九年级上册 第3章 图形的相似-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（湘教版）广西专版

吃透教材!九上!第 (章 #'" 众相原创 分层练!广西数学"#$# ! ' "#/0123 '!!"比例线段 &!!!! *+,-./0 教材知识梳理 !!成比例!已知四个实数 (!)!6!3!如果 (G)*6G3或 ( ) * 6 3 !则称 (!)!6!3成比例!其中)!6称 为比例 ! !内项!!(!3称为比例 " !外项!! #!比例的基本性质!如果 ( ) * 6 3 !那么 (3 * # !!!!! &推论'如果 ( ) * 6 3 !那么 ) ( * 3 6 ! ( 6 * ) 3 ! ( @) ( * 6@3 6 ! ( @) ) * 6@3 3 ! 教材经典母题变式 教材母题 ! 比例及其相关概念 例 "!"教材'/( 练习)" 变式#已知 (!.!+!#成比例!则#的值为 "!!# !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8< "& + 9< "+ . :< &% ( ;</ 例 &!已知三个数为 (!.!"&!若再添加一个数!使这四个数能组成一个比例!则这个数可以 是 "!!# 8<" 9<& :<( ;<. &方法指导'若题目中说明四个非零实数 (")"6"3成比例"用比例式表示为 ( ) * 6 3 "注意不能将顺序 弄错!若未说明顺序"则需要分类讨论! 教材母题 " 比例的基本性质 例 (!"教材'/( 例 & 变式#若 (( *.)!则 (G)*! $8' !! &变式'已知 # " * & ( !则下列式子一定正确的是 "!!# 8<#*&!"*( 9<&#*(" :< #," " * " ( ;< #-" " * + ( 例 .!"教材'/0 习题)+ 变式#若 ( ) * 6 3 * = > *,+!且 ( -6-=*&%!则)-3 ->的值是 "!!# 8<"% 9<. :<,. ;<,+ &方法指导'根据比例式求值的常见方法$!"#利用比例的基本性质求值%!&#代入法$根据已知比例 式"用一个字母表示出另一个字母"再代入所求式子中化简%!(#设参数法$将已知比例的每份设为 $或比值设为$"用含$的代数式表示各字母并化简! 吃透教材!九上!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# #(" &!!!" 1*+23 教材知识梳理 !!线段的比!一般地!如果选用同一长度单位量得两条线段+,!+?,?的长度分别为*!7!那么 把它们的长度的比 ! !!!!叫作这两条线段+,与+?,?的比! #!成比例线段!在四条线段中!如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比!那么这四条 线段叫作成比例线段!简称比例线段! '!黄金分割!如果能将一条线段 +,分成不相等的两部分!使较 " !短!线段 -,与较 # !长!线段+-的比等于线段+-与原线段+,的比!即 -, +- * +- +, !那么称线段+,被点- 黄金分割!点-叫作线段+,的黄金分割点!较 $ !长!线段+-与原线段+,的比叫作黄 金分割比! &温馨提示'一条线段一定可以被黄金分割"黄金分割比为槡 + ," & ' %!/"1! 教材经典母题变式 教材母题 ! 线段的比 例 "!"教材'// 练习)& 变式#在比例尺是"G" %%% 的图纸上!测得一块长方形的土地长+ 厘 米!宽 . 厘米!则这块土地的实际面积是 "!!# 8<&%% 平方米 9<+%% 平方米 :<& %%% 平方米 ;<&% %%% 平方米 例 &!已知线段 (!)!6满足 ( ) * ) 6 !其中 ( *. D2!)*"& D2!则6的长为 "!!# 8<> D2 9<"1 D2 :<&. D2 ;<(/ D2 教材母题 " 比例线段 例 (!"教材'// 练习)" 变式#已知 (!)!6!3是比例线段! ""#若 ( *.!)*"!6*"&!求 3$ "&#若 ( *"!+!)*&!+!3 *&!求6! 解!52%+%3%/是比例线段% 428+ ,38/%42/ ,+3! "!#52 ,$%+ ,!%3,!#% 4$/ ,! 6!#% 4/ ,'$ "##52 ,!!%%+ ,#!%%/ ,#% 4!!% 6# ,#!%3% 43,!!#! &变式'下列各组线段中是成比例线段的是 "!!# 8<" D2!