九年级上册 第4章 锐角三角函数-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（湘教版）广西专版

吃透教材!九上!第 .章 %+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# ! $ "#4565'( $!!"正弦和余弦 第 " 课时!正弦及 (%:角的正弦值 教材知识梳理 !!正弦的概念!如图!在直角三角形中!我们把锐角 " 的 ! !对边!与 " !斜边!的比叫作角 " 的正弦!记作FJK " ! 即FJK " * 角 " 的 # ! 对边 ! $ ! 斜边 ! ! &温馨提示'!"#FJK " 是一个整体"不是FJK与 " 的乘积% !&#正弦的表示方法$ ! FJK " "FJK.%:"FJK+!省去角的符号#% " FJK ( +,-"FJK ( "!不能省去角的符号#% !(#FJK+是线段之间的比值"没有单位% !.#FJK+的大小由 ( +的度数决定"与直角三角形的大小无关! #!'+:角的正弦值!FJK(%:* % !!!!! &依据'在直角三角形中"(%:角所对的直角边等于斜边的 & !!!!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 求锐角的正弦值 例 "!"教材'""% 例 " 变式#如图!在 # +,-中! ( +-,*>%:!-2 + +,! ""#FJK,可以由哪两条线段之比表示% "&#若+-*+!-2*(!求FJK,的值! 解!"!#5*- + ),% 4 ( )-*, ( )*,,/+:% 4 ( )*-, ( ,,/+:0 ( )% 49:;,,9:; ( )*-, )* ), , *- ,* , )- )* $ "##由勾股定理%得)-, )*# 0*-槡 # ,$% 49:;,,9:; ( )*-, )- )* , $ % ! &方法总结'!"#求一个锐角的正弦值"要注意两个方面$ ! 确定这个锐角所在的直角三角形% " 在 直角三角形中"正弦等于这个角的对边与斜边的比%!&#当图中不止一个直角三角形时"还有一种 解题思路,,,找等角"利用相等的角的正弦值相等进行求解! 吃透教材!九上!第 .章 众相原创 分层练!广西数学"#$# %!" 教材母题 " 锐角的正弦的应用 例 &!"教材 '"&( 习题 )( 变式#如图!在 # +,-中! ( -*>%:!,-*&!FJK+* & ( !求边 +- 的长! 解!5 ( *,/+:% 49:;), ,* ), ! 59:;), # ' %,*,#% 4 # ), , # ' % 4),,'% 4)*, ), # 0,*槡 # ,槡%! 教材母题 & &%:角的正弦值 例 (!如图!在 # +,-中!2B ) ,-! ( ,*(%:!则FJK ( +2B的值为!!!!! 易错剖析 易错点"对正弦的概念理解不透彻而出错 例 .!如图!在 # +,-中!,2 + +-于点2!-B + +,于点B!下列关于FJK+的表示方法!正确 的是! "# !!填写所有正确答案的序号#! ! ,- +, $ " ,- +- $ # +- +, $ $ ,2 +, $ % +2 +, $ & +B +- $ ' -B +- ! 易错提醒 正弦一定是&直角三角形'中该角的&对边G斜边'"两个条件缺一不可! 吃透教材!九上!第 .章 %#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!.+:&/%:角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应的锐角 教材知识梳理 !!.+:角的正弦值!FJK.+:* ! !!!!! &依据'!"#含 .+:角的直角三角形的两条直角边 " !!!!%!&#勾股定理! #!/%:角的正弦值!FJK/%:* # !!!!! &依据'!"#三角形内角和%!&#在直角三角形中"(%:角所对的直角边等于斜边的 $ !!!!% !(#勾股定理! &小结'锐角的正弦值随着角度的增大而增大"% =FJK " ="! '!一般锐角的正弦值! 对于一般锐角 " 的正弦值!我们可以利用计算器来求! 如果已知正弦值!我们也可以利用计算器求出它的对应锐角! 教材经典母题变式 教材母题 ! '(:&)%:角的正弦值 例 "!计算' 槡& &FJK.+: 槡,(FJK/%:-FJK(%:! 解!