九年级上册 第2章 一元二次方程-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学课堂10分钟（湘教版）广西专版

课堂 !" 分钟!九上!第 * 章 '" 众相原创 分层练!广西数学"#$# ! $ "#)*+,-. $!!#一元二次方程 !!下列各式中#是一元二次方程的是 !!!" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%&(# * +"'0 )&8# * +1#+9'0 ,&!#/("!#/*" '# * -&!(#/""!(#+"" '( $!关于#的一元二次方程#* /1#/> '0 的一次项系数是 !!!" %&" )&* ,&/1 -&/> %!习近平总书记说(读书可以让人保持思想活力#让人得到智慧启发#让人滋养浩然之气)# 某校为响应我市全民阅读活动#利用节假日面向社会开放学校图书馆!据统计#第一个月 进馆 (*1 人次#进馆人次逐月增加#第三个月进馆 " 900 人次!若进馆人次的月平均增长率 为##由题意可列方程为 !!!" %&(*1!" +#" * '" 900 )&(*1!" +*#" '" 900 ,&(*1 +(*1!" +#" +(*1!" +#" * '" 900 -&(*1!" +#" +(*1!" +#" * '" 900 &!关于#的方程!$/*"#?$?+" /*#'( 是一元二次方程#则$'!!!!! '!某校九年级组织一次辩论赛#规定进行单循环赛!每两班赛一场##共赛了 *6 场#该校九年 级共有多少个班级参加了辩论赛' 设该校九年级共有#个班级参加了辩论赛#根据题意# 可列方程为!!!!!!!!! (!下列方程是否为一元二次方程' 若是#指出其中的二次项系数%一次项系数和常数项! !""# * +.#'9$ !*"(#/1 '# * $ !("!(#/*" * '(#!(#/."! 解!"!#方程整理得 "$ 1'" +( )"$ 方程是一元二次方程$二次项系数&一次项系数和常数项分别是 !$'$ +(% "$#方程整理得 "$ +%" 1& )"$ 方程是一元二次方程$二次项系数&一次项系数和常数项分别是 !$ +%$&% "%#"%" +$# $ )%""%" +'#$ 7" $ +!$" 1& )7" $ +!'"$ 7" $ +!$" 1& +7" $ 1!'" )"$ %" 1& )"$方程不是一元二次方程$ 课堂 !" 分钟!九上!第 * 章 众相原创 分层练!广西数学"#$# (" $!$#一元二次方程的解法 !!!!" "#$ 第 " 课时!利用平方根的意义解一元二次方程 !!方程!#/*" * '8 的解是 !!!" %&# " '.## * '/" )&# " '/.## * '" ,&# " '""## * '/> -&# " '/""## * '> $!如果关于#的方程!#/9" * ')+1 可以用平方根的意义求解#那么)的取值范围是 !!!" %&);( )&) " ( ,&);/1 -&) " /1 %!若方程#* /9'0 的一个根为/(#则方程的另一个根为 !!!" %&( )&8 ,&/( -&/8 &!若#'* 是关于#的一元二次方程#* +)#/* '0 的一个根#则)的值为!!!!! '!利用完全平方公式完成下列填空& !""# * +9#+!!!! '!#+!!!!" * $ !*"# * /.#+!!!! '!#/!!!!" * ! 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" +. )" !#即# " '! +. !## * '! . !$ !("形如#* @*8#+8* '0 的一元二次方程#将左边用完全平方公式因式分解为! "" 8.# $ )" !#则 " #+8 '0#即# " '# * '! +. !# # #/8 '0#即# " '# * '! . !! '!开放性试题 类比因式分解法#写出一个以 #为未知数# /* 和 1 为根的一元二次方 程&! " $ +$" +0 )""答案不唯一#!! (!