& D2!( D2!. D2 9<" D2!& D2!& D2!. D2 :<( D2!+ D2!> D2!"( D2 ;<" D2!& D2!& D2!( D2 吃透教材!九上!第 (章 #)" 众相原创 分层练!广西数学"#$# &方法指导'判断四条线段是否成比例的一般步骤$!"#将四条线段的长度单位化为统一%!&#将四 条线段按长短顺序排列%!(#计算前两条线段的比是否等于后两条线段的比或前后两条线段的积 是否等于中间两条线段的积! 教材母题 & 黄金分割 例 .!在设计人体雕像时!使雕像的上部!腰以上#与下部!腰以下#的高度比等于下部与全 部!全身#的高度比!可以增加视觉美感!按此比例!如果雕像的高为 & 2!那么它的下部 应设计为多高% 解!设雕像的下部高为 ' .%则由题意得% # 0' ' , ' # % 整理得%'# *#' 0$ ,+% 解得%' ! ,槡% 0!%'# ,0槡% 0!"舍去#% 经检验 ' ,槡% 0! 是原方程的解! 答!雕像的下部应设计为"槡% 0!#.! &方法总结'与黄金分割有关的解题技巧$!"#每条线段的黄金分割点有两个%!&#被黄金分割的较 长线段*槡 + ," & C全线段"较短线段* ( ,槡+ & C全线段! 易错剖析 易错点"求比例线段时未分类讨论而出错 例 +!已知三条线段长分别为 (!.!/!请再加一条线段使得该四条线段成为比例线段!下列 是小虎的解答过程! 解'设所加的线段长为#!则 ( . * / # ! 解得!#*1! 则要加的线段长为 1! 请分析以上小虎的解答是否正确% 若不正确!请说明理由!并写出正确的解答过程! 解!不正确%正确的解答如下! 设所加的线段长为 '% 则根据成比例线段得% ' $ , ( ' 或 ' $ , ' ( 或 ' ' , $ ( 或 ' ' , $ ( % 解得%' ,) 或 ' , / # 或 ' ,#! 即所加的线段长为 ) 或 / # 或 #! 易错提醒 当四条成比例的线段中含未知数且大小关系不定时"应分类讨论未知线段在已知三条 线段中四种不同位置的情况! 吃透教材!九上!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# #*" '!#"平行线分线段成比例 教材知识梳理 !!平行线等分线段定理!两条直线被一组平行线所截!如果在其中一条直线上截得的线段相 等!那么在另一条直线上截得的线段 ! !也相等!! #!基本事实!两条直线被一组平行线所截!所得的对应线段 " !成比例!!简称平行线分线 段成比例#! '!推论! # !平行!于三角形一边的直线截其他两边!或两边的延长线#!所得的对应线段 $ !成比例!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 平行线分线段成比例 例 "!"教材'/> 动脑筋变式#如图!直线@ " ) @ & ) @ ( !直线+-分别交@ " !@ & !@ ( 于点+!,!-!直 线2A分别交@ " !@ & !@ ( 于点2!B!A!已知 +, +- * " ( !则 BA 2B *!!!!! &方法总结'!"#当题目中出现三条!或三条以上#平行线"且求线段的长度或比值时"常利用平行线 分线段获得比例线段%!&#平行线分线段成比例一定要注意所截线段在位置上的对应关系! 教材母题 " 平行于三角形一边的直线截其他两边&所得的对应线段成比例 例 & !"教材'0" 练习)& 变式#如图!在 # +,-中!2B ) ,-!+2*"&!2,*/!+B*1!则 B- 的长为!!!!! 例 & 题图 !!! 变式题图 &变式'如图!点2!B分别在 # +,-的边-+!,+的延长线上!且2B ) ,-!如果+,*/!+B* (!-2*+!那么+-*!!!!! 易错剖析 易错点"平行线位置不确定时应分类讨论 例 (!在平面内!已知 # +,-!2B ) ,-且分别交直线+,!+-于点2!B!若+2G+,*"G(!B-* "&!则+B*! ' 或 (!! 易错提醒 在已知三角形中"平行于底边的直线交另外两条直线于两点"当平行直线位置未确定 时"需考虑平行直线经过三角形内和三角形外两种情况! 吃透教材!九上!第 (章 $+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# '!'"相似图形 教材知识梳理 !!相似!直观上!把一个图形放大!或缩小#得到的图形与原图形是 ! !相似的!! #!相似三角形的性质!相似三角形的对应角 " !