原式,#槡# 6 槡# # 0槡' 6 槡' # * ! # ,!! 例 &!"教材'"&& 例 " 变式#在HI # +,-中! ( -*>%:!若FJK+* " & !求 ( +! ( ,和FJK,! 解!5 ( )是锐角%9:;), ! # %4 ( ),'+:%4 ( ,,/+:0 ( ),(+:%49:;,, 槡' # ! 教材母题 " 用计算器求锐角的正弦值或已知正弦值求对应锐角 例 (!下列用计算器计算的说法正确的是 "!!# 8<求FJK(%:的按键顺序是 FJK ( % * 9<求FJK&(:&.?(/D的按键顺序是 FJK & ( & . ( / * :<已知FJK+*%!+%" 1!求锐角 ( +!按键顺序是 FJK &KLM % ! + % " 1 * ;<利用计算器计算FJK(/:!其结果小于 % 例 .!"教材'""& 做一做变式#用科学计算器计算' ""#求下列各锐角的正弦值!精确到 %!%%% "#' ! FJK((:$ " FJK&":"1?$ "&#求锐角 " 的度数!精确到 %!%":#' ! FJK " *%!("/ &$ " FJK " *%!0&/ /! 解!"!# $ 9:;'': ' +!%$$ ($ ! 9:;#!:!)< ' +!'(' '$ "## $ 59:; " ,+!'!( #%4 "' !)!$':$ ! 59:; " ,+!&#( (%4 "' $(!(+:! 吃透教材!九上!第 .章 众相原创 分层练!广西数学"#$# %$" 第 ( 课时!余弦 教材知识梳理 !!余弦的概念!如图!在直角三角形中!我们把锐角 " 的 ! !邻边!与 " !斜边! 的比叫作角 " 的余弦!记作DNF " !即DNF " * 角 " 的 # ! 邻边 ! $ ! 斜边 ! ! &温馨提示'余弦的本质是两条线段长度的比"它只是一个数值"没有单位"其大小只与锐角的大小 有关"与锐角所在直角三角形的大小无关! #!互余两角的正弦(余弦之间的关系!DNF " *FJK % !!!!!FJK " *DNF & !!!!! '!(%:%.+:%/%:角的余弦值!DNF(%:* ' !!!!DNF.+:* ( !!!!DNF/%:* . !!!! $!一般锐角的余弦值!对于一般锐角 " 的余弦值!我们可以利用计算器来求!如果已知余弦 值!我们也可以利用计算器求出它的对应锐角! 教材经典母题变式 教材母题 ! 余弦 例 "!"教材'""+ 练习)" 变式#如图!在 # +,-中! ( -*>%:!+-*+! ,-*"&!则DNF,的值是!!!!! &变式'在HI # +,-中! ( +-,*>%:!如果+-*.!DNF,* ( + !那么,-等 于!!!!! 教材母题 " 互余两角的正弦%余弦之间的关系 例 &!已知 " - # *>%:!且FJK " -DNF # ,槡( *%!则锐角"*!!!!:! 教材母题 & &%:&'(:&)%:角的余弦值 例 (!"教材'""/ 习题)1 变式#计算' ""#DNF & /%:,槡&DNF.+:-DNF & (%:$!!!!"&#FJK(%:DNF.+:-DNF/%:FJK.+:! 解!"!#原式," ! # # # 0槡# 6 槡# # *" 槡' # # # ,+$ "##原式, ! # 6 槡# # * ! # 6 槡# # , 槡# # ! 例 .!已知 " 为锐角!DNF" " ,&%:# * 槡( & !则 " 等于!!!!:! 教材母题 ' 用计算器求锐角的余弦值或已知余弦值求对应锐角 例 +!"教材'""+ 练习)& 变式#用计算器计算!精确到 %!%%% "#' ""#DNF(": ' ! +!)%& # !$"&#DNF/(:"0? ' ! +!$$/ ( !! 例 /!"教材'""+ 练习)( 变式#用计算器计算!精确到 %!":#' ""#已知DNF " *%!0(& "!则 "' ! $#!/: !$"&#已知DNF " *%!111 >!则 "' ! #&!': !! 吃透教材!九上!第 .章 %%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# $!#"正切 教材知识梳理 !!正切的概念!如图!在直角三角形中!我们把锐角 " 的 ! !对边!与 " !邻边!的比叫作角 " 的正切!记作I?K " !即I?K " * 角 " 的 # ! 对边 ! 角 " 的 $ ! 