三角函数及解三角形专题四讲义-2024届高三下学期数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学--三角函数及解三角形专题四 知识点一 用和、差角的正弦公式化简、求值,正弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用,求三角形中的边长或周长的最值或范围 典例1、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若的面积等于，求的周长的最小值． 随堂练习：在中，角所对的边长分别为，面积为，且. （1）求角的大小. （2）求的取值范围. 典例2、已知向量，，函数.在中，内角的对边分别为，且. （1）求C的大小； （2）若，且的面积，求周长的取值范围. 随堂练习：在锐角三角形中,角的对边分别为,向, ,且. （1）求角的大小; （2）若的面积为,求的取值范围. 典例3、在中，角A，，所对的边分别为，，，且． （1）若，，求角 （2）设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值． 随堂练习：如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍． ，，． （1）求的大小； （2）若点在直线同侧，，求的取值范围． 知识点二 正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,余弦定理边角互化的应用 典例4、已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，. （1）求角C的大小；（2）若，且的面积为，求的周长. 随堂练习：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，，求的周长. 典例5、的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且. （1）求B； （2）若，的面积为，求a，c. 随堂练习：在中内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 典例6、在中， （1）求角A的大小 （2）若BC边上的中线，且，求的周长 随堂练习：在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C=sin2A+cos2B+sinAsinC． （1）求角B的大小； （2）若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求的周长． 人教A版数学--三角函数及解三角形专题四答案 典例1、答案： （1） （2） 解：（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ∵，所以， 所以，∴； （2）依题意，∴ac＝4， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以的周长最小值为． 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1），所以，又， ，则，， 因为， 所以，故； （2）由正弦定理可得： ， ，也即. 典例2、答案： （1） （2） 解：（1）因为，，， 所以 ， 又，所以. 所以，. 因为， 所以. （2）由（1）知，所以. 因为，所以，所以. 由余弦定理得. 又，所以. 因为的周长， 所以，即周长的取值范围为. 随堂练习：答案： （1） （2） 解:（1）由题知,,, 所以有: ①, 在中,由正弦定理可得:, 代入①中有:, 展开移项后可得:, 即, 因为是的三边, 所以上式可化为: , 在中,由余弦定理可得:, 因为,所以; （2）在中,过点向作垂线,垂足为, 过点作的垂线,交延长线于点,如图所示: 因为为锐角三角形, 所以点在线段上（不含端点）, 即, 由（1）可得,且, 所以,所以, 因为, 所以,即, 由,所以, 解得: , 所以, 令,,由对勾函数的性质可得在上单调递减, 故, 即. 典例3、答案： （1） （2） 解：（1）因为， 依据正弦定理， 所以， 即， 由余弦定理变形知， 因为，所以． 因为，， 则在中，由正弦定理得：又， 因为，所以． （2）方法一：因为， 是的角平分线， 而， 所以， 即， 所以， 因为，，，且，故AD 当且仅当取等， 所以最大值为． 答：当时，最大值为． 方法二：因为, 设，， 在，中由正弦定理知： ①， ②， 因为，所以①②得， ， 令，， 由于， 所以，易得此函数在为单调递增函数， 所以当时，最大值为． 随堂练习：答案： （1）； （2）. 解：（1）设，则， 因，，， 则，而，， 则有，即，又，， 因此， ， 所以. （2）由（1）知，，连AC，有，则， 而，中，由正弦定理有， ，，， 又，令， 则，， 因此， 因，则，有， 即，， 所以的取值范围为． 典例4、答案： （1）；（2）. 解: （1）因为 由正弦定理可得，即. 由余弦定理知 又因，所以； （2），的面积， 即， 所以 ， 所以，即. 所以的周长为. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）方法一：因为， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 所以， 又，所以. 方法二：由正弦定理得， 又，所以，， 所以， 所以， 所以， 所以. 又，，，所以，， 所以或或 所以或（舍去）或（舍去）， 所以，所以. （2）由（1）知，又，， 所以，解得或（舍去）， 所以，， 所以的周长为. 典例5、答案： （1） （2） 解：（1）由及正弦定理，得，又， 则， 可得， 即，又，所以有， 即， 因为，所以，于是有， 即，所以，即. 由的面积为，得，即， 由余弦定理，得， 即，将，代入上式， 得， 可得，解得. 随堂练习：答案： （1）；（2）18. 解: （1）中，，由正弦定理得：， 即，而， 则，又，所以； （2）由(1)知， 因的面积为，即，得， 由余弦定理，得，解得， 所以的周长为18. 典例6、答案： （1）； （2）. 解：（1）由已知， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 在中，因为， 所以； （2）由，得①， 由（1）知，即②， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以③， 由①②③，得， 所以， 所以的周长. 随堂练习：答案： （1）120° （2） 解：（1）因为cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC， 所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC， 即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC， 由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac， 由余弦定理得，cosB， 由B为三角形内角得B＝120°； （2）由题意得: ，且ABDCBDB＝60°，BD＝1， 所以， 所以（a+c），即ac＝a+c， 因为b＝2，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accos120°＝a2+c2+ac， 因为， 所以ac=a+c＝4或ac＝﹣3（舍）， 故的周长为． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$