九年级下册 第2章 圆-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（湘教版）广西专版

吃透教材!九下!第 &章 (#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# ! # " > #!!"圆的对称性 教材知识梳理 圆的 定义 ""#圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形!这个 ! !定点!叫作圆心! " !定长!叫作半径!!圆心确定位置"半径确定大小# "&#点与圆的位置关系!设 / 1的半径为5!点.到圆心的距离1.*3!则' ! 点.在圆内 0 3 =5$ " 点.在圆上 0 3 # ! , ! 5$ # 点.在圆外 0 3 55 与圆 有关 的概 念 弦!连接圆上任意两点的线段叫作 $ ! "弦!!如图中的 +,!+/!经 过圆心的弦叫作 % !直径!!如图中的+- 弧!圆上任意两点间的部分叫作圆弧!简称弧! ""#圆上点+!,间 & !小于半圆!的部分叫作劣弧!记作 ) +,$ "&#圆上点+!,间 ' !大于半圆!的部分叫作优弧!记作 ) +/, 等圆和等弧!能够 ( !重合!的两个圆叫作等圆!能够互相重合的弧叫作等弧 圆的 基本 性质 对称性!""#圆是中心对称图形! . !圆心!是它的对称中心$ "&#圆是轴对称图形!任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴! &温馨提示'圆绕圆心旋转任意角度"都能与自身重合"即圆具有旋转不变性 教材经典母题变式 教材母题 ! 圆的相关概念 例 "!"教材 './ 练习 )" 变式#下列说法' ! 弦是直径$ " 半圆是弧$ # 过圆心的线段是直 径$ $ 圆心相同&半径相同的两个圆是同心圆!其中错误的有 "!!# 8<" 个 9<& 个 :<( 个 ;<. 个 例 &!"教材'./ 习题). 变式#如图!在四边形+,-2中! ( +* ( -*>%:!求证'+!,!-!2四 个点在同一个圆上! 证明!如解图%连接,-%取,-的中点.%连接.)%.*! 5 ( ,)-, ( ,*-,/+:%.,,.-%4.),.,,.-,.*% 4)%,%*%-四个点在同一个圆上! 吃透教材!九下!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# ($" &方法指导'"!圆中易混淆的基本概念$!"#弦与直径$ ! 直径是弦"是圆中最长的弦"但弦不一定是 直径% " 弦是连接圆上任意两点的线段"直径是经过圆心的弦! !&#弧(半圆和等弧$ ! 半圆是弧"半圆既不是优弧也不是劣弧% " 长度相等的弧不一定是等弧! &!用定义证明几个点在同一个圆上的方法$只要证明这几个点到定点的距离相等即可! 教材母题 " 点与圆的位置关系 例 (!"教材'./ 习题)( 变式#如图!已知矩形+,-2的边+,*(!+2*.!B是,-的中点! 以点+为圆心!. 为半径作 / +!则点,!-!2!B与 / +的位置关系如何% 解!5),,' 1$%)-,$%)*, '# *$槡 # ,% -$%)9, ), # *,9槡 # , ' # *#槡 # ,槡!' 1$% 4点,在 / )内%点*在 / )外%点-在 / )上%点9在 / )内! 教材母题 & 圆的对称性 例 .!"教材'./ 习题)& 变式#下列命题中!正确的是 "!!# 8<圆只有一条对称轴 9<圆的对称轴不止一条!但只有有限条 :<圆有无数条对称轴!每条直径都是它的对称轴 ;<圆有无数条对称轴!每条直径所在的直线都是它的对称轴 &温馨提示'因为对称轴是直线"而直径是线段"所以不能说圆的直径是圆的对称轴! 易错剖析 易错点"点的位置考虑不全面而出错 例 +!在 / 1中!点+到 / 1的最小距离为 (!最大距离是 ">!那么 / 1的半径为! !! 或 )!! 易错提醒 当已知点和圆的最小!大#距离"且题中无图时"需要分两种情况进行分类讨论$!"#点 在圆内%!&#点在圆外! 吃透教材!九下!第 &章 (%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# #!#"圆心角!圆周角 "!"!! ;<7 教材知识梳理 !!圆心角!顶点在 ! !圆心!!角的两边与圆相交!这样的角叫作圆心角! #!圆心角(弧和弦之间的关系!在同圆中!如果圆心角相等!那么它 们所对的 " ! "弧!相等!所对的 # ! "弦!也相等! 推论!在同圆或等圆中!如果两个圆心角&两条弧和两条弦中有一 组量相等!那么它们所对应的其余各组量都分别 $ !相等!! &温馨提示'在讨论圆心角(弧和弦的关系时"一定不要忽略&在同圆或等圆中'的前提条件! 教材经典母题变式 教材母题 ! 圆心角的定义 例 "!"教材'+& 练习)" 变式#下面四个图形中的角!是圆心角的是 "!!# 教材母题 " 圆心角%弧和弦之间的关系 例 &!"教材'.0 动脑筋变式#如图! # +,-为等边三角形!以 +,为直径的 / 1分别交 +-! ,-于点2!B!求证' ) +2* ) 2B* ) B,! 证明!如解图%连接.-%.9% 5 # ),*为等边三角形%4 ( ), ( ,,(+:% 又5.),.-%.,,.9%4 # ).-和 # .,9都是等边三角形% 4 ( ).-, ( ,.9,(+:%4 ( -.9,(+:% 4 ( ).-, ( -.9, ( ,.9%4 ) )-, ) -9, ) 9,! &方法总结'圆心角(弧(弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝! 易错剖析 易错点"对圆心角"弧和弦的关系理解有误而出错 例 (!如图!在 / 1中!若 ) +,*& ) -2!则线段+,与-2的大小关系为 "!!# 8<+,*&-2 9<+,=&-2 :<+,5&-2 ;<无法确定 易错提醒 &在同圆或等圆中"相等的圆心角 0 等弧 0 等弦'只存在于&单倍相等'关系"&多倍'时" 结论不成立!本题可结合&两点之间线段最短'求解! 吃透教材!九下!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# (&" "!"!" ;=7 第 " 课时!圆周角定理及推论 " 教材知识梳理 !!圆周角的定义!顶点在 ! !圆上!!两边都与圆相交!这样的角叫作圆周角! #!圆周角定理及其推论 ""#圆周角定理!圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 " !一半!! "&#推论 "!在同圆!或等圆#中!同弧或等弧所对的圆周角相等$相等的圆周角所对的 # ! "弧!也相等! 教材经典母题变式 教材母题 ! 认识圆周角 例 "!"教材'+" 动脑筋变式#如图!在图中标出的 ( " Q ( + 这+ 个角中! ) +2所对的圆周角是 "!!