九年级上册 第2章 一元二次方程-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（湘教版）广西专版

吃透教材!九上!第 &章 !+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# ! # " )*+,-. #!!"一元二次方程 教材知识梳理 !!一元二次方程的概念!如果一个方程通过整理可以使右边为 ! ! + !!而左边是只含有 " !一个!未知数的 # !二!次多项式!那么这样的方程叫作一元二次方程! #!一元二次方程的一般形式!(#& -)#-6*%!(")"6是已知数"( ! %#!其中 $ ! 2%+%3 !分别 叫作 % !二次项系数!&一次项系数&常数项! 教材经典母题变式 教材母题 ! 一元二次方程的概念 例 "!下列关于#的方程一定是一元二次方程的是 "!!# 8<(# & -)#-6*%!!!9<# & -" ," & *%!!!:<# & - " # *&!!!;<# & ,#,& *% 教材母题 " 一元二次方程的一般形式 例 &!"教材'&1 练习)& 变式#判断关于#的方程#& ,*#"&#,*-"# *#是否为一元二次 方程!如果是!指出二次项系数&一次项系数及常数项$如果不是!请说明理由! 解!'# 0('"#' 0(*!# ,'%'# 0#('# *(#' 0(' ,'%"! 0#(#'# *"(# 0(0!#' ,+% 当 ! 0#( ! +%即( ! ! # 时%关于 '的方程 '# 0('"#' 0(*!# ,'是一元二次方程%此时二次项 系数为 ! 0#($一次项系数为(# 0(0!$常数项为 +! 当(, ! # 时%! 0#(,+%此时原方程不是一元二次方程! &变式'方程 (#"#,"# *+ 的二次项系数是! ' !!一次项系数是! 0' !!常数项是! 0% !! &方法总结'求一元二次方程的项与系数的方法$!"#将所给方程化成一元二次方程的一般形式"即 (# & -)#-6*%!( ! %#%!&#根据各项系数的定义依次写出所求! 教材母题 & 建立一元二次方程模型 例 (!"教材'&> 习题)()/ 变式#根据下列问题列关于#的方程!并将其化为一般形式! ""#已知一个数#和另外一个数的和为 0!积为 /!求这两个数$! ' # 0&' *( ,+ !! "&#在一块边长为#厘米的正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为 & 厘米的小正 方形!然后把四边折起来!做成一个没有盖的长方体盒子!使它的容积为 (& 立方厘米! ! ' # 0)' ,+ !! 易错剖析 易错点"忽略一元二次方程中二次项系数不为 % 而出错 例 .!已知关于#的方程"*-"##* & -" -"*,.##,&*%是一元二次方程!则*的值为 !! 易错提醒 若已知一元二次方程求待定字母的值"需先根据未知数的最高次数是 & 列方程"求解后 一定要舍去使二次项系数为 % 的值! 吃透教材!九上!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# !!" #!#"一元二次方程的解法 "!"!! "#$ 第 " 课时!利用平方根的意义解一元二次方程 教材知识梳理 !!一元二次方程的根!对于方程#& *4"4 " %#!根据平方根的意义!可得#*@ ! !槡0!!则方 程的解为# " *槡4!#& *,槡4!一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根! #!解一元二次方程的方法!通过( " !降次!)!将一元二次方程转化为两个一元一次方程! 教材经典母题变式 教材母题 ! 一元二次方程的根 例 "!下列是关于#的方程#& -& %&(#,& %&. *% 的根的是 "!!# 8<& %&( 9<& %&. :<" ;<," &变式'"&%&( 来宾兴宾区期末#若#*" 是方程#& ,*#-( *% 的一个根!则**! $ !! 教材母题 "用平方根的意义解形如 '# ,0"0 " +#的一元二次方程 例 &!关于#的一元二次方程#& *0 的根是! ' ! ,槡&%'# ,0槡&!! &变式'"教材'(% 例 " 变式#解方程'""##& ,&+ *%$!!!!"&#1"#& ,&+ *%! 解!"!#原方程化为 '# ,#%%根据平方根的意义得%' ! ,%%' # ,0%$ "##原方程化为 )!'# ,#%%等号两边同时除以 )!得%'# , #% )! %根据平方根的意义得%' ! , % / %' # ,0 % / ! 教材母题 &用平方根的意义解形如"(' *4# # ,0"0 " +#的一元二次方程 例 (!"教材'(" 练习)" 变式#解下列方程' ""#"&#-(# & ,&+ *%$ "&#("#,"# & ,"& *%! 解!"!#移项得%"#' *'# # ,#%% 开平方得%#' *' ,2%% 解得%' ! ,!%' # ,0$$ "##移项得%'"' 0!# # ,!#% 等号两边同除以 ' 得%"' 0!# # ,$% 开平方得%' 0! ,2#% 解得%' ! ,'%' # ,0!! 易错剖析 易错点"忽略讨论平方根的正负 例 .!"教材'.& 习题)1 变式#用直接开平方法解方程'."&#,"# & ,&+"#-"# & *%! 解!移项%得 $"#' 0!# # ,#%"' *!# #% 开平方%得 #"#' 0!# ,2%"' *!#% 即 #"#' 0!# ,%"' *!#或 #"#' 0!# ,0%"' *!#% 解得%' ! ,0&%' # ,0 ! ' ! 易错提醒 对于两边都含平方的方程"用直接开平方法最简便"但一定要注意平方根的正负"避免漏解! 吃透教材!九上!第 &章 !#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!配方法$$$二次项系数为 " 教材知识梳理 !!配方!一般地!在方程左边加上 ! !一次项系数的一半!的平方!再减去这个数!使得含未 知数的项在一个完全平方式里!