相等!!对应边 # !成比例!! '!相似三角形的判定!三个角对应相等!且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角 形!若 # +,-与 # +?,?-?相似!记作 # +,- *# +?,?-?!对应边的比叫作相似比!一般地!若 # +,-与 # +?,?-?的相似比为$!则 # +?,?-?与 # +,-的相似比为 " $ ! &温馨提示'若两个三角形的相似比为 ""则这两个三角形全等! $!相似多边形!对于两个边数相同的多边形!如果他们的对应角 $ !相等!!对应边 % !成比 例!!那么这两个多边形叫作相似多边形!相似多边形的对应边的比叫作相似比! %!相似多边形的性质!相似多边形的对应角相等!对应边成比例! 教材经典母题变式 教材母题 ! 相似图形的概念 例 "!下面几对图形中!是相似图形的是 "!!# 8 !!!! 9 !!!! : !!!! ; &方法总结'判断两个图形是否相似的本质是判断两个图形形状是否相同"即一个图形可看作是另 外一个图形放大或缩小得到"两个图形是否相似与图形的大小(位置无关! 教材母题 " 相似三角形的概念及性质"角%边# 例 &!"教材'0+ 练习)" 变式#如果 # +,- *# +?,?-?!,-*(!,?-?*"!1!+?,?*"!+!那么 # +,-与 # +?,?-?的相似比为! %8' !!+,的长为! #!% !! &方法总结'利用相似三角形求边或角的一般步骤$!"#确定相似%!&#求边$先确定对应边"再利用 对应边成比例求解%!(#求角$先确定对应角"再利用相似三角形对应角相等求解! 教材母题 & 相似多边形的概念及性质 例 (!"教材'0+ 练习)& 变式#下列各组图形相似的是 "!!# ! ! ! 8< !"# 9< "#$ :< !#$ ;< !"$ 例 .!装裱一幅宽 .% D2&长 /% D2的矩形画!要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似!与 原矩形的短边相接的装裱部分的宽都为 "+ D2!若与原矩形的长边相接的装裱部分的宽 都为#D2!则#*! !+ !! 吃透教材!九上!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# $!" '!$"相似三角形的判定与性质 &!'!! 45678,9: 第 " 课时!利用平行线判定三角形相似 教材知识梳理 相似三角形的判定!平行于三角形一边的直线与其他两边相交!截得的三角形与原三角形 ! !相似!! &温馨提示'利用平行线判定三角形相似的常见模型!B2B ) ,-"A # +,- *# +2B#! !! !! 教材经典母题变式 教材母题 利用平行线判定三角形相似 例 "!"教材'"%& 复习题)+ 变式#如图!在四边形+,-2中!+2 ) ,-!+-与,2相交于点1! 则下列三角形中!与 # +12一定相似的是 "!!# 8< # -1, 9< # +1, :< # 21- ;< # +,- &知识拓展'平行于三角形一边的直线"与其他两边的延长线相交"截得的三角形与原三角形也相似! 例 &!如图!2!B分别是 # +,-的边+,!+-上的点!2B ) ,-!+,*0!+2*+!2B*"%!求,- 的长! 解!5-9 ) ,*% 4 # )-9 *# ),*% 4 )- ), , -9 ,* ! 5),,&%)-,%%-9,!+% 4,*, ),+-9 )- , & 6!+ % ,!$! &温馨提示'利用平行线判定三角形相似时"应注意三角形的对应线段"如本题中 +2与 +,"+B与 +-"2B与,-为对应线段"切勿与平行线分线段成比例中的概念混淆"即线段,2不存在于相似三 角形的对应边构成的比例式中! 吃透教材!九上!第 (章 $#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!相似三角形的判定定理 " 教材知识梳理 相似三角形的判定定理 "!两角分别 ! !相等!的两个三角形相似! &常见模型'利用两角相等判定三角形相似的常见模型$ !!! !!! !!! 教材经典母题变式 教材母题 两角分别相等的两个三角形相似 例 "!如图!在 # +,-和 # 2BA中! ( +*.%:! ( ,*1%:! ( B*1%:! ( A*/%:!求证' # +,- * # 2BA!! 证明!5在 # ),*中% ( ),$+:% ( ,,)+:% 4 ( *,!)