# 8< ( + 9< ( " 和 ( & :< ( ( 和 ( . ;< ( " 和 ( ( &温馨提示'圆周角必须具备两个条件$!"#顶点在圆上%!&#两边都与圆相交!二者缺一不可! 教材母题 " 圆周角定理 例 &!"教材'+& 例 & 变式#如图!在 / 1中! ( +1-*".%:! ( +-,*+%:!求 ( ,+-的度数! 解!5 ( )*,,%+:%4 ( ).,,# ( )*,,!++:% 4 ( ,.*, ( ).*0 ( ).,,!$+:0!++:,$+:% 4 ( ,)*, ! # ( ,.*,#+:! &方法指导'解决圆周角相关问题"关键是找出弧所对应的圆周角和圆心角"将各角度联系起来"再 应用圆周角定理求解! 教材母题 & 圆周角定理的推论! 例 (!"教材'+& 练习)& 变式#如图!在 / 1中!点+为 ) -2的中点! ( +,-*(%:!则 ( -+2的 度数是 "!!# 8<".%R 9<"(%R :<"&%R ;<""%R 吃透教材!九下!第 &章 ('" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!圆周角定理的推论 & 及圆内接四边形 教材知识梳理 !!圆周角定理的推论&!直径所对的圆周角是 ! !直角!$>%:的圆周角所对的弦是 " !直径!! #!圆内接四边形!如图!+!,!-!2是 / 1上的四点!顺次连接 +!,!-!2四点!得到四边形 +,-2!我们把四边形+,-2称为圆内接四边形! / 1叫作这个四边形的 # !外接圆!! '!圆内接四边形的性质!圆内接四边形的对角 $ !互补!! &拓展'圆内接四边形的任何一个外角都 % !!!!它的内对角! 教材经典母题变式 教材母题 ! 圆周角定理的推论" 例 "!"教材'+. 例 ( 变式#如图!+,是 / 1的直径!-B平分 ( ,-+!则 ( +,B的度数为 "!!# 8<.%: 9<.+: :<++: ;<(%: &方法总结'一般地"如果题目中有直径出现"常作辅助线构造直径所对的圆周角,直角%当圆中要 证明垂直或得到 >%:的角时"常作出直径!常见的辅助线作法有$ 教材母题 " 圆内接四边形 例 &!"教材 '++ 例 . 变式#如图!四边形 +,-2为 / 1的内接四边形! ( ,-2*"&%:!则 ( ,12的大小为! !#+: !! 吃透教材!九下!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# ((" 例 (!"教材'+0 习题)1 变式#如图!在 / 1的内接四边形+,-2中!+,*+2! ( -*"%%:!若 点B在 ) +2上!求 ( B的度数! 解!如解图%连接,-% 5四边形),*-是 / .的内接四边形% 4 ( ** ( ,)-,!)+:% 4 ( ,)-,!)+:0!++:,)+:% 5),,)-% 4 ( ),-, ( )-,% 4 ( ),-, ! # 6"!)+:0 ( ,)-# ,%+:% 5四边形),-9是 / .的内接四边形% 4 ( 9* ( ),-,!)+:% 4 ( 9,!)+:0%+:,!'+:! &方法指导'若题图中有多条弦"可通过作辅助线构造多个圆内接四边形"通过多次使用圆周角定 理和圆内接四边形的性质"联立未知角和已知角之间的等量关系! 易错剖析 易错点"忽略弦所对的圆周角不唯一而出错 例 .!半径长为 7的 / 1中!有一条弦+,的长为槡&7!求弦+,所对的圆周角度数! 解!如解图%弦),所对的圆周角有两类%分别在),上下两侧的圆周上%如 ( *和 ( -! 5.),.,,4%),,槡#4% 4.) # *., # ,#4 # %), # ,#4 # % 4.) # *., # ,), # % 4 # ).,是直角三角形% 4 ( .,/+:% 4 ( *, ! # ( .,$%:% 5四边形)-,*是圆内接四边形% 4 ( -* ( *,!)+:% 4 ( -,!'%:% 4弦),所对的圆周角度数等于 $%:或 !'%:! 易错提醒 求已知弦所对的圆周角"若未给出题图"需对弦所对的圆周角在弦两侧分类讨论! 吃透教材!九下!第 &章 ()" 众相原创 分层练!广西数学"#$# & #!'"垂径定理 教材知识梳理 垂径定理!垂直于弦的直径 ! !平分!弦!并且 " !平分!弦所对的两条弧! &知识拓展'"!五个条件$!"#过圆心%!&#垂直于弦%!(#平分弦%!.#平分弦所对的优弧%!+#平分弦 所对的劣弧!满足其中任两个"必定同时满足另外三个"即&知二推三'! &!圆的两条平行弦所夹的弧 # !!!!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 垂径定理 例 "!"教材'+1 动脑筋变式#如图!在 / 1中!+,为弦!直径2B + +,于点-!连接B+!B,! 则图中存在的相等关系有! )*,,*% ) )-, ) ,-"答案不唯一#!!写出两组即可#! 例 &!"教材'+> 例 " 变式#如图!-2是 / 1的直径!弦+, + -2!垂足为/!若-/*1!2/* "&!则+,* "!!# 8<.槡( 9<1槡& :<1槡/ ;<.槡/ &方法总结'与垂径定理有关的常见解题方法$!"#常用的辅助线作法$ ! 连半径% " 过圆心向弦作 垂线%!&#解题的关键是构造直角三角形"利用垂径定理和勾股定理求解! 例 (!"教材'/% 习题)" 变式#如图!在以点1为圆心!半径不同的两个圆中!大圆和小圆的 半径分别为 / 和 .!大圆的弦+,交小圆于点-!2!若+-*(!则-2的长为!!!!! 教材母题 " 垂径定理的应用 例 .!"教材'/% 习题)" 变式#如图 " 所示!圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔 断!既美观又实用!彰显出中国元素的韵味!图 & 是一款拱门屏风的示意图!其中拱门屏 吃透教材!九下!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# (*" 风最下端+,*"1 分米!-为 +,的中点!2为拱门最高点!圆心 1在线段 -2上!-2* &0 分米!求拱门屏风所在圆的半径! 图 " !!! 图 & 解!如解图%连接).% 5*-过圆心%*为),的中点% 4*- + ),% 5),,!) 分米%*为),的中点% 4)*,,*,/ 分米% 设圆的半径为 '分米%则.),.-,'分米% 5*-,#& 分米%4.*,#& 0'"分米#% 在?= # .)*中%)*# *.*# ,.)#% 4/ # *"#& 0'# # ,' # % 4' ,!%! 答!拱门屏风所在圆的半径是 !% 分米! &方法总结'"!垂径定理中的四个变量$如图"设弦长为 ("圆心到弦的距离为 3"半 径为5"弦所对的劣弧的中点到弦的距离为 '"若知道这四个变量中的任意两个"即 可求出另外两个! &!两个关系式$! ( & # & -3 & *5 & "' -3 *5! 易错剖析 易错点"无图时!