专题08 基本不等式Ⅱ-求最值的六大题型-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

2024年高一数学初升高暑假自学提升课（人教A版2019必修一） 专题08 基本不等式Ⅱ-求最值的六大题型 考点一 直接法 考点二 配凑法 考点三 常数代换法（“1”的代换） 考点四 消参法 考点五 双换元法 考点六 二次（一次）商式的最值 一、利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 二、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 【题型一 直接法】 策略方法 直接利用基本不等式求解，注意取等条件 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2023高三·广东·学业考试）若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．36 【题型二 配凑法】 策略方法 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·山西晋中·开学考试）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 6．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数，则“”是“的最小值大于5”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型三 常数代换法（“1”的代换）】 策略方法 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取得条件． 一、单选题 1．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高一上·陕西安康·阶段练习）已知且满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型四 消参法】 策略方法 利用基本不等式证明不等式的策略 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值是（    ） A．33 B．26 C．25 D．21 2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·黑龙江·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【题型五 双换元法】 一、单选题 1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（22-23高一上·浙江宁波·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 二、填空题 3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ． 【题型六 二次（一次）商式的最值】 一、单选题 1．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 二、填空题 4．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假自学提升课（人教A版2019必修一） 专题08 基本不等式Ⅱ-求最值的六大题型 考点一 直接法 考点二 配凑法 考点三 常数代换法（“1”的代换） 考点四 消参法 考点五 双换元法 考点六 二次（一次）商式的最值 一、利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 二、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 【题型一 直接法】 策略方法 直接利用基本不等式求解，注意取等条件 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】通过求出，代入所求式消元，运用基本不等式求解即得. 【详解】由可知，则，代入得：， 当时等号成立，即当时，取得最小值. 故选：D. 3．（2023高三·广东·学业考试）若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由基本不等式，当且仅当时等号成立 【详解】，当且仅当时取等号. 故选：C 4．（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．36 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以，所以，当且仅当，即时取等号， 故选：C 【题型二 配凑法】 策略方法 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 一、单选题 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即取等号，故C正确. 故选：C. 2．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解. 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 3．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】利用基本不等式分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为15. 故选：D. 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求积的最大值. 【详解】由题意， 当且仅当时等号成立. 所以的最大值是. 故选：B 5．（23-24高三上·山西晋中·开学考试）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，因为，解得， 故选：B 6．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数，则“”是“的最小值大于5”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由基本不等式求的最小值，再由充分条件和必要条件的定义判断结果. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 若，则，即的最小值大于5，反之亦成立． 则“”是“的最小值大于5”的充要条件. 故选：A 【题型三 常数代换法（“1”的代换）】 策略方法 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取得条件． 一、单选题 1．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 2．（23-24高一上·陕西安康·阶段练习）已知且满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将等价变形，利用“1”的代换，结合基本不等式求最值即可. 【详解】由得 当且仅当即时取等号. 故选：A. 3．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C． 4．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】∵，，， ∴（当且仅当即，时取“=”）. 故选：C 5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【题型四 消参法】 策略方法 利用基本不等式证明不等式的策略 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值是（    ） A．33 B．26 C．25 D．21 【答案】C 【分析】由题意可得，则，运用换元法，令，转化为的式子，由基本不等式即可得到所求最小值． 【详解】实数，满足，且， 可得，则， 令，即有， 则， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以的最小值是，当且仅当、时取等号． 故选：C． 2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为， 由，得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D 3．（23-24高一上·黑龙江·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】将化为，结合，判断，将化为，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由，，，得， 故，故； 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2， 故选：A 【题型五 双换元法】 一、单选题 1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 由得， 故 ， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9， 故选：B 2．（22-23高一上·浙江宁波·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以，令，则且 ，代入中得： 当即时取“=”, 所以最小值为1. 故选：B 二、填空题 3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】 通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 【题型六 二次（一次）商式的最值】 一、单选题 1．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则.故选：D. 2．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为.故选：D. 3．（23-24高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因关于的方程有两个相等的正根， 所以，所以. ， 当且仅当时取等号，所以有最大值.故选：B. 二、填空题 4．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 1 学科网（北京）股份有限公司 $$