这种做法叫配方! #!配方法!配方&整理后就可以直接根据平方根的意义求解方程的方法叫作配方法! '!配方法解方程的基本思路!把方程化为"#-7# & *4"4 " %#的形式!利用平方根的意义将方 程转化为两个 " !一元一次!方程求解! 教材经典母题变式 教材母题 ! 二次三项式的配方 例 "!"教材'(( 练习)" 变式#用适当的数填空' ""## & -.#-( *"#-!!!!# & ,!!!!$ "&## & -/#-+ *"#-!!!!# & ,!!!!$ "(## & -(#-. *"#-!!!!# & ,!!!!! &变式'!"&%&( 柳州城中区期中#一元二次方程#& ,/#," *% 配方后可变形为 "!!# 8<"#-(# & *"% 9<"#-(# & *1 :<"#,(# & *"% ;<"#,(# & *1 &方法指导'配方法的依据是完全平方公式 (& @&()-)& *!( @)# & 和直接开平方法"其实质是对一 元二次方程变形"将其转化为能够直接开平方的方程形式"从而把一元二次方程转化为两个一元一 次方程求解! 教材母题 " 用配方法解二次项系数为!的一元二次方程 例 &!"教材'(( 练习)& 变式#解方程'""##& -1#,> *%$!!!"&##& ,/"#,"# *,&! 解!"!#'# *)' 0/ ,+% 移项得%'# *)' ,/% 配方得%'# *)' *!( ,/ *!(% 即"' *$# # ,#%% 开平方得%' *$ ,2%% ' *$ ,% 或 ' *$ ,0%% 解得%' ! ,!%' # ,0/$ "##原方程变形为 '# 0(' *) ,+% 移项%并配方得%'# 0(' */ ,0) */% 即"' 0'# # ,!% 开平方得%' 0' ,! 或 ' 0' ,0!% 解得%' ! ,$%' # ,#! &方法总结'用配方法解二次项系数为 " 的一元二次方程的步骤$ !"#将二次项(一次项移到方程的左边"常数项移到方程的右边% !&#方程两边都加上一次项系数的一半的平方% !(#将左边写成完全平方式的形式"并将右边的常数项合并% !.#用直接开平方法解方程! 吃透教材!九上!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# !$" 易错剖析 易错点"用配方法变形代数式时没有恒等变形 例 (!注重学习过程阅读材料!并回答问题' 佳佳解一元二次方程#& -/#,. *% 的过程如下' 解'#& -/#,. *%! 移项得!#& -/#*.! !!!!!!!!!!!!!! 配方得!#& -/#-> *.! "!!!!!!!!!!!! "#-(# & *.! #!!!!!!!!!!!!!!!! A#-( *@&! $!!!!!!!!!!!!!!!! #-( *& 或#-( *,&! # " *,"!# & *,+! 问题' ""#佳佳解方程的方法是!配方法!$ "&#上述解答过程中!从第! "" ! !步开始出现了错误!填序号#!发生错误的原因 是!等号右边没有加 /!$ "(#请写出正确的解答过程! 解!"'#正确解答过程为! ' # *(' 0$ ,+% 移项得%'# *(' ,$% 配方得%'# *(' */ ,$ */%即"' *'# # ,!'% 4' *' ,2槡!'%4' *' ,槡!'或 ' *' ,0槡!'% 4' ! ,槡!' 0'%'# ,0槡!' 0'! &变式'珍珍将方程#& ,.#,& *% 化为"#-4# & *8的形式时!得到4的值为 &!8的值为 /!则 珍珍所得结果 "!!# 8<正确 9<不正确!4的值应为,& :<不正确!8的值应为 & ;<不正确!8的值应为 . 易错提醒 用配方法解二次项系数为 " 的一元二次方程时"易出现以下错误$!"#方程一边忘记加 常数项%!&#配方时"只在方程一边加上一次项系数一半的平方! 吃透教材!九上!第 &章 !%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 ( 课时!配方法$$$二次项系数不为 " 教材知识梳理 !!配方法解二次项系数不为 " 的一元二次方程的一般步骤!""#根据等式的性质!在方程 两边同除以二次项系数将二次项系数化为 ! !!!!$"&#对等号左边进行 " !配方!$ "(#根据平方根的意义降次求解! 教材经典母题变式 教材母题 用配方法解二次项系数不为!的一元二次方程 例!"教材'(+ 练习变式#解方程'""#&#& -.#," *%$!!!!"&#.#& *" -"&#! 解!"!#二次项系数化为 ! 得%'# *#' , ! # %配方得%'# *#' *! , ' # % 4"' *!# # , ' # %4' *! ,2 槡( # %4' ! , 0# *槡( # %' # , 0# 0槡( # $ "##$' # ,! *!#'%移项得%$'# 0!#' ,!% 二次项系数化为 ! 得%'# 0'' , ! $ % 配方得%'# 0'' * / $ , ! $ * / $ %即"' 0 ' # # # , % # % 开平方得%' 0 ' # ,2 % 槡# % 则 ' 0 ' # , 槡!+ # 或 ' 0 ' # ,0 槡!+ # % 解得%' ! , 槡!+ *' # %' # , 0槡!+ *' # ! &方法归纳'用配方法解一元二次方程的步骤$ 一般步骤 方法 例!&#& -" *(# 一移 移项 将常数项移到右边"含未知数的项移到左边 ! &# & ,(#*," 二化 二次项系 数化为 " 左(右两边同时除以二次项系数 " # & , ( & #*, " & 三配 配方 左(右两边同时加上一次项系数一半的平方 # # & , ( & #-! ( . # & *, " & - ! ( . # & "即!#, ( . # & * " "/ 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 $#, ( . *@ " . 五解 解两个一元 一次方程 移项"合并 % # " *""# & * " & 吃透教材!九上!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# !