未分情况讨论弦的位置而出错 例 +!"&%&( 南宁青秀区期末# / 1的半径为 "( D2!+,!-2是 / 1的两条弦!+, ) -2!+,* &. D2!-2*"% D2!则+,和-2之间的距离为! & 7.或 !& 7.!! 易错提醒 若在同一个圆中存在两条平行的弦"需分类讨论两条弦在圆心同侧和在圆心异侧两种 情况! 吃透教材!九下!第 &章 )+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# #!$"过不共线三点作圆 教材知识梳理 !!圆的确定!过 ! !不在同一直线上!的三个点可以作一个圆!且只可以作一个圆! #!三角形的外接圆和外心!经过三角形各 " !顶点!的圆叫作这个三角形的外接圆!外接圆 的圆心叫作这个三角形的 # !外心!!这个三角形叫作这个圆的内接三角形! &温馨提示'三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点"即外心到三角形三个顶点的距离相 等!!画图时可画出其中任意两边的垂直平分线"其交点即为外心# 教材经典母题变式 教材母题 ! 过不共线的三点作圆 例 "!"教材'/( 练习)& 变式#小明家的圆形玻璃打碎了!其中三块碎片如图所示!为了配 到与原来大小一样的圆形玻璃!小明应带到商店去的一块碎片是 "!!# 8< ! 9< " :< # ;<均不可能 例 " 题图 !!!!! 例 & 题图 &方法指导'由圆上某部分可以还原圆的关键是"此部分至少有三个不共线的点在圆周上! 例 &!如图!在平面直角坐标系#1"中!点+!,!-的横&纵坐标都为整数!过这三个点作一条 圆弧!则此圆弧的圆心坐标为! "#%!# !! 教材母题 " 圆的内接三角形 例 (!"教材'/( 习题)( 变式#如图!在 # +,-中!+,*+-*"%!,-*"&! ""#用尺规作出 # +,-的外接圆$!不写作法"保留作图痕迹# "&#求 # +,-的外接圆的半径! &归纳总结'锐角三角形的外心在圆内%直角三角形的外心是斜边中点"半径等于斜边长的一半%钝 角三角形的外心在圆外! 吃透教材!九下!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# )!" #!%"直线与圆的位置关系 "!(!! >2?;,@ABC 教材知识梳理 直线和圆的位置关系 相交 ! !相切! 相离 图示 圆心到直线的距离 3与半径5的关系 3 " ! 1 ! 5 3 # ! , ! 5 3 55 公共点个数 $ ! 1 ! " % ! 1 ! 直线名称 割线 & !切线! 9 公共点名称 交点 ' !切点! 9 教材经典母题变式 教材母题 直线与圆的位置关系 例 "!"教材'/+ 例 " 变式#已知HI # +,-的斜边+,*/ D2!直角边+-*( D2! ""#以-为圆心!以 & D2长为半径的圆和+,的位置关系是!相离!$ "&#以-为圆心!以 . D2长为半径的圆和+,的位置关系是!相交!$ "(#以-为圆心!以!!!!长为半径的圆和+,的位置关系是相切! &变式 "'如图!两个同心圆!大圆的半径为 +!小圆的半径为 (!若大圆的弦 +,与小圆有公共点!则弦+,的取值范围是! ) $ ), $ !+ !! &变式 &' 逆向思维设 / 1的半径为J!圆心1到直线@的距离为 3!若 3!J是 方程#& ,/#-**%的两根!则直线@与 / 1相切时!*的值为!!!!! 易错剖析 易错点"对直线与圆的位置关系中的#距离$理解不清而出错 例 &!"教材'/+ 练习)& 变式#已知 / 1的半径为 & D2!直线@上有一点.!1.*& D2!求直 线@与 / 1的位置关系! 解!B1.*& D2! / 1的半径5*& D2! ! A1.*5! " A圆心1到直线@的距离1.等于圆的半径! # A直线@与 / 1相切! $ ""#以上解题过程从第! % !步开始出错!错误的原因是 !$ "&#直线@与 / 1正确的位置关系是!相切或相交!! 易错提醒 直线与圆的位置关系中"直线到圆心的距离为圆心到直线的垂线段的长度"切勿混淆 概念! 吃透教材!九下!第 &章 )#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# "!(!" ;,D2 第 " 课时!切线的判定 教材知识梳理 切线的判定定理 数学语言 图示 经过半径的 ! !外端!并且 " !垂直! 于这条半径的直线是圆的切线! &温馨提示'两个条件"缺一不可! B1-为 / 1的半径!直线 +, + 1- 于点-! A直线+,与 / 1相切!切点为-! 教材经典母题变式 教材母题 切线的判定 例 "!"教材 '/1 例 ( 变式#如图!+,是 / 1的直径!-!2是圆上两点!且有 ) -2* ) ,2!连接 +2!+-!作2B + +-交+-的延长线于点B!求证'2B是 / 1的切线! 证明!如解图%连接.-% 5 ) *-, ) ,-%4 ( *)-, ( ,)-% 5.),.-%4 ( .)-, ( .-)% 4 ( *)-, ( .-)%4)9 ) .-% 4 ( 9* ( .-9,/+:% 5-9 + )*%4 ( 9,/+:% 4 ( .-9,!)+:0 ( 9,/+:%4.- + 9-% 5.-是 / .的半径%4-9是 / .的切线! 例 &!如图!.是 ( ,+-的平分线上一点!.2 + +-!垂足为2!+,与以点.为圆心&.2长为 半径的圆相切吗% 请说明理由! 解!),与以点7为圆心(7-长为半径的圆相切!理由如下! 过点7作79 + ),于点9%如解图% 57是 ( ,)*的平分线上一点%7- + )*于点-%79 + ),于点9% 479,7-%4),与以点7为圆心(7-长为半径的圆相切! &方法总结'!"#判定切线的常见辅助线作法$ ! 已知切点时"连半径"证垂直% " 切点不确定时"作 垂直"证半径! !&#三种判定方法$ ! 定义法$证明直线与圆有唯一交点% " 求值法 % 证 3 *5% # 判定定理! 吃透教材!九下!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# )$" 第 & 课时!切线的性质 教材知识梳理 切线的性质定理 数学语言 图示 圆的切线 ! !垂直!于过 " !切点!的半径! B1-为 / 1的半径!直线 +,与 / 1相切于点-! A直线+, + 1-于点-! &归纳'切线的性质有三个$ !"#定义$与圆只有 # !!!!公共点% !&#数量关系$圆心到切线的距离等于 $ !!!!% !(#性质定理! 教材经典母题变式 教材母题 切线的性质 例 "!"教材'/0 练习)& 变式#如图!+-是 / 1的切线!,为切点!连接1+!1-!若 ( +*(%:! +,*1-*&槡(!则,-的长是 "!!# 8<( 9<&槡& :<&槡( ;<. &方法总结'已知切线时"常见的辅助线作法$见切点"连半径"得垂直!当求线段长时"常在直角三 角形中利用勾股定理求解! 例 &!"