九年级下册 第1章 二次函数-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（湘教版）广西专版

吃透教材!九下!第 "章 &'" 众相原创 分层练!广西数学"#$# ! " # & % ! ! " +,'( !!!"二次函数 教材知识梳理 二次函数的定义!如果函数的表达式是自变量的二次多项式!那么这样的函数称为二次函 数!它的一般形式是 ! ! &,2' # *+' *3 !!(")"6是常数"( ! %#!其中#是自变量!(!)!6分别 是函数表达式的二次项系数&一次项系数和 " !常数项!! &特别提醒'!"#等式的右边最高次数为 # !!!!"可以没有一次项!"*(#&""*(#& -6#和常数项 !"*(# & -)#""*(# & #"但不能没有 $ !!!!%!&#二次函数的自变量的取值范围是所有实数!但 在实际问题中" 它的自变量的取值范围可能会有一些限制! 教材经典母题变式 教材母题 ! 二次函数的概念 例 "!判断下列函数是不是二次函数!如果是!请说出它的二次项系数&一次项系数和常数项! ""#"*&# & ,($!!!!"&#"*"&#,"#"" ,##$!!!!"(#"* " # & -"! 解!"!#&,#'# 0' 是二次函数%二次项系数是 #(一次项系数是 +(常数项是0'$ "##&,"#'0!#"!0'# ,0#' # *''0!是二次函数%二次项系数是0#(一次项系数是'(常数项是0!$ "'#&, ! ' # *! 不是二次函数! &变式'若函数"*"( -"##& -#-" 是关于#的二次函数!则 (的取值范围是 "!!# 8<( ! % 9<( " " :<( $ ," ;<( ! ," &方法总结'运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤$ !"#将函数解析式右边整理为含自变量的代数式"左边是因变量的形式%!&#判断右边含自变量的 代数式是否为整式%!(#判断自变量的最高次数是否为 &%!.#判断二次项系数是否不为 %! 教材母题 " 根据实际问题建立二次函数模型 例 &!"教材'. 习题)& 变式#已知长方体的高是 / D2!底面是边长为#D2的正方形!它的 表面积是 & D2&!体积是%D2(! ""#分别写出 &与#!%与#之间的函数关系式$ "&#在""#中的两个函数中!它们是关于#的二次函数吗% 解!"!#$,#'# *#$'%#,('#$ "##它们是关于 '的二次函数! 易错剖析 易错点"忽略二次函数中二次项系数不为 % 而出错 例 (!若"*"*-&##3*3,+ 是关于#的二次函数!则*的值为!!!!! 易错提醒 已知函数为二次函数且二次项系数和指数含参数时"一定要注意参数取值需满足二次 项系数不为 %! 吃透教材!九下!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# &(" !!#"二次函数的图象与性质 第 " 课时!二次函数 &,2'# "2 -+#的图象与性质 教材知识梳理 !!函数&,2'#"2 -+#的图象与性质! 开口方向 向上 开口大小 (越大!开口 ! !越小!$(越小!开口 " !越大! 对称轴 "轴 顶点坐标 原点"%!%# 最值 #*% 时!"取最 # !小!值 % 增减性 在对称轴右边!"随#的增大而增大!简称(右升)$ 在对称轴左边!"随#的增大而减小!简称(左降) #!图象的画法!一般地!当 ( 5% 时!"*(#& 的图象都具有上述性质!可先画出"*(#& 的图象 在"轴右侧的部分!然后利用对称性!再画出"轴的左侧部分!画"轴的右侧部分的一般步 骤为'列表&描点&连线! 教材经典母题变式 教材母题 !二次函数&,2'#"2 -+#的图象 例 "!"教材'0 练习)& 变式#在如图所示的平面直角坐标系中!画出函数 "*&#&!"* " & # & 的图象!并从开口方向&最值&增减性说明这些抛物线有什么共同点和不同点! 解!列表如下! ' 0# + # &,#' # ) + ) &, ! # ' # # + # 描点!将表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出$ 连线!用平滑的线连接各点%如图所示! 共同点!图象的开口均向上$对称轴都是 &轴$函数都有最小值为 +$在&轴左侧%&随 '的增大而减小%在&轴右侧%&随 '的增大而 增大! 不同点!开口大小不同! 教材母题 "二次函数&,2'#"2 -+#的性质 例 &!已知二次函数 "*.#&!其图象的开口向!!!!!顶点坐标为!!!!!对称轴 是!!!!!当#!!!!时!"随#的增大而减小! 吃透教材!九下!第 "章 &)" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!二次函数 &,2'# "2 1+#的图象与性质 教材知识梳理 !!抛物线!我们把形如二次函数 "*(#& 的图象这样的曲线叫作抛物线!简称为抛物线 "*(# & ! #!函数&,2'#"2 1+#的图象与性质! 开口方向 向下 开口大小 (越小!开口 ! !越小!$(越大!开口 " !越大! 对称轴 "轴 顶点坐标 原点"%!%# 最值 #*% 时!"取最大值 % 增减性 在对称轴右边!"随#的增大而减小!简称(右降)$ 在对称轴左边!"随#的增大而增大!简称(左升) 教材经典母题变式 教材母题 !二次函数&,2'#"2 1+#的图象 例 "!画函数"*,#& 的图象! ""#列表' # + ,( % " & + "*,# & + ,. ," ,> + "&#描点画图' 解!"!#列表如下! ' . 0' 0# 0! + ! # ' . &,0' # . 