&" "!"!" %&$ 教材知识梳理 !!求根公式!一元二次方程 (#& -)#-6*%"( ! %#在)& ,.(6 " % 的条件下!它的根为 ! !! !!!!!!!!!我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式! #!公式法!由求根公式可知!一元二次方程的根由系数决定!则我们可以运用一元二次方程 的求根公式直接求每一个一元二次方程的根!这种解一元二次方程的方法叫作公式法! 教材经典母题变式 教材母题 用公式法解一元二次方程 例 " !"教材'(0 练习变式#用公式法解下列方程' ""## & ,1#,+ *%$ "&##"#,.槡&# -1 *%$ 解!"!#52 ,!%+ ,0)%3,0%% 4+ # 0$23," 0)# # 0$ 6! 6" 0%# ,)$% 4' , ) 2#槡#! # ,$ 2槡#!% 即 ' ! ,$ *槡#!%'# ,$ 0槡#!$ "##将方程整理%得 '# 0$槡#' *) ,+% 52 ,!%+ ,0$槡#%3,)% 即 ' ! ,' # ,#槡#$ "(#"(#,+#"#,&# *"$ ".##"#-/# *&"#,1#! 吃透教材!九上!第 &章 !'" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 例 &!已知 (是一元二次方程#& ,(#,+ *%的较小的根!则下面对 (的估值正确的是 "!!# 8<,"!+ =( =,"!!!9<& =( =(!!!:<,. =( =,(!!!;<. =( =+ &方法归纳'用公式法解一元二次方程的一般步骤$ 一般步骤 解题模板 ! 把一元二次方程化成一般形式% " 确定公式中 (")"6的值% # 求出)& ,.(6的值% $ 若)& ,.(6 " %"则把 (")及)& ,.(6的 值代入求根公式求解"当 )& ,.(6=% 时"方程无实数解 解方程$#& -.#*&! 解$ ! # & -.#,& *%! B " ( *"")*."6*,&" A # ) & ,.(6*. & ,. C" C! ,&# *&. 5%" A $ #* 槡,. @& / & 槡*,& @ /" A原方程的根为# " 槡*,& - /"#& 槡*,& , / 易错剖析 易错点"利用公式法解一元二次方程时未化成一般形式 例 (!小明在解方程#& ,+#*" 时出现了错误!解答过程如下' 解'B( *"!)*,+!6*"!!第一步# A) & ,.(6*" ,+# & ,. C" C" *&"!!第二步# A#* 槡+ @ &" & !!第三步# A# " * 槡+ - &" & !# & * 槡+ , &" & !!第四步# ""#小明的解答过程是从第!一!步开始出错的!其错误原因是!原方程未化为一般形式!$ "&#写出此题正确的解答过程! 解!"##原方程化为 '# 0%' 0! ,+% 52 ,!%+ ,0%%3,0!% 4+ # 0$23," 0%# # 0$ 6! 6" 0!# ,#/ -+! 4' , % 2槡#/ # % 4' ! , % 0槡#/ # %' # , % *槡#/ # ! 易错提醒 用公式法解一元二次方程时"应先将方程化为一般形式"然后确定二次项系数(一次项 系数及常数项"在确定了 (")"6后"先计算)& ,.(6的值"当)& ,.(6 " % 时"再用求根公式求解! 吃透教材!九上!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# !(" "!"!& '&()$ 第 " 课时!因式分解法解一元二次方程 教材知识梳理 !!因式分解法!利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法!因式分解法解一元 二次方程的基本思路是 ! !降次!!其本质是把方程左边的二次多项式分解成两个一次 多项式的 " !乘积!的形式! #!因式分解法的依据!若 ()*%!则 ( *% 或)*%! 教材经典母题变式 教材母题 ! 提公因式法解一元二次方程 例 "!"教材'(> 练习)" 变式#方程#& ,+#*% 的根是 "!!# 8<#*+ 9<#*% :<# " *%!# & *+ ;<# " *,+!# & *% &变式'"教材'(1 例 0"&#变式#解方程'"#,"# & ,."#,"# *%! 解!"' 0!# # 0$"' 0!# ,+%方程左边因式分解得%"' 0!#"' 0! 0$# ,+%即"' 0!#"' 0%# ,+% 4' 0! ,+ 或 ' 0% ,+%解得%' ! ,!%' # ,%! 教材母题 " 利用乘法公式解一元二次方程 例 &!解下列方程'""#"(#,.# & ,".#-"# & *%$!!!!!"&##& ,1"#,&# *%! 解!"!#"'' 0$# # 0"$' *!# # ,+% 由平方差公式得%" 0' 0%#"&' 0'# ,+% 解得%' ! , ' & %' # ,0%$ """" "##原方程整理得%'# 0)' *!( ,+% 方程左边因式分解得%"' 0$# # ,+% 解得%' ! ,' # ,$! &方法归纳'因式分解法解一元二次方程$ 一般步骤 解题模板9示例 ! 移项!将方程右边的项全部移至左边"使右边为 %% " 化积!将左边的式子因式分解为两个一次因式的积% # 转化!分别令每个因式等于 %"方程转化为两个一元一次方程% $ 求解!分别解这两个一元一次方程"得到的解就是原一元二次方 程的解 解方程$#& -.#-/ *,#! ! # & -+#-/ *%% " !#-&#!#-(# *%% # #-& *% 或#-( *%% $ # " *,&"# & *,( 易错剖析 易错点"方程两边同时除以含有未知数的式子导致漏解 例 (!一元二次方程 (#"#,&# *&"#,&#的解为!!!!!!!!! 易错提醒 当等号两边含有公因式时"切记不可在等号两边同时约去含有未知数的项!否则容易漏 解"一定要将等号右边的式子移至左边再利用因式分解法解方程! 吃透教材!九上!第 &章 !)" