九年级上册 第4章 锐角三角函数-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学课堂10分钟（湘教版）广西专版

课堂 !" 分钟!九上!第 1 章 众相原创 分层练!广西数学"#$# #*" ! & "#4565'( &!!#正弦和余弦 第 " 课时!正弦及 (0>角的正弦值 !!在FG $ ',2中# ) 2'80>#则下列等式成立的是 !!!" %&HIJ'' '2 ', )&HIJ'' ,2 ', ,&HIJ'' '2 ,2 -&HIJ'' ,2 '2 $!如图#在FG $ ',2中# ) 2'80>#'2'1#,2'(#','.#则HIJ,的值为 !!!" %& 1 . )& ( . ,& ( 1 -& 1 ( 第 * 题图 !!! 第 ( 题图 %!如图#HIJ'的值为 !!!" %& ( > )& 槡( * ,& " * -& *槡"0 > &!如图#在 . A9 的正方形网格中# $ ',2的顶点'#,#2都在网格线上#且都是小正方形边的 中点#则HIJ,'!!!!! 第 1 题图 !!!!! 第 . 题图 '!如图#菱形',2:的边长为 ".#HIJ ) ,'2' ( . #则对角线,:的长为!!!!! (!如图#在FG $ ',2中# ) 2'80>#分别求出图 " 和图 * 中HIJ'和HIJ,的值! 图 " !!! 图 * 解!如图 !$*%))'$&))%$,%&)槡%&$,>?@%) &) %& ) %槡%& %& $>?@&) %) %& ) '槡%& %& % 如图 $$*%))!$&%)槡'$,&))$$,>?@%) &) %& ) $槡' ' $>?@&) %) %& ) 槡' ' $ 课堂 !" 分钟!九上!第 1 章 $+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 * 课时!1.>&90>角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应的锐角 !!小明利用如图所示的量角器量出 ) '.,的度数#则HIJ ) '.,的值为 !!!" %& 槡( * )& 槡* * ,& " * -& 槡( ( $!已知HIJ ! '0!86" 9#运用科学计算器求锐角 ! 时!在开机状态下##按下的第一个键是 !!!" %&HIJ )&-KL ,& M N 5= -&*JOP %!在 $ ',2中# ) 2'80>#若HIJ''HIJ,'槡 * * #则下列最确切的结论是 !!!" %& $ ',2是等腰三角形 )& $ ',2是锐角三角形 ,& $ ',2是直角三角形 -& $ ',2是等腰直角三角形 &!已知 ! 为锐角#且HIJ! ! /"0>" ' 槡* * #则 ! 等于! ''6 !! '!计算&HIJ*(0>+HIJ*90>/HIJ*1.>! 解!原式)" ! $ # $ 1" 槡% $ # $ +" 槡$ $ # $ ) ! $ $ (!如图#在 $ ',2中#'2'8# ) ''1.>#','"*#求 $ ',2的面积! 解!如解图$过点)作)2 # %&于点2$ 在<= $ %)2中$>?@&'6) )2 %) $,)2)%))>?@&'6) 7槡$ $ $ , $ %&)的面积) ! $ %&))2)$9槡$$ 课堂 !" 分钟!九上!第 1 章 众相原创 分层练!广西数学"#$# $!" 第 ( 课时!余弦 !!如图#在FG $ ',2中# ) 2'80>#若=QH,' ,2 , #则 , 是 !!!" %&'2 )&,2 ,&', -& ) ' 第 " 题图 !!! 第 ( 题图 !!! 第 . 题图 $!已知 0>: ! :80>#HIJ ! '=QH(0>#那么 ! 为 !!!" %&(0D )&1.D ,&90D -&以上答案都不对 %!如图#已知(是射线.,上的任意一点#(- # .'于点-#且.-C.('1C.#则=QH ! '!!!!! &!若 *=QH''"#则锐角 ) ''!!!!>! '!如图#在正方形网格中# $ ',2的三个顶点都在网格线的交点上#则=QH ) ',2的值是 !! (!计算&HIJ(0>=QH(0>+HIJ1.>=QH1.>+HIJ90>=QH90>! 解!