0/ 0$ 0! + 0! 0$ 0/ . "##描点画图如解图! 吃透教材!九下!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# &*" 例 &!"教材'"% 练习)& 变式#如图!在同一平面直角坐标系中!作出函数 ! "*,(# & ! " "* , " & # & ! # "*,# & 的图象!则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是! $%! !!填 序号#! 教材母题 "二次函数&,2'#"2 1+#的性质 例 (!"教材'"% 练习)" 变式#对于二次函数"*(#&! ""#当 (满足什么条件时!函数图象有最低点% 请求出最低点的坐标$ "&#当 ( *," 时! ! 函数图象是一条!抛物!线!开口向!!!!!对称轴为!!!!!顶点坐标 是! "+%+# !!函数有最!!!!!大或小#值为!!!!$ " 当 % =# & =# " !则函数值" " !!!!" & $当# & =# " =%!则函数值" " !!!!" & ! 解!"!#当 2 -+ 时%函数图象有最低点%最低点的坐标为"+%+#! &方法总结'二次函数"*(#&!( 5%#和"*(#&!( =%#的区别与联系! 区别 开口方向 增减性 最值 联系 "*(# & !( 5%# 向上 #=%""随#的增大而减小% #5%""随#的增大而增大 "有最小值 为 % "*(# & !( =%# 向下 #=%""随#的增大而增大% #5%""随#的增大而减小 "有最大值 为 % "!图象都是抛物线% &!对称轴都是"轴% (!顶点坐标都是!%"%# 易错剖析 易错点"忘记分类讨论 (的正负导致增减性不确定 例 .!已知二次函数"*&*#&!点"# " !" " #和"# & !" & #在该函数图象上!已知# " 5# & 5%!比较" " 和" & 的大小! 解!当(-+ 时%在&轴右侧%&随 '的增大而增大%则 ' ! -' # -+ 时%& ! -& # $ 当(1+ 时%在&轴右侧%&随 '的增大而减小%则 ' ! -' # -+ 时%& ! 1& # ! 易错提醒 若题目中未说明二次函数的二次项系数的正负或两点横坐标与原点的位置关系"则一 定要分类讨论! 吃透教材!九下!第 "章 '+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 ' 课时"二次函数 &,2"' 0%# # "2 ! +#的图象与性质 教材知识梳理 !!二次函数&,2"' 0%# #"2 ! +#的图象和性质 &,2"' 0%# # "2 ! +# ( 5% ( =% ' 5% ' =% ' 5% ' =% 图象 开口 开口 ! !向上!!且大小相同 开口 " !向下!!且大小相同 对称轴 # !!!!!! 顶点坐标 $ !!!!!! 增减性 当#=' 时!"随#的增大而 % !减小!$ 当#5'时!"随#的增大而 & !增大! 当#='时!"随#的增大而 ' !增大!$ 当#5'时!"随#的增大而 ( !减小! 最值 #*'时!"最小值 *.!!!! #*'时!"最大值 */!!!! #!抛物线&,2"' 2%# # 与&,2'#"2 ! +#的平移关系 "*(# & 向左"右#平移 '个单位 向右"左#平移 ' , -........ 个单位 "*("#-'# & ""*("#,'# & # !注$左右平移"自变量左加右减# 教材经典母题变式 教材母题 !二次函数&,2"' 0%# # 与&,2'#"2 ! +#的平移关系 例 "!"教材'"" 变式#""#抛物线"*, " & # & 向左平移 " 个单位!就得到抛物线 !$ "&#抛物线"*, " & "#,"# & 向!左!平移!!!个单位!就得到抛物线"*, " & # & $ "(#抛物线"*, " & "#-"# & 向!右!平移!#!个单位!就得到抛物线"*, " & "#,"# & ! 教材母题 "二次函数&,2"' 0%# #"2 ! +#的图象与性质 例 &!已知抛物线"*("#-'# & 的顶点坐标为"&!%#!它的形状与抛物线"*(#& 相同!但开 口方向与之相反! ""#直接写出该抛物线的解析式$ 解!"!#5抛物线&,2"' *%# # 的顶点坐标为"#%+#% 4 0%,#%4%,0#% 5抛物线&,2"' *%# # 与抛物线&,''# 的形状相同%开口方向相反%42 ,0'% 则该抛物线的解析式是&,0'"' 0## #$ 吃透教材!九下!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# '!" "&#求该抛物线与"轴的交点坐标$ "(#已知点"# " !" " #和"# & !" & #在该抛物线上!且# " =% =# & =&!试比较" " 和" & 的大小! "##在函数&,0'"' 0## # 中%令 ' ,+%则&,0!#% 4该抛物线与&轴的交点坐标为"+% 0!##$ "'#由 ' ! 1+ 1' # 1# 得%两点在对称轴左侧%又 2 ,0' 1+% 则&随 '的增大而增大%4& ! 1& # ! 例 (!"教材'"&练习)&变式#在同一平面直角坐标系中!画出二次函数"*, " & # & !"*, " & "#- "# & !"*, " & "#,"# & 的图象!观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向& 对称轴和顶点坐标! 解!列表! ' . 0' 0# 0! + ! # ' . &,0 ! # ' # . 0$!% 0# 0+!% + 0+!% 0# 0$!% . &,0 ! # "' *!# # . 