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!用适当的方法解一元二次方程 教材知识梳理 &方法归纳'解一元二次方程的方法的选择技巧' ""#若一元二次方程可化为"*#-7# & *4"* ! %!4 " %#的形式!则宜选用 ! !$ "&#若一元二次方程的二次项系数为 "!一次项系数为偶数!则宜选用 " !$ "(#若一元二次方程整理后右边为 %!且左边能进行因式分解!则宜选用 # !$ ".#若直接开平方法&配方法&因式分解法都不简便!则宜选用 $ !! 教材经典母题变式 教材母题 用适当的方法解一元二次方程 例 "!解下列方程'""#"#,&# & *+$"&##& ,(#,& *%$"(##& ,.#,1>/ *%!较适当的方法为 "!!# 8<""#直接开平方法!"&#公式法!"(#配方法 9<""#因式分解法!"&#公式法!"(#公式法 :<""#直接开平方法!"&#因式分解法!"(#配方法 ;<""#直接开平方法!"&#公式法!"(#因式分解法 例 &!用适当的方法解下列方程' ""#"&#-(# & ,&+ *%$ "&#&# & ,0#,& *%$ 解!"!#"#' *'# # 0#% ,+% 移项得%"#' *'# # ,#%% 4#' *' ,% 或 #' *' ,0%% 解得%' ! ,!%' # ,0$$ "###' # 0&' 0# ,+% 42 ,#%+ ,0&%3,0#% 即 +# 0$23,$/ *!( ,(%% 4' , & 2槡(% # 6# , & 2槡(% $ % 4' ! , & *槡(% $ %' # , & 0槡(% $ $ "(#"#-&# & *("#-&#$ ".## & ,&#,( *%! "'#"' *## # ,'"' *##% 移项得%"' *## # 0'"' *## ,+% 等号左边因式分解得%"' *##"' *# 0'# ,+% 4' *# ,+ 或 ' *# 0' ,+% 解得%' ! ,0#%' # ,!$ "$#' # 0#' 0' ,+% 移项得%'# 0#' ,'% 方程两边同时加 ! 得%'# 0#' *! ,' *!% 即"' 0!# # ,$% 4' 0! ,# 或 ' 0! ,0#% 解得%' ! ,'%' # ,0!! &方法总结'!"#一元二次方程的四种解法中"优先选择的顺序为直接开平方法 % 因式分解法 % 配 方法 % 公式法% !&#对于形式较复杂的一元二次方程"先观察其形式是否可利用整体思想结合因式分解法或者直 接开平方法求解"若不方便使用其他解法时"再利用公式法! 吃透教材!九上!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# !*" #!'"一元二次方程根的判别式 教材知识梳理 !!根的判别式!我们把)& ,.(6叫作一元二次方程 (#& -)#-6*%"( ! %#的根的判别式!记作 ( ! !!!!)!即 " !!!!! #!一元二次方程 2'# *+' *3,+"2 ! +#的根有三种情况! 当 ! 5% 时! 原 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根! 其 根 为 # " * ,)- ) & ,.槡 (6 &( ! # & * ,), ) & ,.槡 (6 &( $ 当 ! *% 时!原方程有 # !两个相等!的实数根!其根为# " *# & *, ) &( $ 当 ! =% 时!原方程 $ ! ""没有!实数根! 教材经典母题变式 教材母题 ! 利用根的判别式判断根的情况 例 "!一元二次方程#& -/ *(#的根的情况是 "!!# 8<没有实数根 9<有一个实数根 :<有两个相等的实数根 ;<有两个不相等的实数根 例 &!"教材'.. 例题变式#利用根的判别式判断下列方程的根的情况' ""#&# & -(#,. *%$!!"&## & ,&槡(#-( *%$!!"(#+"# & -"# ,0#*%! 解!"!#52 ,#%+ ,'%3,0$% 4 ! ,' # 0$ 6# 6" 0$# ,$! -+% 4此方程有两个不相等的实数根$ "##52 ,!%+ ,0#槡'%3,'% 4 ! ," 0#槡'# # 0$ 6! 6' ,+% 4此方程有两个相等的实数根$ "'#原方程可化为 %'# 0&' *% ,+% 52 ,%%+ ,0&%3,%% 4 ! ," 0&# # 0$ 6% 6% ,0%! 1+% 4此方程没有实数根! 吃透教材!九上!第 &章 #+" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 教材母题 " 利用根的判别式确定未知系数的值或取值范围 例 (!关于#的一元二次方程$#& -#,& *% 有实根!则$的取值范围是!!!!!! &变式 "'"&%&( 柳州城中区期中#已知一元二次方程#& -/#-**% 有两个相等的实数根!则 *的值为!!!!! &变式 &'已知一元二次方程#& ,$#-. *% 没有实数根!则$的取值范围是! 0$ 1" 1$ !! &方法总结'& ! '与方程根的情况关系的逆命题同样成立"即可通过实数根的情况"判断 ! 的正负" 进而求一元二次方程中字母系数的取值范围! 即!"#若方程有两个不相等的实数根"则 ! 5%%!&#若方程有两个相等的实数根"则 ! *%%!(#若方 程没有实数根"则 ! =%%!.#若方程有实数根"则 !" %! 易错剖析 易错点 !"运用根的判别式时忽略二次项系数不为 % 例 .!若关于#的一元二次方程"$,+##& ,.#,& *% 有两个不相等的实数根!则字母$的取 值范围是! " -' 且 " ! % !! 易错提醒 若题目说明方程有两个实数根"一定不要忽略二次项系数不为 % 的隐含条件"即方程是 一元二次方程! 易错点 #"未对方程类型进行分类讨论 例 +!&例 ( 变式'关于#的方程$#& -#,& *% 有实根!求$的取值范围! 解!