用因式分解法解下列方程& !""!#/槡*"!#/槡(" '0$!!!!*"!*#/"" * '*#/"$!!!!("# * />#/6 '0! 解!"!#由原方程$得 " +槡$ )" 或 " +槡% )"$解得$"! )槡$$"$ )槡%% "$#"$" +!# $ )$" +!$"$" +!# $ +"$" +!# )"$ "$" +!#"$" +! +!# )"$"$" +!#"$" +$# )"$ $" +! )" 或 $" +$ )"$ 解得$" ! ) ! $ $" $ )!% "%#*" $ +9" +0 )"$,"" 1!#"" +0# )"$ 则 " 1! )" 或 " +0 )"$解得$" ! )+!$" $ )0$ 课堂 !" 分钟!九上!第 * 章 !#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 * 课时!用适当的方法解一元二次方程 !!解方程!#/*" * '(!#/*"的最简便的方法是 !!!" %&直接开平方法 )&配方法 ,&公式法 -&因式分解法 $!下面是小米同学的错题本中的一道题#请你仔细阅读#帮助她补充完整! 解方程&!#/*" * '8#*! 解&#/* '(##第一步 #/(#'*#第二步 #'/"!第三步 分析!第!一!步开始出现错误! 请按照小米同学的思路进行改正$ 反思!此方程除了此种解法外#其他较简便的解法为!因式分解法!!!写出解法的名称即可# 解!按照小米同学的思路改正! "" +$# $ )7" $ $ " +$ )8%"$ " +%" )$ 或 " 1%" )$$ 解得$" ! )+!$" $ ) ! $ $ %!一元二次方程有多种解法#如因式分解法%开平方法%配方法和公式法#还可以运用十字相 乘法#请从以下一元二次方程中任选两个#并选择你认为适当的方法解这个方程! " # * /1#/" '0$ # *!#+"" * '"6$ 解! ! " $ +&" +! )"$ " $ +&" )!$ " $ +&" 1& )! 1&$即"" +$# $ )'$ ," +$ )8槡'$ 解得$" ! )$ 1槡'$"$ )$ +槡'% " 原方程可化为"" 1!# $ )7$ 即"" 1!# $ )" 8%# $$ ," 1! )8%$ 解得$" ! )$$" $ )+&% $ # * +(#+" '0$ % # * /8 '1!#/("! # " $ 1%" 1! )"$ *. )!$( )%$/)!$ ,( $ +&./)% $ +& -! -! )' ."$ ," ) +( 8 ( $ +&槡 ./ $. ) +% 8槡' $ $ 解得$" ! ) +% 1槡' $ $" $ ) +% +槡' $ % $ " $ +7 )&"" +%#$ "" 1%#"" +%# +&"" +%# )"$ "" +%#"" 1% +&# )"$ ," +% )" 或 " +! )"$ 解得$" ! )%$" $ )!$ 课堂 !" 分钟!九上!第 * 章 众相原创 分层练!广西数学"#$# !$" $!%#一元二次方程根的判别式 !!一元二次方程#* /#/* '0 的根的情况是 !!!" %&有两个不相等的实数根 )&有两个相等的实数根 ,&只有一个实数根 -&没有实数根 $!若方程#* /(#/$'0 有实数根#则常数$的值可以是 !!!" %&/"0 )&/. ,&/( -&/" %!若关于#的一元二次方程!$/("#* /1#/" '0 没有实数根#则 $的值可能为!!!!! !写出一个即可# &!已知方程#* /*#'"#则该方程根的判别式的值为!!!!! '!关于#的一元二次方程#* +!*)/""#+)* '0#其根的判别式的值为 8#则)的值为! +$ !# 方程的根为! " ! )!$" $ )& !! (!不解方程#判断下列方程根的情况& !""1# * /(#/" '0$!!!!*"# * /*槡*#+* '0$!!!!(""9# * +6#'/(! 