邻边 ! ! &知识拓展'I?K " * FJK " DNF " %若 " - # *>%:"则I?K " )I?K # *"! &归纳比较' 正弦 余弦 正切 符号 FJK " DNF " I?K " 比值 对边 斜边 邻边 斜边 对边 邻边 记忆口诀 正对鱼鳞!余邻#"弦是斜边 联系 !"#都定义在直角三角形中%!&#都表示边与角之间的关系%!(#都是比值!数值#"只 与角的大小有关"与直角三角形的大小无关 #!(%:%.+:%/%:角的正切值!I?K(%:* % !!!!!I?K.+:* & !!!!!I?K/%:* ' !!!!! &归纳比较'(%:".+:"/%:角的正弦(余弦(正切值归纳如下$ 三角函数 (%: .+: /%: 图示 口诀 9:; " & ( !!!! . !!!! 7<9 / !!!! 012 !!!! 013 !!!! =>; 014 !!!! 015 !!!! 016 !!!! ""&"(" ("&""" (">"&0" 弦二切三作分母" 一顶帽子头上戴 &温馨提示'当记不清楚特殊角的三角函数值时"可以借助含 (%:或 .+:角的直角三角形进行推导! '!一般锐角的正切值! 对于一般锐角 " 的正切值!我们可以利用计算器来求! 如果已知正切值!我们也可以利用计算器求出它的对应锐角! $!锐角三角函数的概念!锐角 " 的正弦&余弦和正切统称为角 " 的锐角三角函数! 吃透教材!九上!第 .章 众相原创 分层练!广西数学"#$# %&" 教材经典母题变式 教材母题 ! 正切 例 "!"教材 '""> 练习 )" 变式#在 HI # +,-中! ( -*>%:!+,*(+-!则 I?K+*! # 槡#!! I?K,*!!!!! &变式'在HI # +,-中! ( -*>%:!I?K,* 槡( & !,-*&槡(!则+-*!!!!! 教材母题 " &%:&'(:&)%:角的正切值 例 &!"教材'""> 例题变式#计算'I?K.+:-&FJK/%:I?K/%:, " I?K(%: ! 解!原式,! *# 6槡 ' # 6槡' 0 ! 槡' ' ,$ 0槡'! 教材母题 & 用计算器求锐角的正切值或已知正切值求对应锐角 例 (!"教材'""> 练习)& 变式#利用计算器计算!精确到 %!%"#' ""#I?K1+:"+? ' ! !#!+' !$"&#I?K/0:+.?."D ' ! #!$( !! 例 .!"教材'""> 练习)( 变式#利用计算器计算'I?K ! '&!$) !: ' %!0// 1!!精确到 %!%":# 教材母题 ' 锐角三角函数的综合 例 +!"教材'"&& 例 & 变式#如图!在HI # +,-中! ( -*>%:!+-*/!DNF+* & ( ! ""#求,-的长$ "&#求FJK+!DNF,!I?K+的值! 解!"!#在?= # ),*中% ( *,/+:%)*,(%47<9), )* ), % 57<9), # ' %4 )* ), , ( ), , # ' %解得),,/% 由勾股定理%得,*, ),# 0)*槡 # , / # 0(槡 # ,'槡%$ "##9:;), ,* ), , 槡% ' %7<9,, ,* ), , 槡% ' %=>;), ,* )* , 槡% # ! 易错剖析 易错点"混淆特殊角的三角函数值而出错 例 /!在 HI # +,-中! ( -*>%:! ( ,*& ( +!现给出下列结论' ! FJK+* 槡( & $ " DNF,* " & $ # I?K+* 槡( ( $ $ I?K,*槡(!其中正确的结论是!!%"!!只需填上正确结论的序号#! 易错提醒 特殊角的三角函数值"除了直接记忆以外"还有口诀记忆法(画图推导法!在解题时"若 不确定"可以用多种方法进行验证! 吃透教材!九上!第 .章 %'" 众相原创 分层练!广西数学"#$# $!'"解直角三角形 教材知识梳理 !!直角三角形中的关系! 如图!在HI # +,-中! ( -*>%:! ( +! ( ,! ( -的对边分别记作 (!)!6!那么' ""#三边之间的关系' ! ! 2 # *+ # ,3 # !!勾股定理#$ "&#两锐角之间的关系' " ! ( )* ( ,,/+: !$ "(#边角之间的关系'FJK+*DNF,* ( 6 !DNF+*FJK,* # !!!!! I?K+* $ !!!!!I?K,* % !!!!! #!解直角三角形的概念!在直角三角形中!除直角外有 + 个元素!即 ( 条边(& 个锐角#!只要 知道其中的 & ! # !个元素!至少有 " 个是 ' !边!#!