当 " ,+ 时%方程为一元一次方程 ' 0# ,+%此时方程有实根%符合题意$ 当 " ! + 时%方程为一元二次方程 "'# *' 0# ,+% ! ,! # 0$" 6" 0## ,! *)"% 由题意得% !" +%即 ! *)" " +% 解得%" " 0 ! ) %4" " 0 ! ) 且 " ! +! 综上所述%符合题意的 "的取值范围为 " " 0 ! ) ! 易错提醒 若题干未指明方程类型时"一定要对二次项系数是否为 % 进行分类讨论"不要遗漏所给 方程为一元一次方程的可能情况! 吃透教材!九上!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# #!" & #!$"一元二次方程的根与系数的关系 教材知识梳理 一元二次方程根与系数的关系!当 !" % 时!一元二次方程根与系数具有如下关系'两根的和 等于一次项系数与二次项系数的比的相反数!两根的积等于常数项与二次项系数的比!即 # " -# & * ! !!!!!# " *# & * " !!!!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 一元二次方程根与系数的关系 例 "!"教材'.1 练习)" 变式#不解方程!求下列各方程的两根之和与两根之积' ""## & -(#-" *%$!!!!!!!!!! "&#&# & -( *+# & -#! 解!"!# ! ,' # 0$ 6! 6! ,% -+! 4' ! *' # ,0'%' ! ' # ,!$ """" "##原式整理得!''# *' 0' ,+! ! ,! # 0$ 6' 6" 0'# ,'& -+! 4' ! *' # ,0 ! ' %' ! ' # , 0' ' ,0!! 教材母题 " 一元二次方程根与系数的关系的运用 例 &!已知关于#的一元二次方程#& -*#,& *% 的一个根为,"!则另一个根为!!!!! &方法指导'对于含未知字母系数的方程"已知一根求另外一根"可通过待定系数法求出未知字母" 再解方程求解%若未知系数是一次项"利用# " )# & * 6 ( 求解另外一根更简便"若未知系数是常数项" 利用# " -# & *, ) ( 求解另外一根更简便"若未知系数是二次项"则以上三种方法均可! 例 (!设# " 与# & 为一元二次方程 " & # & -(#-& *% 的两根!则"# " ,# & # & 的值为!!!!! 例 .!"教材 '.1 习题 ). 变式#已知 # " !# & 是方程 &#& -$#,& *% 的两个实数根!且 "# " ,&#"# & ,&# *"%!则$的值为!!!!! &方法总结'求解与方程的根有关的代数式问题时"先将所求的代数式整理化成含两根之和"两根 之积的形式"再利用整体思想代入求值! 易错剖析 易错点"用根与系数的关系时忽略根的存在性 例 +!若关于#的一元二次方程#& -*#-*& ,(*-( *%的两根互为倒数!则*的值为! # !! 易错提醒 对于含未知字母系数的方程"应用根与系数的关系时"一定要注意$ !!" %% " 二次项 系数不能为 %! 吃透教材!九上!第 &章 ##" 众相原创 分层练!广西数学"#$# #!%"一元二次方程的应用 第 " 课时!平均变化率%销售利润问题 教材知识梳理 !!平均变化率问题!设 (为原来的量!)为变化后的量! ""#若平均增长率为#!增长次数为 &!则 ! ! 2"! *'# # ,+ !$ "&#若平均下降率为#!下降次数为 &!则 " ! 2"! 0'# # ,+ !! #!销售利润问题! ""#每件利润*每件售价,每件成本!进价#$ "&#总利润*每件利润C # !销售量!$ "(#利润率* 利润 进价 * 售价,进价 进价 ! 教材经典母题变式 教材母题 ! 平均变化率问题 例 "!"教材'+( 习题)" 变式#我国快递行业迅速发展!经调查!某快递公司今年 & 月份投 递快递总件数为 &% 万件!. 月份投递快递总件数为 ((!1 万件!假设该公司每月投递快递 总件数的增长率相同! ""#求该公司投递快递总件数的月增长率$ "&#若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变!那么 + 月份投递快递总件数能否 达到 .+ 万件% 解!"!#设该公司投递快递总件数的月增长率为 '% 依题意得%#+"! *'# # ,''!)% 解得%' ! ,+!' ,'+5%' # ,0#!'"不符合题意%舍去#! 答!该公司投递快递总件数的月增长率为 '+5$ "##''!) 6"! *'+5# ,$'!/$"万件#% 4若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变%那么 %月份投递快递总件数不能达到 $%万件! &变式'一种型号的智能手机!原来每台售价 0 +%% 元!经过两次降价后!现在每台售价为 . 1%% 元!如果每次降价的百分率相同!那么这个百分率是! #+5 !! 教材母题 " 销售利润问题 例 &!"教材'+( 习题)& 变式#某种服装平均每天可销售 &% 件!每件赢利 .. 元!在每件降价 幅度不超过 "% 元的情况下!若每件降价 " 元!则每天可多售 + 件!如果每天要赢利 " /%% 元!每件应降价多少元% 吃透教材!九上!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# #$" 例 (!"教材'+% 例 & 变式#某文具店新进一批体育中考专用排球!每个排球的进价为 .% 元! 原计划以每个 /% 元的价格销售!为更好地满足学生的需求!现决定降价销售!已知这种 排球销售量"!个#与每个排球降价#!元#"% =#=&%#之间满足一次函数关系!其图象如 图所示! ""#求"与#之间的函数关系式$ "&#在这次排球销售中!该文具店获利 " 0/% 元!则这种排球每个的实际售价是多少元% 解!"!#设&与 '之间的函数关系式为&,"' *+"" ! +#% 将"!%!!+#%"'%!'+#代入&,"' *+得% !!+ ," *+% !'+ ,'" *+ { % 解得% " ,!+% + ,!++ { % 4&与 '之间的函数关系式为&,!+' *!++"+ 1' 1#+#$ "##根据题意%得"(+ 0' 0$+#"!