边： 3.，故有①；②； ③；④⑤ 考点01 利用正余弦定理求边、角 【方法点拨】正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． 【例1】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（    ） A． B．或 C． D．或 【例2】在中，是的中点，，，，则 ． 【变式1-1】（多选）的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 【变式1-2】已知在中，，为中点，且，则 ． 【变式1-3】在中，分别为的对边，，则 . 考点02 面积问题 【方法点拨】一般用公式进行求解,可分为以下两种情况: （1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. （2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解. 【例3】设的面积为，若，则角（    ） A． B． C． D． 【例4】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 【变式2-1】已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求b，c的值. 【变式2-3】已知的内角的对边分别为，面积为，且． (1)若，求； (2)若，求． 考点03 判断三角形的形状 【方法点拨】判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. 【例5】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【例6】在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【变式3-1】已知分别是三内角的对边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式3-2】（多选）在中，若，，若，则可能是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．含角的钝角三角形 【变式3-3】在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 考点04 解三角形的实际问题 【方法点拨】实际问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 【例7】如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例8】如图，海岸线上有相距的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯塔A的北偏西方向，与A相距的D处；乙船位于塔B的北偏西方向，与B相距的C处，则两货轮的距离为 ． 【变式4-1】某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-2】如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为 m. 【变式4-3】如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 考点05 解三角形与三角函数的结合 【例9】已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【例10】在中，角所对的边分别为，向量，，且. (1)求； (2)求函数的值域. 【变式5-1】已知向量，，函数 (1)求的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，求的值. 【变式5-2】设函数． (1)由的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数的单调递减区间； (2)记的内角的对边依次为，若，求的取值范围． 【变式5-3】对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 考点06 多边形解三角形问题 【方法点拨】四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，①若有一个三角形可全解，则利用该三角形帮助解其他三角形；②若没有一个三角形可全解，则观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边的三角形，利用正余弦定理构造两个方程进行联立求解 【例11】如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 【例12】如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 【变式6-1】如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【变式6-2】如图所示，在平行四边形中，有：. (1)求的大小； (2)若，求平行四边形的面积. 【变式6-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)已知，D为边上的一点，若，，求的长． 考点07 中线、角平分线问题 【方法点拨】（1）若是的中线，则一般用向量法； （2）若是的角平分线，则有：①；② 【例13】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（    ） A． B． C． D． 【例14】在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 【变式7-2】已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 【变式7-3】在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. 若，，点是边上的一点，且______.求线段的长. ①是的中线； ②是的角平分线. 考点08 面积的最值范围 【方法点拨】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围． 【例15】记的内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的值； (2)求面积的最大值. 【例16】的内角的对边分别为已知. (1)若的周长等于3，求； (2)若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 【变式8-1】在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若点为边上靠近的三等分点，且，求面积的最大值． 【变式8-2】已知在，角所对的边分别是，且． (1)求的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【变式8-3】已知，． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值． 考点09 边长、周长的最值范围 【例17】在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例18】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 【变式9-1】已知的三个内角所对的边分别为，满足． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【变式9-2】已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【变式9-3】已知 (1)求函数的最小值以及取得最小值时的集合； (2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． 一、单选题 1．如图，内接于，若，，，则的半径是（    ）    A． B． C． D． 2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 4．如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ）    A．舰艇所需的时间为1小时 B．舰艇所需的时间为2小时 C． D． 7．在中，在边上，且，，若，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为锐角三角形 C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为 三、填空题 8．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 9．在中，已知的平分线，则的面积为 . 10．