+:0 ( )0 ( ,,(+:! 5在 # -9;中% ( 9,)+:% ( ;,(+:% 4 ( ,, ( 9% ( *, ( ;! 4 # ),* *# -9;! 例 &!"教材'1& 练习)& 变式#如图!在 # +,-中! ( -*>%:!点2在+-上!2B + +,于点B! ""#求证' # +2B *# +,-$ "&#+,*+!,-*+2*(!求+B的长! "!#证明!5-9 + ),于点9% ( *,/+:% 4 ( )9-, ( *,/+:% 5 ( ), ( )% 4 # )-9 *# ),*$ "##解!5),,%%,*,'% ( *,/+:% 4)*, ), # 0,*槡 # ,$% 5 # )-9 *# ),*% 4 )- ), , )9 )* %即 ' % , )9 $ % 4)9, !# % ! &方法指导'利用两角判定三角形相似时"找相等角的常见思路$!"#对顶角(公共角%!&#同角或等 角的余角或补角相等%!(#角平分线的定义%!.#由平行线得同位角(内错角相等%!+#平移(旋转(折 叠前后对应角相等! 吃透教材!九上!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# $$" 第 ( 课时!相似三角形的判定定理 & 教材知识梳理 相似三角形的判定定理 &!两边 ! !成比例!且夹角 " !相等!的两个三角形相似! 几何语言'在 # +,-和 # 2BA中!若 +, 2B * +- 2A !且 ( +* ( 2!则 # +,- *# 2BA! 教材经典母题变式 教材母题 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 例 "!如图!在 # +,-中! ( +*01:!+,*/!+-*>!将 # +,-沿图示中的虚线剪开!剪下的阴 影三角形与原三角形不一定相似的是 "!!# 8 !!! 9 !!! : !!! ; 例 &!"教材'1& 练习)& 变式#如图!2!B分别是 # +,-的边+-!+,上的点!+B*"!+!+-* .!+!2B*&!且+,*(+2!求,-的长! 解!5)9,!!%%)*,$!%%且),,')-% 4 )9 )* , ! ' % )- ), , ! ' %4 )9 )* , )- ), % 5 ( ), ( )%4 # )-9 *# ),*% 4 -9 ,* , ! ' %4,*,'-9,' 6# ,(! &方法总结'若题目中出现等积式或线段的倍数关系时"需将等积式或倍数关系化为比例式"再对 应到两个相似三角形的两边对应成比例!如由本题可得 +2 +, * " ( " +B +- * " ( ! 易错剖析 易错点"当两边对应成比例!但相等的角不是夹角时!两个三角形不一定相似 例 (!已知 # /0.如图所示!则下列四个三角形中与 # /0.相似的有! # !个! !!! ! !!! " !!! # !!! $ 易错提醒 由两边及角判定相似三角形时要注意"该角一定是成比例的两边的夹角!当角为其中一 边的对角时"相似不一定成立"如本题中的 ! ! 吃透教材!九上!第 (章 $%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 . 课时!相似三角形的判定定理 ( 教材知识梳理 相似三角形的判定定理 (!三边 ! !成比例!的两个三角形相似! 教材经典母题变式 教材母题 三边成比例的两个三角形相似 例 "!"教材'1. 例 1 变式#已知 # +,-和 # 2BA!根据下列条件判断它们是否相似!并说明 理由! ""#+,*(!,-*.!+-*/!2B*/!BA*1!2A*>$ "&#+,*.!,-*1!+-*"%!2B*&%!BA*"/!2A*1! 解!"!# # ),*和 # -9;不相似!理由!5 ), -9 , ! # % ,* 9; , ! # % )* -; , # ' %4 ), -9 , ,* 9; ! )* -; % 4 # ),*和 # -9;不相似$ "## # ),*和 # -9;相似!理由!5 ), -; , ,* 9; , )* -9 , ! # %4 # ),* *# -;9! &方法总结'利用三边成比例判定三角形相似的步骤$!"#将每个三角形的三条线段长按从小到大 排列%!&#分别计算两条最小线段的比(中等线段的比(最长线段的比%!(#判断三组线段的比是否 相等$若相等"则相似%反之"则不相似! 例 &!"教材'1+ 练习)" 变式#如图!1为 # +,-内一点!+?!,?!