0# 0+!% + 0+!% 0# 0$!% 0) . &,0 ! # "' 0!# # . 0) 0$!% 0# 0+!% + 0+!% 0# . 描点(连线! 开口方向(对称轴和顶点坐标如下表! 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 &,0 ! # ' # 向下 &轴 "+%+# &,0 ! # "' *!# # 向下 直线 ' ,0! " 0!%+# &,0 ! # "' 0!# # 向下 直线 ' ,! "!%+# 吃透教材!九下!第 "章 '#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 . 课时!二次函数 &,2"' 0%# # *""2 ! +#的图象与性质 教材知识梳理 !!二次函数&,2"' 0%# # *""2 ! +#的图象与性质 抛物线&,2"' 0%# # *" 对称轴 顶点坐标 开口方向 增减性 在对称轴的左边 在对称轴的右边 ( 5% 直线#*' ! "%%"# 向上 "随#的增大而 " !!!! "随#的增大而 # !!!! ( =% 直线#*' "'!$# 向下 "随#的增大而 $ !!!! "随 #的增大而 减小 #!二次函数&,2'# 与&,2"' 0%# # *""2 ! +#的图象间的关系! &温馨提示'二次函数图象的平移规律$左加右减自变量"上加下减常数项! 教材经典母题变式 教材母题 !二次函数&,2"' 0%# # *""2 ! +#的图象的平移 例 "!"&%&. 贵港桂平市期末#将抛物线"*&#& 先向左平移 ( 个单位!再向上平移 " 个单位 得到的抛物线的解析式是 "!!# 8<"*&"#-(# & -" 9<"*&"#,(# & ," :<"*&"#-(# & ," ;<"*&"#,(# & -" 教材母题 "二次函数&,2"' 0%# # *""2 ! +#的图象与性质 例 &!"教材'"+ 练习)" 变式#下列关于二次函数"*"#,&# & ,. 的说法正确的是 "!!# 8<图象是一条开口向下的抛物线 9<图象的对称轴是直线#*,& :<图象的顶点坐标是"&! ,.# ;<当#5& 时!"随#增大而减小 例 (!"教材'"+ 练习)& 变式#已知二次函数"*"#,"# & ,.! ""#列出适当的表格!并在所给的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象$ # + + " + + 吃透教材!九下!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# '$" "&#当," =#=& 时!结合图象直接写出函数值"的取值范围是! 0$ $ &1+ !! 解!"!#列表如下! ' . 0! + ! # ' . & . + 0' 0$ 0' + . 画出函数图象如解图所示! 教材母题 & 利用顶点式求二次函数的表达式 例 .!"教材'"+ 例 + 变式#已知一个二次函数的图象的顶点坐标是"&!(#!与#轴的一个交 点是"(!%#!则这个二次函数的表达式为! &,0'"' 0## # *' !! &变式'如果一条抛物线的形状&开口方向均与抛物线"*,&#& -& 相同!且顶点坐标是".! ,&#!则它的表达式是! &,0#"' 0$# # 0# !! 易错剖析 易错点 !"将图象平移与坐标轴平移混淆 例 +!在平面直角坐标系中!如果抛物线 "*(#& 不动!而把 #轴&"轴分别向上&向右平移 + 个单位!那么在新直角坐标系中此抛物线的解析式是 "!!# 8<"*("#,+# & -+ 9<"*("#,+# & ,+ :<"*("#-+# & -+ ;<"*("#-+# & ,+ 易错提醒 解决此类问题"要注意坐标轴平移和图象平移对应到自变量和因变量的加减是相反的" 切勿混淆! 易错点 #"忽略自变量的取值范围导致求最值出错 例 /!已知抛物线"*"#,&# & ,"!当 ( $ # $ . 时!该二次函数的最小值为!!!!! 吃透教材!九下!第 "章 '%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 + 课时!二次函数 &,2'# *+' *3"2 ! +#的图象与性质 教材知识梳理 解析式 "*(# & -)#-6"( ! %# 2的符号 ( 5% ( =% 大致图象 开口方向 开口向 ! !上"! 开口向 " !下"! 对称轴 直线#* # !!!! 顶点坐标 " $ !!!!! % !!!!# 增减性 在对称轴左边!"随#的增大而 & !减小!$ 在对称轴右边!"随#的增大而 ' !增大! 在对称轴左边!"随#的增大而 ( !增大!$ 在对称轴右边!"随#的增大而 . !减小! 最值 有最 / !小!值 有最 012 !大!值 当#* 013 !!!!时!"取得最值!最值为 014 !!!! 教材经典母题变式 教材母题 !将二次函数&,2'# *+' *3配方为&,2"' 0%# # *""2 ! +#的形式 例 "!将二次函数"*#& ,.#-+用配方法化成"*"#,'#& -$的形式为! &,"' 0## # *! !! 例 &!"教材'"0 例 / 变式#已知二次函数"*&#& ,.#-/!利用配方法求该函数图象的对称 轴和最值! 解!&,#'# 0$' *( ,#"'# 0#' *!# 0# *( ,#"' 0!# # *$% 故该二次函数图象的对称轴为直线 ' ,!% 5抛物线开口向上%4当 ' ,! 时%&有最小值为 $! &方法总结'二次函数利用配方法变形的基本步骤$!"#&提'$提出二次项系数%!&#&配'$括号内配 成完全平方式%!(#&化'$化成顶点式"即"*(#& -)#-6可配方为"*(!