在锐角中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围是 ． 四、解答题 11．（2023-24高一下·江苏·阶段练习）在 中，是角分别所对的边，. (1)求的值； (2)求的值. 12．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长. 13．如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 14．如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． (1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里． (2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 15．在锐角中，内角，，所对边分别为，，，. (1)求角； (2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，； (3)若，求面积的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习03正弦定理与余弦定理解三角形 一、正弦定理 1.正弦定理的内容 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 正弦定理 公式 ，其中为的外接圆的半径. 常见变形 ①； ②； ③； 解三角形问题 ①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 角边关系 2.三角形的面积公式 设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S. ①(h为BC边上的高)； ②； 二、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 定理 余弦定理 公式 常见变形 ，， 解三角形问题 ①已知三边，求三个角； ②已知两边和一角，求第三边和其他两角． 余弦定理与勾股定理的关系 ⇔C为直角； ⇔C为钝角； ⇔C为锐角. 三、三角形中常用结论 1. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边： 2. 大边对大角，大角对大边： 3.，故有①；②； ③；④⑤ 考点01 利用正余弦定理求边、角 【方法点拨】正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． 【例1】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】由正弦定理可得，即， 解得，因为，所以， 又，所以或， 所以或． 故选：D． 【例2】在中，是的中点，，，，则 ． 【答案】 【详解】因为在中，，所以， 由正弦定理得：，又因为，， 所以，解得， 再由余弦定理可得：， 代入已知数据得：， ，解得，因为是的中点，所以， 再由余弦定理可得：， 代入已知数据可得：，则． 故答案为：. 【变式1-1】（多选）的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A，由正弦定理得，则，显然角不存在，A错误； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，所以，故唯一，为锐角，所以B正确， 对于C，由得，而，此时三角形显然不存在，C正确； 若，且符合条件的有两解，则,故，D正确， 故选：BCD． 【变式1-2】已知在中，，为中点，且，则 ． 【答案】/ 【详解】如图所示，延长到点，使得， 因为为的中点，所以四边形为平行四边形， 又因为且，可得， 设，在中，由余弦定理得， 可得，即，解得. 故答案为：. 【变式1-3】在中，分别为的对边，，则 . 【答案】/ 【详解】在中，， 则，故， 故，则， 故答案为： 考点02 面积问题 【方法点拨】一般用公式进行求解,可分为以下两种情况: （1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. （2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解. 【例3】设的面积为，若，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 因为，所以， 因为，所以． 故选：B． 【例4】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若． （i）求的值； （ii）求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）已知，由余弦定理， 则，又，则. （2）（i），由正弦定理有，得， 故， . （ii）由正弦定理可知，， 故的面积为. 【变式2-1】已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又由， 所以. 所以 所以，又因为在中，，所以. 又因为，解得：，所以，C为钝角， ，结合为锐角，解得：或(舍). 故选：D 【变式2-2】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求b，c的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以； （2）由（1）得， 因为，即，解得， 由余弦定理得，所以， 综上，. 【变式2-3】已知的内角的对边分别为，面积为，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，整理的， 所以，即， 所以； （2）因为，所以， 又，则，即， 由余弦定理， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以. 考点03 判断三角形的形状 【方法点拨】判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. 【例5】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】在中，由及正弦定理，得， 于是，而，则， 所以是等腰三角形. 故选：A 【例6】在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】在中，由及余弦定理得，，整理得， 所以是等腰三角形. 故选：A 【变式3-1】已知分别是三内角的对边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】根据正弦定理知 ， 所以， 在三角形中， 所以， 则，即A为直角. 故选：B 【变式3-2】（多选）在中，若，，若，则可能是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．含角的钝角三角形 【答案】BC 【详解】因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，由正弦定理得，即， 所以或，即或， 所以可能是等腰三角形或直角三角形. 故选：BC 【变式3-3】在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】在中，由及正弦定理得，而， 整理得，即，而， 则，因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：C 考点04 解三角形的实际问题 【方法点拨】实际问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 【例7】如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米. 故选：A 【例8】如图，海岸线上有相距的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘货轮，甲船位于灯塔A的北偏西方向，与A相距的D处；乙船位于塔B的北偏西方向，与B相距的C处，则两货轮的距离为 ． 【答案】 【详解】连接AC，由题意可知，， 所以，， 根据余弦定理可得： ， 所以. 故答案为：. 【变式4-1】某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】由题意可知，，，， 在中，， ， 由正弦定理得，即， ，所以米.， 故选：B 【变式4-2】如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为 m. 【答案】 【详解】过作于点，则四边形是矩形， 在中，， 所以， 在中，，， 所以， 所以，， 所以， 在中， ， 而， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式4-3】如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得：， 所以， 由正弦定理得即， 所以. （2）设乙出发（）后到达点，此时甲到达点，如图所示， 则，， 由余弦定理得： ， 所以当时，最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. 