-?分别是 1+!1,!1-上的 点!且1+?G++?*1,?G,,?*"G&!且1-?*&!1-*/!求证' # +?,?-? *# +,-! 解!5.)<8))<,.,<8,,<,!8#% 4.)<8.),.,<8.,,!8'% 5 ( )<.,<, ( ).,%4 # .)<,< *# .),% 4)<,<8),,!8'% 5.*<,#%.*,(%4.*<8.*,!8'% 同理可得 # ,<.*< *# ,.*% # *<.)< *# *.)% 即,<*<8,*,*<)<8*),)<,<8),,!8'% 4 # )<,<*< *# ),*! 易错剖析 易错点"相似三角形的对应边不确定导致漏解 例 (!如图!已知 ( +-,* ( +2-*>%:!+2*&!-2*槡&!当+,的长为!' 或 '槡#!时!#+-, 与 # +2-相似! 易错提醒 当题干给出& # +,- *# 2BA'时"则边和角的对应关系均已确定%当题干给出& # +,- 和 # 2BA相似'时"则边和角的对应关系未确定"需分类讨论"避免漏解! 吃透教材!九上!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# $&" &!'!" 45678,/0 第 " 课时!相似三角形的性质"高%角平分线%中线# 教材知识梳理 相似三角形对应线段的比! ""#相似三角形对应高的比等于 ! !相似比!$ "&#相似三角形对应角平分线的比等于 " !相似比!$ "(#相似三角形对应边上的中线的比等于 # !相似比!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 相似三角形对应高的比等于相似比 例 "!"教材'1/ 例 > 变式#如图!在边长都为 " 的方格纸上!小明同学绘制了艺术字体(8)! 已知点1!/!0都在格点上!点.!;在格线上!则点.与点;之间的距离为 "!!# 8<+ 9<槡"% :< > & ;< ". ( 例 &!"教材'>% 习题)> 变式#如图!在HI # +,-中! ( -*>%:!+-*.!,-*(!若HI # +,- 内有并排的三个相等的小正方形!它们组成的矩形内接于 # +,-!求小正方形的边长! 解!如解图%过点*作*= + ),于点=%交>;于点?% 5 ( )*,,/+:%)*,$%,*,'% 4),,%%*=,#!$! 5>; ) ),%4 # *>; *# *),%4 *? *= , >; ), ! 设小正方形的边长为 '%则>;,''%*?,#!$ 0'% 4 #!$ 0' #!$ , '' % %解得 ' , (+ (! %即小正方形的边长为 (+ (! ! 教材母题 " 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 例 (!"教材 '1/ 例 "% 变式#已知 # +,- *# + " , " - " !顶点 +!,!-分别与 + " !, " !- " 对应! +-*"&!+ " - " *>! ( + " 的平分线+ " 2 " 的长为 /!则 ( +的平分线的长为! ) !! 教材母题 & 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 例 .!已知 # +,- *# + " , " - " !顶点+!,!-分别与+ " !, " !- " 对应!+,G+ " , " *(G+!B!B " 分别 是边+-!+ " - " 的中点!如果,B*"!那么, " B " 的长为!!!!! 吃透教材!九上!第 (章 $'" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!相似三角形的性质"面积%周长# 教材知识梳理 相似三角形的周长和面积的性质!""#相似三角形的面积比等于 ! !相似比的平方!$ "&#相似三角形的周长比等于 " ! """相似比!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 相似三角形的面积比等于相似比的平方 例 "!"教材 '1> 练习 )( 变式#如图!在 . C. 的正方形网格中! # +,-的最短边长为槡&! # /0C与 # +,-相似!且其最短边长为 &!则 # /0C的面积为 "!!# 8<+ 9<+<+ :</ ;</<+ 例 &! 易错 "教材'11 例 "" 变式#如图!在 # +,-中!2B ) ,-!& # +2B G&四边形2,-B*>G"/!