+' *!++# ,! &(+% 整理得%'# 0!+' 0#$ ,+% 解得%' ! ,!#%' # ,0#"不符合题意%舍去#% 4(+ 0' ,(+ 0!# ,$)! 答!这种排球每个的实际售价是 $) 元! &方法总结'销售问题中的)每*)每*型基本模型! 两个常用公式!利润*售价,成本%总利润*每件利润C销量% 一个解题框架!总利润*!新定价,成本# C!原销售量@ 变化的售价 每变化钱数 C每变化销量# 两类问题!问题 "!成本为 (元"售价)元"可销售6件%每降低*元"多销售 7件"利润为"元"设降 价#元"则"**!),## ,(+ C!6- # * C7#% 问题 &!成本为 (元"售价)元"可销售6件%每上涨*元"少销售 7件"利润为"元"设上涨#元"则 "**!)-## ,(+ C!6, # * C7#! 易错剖析 易错点"忽略实际问题对方程的根的限制而致错 例 .!&例 & 变式'某商场将进货价为 .+ 元的某种服装以 /+ 元售出!平均每天可售 (% 件!为 了尽快减少库存!商场决定采取适当的降价措施!调查发现'每件降价 " 元!则每天可多 售 + 件!如果每天要盈利 1%% 元!每件应降价! "!+ !元! 易错提醒 解决实际问题时"要认真审题"切勿忽略题目中的限制条件"如本题容易忽略&为了尽 快减少库存'这一条件"未舍去#*. 而出错! 吃透教材!九上!第 &章 #%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!几何问题 教材知识梳理 !!常见几何问题中的计算公式!&三角形 * " & C底C高$&矩形 *长C宽$&梯形 * " & "上底-下底# C 高$%棱柱 *&底 C高$%圆锥 * " ( C&底 C高! #!与平移有关的面积问题!设阴影部分的宽为#!则图 " 中 &空白 *!!"2 0#'#"+ 0#'#!!图 & 中 &空白 *"!"2 0'#"+ 0'#!!图 ( 中 &空白 *#!"2 0'#"+ 0'#!! 图 " !!! 图 & !!! 图 ( 教材经典母题变式 教材母题 ! 常见几何图形问题 例 "!"&%&( 柳州柳南区月考#直角三角形两条直角边的和为 0!面积是 /!则斜边长是 "!!# 8<槡(0 9<+ :<槡(1 ;<0 &变式'等腰梯形的面积为 "/% D2&!上底比高多 . D2!下底比高多 &% D2!求这个梯形的高! 解!设梯形的高为%7.% 5上底比高多 $ 7.%下底比高多 #+ 7.%4上底,"%*$#7.%下底,"%*#+#7.! 5等腰梯形的面积为 !(+ 7.#%4 ! # "%*$ *%*#+#%,!(+%解得%,) 或%,0#+"舍去#! 故这个梯形的高为 ) 7.! &方法总结'利用一元二次方程解决常见几何问题时"一般要熟悉几何图形的面积公式(周长公式 或体积公式"然后利用公式进行建模并解决相关问题! 教材母题 " 边框及面积问题 例 &!"教材'+0 复习题)> 变式#如图!要设计一本画册的封面!封面长 .% D2!宽 (% D2!正 中央是一个与整个封面长&宽比例相同的矩形画!如果要使四周的边衬所占面积是封面 面积的 " + !上&下边衬等宽!左&右边衬等宽!则应如何设计四周边衬的宽度!结果保留小 数点后一位"参考数据$槡+'&!&(/#! 解!设上(下边衬宽均为 $' 7.%左(右边衬宽均为 '' 7."+ 1' 1%#% 则"$+ 0)'#"'+ 0('# , $ % 6$+ 6'+! 整理得%'# 0!+' *% ,+%解得%' ,% 2#槡%% 4' ! ' +!%'%' # ' /!$&"舍去#% 答!上(下边衬宽均约为 #!! 7.%左(右边衬宽均约为 !!( 7.! 吃透教材!九上!第 &章 众相原创 分层练!广西数学"#$# #&" 教材母题 & 容积问题 例 (!"教材'&> 习题)/ 变式#如图!一张长 "& D2&宽 "% D2的矩形铁皮! 将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形!剩余部分!阴影部分# 可制成底面积是 &. D2& 的有盖的长方体铁盒!则该铁盒的体积 为! $) !D2 ( ! &方法指导'解决几何图形问题的关键是把实际问题中的已知量和未知量归结到某一个几何图形 中"再利用几何图形的面积或体积公式进行求解"对于不规则图形"要将其通过平移或分割转化为 规则图形"再进行求解! 教材母题 ' 动点问题 例 .!"教材'+& 例 . 变式#如图!在 # +,-中! ( ,*>%:!+,*/ D2!,-*1 D2!动点.从点 +沿+,边向,以 " D2EF的速度移动!不与点,重合#$动点;从点,沿,-边向点-以 & D2EF的速度移动!不与点-重合#! ""#设移动的时间为<F!则,.*!!!!D2!,;*!!!!D2$ "&#如果.!;分别从+!,同时出发!出发多少秒后!四边形+.;-的面积为 "/ D2&% 解!"##设6秒后%四边形)78*的面积为 !( 7.#% 4$ # ),* 0$ # ,78 ,!(% 4 ! # ),+,*0 ! # 7,+,8,!(%即 ! # 6( 6) 0 ! # "( 06# 6#6,!(% 解得%6 ! ,#%6 # ,$%当6,$ 时%,8,# 6$ ,)"7.#% 5点8不与点*重合%46,$ 不合题意舍去% 答!出发 # 秒后%四边形)78*的面积为 !( 7.#! 易错剖析 易错点"忽略实际问题中自变量的取值范围而出错 例 +!如图!某中学准备建一个面积为 "+% 2& 的矩形花园!它的一边利用图书馆的后墙!另 外三边所围的栅栏的总长度是 .% 2!求垂直于墙的边+,的长度!!后墙/0最长可利用 &+ 米# 解!设),为 ' .%则,*为"$+ 0#'#.% 根据题意得%'"$+ 0#'# ,!%+% #' # 0$+' *!%+ ,+%解得%' ! ,!%%' # ,%% 5$+ 0#' $ #%%4' ,!%% 答!垂直于墙的边),的长度为 !% 米! 易错提醒 对于实际应用中的几何面积问题"解方程后"要根据题干中的条件对解进行验证"检验 解是否符合题目要求和实际意义! (2115 1212343号(-子 【宣式】解：(-1”一4利年-1)=0，方程左边国式计解得，A年-1 (31当，≤30.43力元时.n90方.