解!"!#* ! )" +%# $ +& -& -" +!# )$' ."$,方程有两个不相等的实数根% "$#* ! )" +$槡$# $ +& -! -$ )"$,方程有两个相等的实数根% "%#将方程整理得!!("$ 10" 1% )"$* ! )0 $ +& -!( -% )+!$0 /"$,方程没有实数根$ & $!&#一元二次方程的根与系数的关系 !!设 8#1是一元二次方程#* +*#'88 的两个实数根#则 81的值为 !!!" %&* )&88 ,&/88 -&/* $!已知关于#的方程#* +1#+9'0 的两根分别是槡* +"#槡* /"#则 !!!" %&1'*槡*#9'" )&1'*槡*#9'/" ,&1'/槡*#9'" -&1'/*槡*#9'" %!已知 8#1是方程#* +#/( '0 的两个实数根#则 8 +1+* 0*. 的值是! $ "$& !! &!已知方程#* /1#/> '0 的根为# " ## * #则# " +# * '!!!!## " *# * '!!!!! '!已知关于#的一元二次方程#* +*#/!)/*" '0 有实数根! !""求)的取值范围$ !*"若方程有一个根为#'"#求)的值及另一个根! 解!"!#*关于 "的一元二次方程 "$ 1$" +"'+$# )" 有实数根$ , ! )( $ +&./)$ $ +& -! -' +"'+$#( )&'+& " "$解得' " !% "$#*" ! )!$" ! 1" $ )+$$," $ )+%$ 将 " )! 代入原方程$得 ! 1$ +"'+$# )"$解得')'$ 课堂 !" 分钟!九上!第 * 章 !%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# $!'#一元二次方程的应用 第 " 课时!平均变化率%销售利润问题 !!某棉签生产工厂*0*( 年"0 月棉签产值达"00 万元#第四季度总产值达((" 万元#问""%"* 月份的月平均增长率是多少' 设月平均增长率的百分数是##则由题意可得方程为 !!!" %&"00!#+"" * '((" )&"00!#+"" +"00!#+"" * '((" ,&"00 +"00!#+"" * '((" -&"00 +"00!#+"" +"00!#+"" * '((" $!某商品的进价为 . 元#当售价为#元时#能销售该商品!#+."个#此时获利 "11 元#则该商 品的售价为!!!!元! %!某品牌新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱#在某地区的销售量从 " 月份的 "00 辆增 长到 ( 月份的 "*" 辆#则从 " 月份到 ( 月份的月平均增长率为! !"0 !! &!某商贸公司以每千克 90 元的价格购进一种干果#原计划以每千克 "00 元的价格销售#现 决定降价销售#已知这种干果销售量"!千克#与每千克降价 #!元#!0 :#:10"之间的关 系如图所示! !""求"与#之间的函数关系式$ !*"商贸公司要想获利 . *.0 元#则这种干果每千克应降价多少元' 解!"!#设!与 "之间的函数关系式为!)#" 1("# ! 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" )!& 或 " )+!!!#原来大矩形空地的长和宽分别为!$0 4$!& 4!! 第 * 题图 !!! 第 ( 题图 %!如图是一张长为 *0 =3#宽为 "0 =3的矩形纸板#将纸板四个角各剪去一个边长为#=3的 正方形#然后将四周突出部分折起#可制成一个底面积为 "11 =3* 的无盖长方体纸盒#则# 的值为!!!!! &!如图#一农户要建一个矩形猪舍#猪舍的一边利用长为 "* 3的住房墙#另外三边用 *. 3 长的建筑材料围成#为方便进出#在垂直于住房墙的一边留一个 " 3宽的门#所围矩形猪 舍的长%宽分别为多少时#猪舍面积为 60 3*' 解!设矩形猪舍垂直于住房墙一边的长为 " 4$ 则平行于墙的一边的长为"$' +$" 1!