求 +2G+,的值! 解!5$ # )-9 8$四边形-,*9,/8!(% 4$ # )-9 8$ # ),* ,/8#%% 5-9 ) ,*%4 # )-9 *# ),*% 4$ # )-9 8$ # ),* ,")-8),# # % 则")-8),# # ,/8#%% 4)-8),,'8%! 教材母题 " 相似三角形的周长比等于相似比 例 (!"教材'1> 练习)( 变式#已知 # +,-的三边长分别为 .!+!/! # +?,?-?与 # +,-相似!且 # +?,?-?的最长边是&.!则 # +?,?-?的周长为! "(+ !! # +,-与 # +?,?-?的相似比是 !! 例 .!有一个三角形的三边之比为 &G+G.!如果另一个与它相似的三角形的周长等于 ++ D2! 那么另一个三角形的三边长分别是多少% 解!5一个三角形的三边之比为 #8%8$% 4与它相似的三角形的三边之比为 #8%8$! 设另一个三角形的三边长分别为 #' 7.%%' 7.%$' 7.! 5另一个与它相似的三角形的周长为 %% 7.% 4#' *%' *$' ,%%%解得 ' ,%% 4另一个三角形的三边长分别为 !+ 7.%#% 7.%#+ 7.! &方法总结'利用相似比求周长时"若已知相似三角形的周长关系"可先设出一个未知量"利用方程 思想求解! 吃透教材!九上!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# $(" '!%"相似三角形的应用 教材知识梳理 利用相似三角形解决实际问题的一般思路!""#根据题意建立相似三角形模型$"&#证明三 角形相似$"(#根据相似三角形的性质得比例线段!列方程求解! 教材经典母题变式 教材母题 ! 利用相似三角形测量宽度 例 "!如图!为了估算河的宽度!某校数学课外活动小组在河对岸选定一个目标点+!在近岸 取点,和-!使点+!,!-共线且直线+,与河垂直!接着在过点-且与直线+,垂直的直 线 (上选择适当的点2!确定+2与过点 ,且垂直 +-的直线 )的交点 B!已测得 ,-* "& 2!-2*"/ 2!,B*"% 2!请根据这些数据!估算河宽+,! 解!由题意得 ( ),9, ( )*-,/+:% ( ), ( )% 4 # ),9 *# )*-%4 ), )* , ,9 *- %即 ), ),*,* , ,9 *- ! 5,*,!# .%,9,!+ .%*-,!( .%4 ), ),*!# , !+ !( % 4!(),,"),*!## 6!+!4),,#+ .! 答!河宽),大约为 #+ .! &方法指导'利用相似三角形测量宽"常指某些物体的宽度不能直接测量"通过构造相似三角形进 行计算!常见构造的模型如下$!"#构造&#'型相似三角形"如图 ""通过可测量的 ,-"-2"2B可求 出宽度+,%!&#构造&8'型相似三角形"如图 &"通过可测量的,2"-B",-可求出宽度+,! 图 " !!!! 图 & 教材母题 " 利用相似三角形测量高度 例 &!"教材'>. 习题)+ 变式#如图!线段+,!BA!-2的长分别表示人&竹竿&楼房的高度! 且+!B!-三点在同一直线上!测得人和竹竿的水平距离,A为 "!& 2!人和楼房的水平距 离,2为 &% 2!人的高度为 "!+ 2!竹竿的高度为 ( 2!则楼房的高度是 "!!# 8<&+ 2 9<&/<+ 2 :<+% 2 ;<+"<+ 2 &方法指导'利用相似三角形测量高度"常见的构造方法$!"#利用平行光线的影长%!&#利用平面镜 反射%!(#利用标杆测高! 吃透教材!九上!第 (章 $)" 众相原创 分层练!广西数学"#$# '!("位似 第 " 课时!位似图形的概念%性质及画法 教材知识梳理 !!位似图形!一般地!取定一个点1!如果一个图形C上每一个点.对应于另一个图形C?上 的点.?!且满足'""#直线..?经过点 ! !!!!$"&# 1.? 1. *3$3!其中$为非零常数!当$ 5% 时!点.?在 " !射线.7!上!当$=% 时!点.?在 # !射线.7的反向延长线!上!那么 称图形C与图形C?是位似图形!这个点 $ !!!!叫作位似中心!常数$叫作位似比! #!位似图形的性质!""#位似图形具有相似图形的所有性质$"&#对应点的连线相交于一点! 对应边 % !互相平行!!或在同一条直线上#! 教材经典母题变式 教材母题 ! 位似图形的概念及性质 例 "!"教材'>0 练习)" 变式#下列各组图形中的两个三角形均满足 # +,- *# 2BA!