专题07 基本不等式Ⅰ-基本不等式定义及应用-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

2024年高一数学初升高暑假自学提升课（人教A版2019必修一） 专题07 基本不等式Ⅰ-基本不等式定义及应用 考点一 基本不等式比较大小 考点二 基本不等式求简单最值 考点三 利用基本不等式证明 考点四 基本不等式解决实际问题 一、重要不等式 ，有，当且仅当时，等号成立. 二、基本不等式 如果，，则，当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有，当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有，当且仅当时，等号成立. （3）当时，有，当且仅当时，等号成立. 四、利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 五、利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【题型一 基本不等式比较大小】 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 3．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆铜梁·阶段练习）甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（    ） A．甲先到 B．乙先到 C．甲乙同时到 D．不能确定 【题型二 基本不等式求简单最值】 策略方法 利用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的原则,即 (1)一正:符合基本不等式≥成立的前提条件,即a>0,b>0. (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在等号成立的条件. 以上三点缺一不可. 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24高一下·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 5．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型三 利用基本不等式证明】 策略方法 利用基本不等式证明不等式的策略 1.从待证不等式及问题的已知条件出发,借助不等式的性质及有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. 一般地,若所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明. 提醒:利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立. (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用. (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用. 2.证明不等式时,若已知条件中的等式一边含有常数(有时等式一边直接是“1”),常将等式变形为一边是“1”的形式后,利用“1”的代换求解,如已知条件中含a+b+c=1,若涉及(-1)(-1)等形式,需将,中的1用“a+b+c”代换,若已知条件中含a2,b2,c2的形式,需将1变形为(a+b+c)2等,要根据待证不等式特征进行“代换”. 一、解答题 1．（22-23高一·全国·随堂练习）设，，求证下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明： (1)对任意的正实数，，，证明：； (2)设，，为正实数，且，证明：. 4．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，，，求证： (1)； (2). 5．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【题型四 基本不等式解决实际问题】 策略方法 利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性． 一、单选题 1．（22-23高一上·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是（    ）.    A．48 B．56 C．65 D．88 3．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假自学提升课（人教A版2019必修一） 专题07 基本不等式Ⅰ-基本不等式定义及应用 考点一 基本不等式比较大小 考点二 基本不等式求简单最值 考点三 利用基本不等式证明 考点四 基本不等式解决实际问题 一、重要不等式 ，有，当且仅当时，等号成立. 二、基本不等式 如果，，则，当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有，当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有，当且仅当时，等号成立. （3）当时，有，当且仅当时，等号成立. 四、利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 五、利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【题型一 基本不等式比较大小】 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 2．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【答案】A 【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可. 【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，. 由杠杆原理得，，解得，， 则，当且仅当取等号. 又，故. 故选：A 3．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质、基本不等式成立的条件逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故错误. 故选：C 4．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD. 【详解】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 5．（23-24高一上·重庆铜梁·阶段练习）甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（    ） A．甲先到 B．乙先到 C．甲乙同时到 D．不能确定 【答案】A 【分析】设出总路程和甲乙所用时间，作商后利用不等式的性质比较甲乙所用时间的大小. 【详解】设总路程，甲用时间，乙用时间， 由，得，显然， 于是，而，，， 因此，即，， 所以甲先到达. 故选：A 【题型二 基本不等式求简单最值】 策略方法 利用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的原则,即 (1)一正:符合基本不等式≥成立的前提条件,即a>0,b>0. (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在等号成立的条件. 以上三点缺一不可. 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）取最小值时的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可． 【详解】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 即取最小值时的取值为． 故选：． 2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 3．（23-24高一下·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8. 故选：C 4．（23-24高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：C． 5．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 6．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 【题型三 利用基本不等式证明】 策略方法 利用基本不等式证明不等式的策略 1.从待证不等式及问题的已知条件出发,借助不等式的性质及有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. 一般地,若所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明. 提醒:利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立. (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用. (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用. 2.证明不等式时,若已知条件中的等式一边含有常数(有时等式一边直接是“1”),常将等式变形为一边是“1”的形式后,利用“1”的代换求解,如已知条件中含a+b+c=1,若涉及(-1)(-1)等形式,需将,中的1用“a+b+c”代换,若已知条件中含a2,b2,c2的形式,需将1变形为(a+b+c)2等,要根据待证不等式特征进行“代换”. 一、解答题 1．（22-23高一·全国·随堂练习）设，，求证下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式证明； （2）利用作差法证明； （3）利用作差法证明； （4）利用基本不等式证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，命题得证. （2）要证明，只用证明， 只用证明， 因为， 当且仅当时取得等号，所以成立， 则成立，命题得证. （3）， 当且仅当时取得等号， 所以，命题得证. （4）因为，， 所以要证，只用证， 只用证，根据基本不等式可知显然成立， 当且仅当时取得等号， 所以成立，命题得证. 2．（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)8. 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式推理即得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1），则，当且仅当时取等号， 所以. （2）由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. 3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明： (1)对任意的正实数，，，证明：； (2)设，，为正实数，且，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式得到，相加后得到答案； （2）由基本不等式得到，相加后得到答案. 【详解】（1）由基本不等式可得， 所以， 即 当且仅当时取等； （2）因为 所以，即， 因为 所以， 所以，当且仅当时取等 4．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，，，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】运用基本不等式对（1）（2）进行求解即可. 【详解】（1） ∵，，，∴，， 当且仅当时，等号成立.∴； （2）∵，，∴，当且仅当时，等号成立； ∵，，∴，当且仅当时，等号成立； ∵，，∴，当且仅当时，等号成立； 累加，得，证毕. 5．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式等价变形，利用常值代换法构造基本不等式即可求其最小值，检验等号成立条件是否满足； （2）将左式利用条件凑项再重组，由基本不等式求其最小值即得. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 【题型四 基本不等式解决实际问题】 策略方法 利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性． 一、单选题 1．（22-23高一上·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式的应用即可求解. 【详解】设矩形菜园中平行于墙的边长度为，垂直于墙的边长度为，菜园面积， 则，当且仅当时取等号. 故选：A. 2．（23-24高一上·北京·期中）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是（    ）.    A．48 B．56 C．65 D．88 【答案】B 【分析】先求得空白部分面积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】设阴影部分的长为，宽为，为正实数，且， 则空白部分的面积为 ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 3．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可. 【详解】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 5．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【分析】根据题意，得到，平均损耗蔬菜量之和为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设安排男社员名，女社员名， 根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15. 故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$