# 4$ 由题意得 ""$' +$" 1!# )0"$化简得 "$ +!%" 1&" )"$ 解得 " ! )'$" $ )0$ 当 " )' 时$$( +$" )!( .!$"舍去#%当 " )0 时$$( +$" )!" /!$$符合题意$ 答!所围矩形猪舍的长为 !" 4$宽为 0 4时$面积为 0" 4$$ 2.6贰长和扇形面积 移镇点国心在5幅等临谢形行母发长 L2反比例南数的图象和性质 第1课的氨长 多晓重国的州长 有光把红色分虚相等的两闻分，记为虹，红：，列表怎下： 需 倒1.18+25) 倒2(13：2) 红 黄 第1课时反此例圆草=（任）的函单和作西 2 红（红，.红1江红，》（红，第》（红盖） LA2.A3.里4， 到银：由题号知24：心人6，，期一哥 33三棍附 发解：体品函台泪单略 菊1健时几阅体的三视图 红，C红，红1虹，红，（红.黄》 (红：.直) 兰。1国：一3引(m.答：模点A观开始到确事共老过的 值柱后2左挂右上下下动有边实国 放《黄.红)（税.L1 (首.黄1黄.葛 背2时…马2-3 路径大的是1 W线 倒1.C刚工主展用左视图薛视州例3解。 富告年，)（盘元1（蓝，黄1《言篮》 227<4时，径<x心 《立式1网 例4.智：区视围如解润所示： 共有16种等可绕的结果，能配或紫色的有4种结果， 3)背-【12且x0明，y(-奉邃y53 州土解：=，m®：如，中心虚我的长度有1m 上衡尼线第包的率为济一士人小字们要达不精 第2课时反比例的致)一（使）的图条和性西 0x￥2=30风0年1000n,蓉：中0电线的长度为(50+ 名礼需 100x)m 1G2A4支-10 第2课时扇伤面网 第2课时用树状图法求数率 重端点骑微中需士 翰说期 工等耳 简出这个丽数的圆象如解同： 例1解：由题意得，边C日灶的区城为扇形A忙'，，△4以和 第2课时由三视图还原U几何体 例1，解：)从有程里任意换出一个小球，上面的数字价好是 △4'G是等边三角形，且4，C,首三点在同一角直线上，则到1Ⅱ例1，G例3，A 了”的婚率为与 上01，帛后*径0m,￥…瑞x1m, 到4：该见楼是一个圆性在一—个长方棒上，以孩瓦月体 (21简特秋语虹解用 约约为34(2+2530360（1： 山相状图国知，具有9种等可间 m立CH过的K减面限对受， 儿刺停馆表积的为1.4D×D+1×(25×3地+3招×相+ 填果，其中再其记录的数字之 25x1￥76( 例1.知刚3.9至【变式 和为3的结果有2肿，4两武记和 第4章概率 米的单字之和为3的离布为号 工7正多地形'制 41阅视事作与可能性 1然爱生更一见不爱生 例之解：得这区卡片任意浮成一十位数，两树状丽格。 重造坐的角T3a-2)xr雪m6得6 (2引由图单可悦看出，写年>0时.函数手，慎千0 例1.H 六出前位黄有456，粉5,5转，4,45,4其6种等可健 第3螺时反比心例稻数压和性质的综合运用 例1.21 到3(1)本可密1》必然(5)请2(4191)(41答室 编结果，北中4场4价54454是2的售数其4种，六层品的 例高解：()先场回)的内接正六边形，再在正六边电的基储上 不罪一小 三位数是2伯国数阳数素P音一子 Ln2AaN4-号 远样不阳第岭三个童点，颗太连信，厚填作F三角形如解用：到3(1)男42 43用顿书估计概率 解()比数的表些式为。0、一次教的 1.△F是⊙0的内模三角我 42概米及其计算 工大量重复1甲 42.1极率的暨意 表选式为方=事+6： 例1Ⅱ剑3G9例314例4I0 1g1a00 例1醉：1) 2由图象可得不污式宁+约南美为46≤-上： 制1.①例2子的3与 (1行一武场数：“+6与轴奖7点C,六点(-6,0，血 斜4日 (?这种便法是蜡到峰，理出虹下： 在如成碱前中，4制下的期本为人术不堂说附4解下这 (11期得别-24.心△春的国阳为了x64-2 42.2用列竿法求图率 塘1时先别表法求气室 1.3反比制两数的碳同 解图2 事件发生的周率为。耳有当试象的总众数浪大时，才能用 ()先腾圆的内接上方形，再在正方形的林璃上用直尺和国健 1科2 付件发生.