教材'/> 练习)& 变式#如图!,2是 / 1的直径!,+是 / 1的弦!过点+的切线交,2 的延长线于点-!+,*+-!连接1+!+2!求证' # +-1 1# +,2! 证明!5,-是 / .的直径% 4 ( -),,/+:! 5)*是 / .的切线% 4 ( .)*,/+:! 4 ( *)., ( ,)-! 5),,)*% 4 ( ,, ( *! 在 # )*.和 # ),-中% ( *, ( ,% )*,),% ( *)., ( ,)- { % 4 # )*. 1# ),-"EIE#! 吃透教材!九下!第 &章 )%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# E "!(!& D2F:G 教材知识梳理 !!切线长!经过 ! !圆外!一点作圆的切线!这点和切点之间线段的长!叫作这点到圆的切 线长! &温馨提示'切线和切线长的区别$切线是直线"无法度量%切线长是切线上一条线段的长"即圆外 一点与切点之间的距离"可以度量! #!切线长定理!过圆外一点所作的圆的两条切线长 " !相等!!圆心和这一点的连线 # !平 分!两条切线的夹角! &温馨提示'经过圆上一点作圆的切线"有且只有一条"过切点的半径垂直于这条切线%经过圆外一 点作圆的切线"有两条"这点和两个切点所连的两条线段相等! 教材经典母题变式 教材母题 切线长和切线长定理 例 "!"教材'0& 练习)" 变式#如图!.+!.,分别与 / 1相切于点+! ,!点-为 ) +,上的点!过点 -的切线分别交 .+!.,于点 /!0!若 .+*1!则 # ./0的周长为! !( !! 例 &!"教材'0" 例 + 变式#如图!.+!.,是 / 1的切线!+!,为切点! +-是 / 1的直径! ( ,+-*&+:!求 ( .+,和 ( .的度数! 解!57)是 / .的切线%4.) + 7)%4 ( 7).,/+:% 5 ( ,)*,#%:%4 ( 7),,/+:0#%:,(%:% 57)%7,是 / .的切线%47),7,%4 ( 7,), ( 7),,(%:% 4 ( 7,!)+:0(%:0(%:,%+:! &方法总结'与切线长定理有关的常见结论$如图".+".,是 / 1的两条切线"则 图中包含的关系有$ ! 等腰 # .+,"等腰 # 1+,% " 1.平分 ( +1,".1平分 ( +.,% # 1+ + .+"1, + .,"1. + +,! &变式'如图!.+!.,是 / 1的两条切线!+!,为切点!直线 1.交 / 1 于点2!B!交+,于点-! ""#图中的垂直关系共有!!!!组!分别为 !$ "&#图中与 ( 1+-相等的角共有!!!!个!分别为! ( .,*% ( )7*% ( ,7* !$ "(#+-与,-的数量关系为! )*,,* !$ ".#图中的等腰三角形共有!!!!个!分别为 !! 吃透教材!九下!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# )&" "!(!' 678,HD; 教材知识梳理 !!三角形的内切圆!与三角形各边都 ! !相切!的圆叫作三角形的内切圆!内切圆的圆心叫 作三角形的内心!这个三角形叫作圆的外切三角形! #!三角形的内心!三角形的内心是这个三角形的三条 " !角平分线!的交点! &温馨提示'三角形的内心到三角形三条边的距离相等! '!三角形的外接圆与内切圆对比 定义 圆心 性质 角度关系 图形 三角形 的外 接圆 经过三角形 # !顶点! 的圆 外心'三条边 $ !垂直平分线! 的交点 三角形的外心到三 角形 % !三个顶点! 的距离相等 ( ,1-* & !# ! ( + 三角形 的内 切圆 与三角形各 边 都 相 切 的圆 内心'三条 ' ! 的交点 三角形的内心到三 角形 ( !三条边! 的距离相等 ( ,1-*>%:- . !# ! ( + 教材经典母题变式 教材母题 三角形内切圆和内心的相关计算 例 "!"教材'0/ 习题)1 变式#如图!有一块三角形材料!其中 ( +-,*>%:!+,*"%!+-*/! ""#现要从材料中裁剪一个最大的圆!请用直尺和圆规作出满足条件的圆$!要求保留作 图痕迹"不写作法# "&#求""#中所作圆的面积! 解!"!#如解图% / .为所作$ "##设?= # ),*的内切圆的半径为1% 5 ( )*,,/+:%),,!+%)*,(! 4,*, !+ # 0(槡 # ,)% 5$ # ),* , ! # 1+),* ! # 1+)** ! # 1+,*, ! # )*+,*% 41, )*+,* ),*)**,* ,#% 4?= # ),*的内切圆的面积为 & 1 # ,$ & ! 吃透教材!九下!第 &章 )'" 众相原创 分层练!广西数学"#$# &结论归纳'!"#如图" / 1是 # +,-的内切圆"点2"B"A是切点"则切线长与三 角形边长的关系为$+B*+A* +,-+-,,- & ",2*,A* +,-,-,+- & "-2* -B* +--,-,+, & ! !&#设HI # +,-的直角边为 (")"斜边为6"则HI # +,-的内切圆的半径5* ( -),6 & 或5* () ( -)-6 ! 例 &!"教材'0.例 /变式#如图!点1是 # +,-的内切圆的圆心!已知 ( +,-*+%:! ( +-,* 1%:!则 ( ,1-的度数是 "!!# 8<"%%: 9<""+: :<"&+: ;<"(%: &变式'如图! / 1内切于 # +,-!切点为2!B!A!若 ( +*0%:!连接1B!1A!2B!2A!则 ( B2A 的度数为! ""%% !:! 易错剖析 易错点"三角形内切圆中的惯性思维导致出错 例 (!如图! # +,-是一张周长为 "0 D2的三角形纸片!,-*+ D2! / 1是它的内切圆!小明 准备用剪刀在 / 1的右侧沿着与 / 1相切的任意一条直线 /0剪下 # +/0!则关于 # +/0的周长的说法正确的是 "!!# 8< # +/0的周长随直线/0位置的变化而变化 9< # +/0的周长与线段/0的长度有关 :< # +/0的周长为定值 ;< # +/0的周长无法确定 易错提醒 本题需结合切线长定理和三角形内切圆的性质求解"切勿由 /0是动直线的惯性思维 导致错选选项8! 吃透教材!九下!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# )(" #!("弧长和扇形面积 第 " 课时!弧长 教材知识梳理 弧长的计算公式!半径为5的圆中!7:的圆心角所对的弧长@* 7 (/% *& - 5* ! !!!!! &温馨提示'!"#应用弧长的计算公式时""1% 和 7 不带单位%!&#在弧长的计算公式中"已知 @"7"5 三个量中的任意两个量都可以求出第三个量! 教材经典母题变式 教材母题 弧长的计算 例 "!"教材'01 例 & 变式#如图!一块含有 (%:角的直角三角板 +,-!在水平桌面上绕点 - 按顺时针方向旋转到 # +?,?-?的位置!若+-*"+ D2!