#- ) &( # & - .(6,) & .( ! 教材母题 "二次函数&,2'# *+' *3"2 ! +#的图象与性质 例 (!"教材'"> 习题)> 变式#画出二次函数"*,#& -.#-+ 的图象!并根据图象回答下列 问题' ""#对称轴为直线! ' ,# !!顶点坐标为! "#%/# !$ "&#与#轴&"轴的交点坐标分别为! " 0!%+#%"%%+#和"+%%#!$ 吃透教材!九下!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# '&" "(#当#! 1# !时!"随#的增大而增大$当#! -# !时!"随#的增大而减小$ ".#当 % $ #=( 时!函数"的取值范围为! % $ ' $ / !$ "+#当 % ="=+ 时!自变量#的取值范围为! 0! 1' 1+ 或 $ 1' 1%!! 解!列表! ' . + ! # ' $ . & . % ) / ) % . 描点(连线可得如解图所示的抛物线! 教材母题 &二次函数&,2'# *+' *3"2 ! +#的最值 例 .!"教材'"0 例 / 变式#二次函数"*#& -/#, + & 的最小值是!!!!! &变式 "'已知二次函数"*"*,"##& -*& -( 有最大值 0!则**!!!!! &变式 &'已知二次函数"*#& ,(#-6的图象经过点+"%!.#! ""#求二次函数的表达式$ "&#设点."*!7#在该二次函数的图象上!求*-7的最小值! 解!"!#5二次函数&,'# 0'' *3的图象经过点)"+%$#% 4$ ,+ # 0' 6+ *3% 43,$% 4二次函数的表达式为&,'# 0'' *$$ "##5点7"(%4#在二次函数&,'# 0'' *$ 的图象上% 44,( # 0'(*$% 4(*4,(*( # 0'(*$ ,( # 0#(*$ ,"(0!# # *'% 52 ,! -+% 4(*4的最小值为 '! 吃透教材!九下!第 "章 ''" 众相原创 分层练!广西数学"#$# & !!'"不共线三点确定二次函数的表达式 教材知识梳理 待定系数法求二次函数的表达式!如果已知二次函数图象上三个点的坐标!将它们代入函数 表达式!列出一个关于待定系数 (!)!6的三元一次方程组!求出 (!)!6的值!就可以确定二次 函数的表达式! 教材经典母题变式 教材母题 不共线三点确定二次函数的表达式 例 "!"教材'&( 练习变式#如果一个二次函数的图象经过" ,"!(#!""!(#!"&!/#三点!你 能求出这个二次函数的表达式吗% 如果能!求出这个二次函数的表达式! 解!能!设所求二次函数的表达式为&,2'# *+' *3"2 ! +#% 将" 0!%'#%"!%'#%"#%(#三点分别代入得% ' ,2 0+ *3% ' ,2 *+ *3% ( ,$2 *#+ *3 { % 解得 2 ,!% + ,+% 3,# { ! 所以这个二次函数的表达式为&,'# *#! &方法总结'用待定系数法求二次函数表达式的基本步骤$!"#设出表达式的形式%!&#代入已知点 的坐标得方程组%!(#解方程组%!.#得表达式! 例 &!"教材'&( 习题)& 变式#设二次函数"*(#& -)#-&!( ! %")是实数#!已知函数值" 和自变量#的部分对应取值如下表!则该二次函数的表达式为 "!!# # - ," % " & ( - " - + * 7 & 4 - 8<"*&# & ,#-& 9<"*# & ,&#-& :<"*,&# & ,+#-& ;<"*,# & -&#-& &变式'若二次函数"*(#& -)#-6的图象经过点" ,"!"&#!"%!+#!且当#*& 时!"*,(!那 么 ( -)-6的值是 "!!# 8<,. 9<,& :<% ;<" 易错剖析 易错点"只考虑二次函数的图象开口大小!未考虑开口方向 例 (!抛物线"*(#& -)#-6与#轴的两个交点坐标分别为" ,"!%#!"(!%#!其形状与抛物 线"*,&#& 相同!则该抛物线的解析式为! &,#' # 0$' 0( 或&,0#'# *$' *(!! 易错提醒 当题目没有明确指出抛物线的开口方向时"一定要分 ( 5% 和 ( =% 两种情况讨论"避免 漏解! 吃透教材!九下!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# '(" !!$"二次函数与一元二次方程的联系 教材知识梳理 !!二次函数与一元二次方程的联系!二次函数"*(#& -)#-6的图象与#轴交点的横坐标即 为一元二次方程 (#& -)#-6*% 的根! #!二次函数图象与#轴位置关系和一元二次方程根的情况的联系! 二次函数"*(#& -)#-6 的图象与#轴位置关系 有两个不同的交点 有两个重合的交点 没有交点 一元二次方程 (#-)#-6*% 的根的情况 ! 5% ! *% ! =% 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 '!图象法求一元二次方程的近似根!根据二次函数图象与一元二次方程的关系!可先画出抛 物线!由图象确定交点的横坐标!即为一元二次方程的根! 教材经典母题变式 教材母题 ! 二次函数与一元二次方程的联系 例 "!"教材'(1 复习题)"% 变式#二次函数 "*(#& -)#-6的部分图象如图所示!则方程 (# & -)#-6*% 的根是! ' ! ,0!%' # ,# !! 例 " 题图 !!! 例 ( 题图 例 &!若二次函数 "*#& -&#,)的图象与 #轴有两个不同的公共点!则 )满足的条件 是! + -0! !! 教材母题 " 利用二次函数求一元二次方程的近似根 例 (!"教材'&+ 例 " 变式#抛物线"*#& ,&#-%!+ 如图所示!