就可以求出其余 ( ! ' !个未知元 素!我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形! &温馨提示'解直角三角形时$!"#无图时先画图"数形结合%!&#根据边角的位置关系选择三角函 数%!(#优先直接数据"少用间接数据%!.#勾股定理的解题条件$知两边求一边"或知一边和另两边 的和差倍比关系! 教材经典母题变式 教材母题 ! 已知一边和一锐角解直角三角形 例 "!"教材'"&& 例 " 变式#如图!在HI # +,-中! ( -*>%:! ( +*.+:!6*&槡&!求(,!(!)! 解! ( ,,/+:0 ( ),$%:! 57<9,, 2 3 % 42 ,3+7<9,,#槡# 6 槡# # ,#% 4+ , 3 # 02槡 # ,#! &方法总结'已知一边和一锐角解直角三角形的步骤$!"#由直角三角形中两锐角互余求出另一锐 角%!&#利用三角函数或特殊三角形的边角关系或勾股定理求出其余两边长! 吃透教材!九上!第 .章 众相原创 分层练!广西数学"#$# %(" 教材母题 " 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形 例 &!"教材'"&&例&变式#如图!在HI # +,-中! ( -*>%:!+,*&%!I?K+* . ( !求+-!,-的长! 解!5在?= # ),*中% ( *,/+:%),,#+%=>;), $ ' % 4设,*,$2%则)*,'2% 4"'2# # *"$2# # ,#+ # % 解得%2 ,$ 或 2 ,0$"舍去#% 4)*,!#%,*,!(! &方法总结'已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形的步骤$!"#由三角函数值得出该锐角 的度数"则另一锐角的度数可求%!&#利用锐角三角函数的概念"列式求得一条边的长"然后由勾股 定理求出第三边的长! 教材母题 & 已知两边解直角三角形 例 (!"教材'"&( 练习)& 变式#在 # +,-中! ( -*>%:!( *&槡(!)*&!求6!(+!(,! 解!在?= # ),*中%由勾股定理%得3, 2# *+槡 # ,$% 59:;), 2 3 , #槡' $ , 槡' # % 4 ( ),(+:% 4 ( ,,/+:0(+:,'+:! &方法总结'已知两边解直角三角形的步骤$!"#由勾股定理求出第三边%!&#求出由已知两边可得 的某一个三角函数值%!(#由三角函数值求角度!一般题目设置的会是 (%:".+:和 /%:的特殊角"如 果是非特殊角"需要借助计算器#%!.#另一锐角*>%:,该锐角! 易错剖析 易错点"无图时!忽略直角三角形的边不确定而出错 例 .!在 # +,-中!FJK ( +,-* 槡& & !+,*&槡&!+-*槡+!则,-边的长为!! 或 '!! 易错提醒 在几何问题中"若题干无图"需自己画图时"一定要考虑全面"避免漏解! 吃透教材!九上!第 .章 %)" 众相原创 分层练!广西数学"#$# $!$"解直角三角形的应用 第 " 课时!与仰%俯角及夹角有关的应用问题 教材知识梳理 !!仰角(俯角的概念!如图!在视线与水平线所成的锐角中! 视线在水平线 ! !上方!时!视线与水平线所成的角是仰角$ 视线在水平线 " !下方!时!视线与水平线所成的角是俯角! #!解直角三角形的实际应用问题的一般过程! ""#将实际问题抽象为数学问题!画出平面图形"转化为解直角三角形的问题#$ "&#根据问题中的条件!适当选用锐角三角函数等解直角三角形$ "(#得到数学问题的答案$ ".#得到实际问题的答案! 教材经典母题变式 教材母题 ! 与仰角%俯角有关的应用问题 例 "!"教材'"(" 习题)/ 变式#如图!无人机爱好者小明在家附近的+处放无人机!当无人 机飞行到小明头顶一定高度的2点时!无人机测得楼房,-顶端点-处的俯角为 (%:!已 知小明和小区楼房,-之间的距离为 (/ 米!楼房,-的高度为 "&槡( 米!求此时无人机离 地面的高度! 解!如解图%过点*作*9 + )-于点9% 则 ( ),*, ( ,)9, ( )9*, ( -9*,/+:% 4四边形),*9是矩形% 4)9,,*,!#槡' 米%*9,),,'( 米% 5 ( -*9,'+:% 4-9,*9+=>;'+:,'( 6 槡' ' ,!#槡'"米#% 4)-,)9*-9,#$槡'"米#! 答!此时无人机离地面的高度为 #$槡' 米! 