则顶点+从开始到结束共走过的路 径有多长% ! -' (!"."计算结果保留整数# 解!由题易知 ( )*,,(+:%4 ( )*)<,!#+:%则D, 4 & 1 !)+ , !#+ & 6!% !)+ ,!+ &' '!"7.#! 答!顶点)从开始到结束共走过的路径大约是 '! 7.! &变式'已知扇形的圆心角为 "&%:!弧长为 "& - D2!则扇形的半径为!!!!D2! 例 &!"教材'1" 习题)" 变式#制造弯形管道时!经常要先按中心线计算(展直长度)!再备 料!如图是一段管道!其中直管道部分+,的长为 ( %%% 22!弯形管道部分,-!-2弧的半 径都是 " %%% 22! ( 1* ( 1?*>%:!计算图中中心虚线的长度! 解!D, 4 & 1 !)+ , /+ & 6! +++ !)+ ,%++ & % 中心虚线的长度为 ' +++ *%++ & 6# ,' +++ *! +++ & ! 答!中心虚线的长度为"' +++ *! +++ & #..! &方法指导'运用弧长的计算公式解决实际问题$利用建模思想"把实际问题转化为数学问题"找到 所求弧所在的圆及圆心的位置"并求出弧所对的圆心角度数及半径"进而解决问题! 吃透教材!九下!第 &章 ))" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!扇形面积 教材知识梳理 !!扇形!圆的一条弧和经过这条弧的 ! !端点!的两条半径所围成的图形叫作扇形! #!扇形面积计算公式!半径为5的圆中!圆心角为 7:的扇形的面积为 &扇形 *"!!!!!由 于扇形的弧长@* # !!!!!因此 &扇形还可以表示为$!!!!! &温馨提示'扇形面积计算公式的选择$!"#当已知扇形的半径 5和圆心角度数 7:时"选用 & * % !!!!%!&#当已知扇形的半径5和扇形对应的弧长@时"选用 & * & !!!!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 扇形的面积 例 "!"教材'01 例 & 变式#如图!一个边长为 "% D2的等边三角形木板+,-在水平桌面上 绕顶点-按顺时针方向旋转到 # +?,?-的位置!求边+-扫过的区域面积! 解!由题意得%边)*扫过的区域为扇形)*)<% 5 # ),*和 # )<,<*是等边三角形%且 )%*%,<三点在同一条直线 上%则 ( )*)<,!#+:%扇形半径)*,!+ 7.% 4$, !#+ '(+ & 6!+ # , !++ ' & 7. # % 4边)*扫过的区域面积为 !++ ' & 7. # ! 例 &!"教材'0> 例 ( 变式#已知扇形的半径为 & D2!面积为 - D2 & !则该扇形的圆心角度数 为!!!!! 教材母题 " 与扇形有关的阴影部分的面积 例 (!"教材'1& 习题)0 变式#如图!在矩形+,-2中!+2*&+,*/!B为 ,-的中点!连接 +B!2B!以B为圆心!B,长为半径画弧!分别与+B!2B交于点/!0!则图中阴影部分的 面积为!!!!!!结果保留 - # 例 ( 题图 !!! 变式题图 &变式'如图!在矩形+,-2中!B为,-的中点!连接+B!2B! ( +B,* ( 2B-*.+:!以B为 圆心!B,长为半径画弧!分别与+B!2B交于点/!0!若图中阴影部分的面积为 . , - !则 ,-的长为!!!!! 吃透教材!九下!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# )*" #!&"正多边形与圆 教材知识梳理 !!正多边形!我们把各 ! ! "边!相等!各 " !内角!也相等的多边形叫作正多边形! #!正多边形的外接圆!将一个圆 7"7 " (#等分!依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆 的内接多边形!这个圆是这个正多边形的外接圆!正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形 的中心! &知识拓展'正多边形外接圆的相关概念$ 中心角 中心角度数为 # !!!! 内角 内角度数为 $ !!!! 外角 外角度数为 (/%: 7 !"#正 7边形的周长@*7(%正 7边形的面积 & * " & 7(5* " & @5% !&#边长(半径和边心距!中心到边的距离#的关系$! " & (# & -5 & *J & '!正多边形的对称性! ""#正 7边形都是轴对称图形!一个正 7边形共有 % !!!!条对称轴!每条对称轴都通 过正 7边形的中心$ "&#正 7 边形!7 是 & ! "偶!数#也是中心对称图形!它的对称中心是这个正多边形的 ' !中心!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 正多边形的相关概念 例 "!"教材'1( 说一说变式#以下说法正确的有! !% !!填序号#! ! 各角相等的圆内接多边形是正多边形$ " 各边相等的圆内接多边形是正多边形$ # 每个角都是 "%1:!且各边都相等的多边形是正五边形$ $ 正多边形都是轴对称图形!也都是中心对称图形! 吃透教材!九下!第 &章 *+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 教材母题 " 正多边形的相关作图 例 &!"教材'1+ 练习)" 变式#按要求作图!尺规作图"保留作图痕迹#' ""#在图 " 中画 / 1的内接正三角形$ "&#在图 & 中画 / 1的内接正八边形! 图 " !!!! 图 & 解!"!#先画 / .的内接正六边形%再在正六边形的基础上%选择不相邻的三个顶点%顺次连接% 即可作正三角形!如解图 !% # -,;是 / .的内接正三角形! "##先画圆的内接正方形%再在正方形的基础上用直尺和圆规分别作与正方形相邻两边垂直的 直径%即可作正八边形!如解图 #%八边形)A,;*>-9是 / .的内接正八边形! &方法指导'圆内接正多边形的画法$!"#量角器等分圆周作正多边形%!&#利用尺规作图结合垂直 平分线定理和正三角形性质作图!适用正方形"正六边形"正八边形等特殊图形#! 教材母题 & 正多边形与圆的有关计算 例 (!如图!工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽!现测得扳手的开口宽度)*( D2!则 螺帽边长 (等于!槡'!D2! &变式'如图!正六边形+,-2BA的中心为原点1!顶点,!B在#轴上!半径为 .!则顶点2的 坐标为 "!!# 8<"&!&槡(# 9<"&! ,&槡(# :<"&! ,.# ;<"&槡(! ,.# '+# 例 8!"*.&!#.'" ' 5&!"变式#"*.'!#.8" ' .'!例 +!4! 例 2!- 第 + 课时!二次函数!+$## 0&# 0'!$ ! -"的图象与性质 # 上! ! 下! " . + '% ! $ . + '% ! % 8%9.+ ' 8% ! ' 减小! ( 增大 ) 增大! * 减小! + 小! ,-. 