原式) ! $ - 槡% $ 1 槡$ $ - 槡$ $ 1 槡% $ - ! $ ) 槡% 1! $ $ &!$#正切 !!在 $ ',2中#若 ) 2'80># ) '# ) ,# ) 2的对边分别为 8#1#9#则有 !!!" %&GMJ'' 8 1 )&HIJ'' 1 9 ,&GMJ,' 8 1 -&=QH,' 1 9 $!在FG $ ',2中# ) 2'80>#HIJ'' ( . #则GMJ''!!!!! %!在FG $ ',2中# ) 2'80>#GMJ'' 槡( ( #则 ) '的度数是!!!!>#GMJ,'!!!!! &!在 $ ',2中#若?=QH'/ " * ?+!" /GMJ," * '0#则 ) 2的度数是!!!!! '!计算&=QH90>/*GMJ(0>+GMJ90>+*HIJ*1.>! 解!原式) ! $ +$ - 槡% % 1槡% 1$ -" 槡$ $ # $ ) % $ 1 槡% % $ 课堂 !" 分钟!九上!第 1 章 $#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# &!%#解直角三角形 !!如图#在 $ ',2中# ) 2'80>#=QH'' 槡( * #'2'1槡(#则',的长为 !!!" %&1 )&6 ,&6槡( -&"* $!在FG $ ',2中# ) 2'80>#1'*槡(#9'1!求 8#)'#),! 解!在<= $ %)&中$* ) ))7"6$( )$槡%$/)&$ ,. ) / $ +.槡 $ ) & $ +"$槡%#槡 $ )$$ ,>?@%) . / ) ! $ $ , ) %)%"6$ , ) &)("6$ %!在FG $ ',2中# ) 2'80>#9'6槡(#)''90>#求),#8#1! 解!在<= $ %&)中$* ) ))7"6$ ) %)("6$ , ) &)%"6$ */)0槡%$ ,( )/)>?@%"6)&槡%$ ,. ) / $ +(槡 $ ) "0槡%# $ +"&槡%#槡 $ )!$$ &!如图#在 $ ',2中#': # ,2# ) ,'(0>#HIJ2' ( . #'2'"0!求',#,2的长! 解!在<= $ %)2中$*>?@)) %2 %) ) % ' $%))!"$ ,%2) % ' %))($ ,)2) %) $ +%2槡 $ )0$ 在<= $ %&2中$ ) &)%"6$ ,%&)$%2)!$$ ,&2) %& $ +%2槡 $ )(槡%$ ,&))&21)2)(槡% 10$ 课堂 !" 分钟!九上!第 1 章 众相原创 分层练!广西数学"#$# $$" &!&#解直角三角形的应用 第 " 课时!与仰%俯角及夹角有关的应用问题 !!如图#从热气球'看一栋大楼顶部,的仰角是 !!!" %& ) ,': )& ) '2, ,& ) ,'2 -& ) :'2 第 " 题图 !!! 第 * 题图 $!如图#广场上空有一个气球'#若,2'(0 3# ) ',2' ! #则气球'离地面的高度'2的长为 !!!" %&(0HIJ ! 3 )&(0GMJ ! 3 ,& (0 GMJ ! 3 -&(0=QH ! 3 %!侦察机在(处观测目标&的俯角为 (0>#向东航行 * 分钟到达点+#此时观测目标&的俯 角为 1.>#符合条件的示意图是 !!!" % ! ) ! , ! - &!某市一座跨江大桥即将竣工#小聪画出了该桥的平面示意图!如图##点'到桥,2的距离 是 .0 米#测得 ) ''6(>#则大桥 ,2的长度是! &"9 !米!!结果精确到 " 米# !参考数据" HIJ6(D - 0&88$=QH6(D - 0&"*$GMJ6(D - 6&"1# '!如图#小明想测量塔2:的高度#他在 '处仰望塔顶#测得仰角为 (0>#再往塔的方向前进 .0 3至,处#测得仰角为 90>!求塔高2:!!小明的身高忽略不计$结果精确到 " 3$参考数 据"槡(-"!>(*# 解!* ) 2%&)%"6$ ) 2&))("6$ , ) %2&)%"6$ ,&2)%&)'" 4$ ,2))&2)>?@("6)'" - 槡% $ )$'槡%-&%"4#$ 答!塔高)2约为 &% 4$ 课堂 !" 分钟!九上!第 1 章 $%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 * 课时!与坡度%坡角及方位角有关的应用问题 !!