考点05 解三角形与三角函数的结合 【例9】已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 【例10】在中，角所对的边分别为，向量，，且. (1)求； (2)求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，向量，，且，， 由正弦定理得，， 因此，而，则，又， 所以. （2）由（1）知，，则且， ， 由且，得且， 则，因此，即， 所以函数的值域是. 【变式5-1】已知向量，，函数 (1)求的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由，，解得， 故的单调递减区间为. （2）由可得， 因为，所以，故，解得， 因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理得， 故得 【变式5-2】设函数． (1)由的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数的单调递减区间； (2)记的内角的对边依次为，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由． 因为由的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 所以． 令，得． 所以函数的单调递减区间为． （2）因为，所以． 取边的中点，连接并延长到，使得，则四边形为平行四边形． 由向量加法的平行四边形法则，得， 所以 即． 由及余弦定理，得，即． 注意到，得，得． 又因为． 所以． 所以由得，即的取值范围是． 【变式5-3】对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1） 令，则，函数为增函数， 当时函数为增函数， 即，得， 所以函数的单调增区间是． （2）（2）由已知，所以， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 所以的面积． 考点06 多边形解三角形问题 【方法点拨】四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，①若有一个三角形可全解，则利用该三角形帮助解其他三角形；②若没有一个三角形可全解，则观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边的三角形，利用正余弦定理构造两个方程进行联立求解 【例11】如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方法1、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 设，则， 再在中，由正弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，周长的最大值为. 方法2、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，可得， 在中，由余弦定理得 所以， 因为当且仅当时等号成立， 所以， 所以周长的最大值为. （2）解：依题意得，设， 在中由余弦定理得，可得， 所以，解得，所以， 可得，所以， 在中，由正弦定理，所以， 则， 在中，由余弦定理得， 所以. 【例12】如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得， ，， 所以 是等腰三角形，， 所以， 所以. （2）由（1）知中，，， 又， 所以. 【变式6-1】如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且，解得，． 而，所以， 所以 因为，所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 因为，所以． 在中，由余弦定理得 ， 所以． 【变式6-2】如图所示，在平行四边形中，有：. (1)求的大小； (2)若，求平行四边形的面积. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， ， 又，则， . （2）在平行四边形中，， 在中，由余弦定理得， ，即， 解得：或， 当时，平行四边形的面积： ； 当时，平行四边形的面积： . 【变式6-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)已知，D为边上的一点，若，，求的长． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）∵，根据正弦定理得，， 即， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以． （2）因为，，，根据余弦定理得 ，∴． ∵，∴． 在中，由正弦定理知，，∴， ∴，，所以 ∴，∴． 考点07 中线、角平分线问题 【方法点拨】（1）若是的中线，则一般用向量法； （2）若是的角平分线，则有：①；② 【例13】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以， 又是中点，所以，又， 所以， 即，解得（负值舍去）， 所以，则， 所以，即， 所以的外接圆面积为， 故选：A. 【例14】在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 【变式7-1】已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 【答案】7 【详解】在中，由余弦定理得， 因为为边上的中线，所以， 所以， 所以，即的长为7. 故答案为：7 【变式7-2】已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故， 故，， 又，故； （2）因为，为的中线， 所以， 又， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故当时，取得最小值，最小值为. 【变式7-3】在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. 若，，点是边上的一点，且______.求线段的长. ①是的中线； ②是的角平分线. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）∵， ∴，即 由余弦定理可得. ∵，∴. （2）若选①是的中线， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴. 若选②是的角平分线， ∵，，， 所以， ∴， ∴， ∴. 考点08 面积的最值范围 【方法点拨】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围． 【例15】记的内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的值； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意： 则， 则， 则， 又由余弦定理得得， 所以 （2）由余弦定理得，又，所以 当即时取得最大值，即， 此时，又，满足构成三角形的条件， 故的最大值为. 【例16】的内角的对边分别为已知. (1)若的周长等于3，求； (2)若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由余弦定理及已知条件得，， 又因为的周长等于3， 所以，得。 联立方程组， 解得； （2）①根据题意， 得， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以； ②因为是锐角三角形， 由①知得到， 故，解得， 由正弦定理，得， 又，所以， 所以 ， 又因， 故， 所以， 故的取值范围是. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 【变式8-1】在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若点为边上靠近的三等分点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理，又，所以. （2）因为点是边上靠近的三等分点， 即，所以， 在中，，由余弦定理， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即面积的最大值为.    