大! ,-/ . + '% ! ,-0 8%9.+ ' 8% 例 (!"*!#.'" ' 5( 例 '!解!"*'#' .8#52 *'!#' .'#5(" .' 52 *'!#.(" ' 58# 故该二次函数图象的对称轴为直线#*(#)抛物线开口向上# ,当#*( 时#"有最小值为 8! 例 &!解!列表& # , - ( ' & 8 , " , + ; = ; + , 描点%连线可得抛物线略! !("#*'!!'#="!!'"! .(#-"#!+#-"和!-#+" !&" 9'! /'!!8"+ " # " = !+" .( 9#9- 或 8 9#9+ 例 8!. '& ' !"变式 (# .' "变式 '#解!!("二次函数的表达式为"*#' .&#58$ !'")点/!'#0"在二次函数 "*#' .&#58 的图象上#,0 * ' ' .&'58#,'50 *'5' ' .&'58 *' ' .''58 *!'. (" ' 5&#)% *( /-#,'50的最小值为 &! ' !!$"不共线三点确定二次函数的表达式 例 (!解!能!这个二次函数的表达式为"*#' 5'! 例 '!$!"变式#%!例 &!"*'#' .8#.2 或"*.'#' 58#52 !!%"二次函数与一元二次方程的联系 例 (!# ( *.(## ' *'!例 '!+/.(!例 &!(!1 或 -!& 例 8!解!!("设抛物线的表达式为"*%!#.'" ' 5&#把点(!;#-" 代入#得 - *&2% 5&#解得 % *. ( (' #,抛物线的表达式为 "* . ( (' !#.'" ' 5&$ !'"设平移后抛物线的表达式为 "*. ( (' !#5'" ' 5&#把点 !-#'!'+"代入得# . ( (' ' ' 5& *'!'+#整理得#'' *=#解得# '*&!舍去"或'*.&#,平移后抛物线的顶点坐标为!&#&"# ,抛物线应向右平移 ( 个单位! 例 +!解!!("由题意得#图象的顶点坐标为!'# .'"#设函数关系 式为 $ *%!?.'" ' .'!又)抛物线过点!-#-"#,8% .' *-# ,% * ( ' #,$与?之间的函数关系式为 $ * ( ' !?.'" ' .'$ !'"由题意得# ( ' !?.'" ' .' *&-#解得#? ( *(-#? ' *.2!不合题 意#舍去"!,截止到第 (-年末该企业累积利润可达到 &-亿元! 例 2!4!例 1!% !!&"二次函数的应用 第 ( 课时!建立二次函数模型解决实际问题 例 (!解!!("抛物线的解析式为"* 8 '8+ !#.&+" ' .'-$ !'" # 由题意得#离桥头最近的石柱离 "轴的距离为 1- = 5( * 1!米"#令#*1#则"* 8 '8+ :!1 .&+" ' .'- *.1!'#,离桥头 最近的石柱的长度为 1!' 米$ ! 令"*.(2!;#, .(2!; * 8 '8+ !#.&+" ' .'-!解得## ( *'(# # ' *8=#,这根石柱安放的位置距离桥头 '( 米或 8= 米! 例 '!"*. ' = !#.&槡&" ' 52 例 &!解!!(")抛物线的表达式为"*. ( 1' # ' 5 + ' #,对称轴为" 轴#顶点为!-# + ' "#,小石建立的直角坐标系如解图所示$ !'"排球能过球网!理由&)当 #*& 时#"*. ( 1' := 5 + ' * '!&1+ /'!'8#,排球能过球网! 第 ' 课时!几何图形面积与销售利润的最值问题 例 (!解!!(""与#的函数关系式为"*.'#' 58-#$ !'")"*.'# ' 58-#*.'!#.(-" ' 5'--#) .' 9-#,当#* (- 时#"取得最大值为 '--!答&当边 ()的长为 (- 3时#菜园 的面积最大#最大面积为 '-- 3'! 例 '!&-- 例 &!解!!(""*.+#5+-- !'"根据题意得 I*!#.8-""*!#.8-" ! .+#5+--" * .+!#.1-" ' 58 +--#令 I*8 ---#则 .+!#.1-" ' 58 +-- * 8 ---#解得## ( *2-## ' *;-!不合题意#舍去"#,降价为 ;- . 2- *'-!元"#答&当获得利润为 8 --- 元时#降价 '- 元$ !&"由!'"知I*.+!#.1-" ' 58 +--#) .+ 9-#,当 #*1- 时#I取最大值#且最大值为 8 +--#,当销售单价为 1- 元时# 每分钟获得的利润最大#最大利润是 8 +-- 元! ! # " G #!!"圆的对称性 # 定点! ! 定长! " *! $ 弦! % 直径! ' 小于半圆! ( 大于 半圆! ) 重合! * 圆心 例 (!% 例 '!证明!如解图#连接)1#取)1的中点.# 连接 .(# .*!) & )(1* & )*1*=-<# .)*.1#,.(*.)*.1*.*#,(#)#*# 1四个点在同一个圆上! 例 &!解!)()*& 98#(1*8#(** &' 58槡 ' * + /8#(2* () ' 5)2槡 ' * & ' 5'槡 ' *槡(& 98#,点 )在/( 内#点*在 / (外#点1在 / (上#点2在 / (内! 例 8!4!例 +!(( 或 ; #!#"圆心角#圆周角 #!#!! ?@; # 圆心! ! 弧! " 弦! $ 相等 例 (!4 例 '!证明!如解图#连接 .1#.2#) # ()*为等 边三角形#, & (* & )*2-<#又).(*.1# .)*.2#, # (.1和 # .)2都是等边三角 形#, & (.1* & ).2*2-<#, & 1.2*2-<# , & (.1* & 1.2* & ).2#, ) (1* ) 12* ) 2)! 例 &!$ #!#!# &?A; 第 ( 课时!圆周角定理及推论 ( # 圆上! ! 一半! " 弧 例 (!% 例 '!解!) & (*)*+-<#, & (.)*' & (*)*(--<#, & ).** & (.*. & (.)*(8-<.(--<*8-<#, & )(** ( ' & ).**'-<! 例 &!% 第 ' 课时!圆周角定理的推论 ' 及圆内接四边形 # 直角! ! 直径! " 外接圆! $ 互补! % 等于 例 (!$!例 '!('-< 例 &!解!如解图#连接 )1#)四边形 ()*1是 / .的内接四边形#, & *5 & )(1*(;-<# , & )(1*(;-<.(--<*;-<#)()*(1# , & ()1* & (1)#, & ()1* ( ' :!(;-<. & )(1" *+-<#)四边形()12是 / .的内接四边形#, & 25 & ()1*(;-<#, & 2*(;-<.+-<*(&-<! 例 8!解!如解图#弦()所对的圆周角有两类#分别在 ()上下两 侧的圆周上#如 & *和 & 1!).(*.)*0#()* 槡'0#,.( ' 5.) ' *'0 ' #() ' *'0 ' #,.( ' 5 .) ' *() ' #, # (.)