三角函数及解三角形专题八讲义-2024届高三下学期数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学-三角函数及解三角形专题八 知识点一 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数,正弦函数的对称轴与单调性、 最值的关系,辅助角公式 典例1、已知数（，）的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个：条件①：的图象关于点对称；条件②：的图象关于直线对称. （1）请写出你选择的条件，并求的解析式； （2）当时，若（1）中所求函数的值域为，求出m的一个合适数值. 随堂练习：已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，并求出使函数 在区间上最小值为时的取值范围. 条件①：的最大值为； 条件②：的一个对称中心为； 条件③：的一条对称轴为． 注：如果选择条件①、条件②、和条件③分别解答，按第一个解答计分. 典例2、已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知． （1）求的解析式及最小值； （2）若函数在区间上有且仅有1个零点，求t的取值范围． 条件①：函数的最小正周期为； 条件②：函数的图象经过点； 条件③：函数的最大值为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 随堂练习：已知函数在下列条件①、条件②、条件③ 这三个条件中，选择可以确定和m值的两个条件作为已知． 条件①：的最小正周期为； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③： （1）求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值． 典例3、已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定． （1）求的解析式； （2）设，求函数在上的单调递增区间． 条件①：； 条件②：为偶函数； 条件③：的最大值为1； 条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 随堂练习：已知函数，且的最小正周期为， 再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件. （1）求的解析式； （2）设，若在区间上的最大值为，求的最小值． 条件①：的最小值为； 条件②：的图象经过点； 条件③；直线是函数的图象的一条对称轴. 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 知识点二 由图象确定正（余）弦型函数解析式,三角形面积公式及其应用, 余弦定理解三角形,求sinx型三角函数的单调性 典例4、已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，， 且的面积为，求． 随堂练习：已知函数 （ ， ）的部分图像如图所示. （1）求的解析式，并求的单调递增区间； （2）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ， ，且 的面积为，求 的值. 典例5、已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）在为锐角的中，角、、的对边分别为、、，若，，且的面积为，求的值. 随堂练习：某同学用“五点法”画函数（,,）在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 2π 0 0 0 （1）根据图表求出函数的解析式； （2）设的三内角A，B，C的对边分别为, ,,,, 且求的面积． 典例6、函数的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）在中，角A，B，C满足，且其外接圆的半径，求的面积的最大值. 随堂练习：已知函数（，，）的部分图象如图，将该 函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．设． （1）求函数的最小正周期T； （2）在三角形ABC中，AB=6，D是BC的中点，AD=，设∠BAC=，，，求三角形ABC的面积． 人教A版数学-三角函数及解三角形专题八 典例1、答案： （1） （2）（答案不唯一） 解：（1）因为（，）的最小正周期为， 所以，得， 所以， 若选①，因为的图象关于点对称，则， 所以，所以，得， 因为，所以， 所以， 若选②，因为的图象关于直线对称， 所以，即， 所以，得， 因为，所以， 所以 （2）因为，所以， 因为当，函数的值域为， 所以，得， 所以， 所以的一个值可以为（答案不唯一） 随堂练习：答案：（1） （2）答案见解析 解：（1） ， 所以，函数的最小正周期为. （2）由（1）得， 选条件①：因为的最大值为，所以，即, 此时，实数的值唯一确定，满足题意. 