【变式8-2】已知在，角所对的边分别是，且． (1)求的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 整理可得，又，所以． （2）因为，所以由正弦定理得， 所以， 又，所以， 所以 又因为，可得， 所以（当且仅当时，等号成立）， 可得， 由，, 即面积的取值范围是． 【变式8-3】已知，． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)的最小正周期为，单调递减区间为， (2)面积的最大值为. 【详解】（1）由，化简得， 所以． 的最小正周期； 当时， 化简得，， 所以函数单调递减区间为：； （2）因为， 所以 因为，所以， 所以，故． 又 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为为锐角三角形， 所以， 所以， 所以，故， 所以，当且仅当时等号成立， 故当时，面积取最大值，最大值为. 考点09 边长、周长的最值范围 【例17】在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则， 所以，故， 由为钝角三角形，则， 即，得，故， 故的取值范围为， 故选：A 【例18】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由正弦定理和得： ， 故， 又，所以，即， 又，所以或. （2）若，则, 所以由（1），又， 所以由正弦定理得， 所以 ， 又由上，所以， 所以， 所以，即周长的取值范围为. 【变式9-1】已知的三个内角所对的边分别为，满足． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知， 由正弦定理得：， ， 得， 又，即， 即， 又因为，所以，且， 所以，即． （2）法一：由正弦定理得：，即，且， ，即． 而由为锐角三角形，，，得， 所以，即． 所以，且， 所以的周长的取值范围为． 法二：由，不妨设， 由为锐角三角形，只需，由余弦定理得：， 即． 又．（*） 所以，得：，． 由（*）式得：， 所以，且， 所以的周长的取值范围为． 【变式9-2】已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1） 根据正弦定理，由 ， 即. 是锐角三角形， ，， 因此有 （2）是锐角三角形，，而， 由正弦定理，得， 则， 而 所以， 因此的取值范围为. 【变式9-3】已知 (1)求函数的最小值以及取得最小值时的集合； (2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． 【答案】(1)函数的最小值为，取最小值时的集合为 (2)周长的取值范围为. 【详解】（1）由于， 故 ， 由，得， 故当时，函数取最小值，最小值为； 所以函数的最小值为，取最小值时的集合为. （2）由，得， 而， 所以， 故， 由于，则， 则， 则 ， 而， 则，即， 故周长的取值范围为. 一、单选题 1．如图，内接于，若，，，则的半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中，由余弦定理知， ， 则，由正弦定理，外接圆半径为R，则， 所以的半径是. 故选：A 2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 又，由余弦定理得： ， 所以， 故的面积， 故选：A. 3．在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】由得， 即， 即， 所以， 在中，，所以，， 即的形状为直角三角形. 故选：B. 4．如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以是等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 设，则， 在中，由余弦定理可得， 所以． 故选：C. 5．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理可得，即， 当且仅当时，等号成立，故. 因此，面积的最大值为. 故选：B. 二、多选题 6．初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ）    A．舰艇所需的时间为1小时 B．舰艇所需的时间为2小时 C． D． 【答案】AD 【详解】    如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得，解得或（舍去）， 故.由正弦定理得，解得 故选：AD. 7．在中，在边上，且，，若，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为锐角三角形 C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为 【答案】ACD 【详解】 设，则， 由，，可得， 在中，由正弦定理可得， 故A正确； 在中，由余弦定理，有：， 即：，解得， 故 在中，， ， 故 ， 所以， 又， 由， 可知为钝角三角形，故B错误； 设的外接圆半径， 由正弦定理可得，，故C正确； 设的内切圆半径为， 则， 解得，故D正确． 故选:ACD． 三、填空题 8．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 【答案】/ 【详解】由结合正弦定理得，则， 即，由余弦定理有， 而，所以. 故答案为：. 9．在中，已知的平分线，则的面积为 . 【答案】 【详解】如图： 因为是的平分线， 所以， 不妨设，， 由题意得， 由余弦定理得：，， 所以，解得，负值舍去， 所以． 所以， 可得， 所以． 故答案为：. 10．在锐角中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由条件及正弦定理可得， 因为，满足C为锐角． 因为A为锐角，由余弦定理可得， 所以，即， 所以，解得， 又，所以． 由B为锐角可得，即， 所以，又，解得． 综上，即的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 11．（2023-24高一下·江苏·阶段练习）在 中，是角分别所对的边，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理得，即， 整理得，解得或（舍去），所以的值为. （2）解：在中，由余弦定理得， 因为，可得， 又因为，所以 . 12．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得， 即， 在三角形中， 所以，又，所以， 所以，又，所以； （2）因为，，， 由余弦定理可得， 所以， 所以（负值已舍去）， 所以的周长． 13．如图，在平面四边形中，的面积为．    (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，又， 所以．在中，由余弦定理得： ， 所以. （2）在中，由正弦定理得，即， 解得，又，所以， 所以， ， ，故． 14．如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． (1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里． (2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 【答案】(1) (2)小时 【详解】（1）由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 （2）由题意， 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， ∴甲接到信号后行至F，用时为小时， 在中， , 由正弦定理得，即,解得： ， 则抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，用时为小时， ∴自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共用时为小时. 15．在锐角中，内角，，所对边分别为，，，. (1)求角； (2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，； (3)若，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【详解】（1）法一：在锐角中，， 由余弦定理得，化简得， 可得，又，得. 法二：在锐角中，，由正弦定理得， 即， 可得， 又，，得，又，得. （2）在中，由正弦定理有， 在中，由正弦定理有， 因为是角的平分线，故， 又，故， 所以， 设，， 在中，由余弦定理，有， 解得，所以（负值舍去）， 所以，. （3）因为， 由正弦定理， 得， 在锐角中，，，， 即，可得， 则有，，，， 即，得， 所以面积的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$