是直角三角形#, & .* =-<#, & ** ( ' & .*8+<#)四边形 (1)*是圆 内接四边形#, & 15 & **(;-<#, & 1*(&+<#,弦 ()所对 的圆周角度数等于 8+<或 (&+<! ' #!$"垂径定理 # 平分! ! 平分! " 相等 例 (!(**)*# ) (1* ) )1!答案不唯一"!例 '!%!例 &! (( & 例 8!解!如解图#连接 (.#)*1过圆心#*为 ()的中点#,*1 ) ()#)()*(; 分米#*为 ()的中点#,(**)**= 分米#设圆的半径 为#分米#则.(*.1*#分米#)*1*'1 分 米#,.**'1 .#!分米"#在FG # .(*中#(*' 5 .* ' *.( ' #,= ' 5!'1 .#" ' *# ' #,#*(+!答&拱门屏风所在圆 的半径是 (+ 分米! 例 +!1 C3或 (1 C3 #!%"过不共线三点作圆 # 不在同一直线上! ! 顶点! " 外心 例 (!0!例 '!!'#(" 例 &!解!!("如解图所示# / .即为所求作$ !'"如解图#过点(作(1 ) )*于点 1# 连接.)#.1#.*#)()*(*#(1 ) )*# ,1为)*的中点!又).)*.*#,.1 ) )*#, (# 1# .三点共线# 则 (1* () ' .! ( ' )*"槡 ' * (- ' .2槡 ' *;#设 # ()*的外接圆的半径为=#则.1*=.;!))1' 5.1' *.)'# ,2 ' 5!=.;" ' *= ' #解得=* '+ 8 ! #!&"直线与圆的位置关系 #!%!! B7C?1DEFG # 相切! ! 9! " *! $ '! % -! ' 切线! ( 切点 例 (!!("相离!!'"相交!!&" &槡& ' C3!"变式 (#; " () " (-! "变式 '#= 例 '!!(" " !线段 ./的长不一定为圆心 .到直线 -的距离! !'"相切或相交 #!%!# ?1H7 第 ( 课时!切线的判定 # 外端! ! 垂直 例 (!证明!如解图#连接 .1# ) ) *1* ) )1# , & *(1* & )(1#).(*.1#, & .(1* & .1(#, & *(1* & .1(#,(2 * .1#, & 25 & .12*=-<# ) 12 ) (*# , & 2*=-<# , & .12*(;-<. & 2*=-<#,.1 ) 21# ).1是 / .的半径#,12是 / .的切线! 例 '!解!()与以点/为圆心%/1长为半 径的圆相切!理由如下&过点/作/2 ) ()于点2#如解图#)/是 & )(*的平 分线上一点#/1 ) (*于点 1#/2 ) () 于点2#,/2*/1#,()与以点 /为 圆心%/1长为半径的圆相切! 第 ' 课时!切线的性质 # 垂直! ! 切点! " 一个! $ 半径 例 (!$ 例 '!证明!))1是 / .的直径#, & 1()*=-<!)(*是 / .的 切线#, & .(**=-<!, & *(.* & )(1!)()*(*#, & )* & *!在 # (*.和 # ()1中# & ** & )# (**()# & *(.* & )(1 { # , # (*. , # ()1!0J0"! I #!%!$ H7J>K # 圆外! ! 相等! " 平分 例 (!(2 例 '!解!)/(是 / .的切线#,.( ) /(#, & /(.*=-<# ) & )(**'+<#, & /()*=-<.'+<*2+<#)/(#/)是 / .的 切线#,/(*/)#, & /)(* & /()*2+<#, & /*(;-<. 2+<.2+<*+-<! "变式#!("&!.( ) /(#.) ) /)#() ) /* !'"&! & .)*# & (/*# & )/* !&"(**)* !8"+! # ()/# # (.)# # (2)# # (.2# # ).2 #!%!& :;<1LH? # 相切! ! 角平分线! " 三个顶点! $ 垂直平分线! % 三个顶 点! ' '! ( 角平分线! ) 三条边! * ( ' 例 (!解!!("如解图# / .为所作$ !'"设 FG # ()*的内切圆的半径为 =# ) & (*)*=-<#()*(-#(**2!,)** (- ' .2槡 ' *;#)$ # ()* * ( ' =+()5 ( ' =+ (*5 ( ' =+)** ( ' (*+)*#,=* (*+)* ()5(*5)* *'#,FG # ()*的内切圆的面积为 & = ' *8 & ! 例 '!$!"变式#++!例 &! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % 参考答案 '"# ! #!'"弧长和扇形面积 第 ( 课时!弧长 # 0 & = (;- 例 (!解!由题易知 & (*)*2-<#, & (*(A*('-<#则 -* 0 & = (;- * ('- & :(+ (;- *(- &- &(!C3"!答&顶点(从开始到结束共走过的 路径大约是 &( C3! "变式#(; 例 '!解!-* 0 & = (;- * =- & :( --- (;- *+-- & #中心虚线的长度为 & --- 5 +-- & :' *& --- 5( --- & !答&中心虚线的长度为!& --- 5 ( --- & "33! 第 ' 课时!扇形面积 # 端点! ! 0 & = ' &2- ! " 0 & = (;- ! $ ( ' -=! % 0 & = ' &2- ! ' ( ' -= 例 (!解!由题意得#边 (*扫过的区域为扇形 (*(A#) # ()*和 # (A)A*是等边三角形#且 (#*#)A三点在同一条直线上#则 & (*(A*('-<#扇形半径 (**(- C3#, $ * ('- &2- & :(- ' * (-- & & C3 ' #,边(*扫过的区域面积为 (-- & & C3 ' ! 例 '!=-<!例 &!= . = & 8 !"变式#8 #!("正多边形与圆 # 边! ! 内角! " &2-< 0 ! $ !0 .'" :(;-< 0 ! % 0! ' 偶! ( 中心 例 (! !" 例 '!解!!("先画 / .的内接正六边形#再在正六边形的基础上# 选择不相邻的三个顶点#顺次连接#即可作正三角形!如解图 (# # 1)3是 / .的内接正三角形! 解图 ( !! 解图 ' !'"先画圆的内接正方形#再在正方形的基础上用直尺和圆规 分别作与正方形相邻两边垂直的直径#即可作正八边形!如解 图 '#八边形(B)3*812是 / .的内接正八边形! 例 &!槡&!"变式#$ ! $ " HI-J8 $!!"投影 # 投影! ! 投影线! " 投影面! $ 物体的投影! % 平行光线! ' 一点! ( 平行投影! ) 垂直 例 (!4!例 '!4 例 &!解!!("如解图 ($!!'"如解图 '$!!&"如解图 &! 解图 ( !!! 解图 ' !!! 解图 & $!