吃透教材!九上!第 .章 众相原创 分层练!广西数学"#$# %*" 教材母题 " 与夹角有关的应用问题 例 &!"教材'"&0 练习)& 变式#为响应国家的(节能减排)政策!某厂家开发了一种新型的 电动车!如图!它的大灯+射出的光线+,!+-与地面/0的夹角分别为 &&:和 (":!+E + /0!垂足为E!大灯照亮地面的宽度,-的长为 + / 2! ""#求,E的长!不考虑其他因素#$ "&#一般情况下!正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是 %!& F!从发现危险到 电动车完全停下所行驶的距离叫作最小安全距离!某人以 &% 42EO 的速度驾驶该电动 车!从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是 ". > 2!请判断该车大灯的设计是否能满 足最小安全距离的要求!大灯与前轮前端间水平距离忽略不计#!并说明理由! !参考数据$FJK&&: ' ( 1 "I?K&&: ' & + "FJK(": ' "( &+ "I?K(": ' ( + # 解!"!#根据题意%得 ( )*@,'!:% ( ),@,##:! 5)@ + =?% 4 ( )@*,/+:! 在?= # )*@中%=>; ( )*@, )@ *@ ' ' % ! 设)@,'' .%则*@,%' .% 在?= # ),@中%=>; ( ),@, )@ ,@ , )@ ,***@ ' # % % 即 '' % ( *%' , # % %解得 ' , ! ' % 4*@, % ' .%4,@,,***@, % ( * % ' , % # ".#$ "###+ @.AB, %+ / .A9% %+ / 6+!# , !+ / ".#% !+ / * !$ / , ) ' - % # % 4该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求! 易错剖析 易错点"对仰角"俯角的识别出错 例 (!如图! ( ,-+* ( 2B,*>%:!A, ) 2B ) +-! 从+看,的仰角是!!!!$ 从,看+的俯角是!!!!$ 从,看2的俯角是!!!!$ 从2看,的仰角是!!!!! 易错提醒 !"#视角是视线与水平线的夹角"视线是由观察点到被观察点所连的射线"水平线是过 观察点的水平直线%!&#视角一定是锐角! 吃透教材!九上!第 .章 &+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!与坡度%坡角及方位角有关的应用问题 教材知识梳理 !!坡度(坡角的概念!如图 "!山坡与水平面的夹角叫作 ! !坡角!!记作 " $从山坡脚下点+ 上坡走到点,时!升高的高度 '与水平前进的距离@的 " !!!!叫作坡度!用字母F表 示!即F* ' @ *I?K " !坡度通常写成 "G*的形式%坡度越大"坡越 # !!!!#! 图 " !!! 图 & #!方位角的概念!一般指以观测者的位置为中心!将正北或正南方向作为起始方向!旋转到 目标的方向所成的角!一般指锐角#!通常表达为北!南#偏东!西#几度! 如图 &!点+位于点1的 $ !北偏东 '+:!方向!点,位于点1的 % !南偏东 (+:!方向!点 -位于点1的北偏西 .+:方向!也称为 & ! ""西北!方向! 教材经典母题变式 教材母题 ! 与坡度%坡角有关的应用问题 例 "!"教材'"&> 习题)" 变式#如图!某地下车库的入口处有斜坡+,!它的坡度为F*"G&! 斜坡+,的长为 /槡+ 米!车库的高度为+G"+G+,-#!为了让行车更安全!现将斜坡的坡 角改造为 ".:!图中的 ( +-,*".:#! ""#求车库的高度+G$ "&#求点,与点-之间的距离!结果精确到 " 米#! !参考数据$FJK".: ' %!&."DNF".: ' %!>0"I?K".: ' %!&+# 解!"!#由题意可得%)A8,A,!8#% 设)A,'%则,A,#'% 故 '# *"#'# # ,"(槡%# # %解得%' ,("负值已舍#% 答!车库的高度)A为 ( .$ "##5)A,(%4,A,#)A,!#% 4*A,,**,A,,**!#% 在?= # )A*中% ( )A*,/+:%4=>; ( )*,, )A *A % 又5 ( )*,,!$:%4=>;!$:, ( ,**!# ' +!#%% 解得%,* ' !#! 答!