已知外婆家在小明家的正东方向上#学校在外婆家的北偏西 10>方向上#外婆家到学校与 小明家到学校的距离相等#则学校在小明家的 !!!" %&南偏东 .0D方向 )&南偏东 10D方向 ,&北偏东 .0D方向 -&北偏东 10D方向 第 " 题图 !!! 第 * 题图 $!如图是某幼儿园中一个滑滑梯的示意图#已知滑坡 ',的坡度是 "C(#滑坡的水平宽度是 9 3#则高,2为!!!!3! %!某人沿着一个斜坡往上走动了 *0 米#他的垂直高度上升了 "0 米#则这个斜坡的坡度为 B'!!!!! &!一条船从海岛'出发#以 ". 海里C时的速度向正北方向航行#* 小时后到达海岛,处!灯塔 2在海岛'的北偏西 1*>方向上#在海岛,的北偏西 61>方向上!则海岛,到灯塔2的距 离是!!!!海里! '!如图#一艘货轮在海面上航行#准备要停靠到码头2#货轮航行到'处时#测得码头2在北 偏东 90>方向上!为了躲避'#2之间的暗礁#这艘货轮调整航向#沿着北偏东 (0>方向继续 航行#当它航行到,处后#又沿着南偏东 >0>方向航行 *0 海里到达码头2! !""求 ) 2的度数$ !*"求货轮从'到,航行的距离!结果精确到 0!" 海里!参考数据"HIJ.0> - 0!>99$=QH.0> - 0!91($GMJ.0> - "!"8*#! 解!"!#如解图$过点&作&2 ' %+$交%)于点2$则 ) %&2) ) +%&)%"6$ * ) +%))("6$, ) &%))("6+%"6)%"6$, ) ))!0"6+ ) &%)+ ) %&2+ ) 2&))'"6% "$#过点&作&5 # %)于点5$在<= $ &5)中$&))$" 海里$ ) ))'"6$ *>?@)) &5 &) $,&5)&))>?@) - !'$%$"海里#$ 在<= $ %&5中$ ) &%5)%"6$则%&)$&5 - %"$("海里#$ 答!货轮从%到&航行的距离约为 %"$( 海里$ (&# ! &!解!如解图# # ( ' ) ' * ' 即为所求!( ' ! .8#.'"#/ ' ! .''#.'0"! ! % " =>?>'( %!!"正弦和余弦 第 ( 课时!正弦及 &-<角的正弦值 !!$!#!0!$!%!%! & + !&!(; '!解!如题图 (#)(**+#)**&#,()*槡&8#,HKL(* )* () * &槡&8 &8 #HKL)* (* () * +槡&8 &8 $如题图 '#)(**(#)(*槡+#,)**'# ,HKL(* )* () * '槡+ + #HKL)* (* () * 槡+ + ! 第 ' 课时!8+<%2-<角的正弦值及用计算器求 锐角的正弦值或对应的锐角 !!0!#!4!$!4!%!++< &!解!原式*! ( ' " ' 5! 槡& ' " ' .! 槡' ' " ' * ( ' ! '!解!过点 *作 *1 ) ()于点 1!在 FG # (*1中#HKL8+<* *1 (* # ,*1*(*+HKL8+<* =槡' ' #, # ()*的面积 * ( ' ()+*1* '1槡'! 第 & 课时!余弦 !!%!#!%!$! 8 + !%!2-!&! 槡' ' '!解!原式* ( ' : 槡& ' 5 槡' ' : 槡' ' 5 槡& ' : ( ' * 槡& 5( ' ! %!#"正切 !!0!#! & 8 !$!&-!槡&!%!1+< &!解!原式* ( ' .' : 槡& & 5槡& 5' :! 槡' ' " ' * & ' 5 槡& & ! %!$"解直角三角形 !!$ #!解!在FG # (*)中#) & **=-<#+*'槡&#9*8#,% * 9 ' .+槡 ' * 8 ' .!'槡&"槡 ' *'#,HKL(* % 9 * ( ' #, & (*&-<#, & )*2-<! $!解!在FG # ()*中#) & **=-<# & (*2-<#, & )*&-<!)9* ; 槡&# , +* 9+ HKL&-<*8 槡&# , % * 9 ' .+槡 ' * !;槡&" ' .!8槡&"槡 ' *('! %!解!在FG # (*1中#)HKL** (1 (* * & + #(**(-#,(1* & + (** 2#,*1* (* ' .(1槡 ' *;!在 FG # ()1中# & )*&-<#,()* '(1*('#,)1* () ' .