三角函数及解三角形专题七讲义-2024届高三下学期数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学-三角函数及解三角形专题七 知识点一 用和、差角的正弦公式化简、求值,正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,几何图形中的计算 典例1、已知的内角的对边分别为，，，且A. （1）求 （2）若，，求的值． 随堂练习：记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求的值； （2）若，的面积，求． 典例2、在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且． （1）求B和b的值； （2）求面积的最大值． 随堂练习：在中，内角，，所对边分别为，，，设的面积为， 在条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （1）求的值； （2）若，，求的值. 条件①：，条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，则按第一个计分 典例3、在①，②， ③向量与 平行，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知___________. （1）求A的大小; （2）若，求的值. 随堂练习：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足. （1）证明 （2）求所有正整数k，m的值，使得和同时成立 知识点二 正弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 典例4、在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 在中，内角所对的边分别是，___________. （1）求角； （2）若，求的面积. 随堂练习：从下面①②中选取一个作为条件，填在横线上，并解答问题． ①；②的面积为． 在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，满足__________． （1）求角A的大小； （2）若点D在，且，求． 典例5、在①；②；③ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答． 在中，角的对边分别为．已知，且________________． （1）求角； （2）若满足条件的恰有两个，求边的取值范围； （3）若为中点，，求的面积． 随堂练习：在中，，.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择 一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： （1）a的值； （2）的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 典例6、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 （1）求角B的大小； （2）给出以下三个条件： 条件①：：条件②：；条件③： 从这三个条件中选择两个条件，使得△ABC存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题： （i）求sinA的值： （ii）已知∠ABC的角平分线BD交AC于点D，线段BD上是否存在两个不同的点P，Q使得？若存在，直接写出一个满足题意的线段BP的长度；若不存在，直接写“不存在”.（无需说明理由） 随堂练习：在①，②，③这三个条件中任选 一个，补充在下面问题中，并解答. 已知在四边形ABCD中，，，且______. （1）证明：； （2）若，求四边形ABCD的面积. 人教A版数学-三角函数及解三角形专题七答案 典例1、答案： （1） （2） 解：（1）由得， 即， ，， ，，． （2）由，，，解得， ，． 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1），， 所以． （2），所以，， ，所以，，所以，即． 由余弦定理得，即，所以， 又，所以． 所以，解得，所以． 典例2、答案： （1），b=2； （2） 解：（1）因为，所以， ，即， 因为，所以， 又，所以，所以， 又的外接圆半径，所以由正弦定理得； （2）由余弦定理得， 由基本不等式得（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故面积的最大值为． 随堂练习：答案： （1）. （2）. 解：（1）选择条件①：因为， 由正弦定理得，所以， 所以，即， 在中，，所以， 又因为，所以； 选择条件②：由题意得：， 即，根据余弦定理可得， 又由可得，，解得， 又因为，所以. （2）由（1）知，，， 又，，， 所以，得， 所以， 所以. 典例3、答案： （1） （2） 解：（1）选条件①：，由正弦定理可知 则，即 又在△ 中，，即， 故，又，故 选条件②： 根据余弦定理，上式可化为： 整理得，则 又在△ 中，，故有 选条件③：向量与平行. 由，可得, 由正弦定理可知，则有 即，又在△ 中，，故有 （2）由得，，则 又在△ 中，, 即 则，故 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） 解：（1）因为， 所以，即， 因为，所以，即， 由正弦定理得，其中为的外接圆半径， 所以. （2）由，可知， 则由正、余弦定理得到， 化简得， 因为，，所以， 即， 因为均为正整数，所以由可知为2的正整数因式1或2，故， 所以，即， 所以. 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）选择①：因为， 由余弦定理可得， 所以结合正弦定理可得. 因为，则， 所以，即， 因为，所以； 选择②：因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得. 因为，所以； （2）由（1）知，又已知， 由余弦定理得，， 即，所以， 所以的面积为. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）选择①，由得， 即， 因为，所以． 选择②，由得， 即， 因为，所以． （2）解法1：设，在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以，即，即， 所以，即． 解法2：过点C作垂直交的延长线于点E，如图3． ∵， ∴， 又∵与相似， ∴，又在中，， ∴，∴，∴， ∴，∴，从而得． 典例5、答案：（1） （2） （3） 解：（1）若选①，∵， ∴， 即，由正弦定理得， 即，∵，∴． 若选②，∵，∴ 即，整理得，即，∵，∴． 若选③，∵，由正弦定理得， ， 故， 即，∵，∴ 故，∵，∴． （2）由正弦定理，，所以，故即， 又满足条件的有两个，则角有两个解，由大边对大角，应有， 故边的取值范围是． （3） 由图可得，而， 所以， ∴，∴． 随堂练习：答案： （1）选②，；选③，； （2）选②，；选③，. 解：（1）选条件①：， 在中，由余弦定理得，， ，即. 解得或， 满足条件的三角形有两个，不符合题意，舍去； 选条件②：即 ， 在中，由余弦定理得，， ， 解得； 选条件③：， 在中，由正弦定理得，， 所以； （2）选条件②：由题可知，， 所以的面积； 选条件③：，则，， 所以的面积. 典例6、答案： （1） （2）（i）；（ii）存在， 解：（1），由正弦定理， 有，即，， 由余弦定理，， （2）△ABC中，，. （i）由(1)可知， ，所以条件①：不成立， 故选条件②：；条件③：， ，， 由余弦定理， ，， 由正弦定理， ，. （ii）存在，. 以B为原点，BA为x轴建立如图所示的直角坐标系， 由已知得△ABC中，BA=5，BC=3，CA=7，，， 则有，，， 的角平分线BD交AC于点D，有， 由内角平分线定理可知，，解得， △ABD中，由正弦定理， ，解得， 两个不同的点P，Q在线段BD上， 设，，，且， 由，则有，， 由， 得， 化简得：，由，得， 且，符合条件， 所以线段BD上存在两个不同的点P，Q使得， 满足题意的线段BP的长度可以取 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）方案一：选条件①. 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以. 因为， ， 所以， 即， 所以， 所以. 方案二：选条件②. 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 因为，所以. 因为，所以. 因为， ， ， 所以， 即， 所以， 所以. 方案三：选条件③. 因为，，且，， 所以 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以. 因为， ， 所以， 即， 所以， 所以. 选择①②③，答案均相同， （2）由（1）可设，则， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为， 所以，解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以四边形ABCD的面积. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$