这两 个三角形不是位似图形的是 "!!# 8 !!!!!! 9 !!!!!! : !!!!!! ; &方法总结'判断两个图形是否为位似图形"需同时满足两个条件$!"#对应点的连线相交于一点% !&#位似中心与对应点所连线段成比例!两个条件缺一不可! 例 &!如图! # + " , " - " 与 # +,-是位似图形!且周长比为 &G(!则下列结论错误的是 "!!# 8<点1为位似中心!位似比为 &G( 9<+ " , " ) +,!+ " , " G+,*&G( :<1+ " G1+*&G( ;< # + " , " - " 与 # +,-的面积比为 &G( 教材母题 " 位似图形的画法 例 (!如图!在 / C/ 的正方形网格中!点+!,!-都在格点上!以点-为位似中心!位似比为 "G&!在该网格中将 # +,-放大得到 # + " , " - " !请画出 # + " , " - " ! 解!如解图% # ) ! , ! * ! 即为所求! 吃透教材!九上!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# $*" 第 & 课时!平面直角坐标系中的位似 教材知识梳理 平面直角坐标系中的位似!一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小 ! !相同!的倍数!所得 到的图形与原图形是以 " !坐标原点!为位似中心的位似图形! &注意'如果以坐标原点为位似中心"位似比为$"那么位似图形对应点的坐标的比等于$! 教材经典母题变式 教材母题 ! 以坐标原点为位似中心的位似变化 例 "!"教材'"%% 习题)/ 变式#在平面直角坐标系中!已知点+"&!.#!,".!"#!以原点1为 位似中心!相似比为 &!把 # 1+,放大!则点+的对应点+?的坐标是 "!!# 8<""!&# 9<".!1# :<"1!&#或" ,1! ,&# ;<".!1#或" ,.! ,1# 教材母题 " 坐标系中的位似作图 例 &!"教材'>> 例变式#在平面直角坐标系中!四边形 1+,-的顶点坐标分别是 1"%!%#! +"/!%#!,"(!/#!-" ,(!(#!以点1为位似中心!画出一个四边形1+,-的位似图形!使 它与四边形1+,-的位似比为 "G(! 解!如解图%四边形.) ! , ! * ! (四边形.) # , # * # 即为所求!"作出其中一个即可# &方法总结'在平面直角坐标系中"作一个图形关于原点1的位似图形"位似比为$!$5%#"可以先 找到原图的&关键点'"然后根据同向直接将原坐标乘位似比$*反向直接将原坐标乘! ,$#+"确定 &关键点'的对应点"最后根据原图顺序连线即可! 易错剖析 易错点"直角坐标系中位似的漏解 例 (!已知 # +,-与 # + " , " - " 是以原点为中心的位似图形!且 +"(!"#! # +,-与 # + " , " - " 的相似比为 " & !则点+的对应点+ " 的坐标是! "(%##或" 0(% 0##!! 易错提醒 若题干未说明时"则与已知图形关于某点位似的图形有两个"要考虑全面"避免漏解! 御1，解：川流公司挂请侠通血件首的月带民本为： 制A解：不E确，正晚的解若图下：校青的线反长为，州鞋据 3.4.2朝但三角形的性腰 第4章锐角三角函故 2双8x+3%)-43.4万件》，43.94《45,1春值会 第】课时相三角形的性质（高，角章分线，中线） 4.1正莹和余弦 间司月投遥拽漫总件数的地长率保待不交，那名5月卧授通也 相国比②相包比相自比 通单件直不壁达到线万件 成一号上即所如的线胆长为8或号或上 第1国时正蕴及30角的正兹值 例I.D 【变式1m 3.2平右战分找段成比例 刷2解：如解明.过么C许上帽于A材： 边学斜边玉时道《转迪心与军一中 州1解：及每体现得价x无0写4≤0).雾超夏，得4-4 交F于点N,片∠n4期，AG。4 (m+5x年【间化的.作2-+440.a-4}1,-3 门电相等2议比两多平行年成比同 例L解：11Y⊥AB,∠A里CA道=学，-.之2D主 配=J,B=5.=2A,fA指 )=0.,,=4,=3含支).8：年件释价4元 例1.2 别工4【安式1例3小成6 ÷△阳a,侵：倍设木里者 上nw-LmL--震把 9例.解：1y与等之料的函数美系式为y=0+1四0<年< 3.3州似图形 (2由句量究理.得的■√，-m4.六n声南∠某单= 44 12)根据圈意，得(6的-1-柏)(0+100)=10，整理餐 1制数的2相等玉收比网王社等5成比钢 的边长为.