#"直棱柱#圆锥的侧面展开图 # 公共边! ! 平行! " 底面! $ 矩形! % 侧面! ' 垂直 ( 边数! ) 正多边形! * 矩形! + 底面周长! ,-. 侧棱长!高"! ,-/ 顶点! ,-0 圆心! ,-1 顶点! ,-2 相等! ,-3 扇形! ,-4 母线长 ,-5 底面圆的周长 例 (!!(; 5'槡&"!例 '!!("&&!!'" &槡& ' $!$"三视图 第 ( 课时!几何体的三视图 # 前往后! ! 左往右! " 上往下! $ 下边! % 右边! ' 实线! ( 虚线 例 (!%!例 '!主视图!左视图!俯视图!例 &!略! 例 8!解!三视图如解图所示& 第 ' 课时!由三视图还原几何体 例 (!$!例 '!%!例 &!0 例 8!解!该几何体是一个圆柱放在一个长方体上面#所以该几何体 的体积约为 &!(8 :!'- D'"' :'- 5'+ :&- :8- *&2 ';-!33&"$该 几何体的表面积约为 &!(8 :'- :'- 5' :!'+ :&- 5&- :8- 5 '+ :8-" *1 (+2!33 ' "! ! % " KL %!!"随机事件与可能性 # 必然发生! ! 一定不发生 例 (!$ 例 '!!("不可能!!'"必然!!&";!'!!8"=!(!!&"!8"答案 不唯一" 例 &!!("黑!!'"8!' %!#"概率及其计算 &!#!! MN1MO # ' 0 ! ! (! " -! $ -! % ( 例 (! # !例 '! ' + !例 &! ( & !例 8!$ &!#!# PQR)SMN 第 ( 课时!用列表法求概率 # 两! ! ' 0 例 (!0 例 '!解!!("将转盘$的蓝色扇形分别记为蓝 ( #蓝 ' #列表如下& 红 蓝 ( 蓝 ' 红 !红#红" !红#蓝 ( " !红#蓝 ' " 黄 !黄#红" !黄#蓝 ( " !黄#蓝 ' " 蓝 !蓝#红" !蓝#蓝 ( " !蓝#蓝 ' " 由表可知#共有 = 种等可能的结果#其中能配成紫色的有 & 种 结果#,/!能配成紫色" * ( & $ !'"公平#理由如下&)共有 = 种等可能的结果#其中两个转盘 转出同种颜色的有 & 种结果#,/!小亮赢" * ( & #)/!小红 赢" */!能配成紫色" * ( & #,/!小红赢" */!小亮赢"#因 此#这个游戏对双方是公平的! 例 &!解!小华的想法不正确!理由如下& 首先把红色分成相等的两部分#记为红 ( #红 ' #列表如下& 红 ( 红 ' 黄 蓝 红 ( !红 ( #红 ( " !红 ( #红 ' " !红 ( #黄" !红 ( #蓝" 红 ' !红 ' #红 ( " !红 ' #红 ' " !红 ' #黄" !红 ' #蓝" 黄 !黄#红 ( " !黄#红 ' " !黄#黄" !黄#蓝" 蓝 !蓝#红 ( " !蓝#红 ' " !蓝#黄" !蓝#蓝" 共有 (2 种等可能的结果#能配成紫色的有 8 种结果# ,能配成紫色的概率为 8 (2 * ( 8 #,小华的想法不正确! 例 8! & (2 !例 +! ' & 第 ' 课时!用树状图法求概率 # 等可能 例 (!解!!("从布袋里任意摸出一个小球#上面的数字恰好是 '&(的概率为 ( & $ !'"画树状图如解图& 由树状图可知#共有 = 种等可能 的结果#其中两次记录的数字之 和为 & 的结果有 ' 种#,两次记 录的数字之和为 & 的概率为 ' = ! 例 '!解!将这三张卡片任意摆成一个三位数#画树状图略! ,摆出的三位数有 8+2#82+#+82#+28#28+#2+8 共 2 种等可能 的结果#其中 8+2#+82#+28#2+8 是 ' 的倍数共 8 种#,摆出的 三位数是 ' 的倍数的概率/* 8 2 * ' & ! %!$"用频率估计概率 # 大量重复! ! 4 例 (!$!例 '!%!例 &!-!8!例 8!( 2-- 例 +!解!!(" ( & !'"这种说法是错误的!理由如下& 在 2- 次试验中#'8 朝下(的频率为 ( 2 并不能说明'8 朝下(这 一事件发生的概率为 ( 2 !只有当试验的总次数很大时#才能用 事件发生的频率估计相应的事件发生的概率! 课堂 !- 分钟 ! " # $ % ! ! " $%&'( !!!"反比例函数 !!%!#!0!$!$!%!"* 8 # !&!8 '!解!!(""关于#的函数表达式为"* & # $ !'"这个函数的比例系数为 &#自变量的取值范围为# ! -$ !&"将"*.8 代入 "* & # #得 #*. & 8 #,当 "*.8 时#自变 量#的值为. & 8 ! !!#"反比例函数的图象和性质 第 ( 课时!反比例函数!+ " # !" ,-"的图象和性质 !!0!#!0!$!$!%!" ( 9" ' &!解!作出函数图象略! !("当#*.' 时#"* 2 .' *.&$ !'"当 ' 9"98 时# & ' 9#9&$ !&"当.( 9#9' 且# ! - 时#"9.2 或"/&! 第 ' 课时!反比例函数!+ " # !" .-"的图象和性质 !!%!#!%!$!4!%!4!&!.(- '!解!!("把! .&#8"代入"* & # #得&*.& :8 *.('# 画出这个函数的图象如解图$ !'"由图象可以看出#当#/- 时#函数"的值小于 -! 第 & 课时!反比例函数图象和性质的综合运用 !!$!#!0!$!0!%!. 8 & &!解!!("反比例函数的表达式为" ' *. ; # !#9-"#一次函数的 表达式为" ( *#52$ !'"由图象可得不等式 & ' # " & ( #5+的解集为.8 " # " .'$ !&")一次函数" ( *#52 与#轴交于点*#,点 *! .2#-"#由 !("易得)! .'#8"#, # .*)的面积为 ( ' :2 :8 *('! !!$"反比例函数的应用 !!4!#!越来越亮!$!3/(' E!%!6 * 2- # !#/-" &!解!!("L关于?的函数表达式为L* (+- ? $ !'"当小汽车匀速行驶的速度为 2- S3BT#即 L*2- S3BT#在 L* (+- ? 中#令L*2-#得 2- * (+- ? #解得 ?*'!+!答&小汽车匀速 行驶的速度为 2- S3BT时#从乙地返回甲地需要 '!+ T! ! # " 234567 #!!"一元二次方程 !!4!#!%!$!0!%!.'!&! #!#.(" ' *'; '!解!!("方程整理得#' 5+#.2 *-#方程是一元二次方程#二次 项系数%一次项系数和常数项分别是 (#+# .2$ !'"方程整理得#' .&#58 *-#方程是一元二次方程#二次项 系数%一次项系数和常数项分别是 (# .&#8$ !&"!&#.'" ' *&#!&#.+"#=# ' .('#58 *=# ' .(+##=# ' . ('#58 .=# ' 5(+#*-#&#58 *-#方程不是一元二次方程 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! 参考答案