(1槡 ' *2槡&#,)**)15*1*2槡& 5;! %!%"解直角三角形的应用 第 ( 课时!与仰$俯角及夹角有关的应用问题 !!0!#!$!$!0!%!8-1 &!解!) & 1()*&-<# & 1)**2-<#, & (1)*&-<#,)1*()* +- 3!,1**)1+HKL2-<*+- : 槡& ' *'+槡&-8&!3"!答&塔高 *1约为 8& 3! 第 ' 课时!与坡度$坡角及方位角有关的应用问题 !!4!#!'!$!(I槡&!%!&- &!解!!("如解图#过点 )作 )1 * (3#交 (*于点 1#则 & ()1* & 3()*&-<# ) & 3(**2-<#, & )(**2-<.&-<* &-<#, & **(;-<. & )(*. & ()1. & 1)**+-<$ !'" 过点 )作 )2 ) (*于点 2#在 FG # )2*中#)**'- 海里# & **+-<#)HKL** )2 )* #,)2* )*+HKL* - (+!&'!海里"#在FG # ()2中# & )(2*&-<#则 ()* ')2 - &-!2!海里"!答&货轮从 (到 )航行的距离约为 &-!2 海里! ! & " @ABCDEF &!!"总体平均数与方差的估计 !!4!#!4!$!$!%!&!2 &!解!)甲班的平均成绩是& ( + :!+- 51- 51- 5;- 5;-" * 1-!分"#甲班成绩的方差F'甲 * ( + :)!+- .1-" ' 5!1- .1-" ' 5 !1- .1-" ' 5!;- .1-" ' 5!;- .1-" ' * *('-#乙班的平均成绩是& ( + :!8+ 5++ 5;- 5;+ 5;+" *1-!分"#乙班成绩的方差 F'乙 * ( + :)!8+ .1-" ' 5!++ .1-" ' 5!;- .1-" ' 5!;+ .1-" ' 5 !;+ .1-" ' * *';-#)F ' 甲 9F ' 乙#,甲班成绩比乙班成绩稳定! &!#"统计的简单应用 第 ( 课时!用样本的&率'去估计总体相应的&率' !!0!#!$!$!4!%!'! &!解!!(" # -!8+! ! (--! " -!-+! $ ( --- !'"根据题意#得 ;-- :!-!( 5-!-+" *('-!万人"!答&估计该 地区能被称为'阅读爱好者(的市民有 ('- 万人! 第 ' 课时!对事物的发展趋势做出判断和预测 !!0!#!% $!解!由条形统计图可知#雪糕销量由多到少依次为 $#0#O#%# 4#建议进货时要按销量比例#$进货应最多#4进货应最少! !答案不唯一#合理即可" %!解!!("绘制折线统计图如解图$ !'"近视的学生人数随年级的升高而增加$ !&"学生用眼不科学$随着年级的升高学生作业量加重$看电 视%看手机%上网时间过长$不注意用眼卫生等!!答案不唯一# 合理即可" ! " # & % ! ! " 45'( !!!"二次函数 !!%!#!% $!解!!("由题意得#'.' ! -#解得 ' ! '#当 '*& 时#该函数是 二次函数$此时该二次函数的表达式为 "*#' 5&#.&#二次项 系数为 (#一次项系数为 &#常数项为.&$!答案不唯一" !'"由题意得#'.' *-#解得'*'#故当'*' 时#该函数是一 次函数$ !&"由!'"可知#该一次函数的常数项是 .&#不可能为 -#所以 该函数不可能是正比例函数! %!解!!("由题意得"*#!&' .'#" *.'#' 5&'#$ !'")&' .'#/-#,#9(2#又)门宽是 ' 3#,# % '#,' " #9(2! !!#"二次函数的图象与性质 第 ( 课时!二次函数!+$##!$ ,-"的图象与性质 !!4!#!'9-!$!"*# ' !答案不唯一"!%!8!&!( '!解!!(" 9 !'")二次函数"*'#' 的图象经过点*#*) ) #轴于点)#,当 #*' 时#"*' :'' *;#,)**;#)二次函数的图象和矩形 ()*1均关于"轴对称#,$阴影 *' :; *(2! 第 ' 课时!二次函数!+$##!$ .-"的图象与性质 !!%!#!!(" !"% !!'" # !!&" #$ $!下!"轴!或直线#*-"!!-#-"!增大!减小 %!解!由题意得# ' ' .'*'# '9- { # 解得#'*.