解特a3m 《-1-41=0,厚3-14-5)-9,1t=1=0或x=50 I室式IG 解得，=1，为= 容：看计到每月置正货款不相过多00无，判至少霉受个 例之解：(1)，-9=0，移得，+，为得，+%： 例2.解：(1(3x=4=(44=0,由平方随公式得，(=， 月还博 6=9+16.厚n4)=25.开平为撑344▣x5.44=5成 制2期：5与之润的西数卖系式为水-号0： 年+4。-手，解得，与，1A1■- 574-)0,解04气“5： (2)氟方程无形为x-6+0,移明，并配方厚，1-如+9 (21原方餐整理再，2一：+6■，方程左边因式什解得，《x (但肖5-0时0， ,解得d=5,答：施工队师了成 -%+号，即-3)■4，开不方得.￥-3■1收年-1■-1，解 4》里0，解图，4里与4 着，无44与=2 地下根话25牌 倒3解：(1)配为k(22等号有过没有如9 倒1624 (31正确解答过程为：+行-40.移项得，+每■4.配打 第2课时用话当的方还解一兄二炙方型 连性妇解脂2： 卧，，+华-4+9，厚3+3)，B年4)。可，一玉+①直接开平为法程为读因式分解独公式过 1)雨段的阔童分别优十笔一三象展 2)有p-1.-高-2…寺a2.新得r- 30减+3=-/g,可-3，”·百-3 例LA (2)在好个象限内，溪数值y璃自度量的情大自或中 几2，：4=4,8>0瑞的拾大减小，登他气不会递【变式祖 例2解：(112+31'-250，移填再，4五+3)'■5,2+ 【变式]G例上.B【交式1n>-11变式2】心 年，测02，无时02， 第3课时配方选一二灰项系数不为】 15或2+31-5，都用，41为==4为 (变火1】0到3A :气球的中径坐少为Q2时，气啡不会年件： (324-7g-20,54:2x-10g-1.博-4w=彩+ 勇2课时反比阴居数，-本焦<》的图象和件医 (3)由于车辆园我轮酯体积麦小，的内气压婚大期容号坪聚倒解：)二成项系数化为1节，+4=宁配方将+本+1： 21 4 小4-1+ 二四2不相交3增大 例4 9州1.解：(11-2 第2章一元二次方程 1 63}(2)-312).移谢周.(x+23-3,1)=9,等号 2)当得：-2时，反比例阔数的解转式为)-一 21·元二次方程 左边四式解得，年+2)+2-3室0，x+2■0减+2 两出的屑我群象路 0日2一个二4.6.e5二次项系数 (214=1+12.移是期.42-12=1，二k项第数化为目 州1n例3.<-1明4n《-3【宜式1与为《为 到1.D 42-2x-30,得规得，'一23，方程将边同时期1得 露3误时夏体偶区数图象和性质的综合运用 到1.朝：-n4(24-时+1)44，-30+年-4#=.(1 ，-24+11+1.卿1-104，+13或-月“-2， 2m+《-m-1h=0,背1-2m40,pn了时，类于于 23+元二次方程根的判式 的方程一4(2一具+1非=4是一元元火方程，比时二放项 明1.解：让反化网病数的素达式为y一上山0)，点A2 第数为1=2；…次第数为n=门=：常蛋调为0当和■ n明，西42 1 例LA 3引是夏比网偏数：上表0)周象上一点，人碍盛利2 2时士-2=山，此时原方程不是一无二衣方程 22,2公式法 周2解：(1年=1，=3.e==4.点=3=42州441= ,-4城 410,·此方程有两个不等的实数厘 -3引代人医比偶函数1二5，可得+3，方，学-2× 2a=1,b年=23，=3,1=4-23)=413=0， 倒3(1)x-1+6t0(21x-:a0 例1，解：1)以￥1，b=-%年-5.六0-4w=(-%1'-+× 尤方程有两个相等的实数餐 (-3引-6云该反比例商数的表达式为：一真 到41 2.2一元二次方程的解法 1×-5-4.百4±2红厚5-442江 1原方程可化为，-7g+520,45.4=-7.=5 2 2解：(11精A4-3,1),G(-4,0)代人y=+6,得 3=(+T)-1×55。-19,5此.万程2有实数限 址解和小之一皮属数的斯析这为4将 22.1配方法 =4,2T 倒362-，140【麦或191室或】-4cd 1-+w0. 14. 第1课时利周平方根的鹿义解一元二灰方程 (21将为程整理.着2-42+8=0,4=14▣-42c=8, 秋-3,1)代人多一<，得。。一3，及此例函数的解 52有次 例4>5且5 侧三解：当山0时：方程为一元一文友程里-2U,龙时方程有 例1.G【变14到1.7m=-7 《-w(-4a-4×1x8s0,r:。 2 实根，有合童：。0国.友程为一元二武方程，+4-2 相式为一20 【受式解：日)摩放程化为▣25，积据平打根的意又周，x=5 2,2,x,x,■25 0.4==40【21=1484,Ug得-10，厚1+40， 2:直线相的解析式为重+4，且与y镇觉十直0，：点 与-5： G,-业·正 解得6>一了心>~且经上将逃.开合哪身的1的 4, 2聚方彩化为-25，等梦周边州时除反引，一票 山的标为0)，由 限据平为相的意义得山一号·一号 -4=-4室1×a年一4保<0，六就吉程无实数型 重典范国为2“家 例2A 2.4一元二次方程的根与系数的关系 B的坐标为-1,3一5一5了4×3- 制3翻：11移顶得.2：，3-25，开平为停，23▣±5，解上例5醇1)…那本程未化为一餐限式 得，4=1与=-4： (2)g方程化为-sr-10,:量■1，bE-5,c重-1，÷- 空414 (21移流作年-1)=2，尊号两边库以方得，-11 4如f-5'-41-1-29.亚 例1解1)4=3-4x11=51+年m-5,=1 就观期图第，当：<0时：关于：的不等式标+心二的雕影 4,开千为得1-1”2，如得=35”一 (2原式整理周3+-]■01=-434-31=37) 例4.解：，月4材2-1尸25(x+1),开津方.得22-1)5 -1 是玉心=3或=1(x (:+11,率22山=11=5年+10或22a-1)-51:+1), 州头G例44爷 2.2.3国式分解法 例之2例32如例41例5.1 1.3反比例两段的风川 得47· 第【课时因式分解达解一元二家方型 2.5+元二次方程的碗用 的1解：6与2河吗数关系式为)兽学1： 菊2碑时配方法一二实项系为1 L得火径乘积 见！