的展率结计智成的事件发生的短米 1D3照案经商AF2NA-空a@ 登别作与正.方形相保两边承直的直是，甲国作正人边思篷解 图2.A边甲W.T城是⊙小的内核正人边用 三解：1n关子：的函数表达成为r,四 例2.解：1)精材维B约成色扇形分利记为真：，葛：，列表始下： 州351室式1H 课常10分钟 (2引当小代车创通行轮的通度为闭h.都=0m:.在 第3章投影与视阳 中，令t-M,厚修9.新1-2支都小车列速 3.1投岁 红 (红，在)杠.蓝1红.盛1 甲®店面 行驶的迷度为和1A时.从乙袁高性甲恤害要25小 授影投线了影有体的投影 平行无候 黄（黄，红）真.能：)（成.售： 第1章反比例函数 一点平投题华自 第2章一元二次方程 有面红)数，丝)数，独1 1.D制2D 1.1反比例两数 21一元二次方限 例3.解)解酒：(2)如师2：(3引解酒1 山表甲知，共有9件等可能的结果，其中性尼减转色的有3种 1北24点目4=54 1p2c1A4-15山w 结果小儿胜配境专色》名 2 ☑ 解(11行程整理用工+5行-6=0.为程是一元二代方程，文 (2)公平，理山如下：：共有9静等可使的娃果，其中两个转盘 。解1关于的属徽表造式为一 爽系直.一次项系数相常数液分州是15，一6： 解四1 解县1 解国3 结品月额色的有3种特果，六小是阳票了以P(红 (2这十而数的比例系数为3，自变量的取值程国为 (2}为程要现限-3：44=0，方程是一元代方登。 3.2宜棱桂.料用的测面，开图 3y4代人得一}一嘴4时自交 备数，一次液系数加度置顶分帆是【，一1,4： 夏公共业2平行1图香是.后例衡石承直 ,八能配成聚色)=了，小红隔)P(小毫系，风 (31(3x-2)产m33n-57,9-1244=0 乙边数正家诗参9知爸D底直期长Ⅱ到楼长（商》 比.这个容线对拔方是公平的 量：翰值为一士 2山+4-：2+5：=0，：+40.程木是一元武 警考爸案 2.2一元二次方程的解法 支解：12-4-1=0，-4=14+4=1+4，s-1=5, 塘3课时相似三角形的判定定理 2.21配方法 3-3。士5.解得，】+511-5： 2士方子宁子解得一 Ln2D3341:1 男1课时利用卒方根的意义解一元二次方程 2源程可化为1◆15=9.厚（年+1门产=《±3）5.+1= 1420144-15932子 +),解得4=1与三- +h+10.7年1Ag3m￥1,5-eT-41×e y上.∠Ww,△C△w.∠N=∠CH 长期(1由第为夜.群=5，=5==3： 5.161。-1适，解得- 3,1,2成比例性2 画4课时相和三尾形的料足定理3 2-16-17-号4- 1C2DA2.513 124 4.解：△A0E理庙如下：号在8AnC中，8m25,面 1392-5)5-月-0,2(0-5产=8.(4-5》=44 5t2.3=±1+51=3，为7： 需-9=4年-月.a+3x-制-4s-力=l,s-1a+3 反解已面：d,d是比例线段，梨据比例线段的定义得.亡一 0,±a,在△0e中，城2，=5，证=4常 4)开平方02升=43(-2.新得=学4一号 4)=6,2有-3=0或1-1=0.解得-，=3,3，= 第2国时配方法一二安项系球为1 2.3一元二次方程根的判则式 5密明上W-0>,=增=m=D=,AB=2, 18213441152÷4-子&7 1.A1D3-1暮第不-）45-2=，=4 解特：号一视最d的长为号一 3Abp面，B=之A信=：A指=B:和=：1。 61)世4(-3)-4×4-1■25>0，.程个不 k都11-24-1=6,32-2x=2.2山+1=2+1，m 妇等的实数限： 6解：tnm,x-2m,4m,G-,w A△限4 1方.州以-1a5,解得4=1+3，与=1-不： 342相似三角形的性质 (2:点。-2)■4年1￥2=◆，，为W有两个相等的实 4 I n 6I AW R'c (2)1-6-3=0,x°-rm3,x-6每+9m12.E-3m2, 第1时相似三角形的性属（高，角平分线，中线） 数根： 民t-3年±25，解得为5+23，为3-23： L H 2 C X B 4 5 T5 (3)将力程蒙理得：1向+红+3=0，？