=1，=34， 花2 -0-科0.解目42.与·-24不并合超意，霄去)， 到1.刚2.5：325到3B到4.i 4的E=的=口=级容：这种得时年个的实军再价是4移元 3.A相叙三角形的判定性质 4一器即小王方那的迪长为是 倒2新46之d袋子，C2希 例本10 3.4.1相瓜三角形的判足 例发名例子 第2课时几网间题 于小，-W-- 题1误时利用平行线利定三角形相侧 第2课时相侧三角形的性质（面职、离长】 例1.8 工相制比的平方相微比 倒3子州+过 到1.A (变式]解：位样形的商为备m,F上些比高多4：下能北A多 例1.A 第？时45,0角的正蕴值及用计程袋晚角的 ,上毫。年，a1,下度=C,0),家接稀用的到工起e0C心△m一A4以，酒-￥A作=7,4制2解：扩￥1及华6下3恤-93，球9于 正第值或羽应的悦角 自积为0m,一子（有++h0)h。10.额荐-8或一 5,B成=0c:n:,7x0=14 底a城一A之5i:5(曾.附0 1学中翻等a号小-羊 -者去1枚这个棉形的高为等 第2漾时相三角形的洲定空理 25,W=5, 事2解：让上，下边村宽典为4，t.裂，右i边H宽均为30可 例301：4 工等 15,周(01到-…专0×现势深得.- 例金解：：一个三角形的三动之比为2：5：4，与它相做的三角 例1.任第富△4配中，∠4=，2B=,4∠C=0 形的世边之比为2：+，灵另一个三角形的世道长分别明 10:+5=0.解周，=3士15.3，=15.1=347《省士)。 LA一2s6的，在6中.2上■，L卡=r之H 2:.5:,4:程？另一个与它相自的三角形的周长为 偶3解：24是能角.m4…子L4-3灯行上n:用 LE,∠C·∠F.AAO-4DF 答：上，下边利宽均的为上1，左，右山村度期的为16 55m,2山+444如站，都周4▣5，二.另一个三角形的边 9例1销 剑玉1)证：g1Aw于点E.∠C.,÷LF功·∠C 长分州为10,25m,20压 4mh=号 到4.解：(11(6-》2 ,44∠4，.AEA年 35相似三角形的应用 例3A 2)设r楼后，属边形的指积为6国，六5=-5 (2)相A情=5.0=3，∠G=0,A=后0C=4 例L嗣1由题意月2能。2AD-0,∠A=∠A,△E一例4解：(10”A4:2418'A633: 4Ea业出-装号华-号 A指球 (11-4r=03162,÷a=101 ,:C=12,能0国 女，m=且7266.n=460, ×24=16.第荐=2，=4.当=4时，0=24■》，7 第3课时 相三角形的定定理一 点不与点C看合.=4不合松意奔去，容：出发1秒好，四①成比同2标等 m:0n一元产品16球：4板+推行： 第3课封象这 1年边2氧边3都自4朝边方(r-a(r-a 边形UC的自积为16m 钢1.A 的厘答：月宽A大内为扣 解5解：让4锡为年m.附为40~1》m,制据物章得（枪 侧21 碍号时 2)50,2-+100,解周，=151=5，：40-1山≤ 3.6位假 5,六￥■5，答：有直于墙的道0的长度为5米 1号（度力到工国 第3章图形的相限 装64Ea0宁e 第1时应旺形的极浇、性质及题适 3.1 30城=3￥2=6 1?射线岸3射线中的反肉延长线4？互相 比例线段 平行 倒3解：10t-(宁-正×号，（受y0: 3.1.1比例的基座件质 第4课时相三角形的判定定罩3 例L目例2非例发略， 内项外项夏k 2原片9，片号图 规比博 毫2课时平面直角峰标系中的位( 1.G阴1.A刚3上31麦式D例4 例450例5,1a.5722)04静 AB :工相同去坐标期边 31.2成比例线段 例6(142.9《2127.39 重县这斑长④民 禁-子…是-学普△和△破F不相 例之解：如解谢.国边思a4,六，四边形24，是C:博为所求 42正切 (作鸟其中个图可 例1.C例2.0 1对边位邻波生脑3常迪雪2百多号 州1解：4,4是比例线量：Ad5d(I:4■ 4.b=1,=l2.4f=12,4=3: 呼号哼时学m 2)g4=1.5,6■25，dm2,.L52m上，4mL2 例土：4'片=12.门4s增11F3 【度式】 例L22号【度试 部小有：以的的下高为，则山腰位海，2，，子，整理 =2,=6,5=13,同理可特△NK △C,4044,8C:=AC=4'== 明2隔：题式小号。不青4-区 至2有0，解有·5-1，=一3-11价去).经检国 13,△有C△ 】一T是原方的解，答：重使的下每应投计为(，5一1)楼 1例33成5正 例5(62域-6，-2) 期3(11.6(21240例44 公爸案