利用图象可得方程#& ,&#- %!+ *% 的近似解为! !!& 或 +!'!!!精确到 %!"# 教材母题 & 二次函数与一元二次方程结合的实际应用 例 .!"教材'&1 习题)+ 变式#在一次足球训练中!小明从球门正前方 1 2的+处射门!球 射向球门的路线呈抛物线!当球飞行的水平距离为 / 2时!球达到最高点!此时球离地面 ( 2!已知球门高1,为 &!.. 2!现以1为原点!建立如图所示的平面直角坐标系! ""#求抛物线的表达式$ 吃透教材!九下!第 "章 ')" 众相原创 分层练!广西数学"#$# "&#若抛物线的形状&最大高度均保持不变!且抛物线恰好经过点1正上方 &!&+ 2处!则 该抛物线应向右平移几个单位% 解!"!#设抛物线的表达式为&,2"' 0## # *'% 把点)")%+#代入%得 + ,'(2 *'%解得 2 ,0 ! !# % 4抛物线的表达式为&,0 ! !# "' 0## # *'$ "##设平移后抛物线的表达式为 &,0 ! !# "' *(# # *'%把 点"+%#!#%#代入得% 0 ! !# ( # *' ,#!#%% 整理得%(# ,/%解得%(,'"舍去#或(,0'% 4平移后抛物线的顶点坐标为"'%'#%4抛物线应向右平移 ! 个单位长度! 例 +!"教材'&0 练习)( 变式#某企业投入了一种高效环保型新能源电动车!企业经历了从 投入到盈利的过程!如图所示的二次函数图象描述了该企业投入发展电动车以来累积利 润 &!亿元#与销售时间<!年#之间的关系!即前<!年#的利润总和 &与<之间的关系#!请 根据图象提供的信息!解答下列问题' ""#求累积利润 &!亿元#与销售时间<!年#之间的函数关系式$ "&#求截止到第几年末该企业累积利润可达到 (% 亿元! 解!"!#由题意得%图象的顶点坐标为"#% 0##%设函数关系式为$,2"60 ## # 0#! 又5抛物线过点"+%+#%4$2 0# ,+%42 , ! # % 4$与6之间的函数关系式为$, ! # "60## # 0#$ "##由题意得% ! # "60## # 0# ,'+%解得%6 ! ,!+%6 # ,0("不合题意%舍去#! 4截止到第 !+ 年末该企业累积利润可达到 '+ 亿元! 易错剖析 易错点 !"忽视抛物线与"轴的交点 例 /!抛物线"*,#& -#-" 与坐标轴的公共点的个数是 "!!# 8<% 9<" :<& ;<( 易错提醒 一定要看清题目"正确区分是抛物线与#轴的交点个数还是与坐标轴的交点个数!其中 抛物线与坐标轴的交点包含抛物线与"轴的交点和抛物线与#轴的交点! 易错点 #"与#轴只有一个交点时漏掉函数是一次函数的情况 例 0!若函数"*"*,"##& ,/#- ( & *的图象与#轴有且只有一个交点!则*的值为 "!!# 8<,& 或 ( 9<,& 或,( :<" 或,& 或 ( ;<" 或,& 或,( 易错提醒 当题目没有明确指出函数类型时"需要分类讨论! 吃透教材!九下!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# '*" !!%"二次函数的应用 第 " 课时!建立二次函数模型解决实际问题 教材知识梳理 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤! ""#根据实际问题中的示意图建立直角坐标系$ "&#确定表达式'将已知条件转化为点的坐标!利用待定系数法求出函数表达式$ "(#利用函数的图象与性质解决问题! 教材经典母题变式 教材母题 ! 拱桥类问题 例 "!"教材'(& 习题)" 变式#你见过(倒过来的桥)吗% 位于我国湖南省邵阳市洞口县的 淘金大桥!大桥的位置在一个山谷中!桥全长 0% 米!这座桥桥面是水平的!而桥底则是近 似为抛物线!桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑! 小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头 (+ 米时!桥面和桥底的支撑石柱最长!为 &% 米! 小明以桥面为#轴!桥头为原点建立如图所示的平面直角坐标系!设桥底的抛物线的解 析式为"*("#,'# & -$! ""#求该抛物线的解析式$ "&#思考' ! 若该桥平均分布 > 根石柱支撑!求离桥头最近的石柱的长度$ " 若石柱的长度为 "/!1 米!则这根石柱安放的位置距离桥头有多远% !!! 解!"!#由题意得%抛物线的顶点为"'%% 0#+#% 4设抛物线的解析式为&,2"' 0'%# # 0#+! 又抛物线过原点"+%+#%42 6'%# 0#+ ,+%42 , $ #$% ! 4抛物线的解析式为&, $ #$% "' 0'%# # 0#+$ "## $ 由题意得%离桥头最近的石柱离&轴的距离为 &+ / *! ,&"米#% 令 ' ,&%则&, $ #$% 6"& 0'%# # 0#+ ,0&!#% 4离桥头最近的石柱的长度为 &!# 米$ ! 令&,0!(!)%4 0!(!) , $ #$% "' 0'%# # 0#+! 解得%' ! ,#!%' # ,$/% 4这根石柱安放的位置距离桥头 #! 米或 $/ 米! 吃透教材!九下!第 "章 (+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 例 &!小宇同学周末与爸爸去钓鱼!爸爸钓到一条大鱼!此时鱼竿被拉弯可近似地看成以+ 为顶点的抛物线的一半!鱼线+,长 .槡(米!鱼隐约在水面,处上!估计鱼离鱼竿支点1 有 +槡(米!此时鱼竿和鱼线呈一个平面!且与水平面夹角"恰好为 /%:!以鱼竿支点1为 原点!