=-4=1h”1■ G是此州线程 13)r-年-2=0，x-6e▣2，E-4+6▣2+1h,(4-41 5解：1》解国所不：△ -w<0,本程校有实数层 32线分线段成比例 18.所以E-4=±32解得1=4+32，=4-3,2 △F,A=,∠E=而∠B 24一元二次方程的根与系数的美系 题3时配方法 一二灾项系数不为引 1.6210人22444-7 1.D2G31 2F=180-0-7◆04 5解：1：关于的一元二众方程1+2山-《厘-2山山有实数 4614-3”*2 (2)△A面和△DEF的相宝比为A行 根，=矿=421-41--2)】=4m-40，解 2-1… n=I 3)若A标，W分州为△程△F的育，周4州-2：1： 301-18-14-2不-2 2四■1，，+与”2，…”3，将3=1代人眼为程，周 3.3相图形 (4)若在84C中，∠E的平计找的长为..■在△磷7中 1+1-(m-2]0,刺间m5 222公置活 I D 2 B A D A C 25一元二次方程的应用 2F蜂半分钱的长为宁 1.C2.A人C432+年+1■0 sa0a0C黑-提-号高-子，邦得，04- 第2课时相似三角形的性圆《（面积，周长） 5红-2n331朝2号 第1误时平均变化率、销售相想间问题 1.B1B3 香.AW=4+m4+车=0A0,n的装分域为泰，瓜 LC1C3(1)32m2)30420524 长相：4一宁 4解：1y与4之4的函监无系式为于玉0+0： 直解：由题夏，得乙伊=4Bn5,1N=+3,'= (2)根k题意得，(00-0-x)(r+0)=5250,数理得 5之==m∠少的度数为1，的长 返解e4B,,上8∠E,人4度么e,是 2“3, -+1说=，解得，与“5，与9，答：育贸公同图趣衣利 2. 5250元，州这种干桌司千克降价5元减2S元 度为5m 22.3因式分解法 第2课时几网间题 3.4相风三角感的判定与惟质 3,5相复三角形的晚周 第1保时因式分解陆解一元二双方程 1. 3.4.1相他三角形的判定 1A2CA04 1.B2.1-8=0 玉(1)限用形南积一路离积▣章计宝 须1课时利同军行线判定三尾形相 互解：老线从点A出发是学商镜反则列点(，六4W 2x2年-口·2+24,2-2x213肚1m14发sm-11n1△0F△A121249 ∠CB,Y1即.D10,4L4即·∠0=0 {1)年+ax-4}0s+aa04-4=0-a4 (宽反为F数.整含去)深，14m )44a】0-4a 5解边用A印是平万四边带， 5.2-2红-器=0（答案一） .ADIC.AnCO. 4解：矩不眉含缓直干作房培一过的长为3n,则平行于墙的 答：该占城墙印的高度为？梯 长据（由眼方程，得主，2=0线1-3▣0，解卧，= 六周中框创层角形有：△0一AFC,4ENM点E4 -道的长为(5-4+11，由意得415-2：+11e期，化 △N△FX,△即△54.△FEX,AE 36位但 阿得子-3+0=0，解得5，k年5时，场-2山■ △C. 第1课时值习形的短象、性及圈法 (292x-103-2-1,4占-1)-(2-11=0，(24-1》424 价≥12[价去》：当=8时，26一1山=012.符价测章荐：所 第2课相三角形的定定程 1(1×(21W3)V(4}x(5)X24 1-1)0.(2-1)(2出-21=0,2：-10减2：-1mQ解得 国和形蜡舍的长为川宽为书面时，积为和 1155 5 第3章图形的相似 J)gx-7在-1=0a+1)(-81=0,期x41=0成 3.1比例钱段 在△和△n中，n=P,CG∠Pm,△A 爷=9，解得，=-1，=5. 3.1.1比例的基本性质 △ 第2潭时用适当的方法解一元二观方程 1.D 1A26玉4三名25爷第不w一 又，1+2■0,4A2,.△△g 朝学师位正（2，一2=±3， 2.解.-15 :以5=5=6，照=号 是AC,便 师2课时平看直免坐标系中的拉似 L02D3(-3,=3,114=84}减8，=4 公害爸案