点,与点*之间的距离约为 !# .! 吃透教材!九上!第 .章 众相原创 分层练!广西数学"#$# &!" 教材母题 " 与方位角有关的应用问题 例 &!"教材'"&1 例 ( 变式#如图!海中有一小岛.!在与小岛.距离为 "/槡&海里范围内有 暗礁!一轮船自西向东航行!它在+处时测得小岛.位于北偏东 /%:方向!且+!.之间的 距离为 (& 海里!若轮船继续向正东方向航行!轮船有无触礁危险% 请通过计算加以说 明!如果有危险!轮船自+处开始至少向南偏转多少度航行!才能安全通过这一海域% 解!如解图%过点7作7, + )=于点,% 在?= # )7,中%5 ( 7),,'+:% 47,, ! # )7,!("海里#% 5!( 1!(槡#%4轮船有触礁危险! 为了安全%应改变航行方向%并且保证点 7到航线的距离不小于暗礁的半径 !(槡# 海里%即这个 距离至少为 !(槡# 海里% 设安全航向为)*%过点7作7- + )*于点-% 由题意得%)7,'# 海里%7-,!(槡# 海里% 49:; ( 7)*, 7- )7 , !(槡# '# , 槡# # %4 ( 7)*,$%:% 4 ( ,)*, ( 7)*0 ( 7),,$%:0'+:,!%:! 答!若轮船继续向正东方向航行%轮船有触礁危险!轮船自)处开始至少向南偏转 !%:航行%才能 安全通过这一海域! 易错剖析 易错点"对坡度的概念理解有误而出错 例 (!如图!在一个坡度F*"G(的斜坡上栽种两棵树 +!,!要求它们之间的水平距离 +-为 / 2!则+!,两棵树之间的坡面距离!即+,的长#为! #槡!+ .!! 易错提醒 注意分清楚"坡度是谁和谁的比!铅直高度与水平宽度的比#! '*# ! 例 +!解!!("在 FG # ()*中# & **=-<#(**2#,CMH(* (* () # )CMH(* ' & #, (* () * 2 () * ' & #解得 ()*=#由勾股定理#得 )** () ' .(*槡 ' * = ' .2槡 ' *&槡+$ !'"HKL(* )* () * 槡+ & #CMH)* )* () * 槡+ & #GNL(* )* (* * 槡+ ' ! 例 2! !"$ %!$"解直角三角形 # % ' 5+ ' *9 ' ! !& (5 & )*=-<! " + 9 ! $ % + ! % + % ! ' '! ( 边! ) & 例 (!解! & )*=-<. & (*8+<!)CMH)* % 9 #,% *9+CMH)* '槡' : 槡' ' *'#,+* 9 ' .%槡 ' *'! 例 '!解!)在 FG # ()*中# & **=-<#()*'-#GNL(* 8 & #,设 )**8%#则(**&%#,!&%" ' 5!8%" ' *'-'#解得#% *8 或 % * .8!舍去"#,(**('#)**(2! 例 &!解!在FG # ()*中#由勾股定理#得9* %' 5+槡 ' *8#)HKL(* % 9 * '槡& 8 * 槡& ' #, & (*2-<#, & )*=-<.2-<*&-<! 例 8!( 或 & %!%"解直角三角形的应用 第 ( 课时!与仰$俯角及夹角有关的应用问题 # 上方! ! 下方 例 (!解!如解图#过点*作*2 ) (1于点2# 则 & ()** & )(2* & (2** & 12** =-<#,四边形()*2是矩形#,(2*)** ('槡& 米#*2*()*&2 米#)&1*2* &-<#,12**2+GNL&-<*&2 : 槡& & *('槡& !米"#,(1*(2512*'8槡&!米"!答&此时无人机离地面的 高度为 '8槡& 米! 例 '!解!!("根据题意#得 & (*G*&(<# & ()G*''<!)(G ) :;# , & (G**=-<!在FG # (*G中#GNL & (*G* (G *G - & + !设(G*&#3# 则*G*+#3#在FG # ()G中#GNL & ()G* (G )G * (G )*5*G - ' + #即 &# + 2 5+# * ' + #解得 #* ( & #,*G* + & 3#,)G*)*5*G* + 2 5 + & * + ' !3"$ !'"'- S3BT * +- = 3BH# +- = :-!' * (- = !3"# (- = 5 (8 = * ; & / + ' # ,该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求! 