则鱼竿所在抛物线的解析式为!!!!!!!!!! !!! &方法总结'在解决拱形桥(隧道(涵洞等抛物线形的问题"需要把实际问题转化为二次函数的图象 与性质进行求解"解题的关键是建立恰当的坐标系(求点坐标"其次根据待定系数法和二次函数的 性质求解!要注意$建坐标系要明确原点(#轴和"轴"坐标系不同"结果相同"但解题过程则不同"整 体原则是坐标系的建立应使计算简便! 教材母题 " 运动中的抛物线问题 例 (!如图!排球运动场的场地长 "1 2!球网高度 &!&. 2!球网在场地中央!距离球场左&右 边界均为 > 2!一名球员在场地左侧边界练习发球!排球的飞行路线可以看作是对称轴垂 直于水平面的抛物线的一部分!某次发球!排球从左边界的正上方发出!击球点的高度为 & 2!当排球飞行到距离球网 ( 2时达到最大高度 &!+ 2!小石建立了平面直角坐标系 #1"!" 个单位长度表示 " 2#!求得该抛物线的表达式为"*, " 0& # & - + & ! 根据以上信息!回答下列问题' ""#画出小石建立的平面直角坐标系$ "&#判断排球能否过球网!并说明理由! 解!"!#5抛物线的表达式为&,0 ! &# ' # * % # % 4对称轴为&轴%顶点为"+% % # #% 4小石建立的直角坐标系如解图所示$ "##排球能过球网! 理由!5当 ' ,' 时%&,0 ! &# 6/ * % # ,#!'&% -#!#$% 4排球能过球网! 吃透教材!九下!第 "章 众相原创 分层练!广西数学"#$# (!" 第 & 课时!几何图形面积与销售利润的最值问题 教材知识梳理 !!解决几何图形面积最值问题!""#根据几何图形的面积公式建立函数模型$"&#求出二次函数的 表达式!写出自变量的取值范围$"(#根据自变量的取值范围和顶点的横坐标的关系确定最值! #!确定销售问题中的利润最值应注意! ""#灵活选取自变量!自变量可能是售价&定价或上涨&下降的价格$ "&#注意自变量的取值范围!特别是题目中隐含的条件$ "(#注意求最值时考虑自变量的取值范围! 教材经典母题变式 教材母题 ! 几何图形面积问题 例 "!"教材'& 动脑筋变式#如图!用一段长为 .% 2的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园! 已知墙足够长!设矩形的边+,长为#2!面积为"2&! ""#求"与#之间的函数关系式$ "&#怎样围才能使菜园的面积最大% 最大面积是多少% 解!"!#根据题意得%边),的长为 ' .%则边,*的长为"$+ 0#'#.% 4&,'"$+ 0#'#%即&与 '的函数关系式为&,0#'# *$+'$ "##5&,0#' # *$+' ,0#"' 0!+# # *#++% 5 0# 1+%4当 ' ,!+ 时%&取得最大值为 #++! 答!当边),的长为 !+ .时%菜园的面积最大%最大面积为 #++ .#! 例 &!如图!在一个直角三角形的内部作一个矩形+,-2!其中+,和+2 分别在两直角边上!-点在斜边上!设矩形的一边 +,*#2!矩形的 面积为"2&!则"的最大值为! '++ !2 & ! 教材母题 " 销售利润问题 例 (!"教材'(& 习题)( 变式#某品牌大米成本为每袋 .% 元!当售价为每袋 1% 元时!每分钟 可销售"%%袋!为了吸引更多顾客!计划采取降价措施!据市场调查反映'销售单价每降 "元! 则每分钟可多销售+袋!设每袋大米的售价为#元!#为正整数#!每分钟的销售量为"袋! ""#"与#的函数关系式为! &,0%' *%++ !$ "&#设每分钟获得的利润为I元!当I为 . %%% 元时!降价多少元% "(#当销售单价为多少元时!每分钟获得的利润最大!最大利润是多少% 解!"##根据题意得C,"' 0$+#&,"' 0$+#" 0%' *%++# ,0%"' 0&+# # *$ %++% 令C,$ +++%则0%"' 0&+# # *$ %++ ,$ +++%解得%' ! ,(+%' # ,)+"不合题意%舍去#% 4降价为 )+ 0(+ ,#+"元#% 答!当获得利润为 $ +++ 元时%降价 #+ 元$ "'#由"##知C,0%"' 0&+# # *$ %++%5 0% 1+%4当 ' ,&+ 时%C取最大值%且最大值为 $ %++% 4当销售单价为 &+ 元时%每分钟获得的利润最大%最大利润是 $ %++ 元! 到3相)在意4中，4C用，C6占一一盖 mAm中，无mn,m么a一票又无- 12+4+6+3+14》◆4=头从相方2强1114：1例支解：1)当40时，数相象有量任边，量任力的学标为0% 山.9=十2：2，所以军次边白科此A,B,C,DW种中料数厘 (2N抛聘下，的或线-0)(0,0)大0 水：号一密-8一子，第行加=，由创般业痛，将 H“巨，能得-拉若：拉泰与点仁 年？的比例连料，国瓜使酸装「F尽量少发生利过多因积 咸过少规缺的现象， 例4解：考知0时，在y物右例，：随x的增大阁增大，期x> B■-。r-6m35 之间的原离的为2血 倒2(11-4611)216(3》D3 开>9时，小>为：当号c9同.在手轴右侧.y售￥的塔大自观 制2解：门解国过点：作情上Af, 干直8，在由△节中，：乙情 九甲题下园 小，周，≥与时的行 第3时二次运慧y=x-A)(a*0)的图象与性两 鲜620 知m=子护=6（海 第1章 二次透数 ①向上2下露直线4A年6,0小5减小不带大 43解雀角三角形 1.1 二次州数 睿大随小用 ”指《棒2：鲶据有姓道验 +国4+L会行是 6 为了义全，成攻交氟行方向.并且 明L1--1P2左3)41 例1解：！1)y=2子-3是二皮函数.二次项原数丛1.一农现系 边83 保装点P可精以约离不小F晴 数是0.常数用是-3， 例2解(1，脑物间y=到1+h的顶呈标为2)以-h=2 刚1.