(#,当 '*.( 时#函 数"*'#' ' .'的图象是开口向下的抛物线! &!解!由题意可设点坐标分别为 (! .(-#""#)!(-#""#*! .+# "5&"#1!+#"5&"!设抛物线的表达式为 "*%#' !% ! -"#则有 "*%! 7(-" ' # "5& *%! 7+" '{ # 即 "*(--%# "5& *'+% { # 解得#% *. ( '+ #则该抛物线 的解析式为"*. ( '+ # ' ! 第 & 课时!二次函数!+$!# /%" #!$ ! -"的图象与性质 !!0!#!%!$!4!%!0!&!右!8 '!解!!(")二次函数"*%!#.6" ' 图象的顶点坐标是! .+#-"# ,6 *.+#即二次函数解析式为 "*%!#5+" '#)二次函数的 图象经过点!-# .&"#,%!- 5+" ' *.&#解得 % *. & '+ !,二 次函数的解析式为"*. & '+ !#5+" ' $ !'")"*. & '+ !#5+" ' #,抛物线的开口向下#对称轴为直线 #*.+#,当#9.+ 时#函数值"随#的增大而增大! 第 8课时!二次函数!+$!# /%"# 0"!$ ! -"的图象与性质 !!0!#!4!$!%!%!向下!&!/ '!解!!("描点#连线略! !'"直线#*.(!! .(# .8" !&"观察图象可知#当.& 9#9( 时# .8 " "9-! 第 + 课时!二次函数!+$## 0&# 0'!$ ! -"的图象与性质 !!$!#!0!$!4!%!%!&!/ '!解!!(""*.'#' 58#5& *.'!#.(" ' 5+#) .' 9-#,抛物 线的开口向下#对称轴为直线#*(#顶点坐标为!(#+"$ !'"由!("得#抛物线的开口向下#对称轴为直线#*(#,当#/( 时#"随#的增大而减小#当#9( 时#"随#的增大而增大! ' !!$"不共线三点确定二次函数的表达式 !!0!#!4!$!.'!%!"*# ' 5'#.&!! .(# .8" &!"*.1!#.&" ' 58 '!解!抛物线的解析式为 "* ( 8 !#5'" ' .8#抛物线的最低点的 坐标为! .'# .8"! !!%"二次函数与一元二次方程的联系 !!$!#!-!$!"*%# ' 5+#59!"*& %!解!!("作函数的图象如解图所示! !'" # - 或 '! ! ?9.8 &!解!!(""*.'#' 52;#.&&2$ !'"根据题意得& .'#' 52;#.&&2 *''8#整理得##' .&8#5 ';- *-#解得 #*(8 或 #*'-!舍去"#,#*(8#,每本书的售 价应定为 (8 元! !!&"二次函数的应用 第 ( 课时!建立二次函数模型解决实际问题 !!'槡1!#!(- $!解!!("如解图#以./所在直 线为"轴#.)所在直线为 # 轴#.为原点#建立平面直角 坐标系!).(*8 3#,抛物 线的对称轴是直线 #*'!又 .)*2 3#,水线最高点与点 )之间的水平距离为 2 .' *8!3"$ !'"由题意#结合!("#得抛物线形水线随喷水口上下位置变化 而上下平移#设过点 /的抛物线的表达式为 "*%!#.'" ' 5 6 ( !将 点 /! -# (!+ "# )! 2# - " 代 入 得# 8% 56 ( *(!+# (2% 56 ( *- { # , % *. ( ; # 6 ( *' { # ,水线高度"与水线距点 .的水平距离 #的函 数关系式为"*. ( ; !#.'" ' 5'! 第 ' 课时!几何图形面积与销售利润的最值问题 !!0!#!&-!$!(; ---!2 --- %!解!!("根据题意得#"*'-- .(-!#.;" *.(-#5';-#故 "与 #的函数关系式为"*.(-#5';-!; " # " ('"$ !'"根据题意得#I*!#.2"! .(-#5';-" *.(-!#.(1" ' 5( '(-#) .(- 9-#,当#9(1 时#I随#的增大而增大#又); " # " ('#,当#*(' 时#I最大 *=2-#答&当 #为 (' 时#日销售利润 最大#最大利润 =2- 元! ! # " G #!!"圆的对称性 !!%!#!4!$!圆心!半径!%!12 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ < 参考答案