所以，当时， ， 因为函数在上的最小值为， 所以，，解得， 所以，函数在区间上最小值为时的取值范围为. 选条件②：的一个对称中心为，所以，即, 此时，实数的值唯一确定，满足题意. 所以，当时， ， 因为函数在上的最小值为， 所以，，解得， 所以，函数在区间上最小值为时的取值范围为. 条件③：的一条对称轴为，此时的值无法确定，不一定为唯一值，不满足题意. 典例2、答案：（1）选择①②：，的最小值为； 选择①③：， 的最小值为； （2）选择①②：的取值范围是；选择①③：的取值范围是. 解：（1）由题可知， ． 选择①②： 因为，所以． 又因为，所以． 所以． 当，，即，时，. 所以函数的最小值为． 选择①③： 因为，所以． 又因为函数的最大值为， 所以． 所以． 当，，即，时， ， 所以函数的最小值为． 选择②③： 因为，所以， 因为函数的最大值为，所以 的取值不可能有两个，无法求出解析式，舍去. （2）选择①②： 令， 则，， 所以，． 当时，函数的零点为， 由于函数在区间上有且仅有1个零点， 所以． 所以的取值范围是． 选择①③： 令， 则，，或，， 所以，，或，． 当时，函数的零点分别为， 由于函数在区间上有且仅有1个零点， 所以． 所以的取值范围是． 随堂练习：答案：（1）选择①②，；选择①③，； （2）. 解：（1）因为 . 若选择条件①，则，又，故可得； 若选择条件②，则，故可得； 若选择条件③，则，故可得； 根据题意，只能选择①②或①③作为已知条件. 若选择①②，则，此时； 若选择①③，则，此时. （2）根据（1）中所求，不论选择①②还是①③，， 又其单调性与相同， 故函数在区间上是增函数，可转化为在上是增函数. 又当，要满足题意，只需， 故可得，即实数的最大值为. 典例3、答案： （1）； （2） 解：（1）， 易知为奇函数，故条件②不成立，舍去. 若选①③，则且，故，， 解得，故不唯一，不合题意； 若选①④，且，故， 解得，，存在且唯一，故； 若选③④，则且，故， 解得，，故，存在且唯一，故； （2）， 令，解得， 当时，，当时，， 故函数在上的单调递增区间为. 随堂练习：答案： （1）； （2）. 解：（1）由题意，可得， 选①②：由的最小值为，则，故. 又，即且，所以. 所以. 选①③：由的最小值为，则，故. 因为是的一条对称轴，则，， 所以，且，则. 所以. 选②③：因为是的一条对称轴，则，， 所以，且，则. 所以. 又，则. 所以. （2）， 上，的最大值为，则，可得， 所以的最小值为. 典例4、答案：（1）；（2）. 解：（1）据图象可得，故， 由得：． 由得：． 由知，， ，解得， ； （2），， ，， ，， 由题意得的面积为，解得， 由余弦定理得，解得：. 随堂练习：答案： （1），单调递增区间为， （2） 解：（1）由图及 的最值可知 ， 又，即，且，所以， 所以的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递增区间为 ，. （2）由得 ，所以 ，， 即因为 为锐角，所以 又 ，由正弦定理得 ，① 又 的面积为，所以 ，故，② 联立①②可得 ， 由余弦定理可得 ， 所以a. 典例5、答案： （1） （2）或 解：（1）由图象可知，函数的最小正周期为，. 因为点在函数的图象上，所以，即. 又，则，从而，即. 又点在函数的图象上，所以由，得. 此时，则在附近单调递增，合乎题意， 所以函数的解析式为. （2）由，所以，， 因为， ， ，则，所以，或，可得或， 当时，因为，可得. 又因为，所以，解得； 当时，因为，可得， 因为，所以， 解得. 所以或. 随堂练习：答案：（1） （2） 解: （1）根据表中已知数据，得，周期，，解得：， 故. （2）由， 解得：， ∵A∈（0，π），，可得，解得：． 由正弦定理，得， 又∵，∵∴. 由余弦定理，得 即,∴， ∴. 典例6、答案：（1），最小正周期为； （2） 解：（1）由图知，解得， ∵， ∴，，，. 由于，因此， ∴，最小正周期为. （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 所以或1（舍），可得：， 由正弦定理得，解得， 由余弦定理得， ∴，，（当且仅当等号成立）， ∴， ∴的面积最大值为. 随堂练习：答案：（1） （2） 解：（1）由图可知，，，解得，．∴， ∵，∴．∴，． ∵ ∴． 所以． ∵，∴． ∵，即，∴． （2）设，． ∵，∴， ∵，， ∴分别在和中，由余弦定理得， ∴． 在中，由余弦定理得． ∴，∴（舍），或，即． 所以，的面积为 ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$