解1∠雀=0-乙4n5mn小er10nB 速的中径体，石海里，即这距肉至少为b石海里，设发全脑 (21:=(2,-1)11-】=-22+34-1是二次函散，口☆勇系 ,A室-2，比轴物线于a(:·A)'与截酬线下=3的形续相 内为AC.过点P作面1C于直D,由题意得，却=3边有里 登是-上一次明不取是3，常数项是-1 间并口方月刚反广。一3.州值牌装线的解代式基天= 2a2-2b2-2 -31-2 mh江将里m一把-.亭上iC- (,=士+1不是一次雨数 2}在而数下■-3〔红-2》中，令0，期y声一2，孩抛物 酬2暴：雀血△中，∠化时，城动，mln子一设 45”,西上=∠P-严8=45+--3“作：有编【变式I0 线有，轴的交意标为(0，-12 候底正方风就行，轮船有触殖色险：轮船直4处千始至少有 例2解11)5=2山+24，=6： (3引山，<0《与<2有.简点在对称轴左解.又=.-3(0.则 =4年，用4=知..3知)户·14和=20，丽得，a=4或a 市周极5“航行，图安全划过这一海域 y随x的增大自带大九 (2)它星关手的二该函数 -4会)G▣2，m4 例3，解：列流： 例头2而 例32 例人解：在心4中，由句最定是，得x日+■4，： 第5章用样本推质总体 工，2二次两数的图象与性质 5,1总体下均数与方第的估计 第1国时二实留做)《a0)的图金与性质 题小正随大小 41点 例1，解：列表如下： -*1 4.4解直角三角形的成用 小当2均酸-到+-。一 1 第1课时与印、陌角及实角有关的应用低题 山一1方是塘小后这大宝有单随机零足够大 2 --1 上方2下者 例1解：这地个淮明中每个油伦的平均质量为（饰+四4 7=2 例1：解：解框，过点G作深⊥A干点名 飞行芳南 100+111+-111+90·04+112+常+1101◆10日151 核这直视： 人传什这授流桃中每个油候的骨岗质限为M6 0 渊乙A·4虑=么U纪两人C= -四边港不是矩影，占AE== 到之解：南相帕由的备样红色第金青库增面商度的半均数无左 点：将有中的数据作为点价晕标在平度直角条样系中罐出： 4-3-2-1125d 23米，建▣M=前米，世∠E■ 着分渊月：=4年44+74好+经·341+6=0， 生成：得平消的风进报各成.，虹解辉所不， 4-)+{-4相)+47-)+(6-}(35 0那-mw-w…号-2， 2 川'+(3对-4相)31+6=转，配.随机抽出的6体黄色都全春肉 电置商度前平均数为是居分刚为所=(4样+3站38+3北 米).法A0=AE+DE=243末).容：明无人机离施青的 434相1+6重2=[(4-+3-0)·3指-物)+ 高度为站店米 (第-40)+(40-40)+(0-4相)】+6=板61,7>名 1解：1据题意，周∠T-引"，∠4T-2AT1N Lr在△中mL-吕学登k ,船传期出的香株置色绍金香长得比较整养，，该公厘的虹 15 黄内种们色的都金各中，青色的得金各长特比程整齐 严位方向，对释物制视点生知下表： 州Tn,在路A灯申，m∠品z子，司 52说计的簧单悦用 对物道 开口向 转科 需1课时用样本的睾”去估计总体相雪的“家 子解得子六口子，灯：必+：分此简机 向F y箱 (0,00 到1.解：11点2如6L2 (2)优秀零为0.2640.16=Q42■434,1400424=380 向下 -1,0 共判点：果的开山向上对移鞠那是，精：函数得有顾小简 (名，答：这次试的能秀东是4，该县理化生实阳能作专 为9：在y结每，)随：的带大减小.在？轴右铜.y车售 减精号优秀的的有5圆名作生 带火商罐人.不国点：开口大公不展 --10 刚2.74 例2上00月y的点直线年=0)0 第4计 二求径数y=(x-》牛(a》的图象与性圆 ”威军太灯的计不霸满是量小安全审肉的要 塘2课时则事物的发展拉势出判斯和碳调 璃2设时 二实汤数下■w《a<)的图像与柱质 1，)2减小3大不增 洲人LCCF科∠DCw 例1.幅：A布料阵则中年天酒配的平均数为：这+32+30+的年F①越小子感大 例LA例2.C 第1课时与极夏、极角及方位角有关的应用问题 9+江+8+影+0++5+器+前+日》+4浅3：1事刷1.解川1)月表如下1 例3解：(1)列表下 装角2比小镜丰北编东S南留东6西建 料明中每天有的平期数为：(22+2山+25+21+9+1%+ --0723= 倒，解：1由意可得，A序W=2,业=，w=1,战 -0t23 23,2+21+0+24+25+20+20)年14-211：C有料库州 ·42■s5》,新得，1=6（负指已奢），蓉：军率的高度 中月无清牦的平均数为：(4+12+14+15+行·15+1月+ -…-4--n---… ym0-3+4- AN方6 14+12+14+2415,3+1仿》+4■4：D布料筒风每天 (2)m点腾5路 向由雨散博象略 2:AW=,.明=2=2..=C+w=+2, 消机的平均章为：(1+海+4+2卡4+6*2*5+3+例2移 (21-46tc0 警考爸案 例4y=-丸-2)+5【变式]-2g-4)-22制5D 量近的右柱的长度为工，2米： 2.2.2图周角 啊60 24-6%-嘉-5-渔脑月 第1时题周角定进及推论1 鲜L们拖商2相空3学m家式天信气0 第5课到二究居数y=r+r+《a0)的图象与柱质 1属上2一半1厘 [空式 为=男，：这石科安验的印周桥天米项柳米 例1E 例2(1》8线段P的长不-定为园心到直线1的更离 刷2解12∠An=50,用=2∠4疗=0>.，∠w0= 《2}相切镜相义 李墙大9减小小欧世-会， L-Lw:1-m=物么B2L 2.5.2圆的切线 州1，言(4-2》1+1 到三品抛线的表达式为一方宁对称为， 第1课时切城的判定 例2解1y=22-4r+4=2(2-22+1)=2+6=2,-2年4 禁，现点为山.子》一小石建立的直角士标系如指面不 例3C 1米演2有直 较流二次南数围第的对斧轴为直视。