例 &! & )(*! & 3)(! & 3)1! & )12 第 ' 课时!与坡度$坡角及方位角有关的应用问题 # 坡角! ! 比! " 陡! $ 北偏东 &-<! % 南偏东 2-<! ' 西北 例 (!解!!("由题意可得#(BI)B*(I'#设(B*##则)B*'##故 # ' 5!'#" ' *!2槡+" ' #解得##*2!负值已舍"#答&车库的高度 (B为 2 3$ !'")(B*2#,)B*'(B*('#,*B*)*5)B*)*5('#在 FG # (B*中# & (B**=-<#,GNL & (*)* (B *B #又) & (*)* (8<#,GNL(8<* 2 )*5(' - -!'+#解得#)* - ('!答&点 )与点 * 之间的距离约为 (' 3! 例 '!解!如解图#过点/作 /) ) (: 于点)#在FG # (/)中#) & /()* &-<#,/)* ( ' (/*(2 !海里"# )(2 9(2槡'#,轮船有触礁危险! 为了安全#应改变航行方向#并且 保证点/到航线的距离不小于暗 礁的半径 (2槡' 海里#即这个距离至少为 (2槡' 海里#设安全航 向为(*#过点 /作 /1 ) (*于点 1#由题意得#(/*&' 海里# /1*(2 槡' 海里#,HKL&/(** /1 (/ * (2槡' &' * 槡' ' #, & /(** 8+<#, & )(** & /(*. & /()*8+<.&-<*(+<!答&若轮船继 续向正东方向航行#轮船有触礁危险!轮船自 (处开始至少向 南偏转 (+<航行#才能安全通过这一海域! 例 &!'槡(- 3 ! & " @ABCDEF &!!"总体平均数与方差的估计 # # ( 5# ' 5,5# 0 0 ! ! 平均数! " ( 0 )!# ( .#" ' 5!# ' .#" ' 5, 5 !# 0 .#" ' *! $ 方差! % 越小! ' 越大! ( 简单随机! ) 足够大 例 (!解!这 (- 个油桃中每个油桃的平均质量为 !(-2 5== 5 (-- 5((& 5((( 5=1 5(-8 5((' 5=; 5((-" D(- *(-+ !A"# ,估计这批油桃中每个油桃的平均质量为 (-+ A! 例 '!解!随机抽出的 2 株红色郁金香离地面高度的平均数# ( %方 差F' ( 分别为&# ( *!+8 588 5&1 5&2 5&+ 5&8" D2 *8-#F ' ( * )!+8 .8-" ' 5!88 .8-" ' 5!&1 .8-" ' 5!&2 .8-" ' 5!&+ . 8-" ' 5!&8 .8-" ' * D2 - 8=!21!随机抽出的 2 株黄色郁金香离 地面高度的平均数# ' %方差F' ' 分别为&# ' *!8; 5&+ 5&; 5&2 5 8& 58-" D2 *8-#F ' ' *)!8; .8-" ' 5!&+ .8-" ' 5!&; .8-" ' 5 !&2 .8-" ' 5!8& .8-" ' 5!8- .8-" ' * D2 - (=!21!)F ' ( /F ' ' # ,随机抽出的 2 株黄色郁金香长得比较整齐#,该公园的红% 黄两种颜色的郁金香中#黄色的郁金香长得比较整齐! &!#"统计的简单应用 第 ( 课时!用样本的&率'去估计总体相应的&率' # 百分比! ! 简单随机 例 (!解!!("-!''!'-!'2!-!'2 !'"优秀率为 -!'2 5-!(2 *-!8' *8'!#(8 --- :8'! *+ ;;- !名""答&这次考试的优秀率是 8'!#该县理化生实验操作考 试成绩为优秀的约有 + ;;- 名学生! 例 '!1+- 第 ' 课时!对事物的发展趋势做出判断和预测 例 (!解!0布料两周中每天消耗的平均数为&!'; 5&' 5&- 5'2 5 '= 5'1 5'= 5'; 5&- 5'8 5'+ 5'; 5'2 5&'" D(8 - ';!($$布 料两周中每天消耗的平均数为&!'' 5'( 5'& 5'( 5(= 5(; 5 '& 5'( 5'( 5'- 5'8 5'& 5'- 5'-" D(8 - '(!($%布料两周 中每天消耗的平均数为&!(8 5(' 5(8 5(+ 5(1 5(+ 5(& 5 (8 5(' 5(8 5(' 5(+ 5(& 5(2" D(8 *(8$4布料两周中每天 消耗的平均数为&!(8 5(2 5(8 5(' 5(8 5(2 5(' 5(+ 5(& 5 (' 5(8 5(2 5(& 5(8" D(8 - (&!=!因为 ';!