时平焰蛮化率、销售利闻汽 一次境聚数的一卡一无一次 侧1C (1+=621==表销有k 公害爸案 御1，解：川流公司挂请侠通血件首的月带民本为： 制A解：不E确，正晚的解若图下：校青的线反长为，州鞋据 3.4.2朝但三角形的性腰 第4章锐角三角函故 2双8x+3%)-43.4万件》，43.94《45,1春值会 第】课时相三角形的性质（高，角章分线，中线） 4.1正莹和余弦 间司月投遥拽漫总件数的地长率保待不交，那名5月卧授通也 相国比②相包比相自比 通单件直不壁达到线万件 成一号上即所如的线胆长为8或号或上 第1国时正蕴及30角的正兹值 例I.D 【变式1m 3.2平右战分找段成比例 刷2解：如解明.过么C许上帽于A材： 边学斜边玉时道《转迪心与军一中 州1解：及每体现得价x无0写4≤0).雾超夏，得4-4 交F于点N,片∠n4期，AG。4 (m+5x年【间化的.作2-+440.a-4}1,-3 门电相等2议比两多平行年成比同 例L解：11Y⊥AB,∠A里CA道=学，-.之2D主 配=J,B=5.=2A,fA指 )=0.,,=4,=3含支).8：年件释价4元 例1.2 别工4【安式1例3小成6 ÷△阳a,侵：倍设木里者 上nw-LmL--震把 9例.解：1y与等之料的函数美系式为y=0+1四0<年< 3.3州似图形 (2由句量究理.得的■√，-m4.六n声南∠某单= 44 12)根据圈意，得(6的-1-柏)(0+100)=10，整理餐 1制数的2相等玉收比网王社等5成比钢 的边长为.=1，=34， 花2 -0-科0.解目42.与·-24不并合超意，霄去)， 到1.刚2.5：325到3B到4.i 4的E=的=口=级容：这种得时年个的实军再价是4移元 3.A相叙三角形的判定性质 4一器即小王方那的迪长为是 倒2新46之d袋子，C2希 例本10 3.4.1相瓜三角形的判足 例发名例子 第2课时几网间题 于小，-W-- 题1误时利用平行线利定三角形相侧 第2课时相侧三角形的性质（面职、离长】 例1.8 工相制比的平方相微比 倒3子州+过 到1.A (变式]解：位样形的商为备m,F上些比高多4：下能北A多 例1.A 第？时45,0角的正蕴值及用计程袋晚角的 ,上毫。年，a1,下度=C,0),家接稀用的到工起e0C心△m一A4以，酒-￥A作=7,4制2解：扩￥1及华6下3恤-93，球9于 正第值或羽应的悦角 自积为0m,一子（有++h0)h。10.额荐-8或一 5,B成=0c:n:,7x0=14 底a城一A之5i:5(曾.附0 1学中翻等a号小-羊 -者去1枚这个棉形的高为等 第2漾时相三角形的洲定空理 25,W=5, 事2解：让上，下边村宽典为4，t.裂，右i边H宽均为30可 例301：4 工等 15,周(01到-…专0×现势深得.- 例金解：：一个三角形的三动之比为2：5：4，与它相做的三角 例1.任第富△4配中，∠4=，2B=,4∠C=0 形的世边之比为2：+，灵另一个三角形的世道长分别明 10:+5=0.解周，=3士15.3，=15.1=347《省士)。 LA一2s6的，在6中.2上■，L卡=r之H 2:.5:,4:程？另一个与它相自的三角形的周长为 偶3解：24是能角.m4…子L4-3灯行上n:用 LE,∠C·∠F.AAO-4DF 答：上，下边利宽均的为上1，左，右山村度期的为16 55m,2山+444如站，都周4▣5，二.另一个三角形的边 9例1销 剑玉1)证：g1Aw于点E.∠C.,÷LF功·∠C 长分州为10,25m,20压 4mh=号 到4.解：(11(6-》2 ,44∠4，.AEA年 35相似三角形的应用 例3A 2)设r楼后，属边形的指积为6国，六5=-5 (2)相A情=5.0=3，∠G=0,A=后0C=4 例L嗣1由题意月2能。2AD-0,∠A=∠A,△E一例4解：(10”A4:2418'A633: 4Ea业出-装号华-号 A指球 (11-4r=03162,÷a=101 ,:C=12,能0国 女，m=且7266.n=460, ×24=16.第荐=2，=4.当=4时，0=24■》，7 第3课时 相三角形的定定理一 点不与点C看合.=4不合松意奔去，容：出发1秒好，四①成比同2标等 m:0n一元产品16球：4板+推行： 第3课封象这 1年边2氧边3都自4朝边方(r-a(r-a 边形UC的自积为16m 钢1.A 的厘答：月宽A大内为扣 解5解：让4锡为年m.附为40~1》m,制据物章得（枪 侧21 碍号时 2)50,2-+100,解周，=151=5，：40-1山≤ 3.6位假 5,六￥■5，答：有直于墙的道0的长度为5米 1号（度力到工国 第3章图形的相限 装64Ea0宁e 第1时应旺形的极浇、性质及题适 3.1 30城=3￥2=6 1?射线岸3射线中的反肉延长线4？互相 比例线段 平行 倒3解：10t-(宁-正×号，（受y0: 3.1.1比例的基座件质 第4课时相三角形的判定定罩3 例L目例2非例发略， 内项外项夏k 2原片9，片号图 规比博 毫2课时平面直角峰标系中的位( 1.G阴1.A刚3上31麦式D例4 例450例5,1a.5722)04静 AB :工相同去坐标期边 31.2成比例线段 例6(142.9《2127.39 重县这斑长④民 禁-子…是-学普△和△破F不相 例之解：如解谢.国边思a4,六，四边形24，是C:博为所求 42正切 (作鸟其中个图可 例1.C例2.0 1对边位邻波生脑3常迪雪2百多号 州1解：4,4是比例线量：Ad5d(I:4■ 4.b=1,=l2.4f=12,4=3: 呼号哼时学m 2)g4=1.5,6■25，dm2,.L52m上，4mL2 例土：4'片=12.门4s增11F3 【度式】 例L22号【度试 部小有：以的的下高为，则山腰位海，2，，子，整理 =2,=6,5=13,同理可特△NK △C,4044,8C:=AC=4'== 明2隔：题式小号。不青4-区 至2有0，解有·5-1，=一3-11价去).经检国 13,△有C△ 】一T是原方的解，答：重使的下每应投计为(，5一1)楼 1例33成5正 例5(62域-6，-2) 期3(11.6(21240例44 公爸案