=1士抛物叹开口具上 第2虞时恩周角定建的指龙2及圆内移四边形 例1复明：知解同，道技灿，以可：应， 十自年=1时，有值小慎为4 ①直角2直径不外接圆于红补等干 二∠CD=上W1=0,.2a0 明3解同表： 例1.1到21397 ∠nCU=Lm.AK3.5L星+ 倒3解：如解图.连援0，国边围AD是 ∠W城=F,,E1A,,.∠E。0 @0的内接周过港.六∠+∠基P“ 六∠W球=10”-∠N=0,40⊥ (2)得期过球料理由”当主-3时，万。 情点连线耳图抛物线婚 方9+ 山-0■，AA0, :D是C0的牛径，.E是O0的切线 235>2.14排球能过车料 倒2解：W与队点P为园心，m长为半 径的售相.理山如下：注挂产作华L (5)g2>24)5619 第2课时几阅图形看积与销寓判润的最值问题 ∠是D)=S知广，？国边用E是©0的内援厘边形，去∠E: B干点E.解国，：P是∠心的平 (5)-1re0成4《3e5 例1.胡：41y与的函数关果式为)。-22+ (2,y=-23+40m=-2m-10)+210.-2c0,:5r= 例4解：如销图，这B所胡的润周角有离类，计别在AB上下件 月找上一点，21G于点D,库4w 解4-号〔变成1-2 母明，y眼有前大售为L等-当边A情的长为相m时，笑网 解的国网上：，LC和∠A下H=w=n,国 于点EE=W战与以道P为 的量大，量大海用为20m 风C,忆长为牛径的调们摄 (立式】解：（二次请数的表选式为y=-3+: 2n,4tw=2,AF=22,, (2)以州门m,)有三次届数y=1-3+4的图单上，。 w。4r,,△用是直角三角形，六∠0 第之课时切的性固 m-3销+4s+知+-3a+4=a-2n+4=m- 制1解：11》y-5,·可 16直2博点3一个年学祖 1)+3.7单。【≥0.5n+n的量公值为3 (2)相意得(车401=(E-)1=5+001= ∠C+了∠Px0思是国 例L维 例2正明：D是回？的直径，∠4Br,艾4G鼻⊙？的 1,3不共载三点确定二次函数的表达式 -到4-)'+450，令■40，前-5fc-m)'+4三 例1.解：他这个二次面勤的表出式+2 400,解得，大1团与不行量意.象去1.4降的为0 纳闲周角度数等干45减13站 州11【应式】G例3y32-4-6成y-+d+6 们中无，暮：当正限同削为40元明，降隆无 “2.3套轻定理 ()出21年-：-m+40-1c0,当=和①平分平分1相等 ∠C在6.相△中，(A=AN, △m 1.4二次两数与一元二次方程的联 时，w雕最大算.几最大为4500，，当简秀单传为和元时 例1，实=-1，m2例之>-1例41】晚从.3 每分种民特的利辉最大，最大到解是45口无 例1.=C,B=队容案不醒一 制土c到以号 ∠=∠D 例4解(1)设楚物线的表达式为方=■(1-2)+3.把点A180 第2章回 倒4解：超解图，连核，片团过周心，C为 ◆2,5,3切线长定挂 代人.得0,36知+J,解得a=一吉一周霸浅的表店式考 2.1同的对将性 的中直，三D1成，：A指■1%什米，C为 1圆外2每等3平分 位-2+3 建点2定长3=王总3我是6小于围正大于 g的中点，∴，=C▣9计米，量周悔丰覆 例L6 半银有合专心 为年分米，州科■04分米，片》=7分 倒1解：是@)的切线，1⊥特.，∠得丝阳 2授学移后抛物线的表达式为”一方+广+以，把成到！ 米，=雪-（分米，在粒托中，机C+ ∠C=25,,2P格=阳-5=65，：P4,W是©0的 制1.复第：如解润，生接助.壤0的中点 =,1+(刀→)'=，六=15，落：门你线刷在满 切线，方明=用.木LP果。∠PAm▣6“.∠P■0 0,之代人释，一立+325，草罪得，0，解程 连接01.G”∠2CD=阅' 的事竖是15分来 -50 例57自域7m 【度式K304⊥P4,用1管，AB1 传3[常去)或鲜。一5：，平韩后轴物线的周点餐书为33) 清=0=据=0=C,.A, ?图个点在门一个M上 (23乙c,∠Am,LW 4刻物风成向有平移个草位 工4过不共线三点作国 到3超AB=3《4,=4.=了✉ 不在州一直践上演点外右 (3C-BC 州5解：()由适最特，保象的质左坐所为(2，一7)，设南数关系 式为8=2-21'-2又周物线过或0)，法4年+2=0 5≥4.林。w+m。+7。正<4.点n在8A 例1，A例2(2,1) (415△，AE.△A,△g.△ 内，点C在⊙t外，成D在⊙4上，点B在⊙4内 例3解1)解图用程，回0甲为所重作： 254三角形的内切图 4一了心8与1之的两数关第式为~-1》-1： 例4非例11山度等 (2)复解图，过点A作D⊥C于点D 工相同2用了分线1个顶点4重直平分线多出个国 2)由题意得，2-2-2,0.解得人-0，”6不合题 22利心角.周周角 连报8，，，？AB=C,A上 点和角学分线三边号 D为的中成又：带.C.W0 复，舍去藏止州路自年k线企轮果积利问达坷知化元 22.1因心角 汇.，，)三点无就.明D= 例1解：(1)如解图，但分为所作 40例1，G 门国62落康低4相等 (7设用8面的内博阔的中径为， 1.5二次阵数的晚用 例1.B √4r-(,v06,米，设 ￥心8=0，i0,C=6 剑主证钥：如等朋，雀接小，球，△旷为等 第1课时建立二实函数模解快实际问园 边三角形，4∠4=∠N=们.又0川■D △1B配的外接同的平轻为r,周00=r-.女+NT=a8 侧1.根微物的析武为一运1-5)-一0： 清，÷84和》和含城程是等山局 六《-解得：空 E··G子C·,8t- 户通忽韩，商醉头数后的有性离上装的距商为，碧 0 B.∠00■∠wE◆“.∠ 25直线与侧的位置关系 B,.△的内切的自积为4 HAC ÷么=人球ak妮.D=E= 2.5.1直钱与图的位置关系 ①相切这8.4口5的6切线年银点 例2【室式55衡3， 参爸案