(I'(!(I(8I (&!= - 8I&I'I'#所以每次进布料时 0#$#%#4四种布料按照 8I&I'I'的比例进料#可以使服装厂尽量少发生布料过多囤积 或过少短缺的现象! 例 '!!(" .-!2#!!'"'-(2!!&" #" ! " # & % ! ! " 45'( !!!"二次函数 # "*%# ' 5+#59! ! 常数项! " '! $ 二次项 例 (!解!!(""*'#' .& 是二次函数#二次项系数是 '%一次项系 数是 -%常数项是.&$ !'""*!'#.("!( .#" *.'# ' 5&#.( 是二次函数#二次项系 数是.'%一次项系数是 &%常数项是.($ !&""* ( # ' 5( 不是二次函数! "变式#4 例 '!解!!("$ *'#' 5'8##K*2#'$ !'"它们是关于#的二次函数! 例 &!' !!#"二次函数的图象与性质 第 ( 课时!二次函数!+$##!$ ,-"的图象与性质 # 越小! ! 越大! " 小 例 (!解!列表如下& # .' - ' "*'# ' ; - ; "* ( ' # ' ' - ' 描点&将表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出$ 连线&用平滑的线连接各点#如解图所示! 共同点&图象的开口均向上$对称轴都是"轴$函数都有最小值 为 -$在"轴左侧#"随 #的增大而减小#在 "轴右侧#"随 #的 增大而增大!不同点&开口大小不同! 例 '!上!!-#-"!"轴!或直线#*-"! 9- 第 ' 课时!二次函数!+$##!$ .-"的图象与性质 # 越小! ! 越大 例 (!解!!("列表如下& # , .& .' .( - ( ' & , "*.# ' , .= .8 .( - .( .8 .= , !'"描点画图略! 例 '! #"! 例 &!解!!("当 % /-时#函数图象有最低点#最低点的坐标为!-#-"! !'" # 抛物!下!"轴!或直线#*-"!!-#-"!大!- ! 9! / 例 8!解!当'/- 时#在 "轴右侧#"随 #的增大而增大#则 # ( / # ' /- 时#" ( /" ' $当 '9- 时#在 "轴右侧#"随 #的增大而减 小#则# ( /# ' /- 时#" ( 9" ' ! 第 $ 课时"二次函数!+$!# /%" #!$ ! -"的图象与性质 # 向上! ! 向下! " 直线 #*6! $ !6#-"! % 减小! ' 增大! ( 增大! ) 减小! * -! + - 例 (!!(""*. ( ' !#5(" ' !!'"左!(!!&"右!' 例 '!解!!(")抛物线"*%!#56"' 的顶点坐标为!'#-"#, .6 *'# ,6 *.'#)抛物线 "*%!#56" ' 与抛物线 "*&#' 的形状相 同#开口方向相反#,% *.&#则该抛物线的解析式是 "* .&!#.'" ' $ !'"在函数"*.&!#.'" ' 中#令 #*-#则 "*.('#,该抛物 线与"轴的交点坐标为!-# .('"$ !&"由# ( 9- 9# ' 9' 得#两点在对称轴左侧#又 % *.& 9-#则 "随#的增大而增大#," ( 9" ' ! 例 &!解!列表& # , .& .' .( - ( ' & , "*. ( ' # ' , .8!+ .' .-!+ - .-!+ .' .8!+ , "*. ( ' !#5(" ' , .' .-!+ - .-!+ .' .8!+ .; , "*. ( ' !#.(" ' , .; .8!+ .' .-!+ - .-!+ .' , 描点%连线& 开口方向%对称轴和顶点坐标如下表& 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 "*. ( ' # ' 向下 "轴 !-#-" "*. ( ' !#5(" ' 向下 直线#*.( ! .(#-" "*. ( ' !#.(" ' 向下 直线#*( !(#-" 第 8 课时!二次函数!+$!# /%" #0"!$ ! -"的图象与性质 # !6#&"! ! 减小! " 增大! $ 增大 例 (!0!例 '!% 例 &!解!!("列表如下& # , .( - ( ' & , " , - .& .8 .& - , 画出函数图象略! !'" .8 " " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 9- 参考答案