三角函数及解三角形专题五讲义-2024届高三下学期数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学--三角函数及解三角形专题五 知识点一 用和、差角的正弦公式化简、求值,二倍角的余弦公式,正弦定理解三角形, 余弦定理解三角形 典例1、如图，在平面四边形ABCD中，，. （1）若的面积为，求AC； （2）在（1）的条件下，若，求. 随堂练习：如图，在四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求的长. 典例2、在，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求a的值； （2）求的值． 随堂练习：在中，内角对边的边长分别是，已知． （1）若，，求； （2）若，求证：是等边三角形； （3）若，求的值． 典例3、在中，内角所对的边分别是，且，已知，，. （1）求及的值； （2）求的值. 随堂练习：已知的内角，，所对的边分别为，，，且为钝角． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求． 知识点一 正弦定理边角互化的应用,基本不等式求和的最小值 典例4、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为s， 且． （1）求A； （2）若，求△ABC的面积的最大值． 随堂练习：已知的内角的对边分别为，若． （1）求角C （2）若的面积为，则的最小值． 典例5、在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）设点是的中点，若，求的取值范围. 随堂练习：在中，内角的对边分别为已知 （1）求的外接圆直径； （2）求周长的取值范围. 典例6、在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积，求周长的最小值. 随堂练习：已知中，，，是角，，所对的边，，且. （1）求； （2）若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边（设为点）上，求此情况下的最小值. 人教A版数学--三角函数及解三角形专题五答案 典例1、答案： （1）； （2）. 解：（1）在中，，，的面积为， 所以， 即，解得. 在中，由余弦定理得， 所以， 解得； （2）因为，，AD=9， 在中，由正弦定理， 所以． 所以． 随堂练习：答案： （1） （2）3 解：（1）因为，， 所以， 在中，根据正弦定理知，， 即， 解得. （2）因为且， 所以. 因为， 所以， 在中，由余弦定理知，， 即， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以的长为3. 典例2、答案：（1）；（2）． 解: （1）由，所以． （2）由可得，，所以， 所以：，， ， 所以． 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 （3） 解：（1）中，．则， 又，，由正弦定理得 （2）中，．则， 则有 又，则，即， 则有，则有，又，则有 则是等边三角形； （3）中，．则，， 又，，则， 则 则． 典例3、答案： （1）， （2） 解：（1）因为，为三角形内角，所以， 又，解得， 又，所以（舍），； （2）因为，， 又. 随堂练习：答案： （1） （2） （3） 解：（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以． 因为角C为钝角，所以角A为锐角，所以. （2）由（1），由余弦定理，，， 得，所以， 解得或，，不合题意舍去， ∴， 故△ABC的面积为. （3）因为，， 所以. 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）由，， 得， 所以． 因为，， 得． 由正弦定理，得， 所以．又， 得．又， 所以． （2）设△ABC的外接圆半径为R， 由及正弦定理， 得， 又，所以． 因为， 即，当且仅当时等号成立， 所以， 即△ABC的面积的最大值为． 随堂练习：答案：（1）；（2）80． 解:（1）因为， 由正弦定理得：， 所以， 即， 又，故， 故． （2）因为的面积为， 所以，即， 故， 由余弦定理可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为80． 典例5、答案：（1）；（2）. 解：（1）在中， 由正弦定理，可得， 因为， 所以， 所以， 即，即，可得， 又因为，所以. （2）如图，延长到，满足，连接， 则为平行四边形，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得，即， 由基本不等式得：， 即，即，可得（当且仅当取等号号） 又由，即， 故的取值范围是. 随堂练习：答案： （1）1；（2）. 解：（1）由及正弦定理，得 由知， ，化简得， ，又故， 由正弦定理得，外接圆的直径. （2）由（1）知，由余弦定理得， ， 当且仅当时，取等号，， ，即， 又，故， ，即的周长的取值范围为. 典例6、答案： （1）； （2）. 解：（1）在中，由正弦定理及 得：， 而，即，则，即， 因此，，又，即， 于是得，解得， 所以. （2）由(1)及三角形面积定理得：，， 由余弦定理得：， 则周长， 当且仅当时取“=”， 所以周长的最小值为. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）因为， 所以由正弦定理边角互化得， 因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以，即 （2）因为，， 所以为等边三角形，即， 如图，设，则， 所以在中，由余弦定理得， 整理得，设， 所以， 由于，故 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为 ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$